Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep-konsep geometri ruang dan trigonometri yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal dimensi tiga pada ujian nasional, termasuk penggunaan tripel Pythagoras, jarak antara objek geometri, dan sudut antara objek geometri. Diberikan juga contoh soal dan pembahasan menggunakan konsep-konsep tersebut.

1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang

2. Halaman 136 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut.
3. 1. Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang.
Dimensi Tiga
Garis Tegak Lurus Bidang
jika garis tersebut ⊥ setiap garis pada bidang
“minimal dua garis saja”
Jarak Sudut
Titik dan “Sesuatu” Selain Titik dan “Sesuatu”
Syarat keduanya harus sejajar
Jarak Titik dan Titik Jarak Garis dan Garis Sudut Garis dan Garis
“berupa garis lurus” “harus tegak lurus” “sudut terkecil”
Jarak Titik dan Garis Jarak Garis dan Bidang Sudut Garis dan Bidang
“harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut garis dengan proyeksinya”
Jarak Titik dan Bidang Jarak Bidang dan Bidang Sudut Bidang dan Bidang
“harus tegak lurus” “harus tegak lurus” “sudut dua garis ⊥ garis potong”
𝜽
𝜽
𝜽
𝜶 𝜶
𝜶
𝜷 𝜷
𝜶
𝜶𝜶
𝜶
𝜶
𝜶
𝜷

3. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 137
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga
Pada kubus ABCD.EFGH berlaku:
Misal sisi kubus adalah 𝑎 cm,
Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut:
Diagonal sisi kubus 𝑨𝑪 = 𝒂√𝟐 cm.
Diagonal ruang kubus adalah 𝑬𝑪 = 𝒂√𝟑 cm.
Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik
potong diagonal sisi atas adalah P,
maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut:
Ruas garis 𝑶𝑮 = 𝑨𝑷 =
𝒂
𝟐
√𝟔 cm.
Serta akan diperoleh 𝐸𝐶 ⊥ 𝑂𝐺 dan 𝑂𝐺 ∥ 𝐴𝑃.
Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita
bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi
tiga bagian yang sama panjang yaitu:
𝑬𝑸 = 𝑸𝑹 = 𝑹𝑪 =
𝟏
𝟑
𝑬𝑪 =
𝟏
𝟑
𝒂√𝟑 cm.
Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis
diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari
garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya.
Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik.
Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya.
Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor?
Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!
A B
CD
E
F
GH
O
P
A B
CD
E
F
GH
O
P
A C
GE
O
P
Q
R
Q
R

4. Halaman 138 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras?
Asyik….!
Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga
siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang
telah adik-adik dapatkan di sekolah.
Oke kita mulai trik menghafalnya dulu….
Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut:
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
, dengan catatan pada gambar tersebut sisi 𝑎 adalah sisi terpendek!
Seumpama diubah menjadi 𝑎2
= 𝑐2
− 𝑏2
, ‘kan ya nggak papa to ya? Hehe… Sama aja!
Perhatikan:
𝑎2
= 𝑐2
− 𝑏2
⇒ 𝑎2
= (𝑐 + 𝑏) (𝑐 − 𝑏)⏟
carilah
bilangan
yang
selisihnya
satu
Jadi disini kita mencari dua bilangan 𝑏, 𝑐 yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan
kuadrat sisi terpendek!
Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst.
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
8 15 17
Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya.
Contoh:
Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2.
Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari
tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13.
Jadi, sisi miringnya adalah 2 × 13 = 26 cm.
Selesai!
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras
Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut
dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
Contoh:
32
= 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.
Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
52 = 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,
sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
3
4
5
5
12
13
𝑎
𝑏
𝑐
10
24
𝑥 5
12

5. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 139
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?
Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.
Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 𝑎√𝑏 dan 𝑎√ 𝑐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku
adalah 𝑥, maka nilai 𝑥 bisa ditentukan oleh:
𝑥2
= (𝑎√𝑏)
2
+ (𝑎√ 𝑐)
2
⇒ 𝑥 = √ 𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑐
⇒ 𝑥 = √𝑎2(𝑏 + 𝑐)
⇒ 𝑥 = √ 𝑎2√𝑏 + 𝑐
⇒ 𝑥 = 𝑎√𝑏 + 𝑐
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
𝑎 √𝑏 𝑎 √ 𝑐 𝑎 √𝑏 + 𝑐
Contoh:
Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga
Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah:
Perhatikan ∆𝐴𝐸𝑃, 𝐴𝐸 = 𝑎 cm dan 𝐸𝑃 =
1
2
𝑎√2 cm, maka:
𝐴𝐸 = 𝑎 cm =
1
2
𝑎√4 cm.
𝐸𝑃 =
1
2
𝑎√2 cm
Jelas bahwa panjang
𝐴𝑃 =
1
2
𝑎√6 cm.
𝑎 √ 𝑐
𝑎 √𝑏
𝑎 √𝑏 + 𝑐
bilangannya harus sama,
kalau nggak sama cari FPBnya
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
𝑎 √ 𝑐
𝑎 √𝑏
𝑥
4√4
4√9
4√13
8
12
 Cari FPB dari 12 dan 8.
 FPBnya adalah 4.
 Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
 Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4,
 Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13
A B
D
E
F
GH
O
P
C
1
2
𝑎√4
1
2
𝑎√2
E
A
P

6. Halaman 140 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga:
Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat
garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan
konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.
Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara
kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa
diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep
Kesebangunan kelas IX SMP.
Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti…. :)
Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com …..

7. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 141
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P
dengan garis HB adalah ....
A. 8 5 cm
B. 6 5 cm
C. 6 3 cm
D. 6 2 cm
E. 6 cm
2. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah ....
A. 3
3
1
cm
B. 3
3
2
cm
C. 3
3
4
cm
D. 3
3
8
cm
E. 3
3
16
cm
A B
E F
H G
B
D C
P
12 cm
12 cm
C
P
B 12 cm
6 cm
PB = √BC2 + PC2
= √122 + 62
= √144 + 36
= √180
= 6√5 cm
BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis
miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm.
BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua
sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH).
BH adalah diagonal ruang, BH = 12√3 cm.
Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi
P (titik P′) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang
BP′
= PH = 6√3 cm.
Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP′
.
PB
6√5 cm
6√5 cm
P′
P′
PP′
= √BP2 − BP′2
= √(6√5)
2
− (6√3)
2
= √180 − 108
= √72
= 6√2 cm
A B
E F
H G
B
D C
8 cm
8 cm
A P
E
4√2 cm
8 cm
EP = √EA2 + AP2
= √82 + (4√2)
2
= √64 + 32
= √96
= √16√6
= 4√6 cm
Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.
Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang
tersebut adalah bidang diagonal ACGE.
Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan
membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.
Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E′
.
Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E’.
Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena
EP = GP = 4√6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8√2 cm.
E′
P
A C
GE
P
E′
Perhatikan sudut EGP
sin∠𝐸𝐺𝑃 =
𝐸𝐸′
𝐸𝐺
=
𝑃𝑃′
𝐺𝑃
⇒ 𝐸𝐸′
=
𝑃𝑃′
𝐺𝑃
∙ 𝐸𝐺
=
8
4√6
× 8√2
=
16
3
√3 cm
P′
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan bidang diagonal ACGE
EC adalah diagonal ruang, sehingga 𝐸𝐶 = 8√3 cm
Jadi,
𝐸𝐸′
=
2
3
𝐸𝐶 =
2
3
8√3 =
16
3
√3 cm
A C
GE
P
E′
P′
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan garis PP’.
Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. 𝐴𝐶 = 12√2 cm
Tapi panjangnya PP’ cuma separuh dari AC.
Jadi,
𝑃𝑃′
=
1
2
12√2 = 6√2 cm

