Persamaan Laplace dalam bentuk polar

1. Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
1
LAB TERAPAN
NAMA : SUKARDI
NIM : H111 11 002
PENGUJI : Dr.Eng. Mawardi Bhari, S.Si.,M.Si.
KEP. LAB TERAPAN: Prof. Dr. Hj. Aidawayati Rangkuti, M.S.
Persamaan Laplace Dalam Bentuk Koordinat Polar
Persamaan Laplace dua variable dalam koordinat Cartesius diberikan oleh:
∇2
𝑢 = 𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦 = 0, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦).
Transformasi persamaan gelombang pada system koordinat kartesius 𝑢 =
𝑢(𝑥, 𝑦) ke dalam koordinat polar 𝑢 = 𝑢(𝑟, 𝜃), dapat dilakukan dengan
menggunakan:
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃.
 Turunan parsial pertama terhadap 𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 sin 𝜃)
𝑢 𝑟 = 𝑢 𝑥 cos 𝜃 + 𝑢 𝑦 sin 𝜃. (1)
 Turunan parsial pertama terhadap 𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜃
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜃
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝜃
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟 sin 𝜃)
𝜕𝑢
𝜕𝜃
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(−𝑟 sin 𝜃) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
(𝑟 cos 𝜃)

2. Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
2
𝑢 𝜃 = 𝑢 𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑦(𝑟 cos 𝜃). (2)
Dari sitem persamaan (1) dan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut:
[
cos 𝜃 sin 𝜃
−