8. Halaman 142 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
3. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak
23 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....
A. 3
3
1
B. 2
C. 3
D. 22
E. 32
4. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai
tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ....
A. 2
4
1
B. 2
2
1
C. 2
3
2
D. 2
E. 22
5. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara
garis TC dan bidang ABC adalah ....
A. 3
6
1
B. 2
3
1
C. 3
3
1
D. 2
2
1
E. 3
2
1
P
Q R
S
T
3 cm
3 cm
3√2 cm
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.
Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = 3√2 cm.
Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P′
. Dimana P′
terletak di
perpotongan kedua diagonal alas.
Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh
garis PT dengan TR (∠PTR).
Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP’, maka akan lebih
mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku
tersebut. (∠PTR = ∠PTP’)
P′
P
T P′
3√2 cm
3
2
√2 cm
PP′
= √PT2 − TP′2
= √(3√2)
2
− (
3
2
√2)
2
= √18 −
9
2
= √
27
2
=
3√3
√2
=
3
2
√6 cm
Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:
tan ∠(PT̅̅̅̅, QRST) =
PP′
TP′
=
3
2 √6
3
2 √2
= √3
√2 cm
T
A B
C
D
2 cm
2 cm
√3 cm
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.
Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = 2√2 cm.
Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T′
terletak
di perpotongan kedua diagonal alas.
Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang
dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB).
Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT’, maka
akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakan
segitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT’)
T′
T
D T′
√3 cm
TT′
= √TD2 − DT′2
= √(√3)
2
− (√2)
2
= √3 − 2 = 1 cm
Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah:
tan ∠(TD̅̅̅̅, ABCD) =
TT′
DT′
=
1
√2
=
1
2
√2
3 cm
Alas limas bentuknya segitiga
dengan sisi 6 cm. Dan semua
sisi limas adalah segitiga sama
sisi dengan rusuk 6 cm.
Perhatikan jika T’ adalah
proyeksi T pada alas ABC
dan D adalah titik tengah
AB, maka CD adalah ruas
garis yang melewati T’.
Perhatikan segitiga CDT, karena TT’
tegak lurus CD, maka bidang CDT
tegak lurus bidang ABC.
Karena TC berada di CDT dan CDT
tegak lurus ABC, maka sudut yang
dibentuk oleh garis TC dan bidang
ABC adalah sudut antara garis TC
dan ruas garis CD.
T
B D
6 cm
C
A
B
T
T’
D
6 cm
6 cm6 cm
C
D
T
6 cm
3√3 cm
TD = √TB2 − BD2
= √(6)2 − (3)2
= √27
= 3√3 cm
3√3 cm
3√3 cm
cos ∠(TC̅̅̅̅, ABC) =
TC2
+ DC2
− TD2
2 ∙ TC ∙ DC
=
62
+ (3√3)
2
− (3√3)
2
2 ∙ 6 ∙ (3√3)
=
36
36√3
=
1
3
√3

9. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 143
6. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah  .
Nilai sin = ....
A. 2
2
1
B. 3
2
1
C. 3
3
1
D. 2
3
2
E. 3
4
3
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Kubus rusuk 4 cm.
EG adalah diagonal sisi,
maka EG = 4√2 cm.
Karena P perpotongan
diagonal sisi atas, maka
𝐸𝑃 =
1
2
𝐸𝐺 ⇒ 𝐸𝑃 = 2√2 cm
Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna
biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa
dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.
P
A
4 cm
2√2 cm AP = √AE2 + EP2
= √(4)2 + (2√2)
2
= √16 + 8
= √24
= 2√6 cm
Jika sudut antara AE dan AFH adalah
𝛼 dan ∆𝐴𝐹𝐸 siku-siku di 𝐸, maka
sin 𝛼 =
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡
𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔
⇒ sin 𝛼 =
𝐸𝑃
𝐴𝑃
=
2√2
2√6
=
1
√3
=
1
3
√3
A B
E F
H G
D C
4 cm
4 cm
P
E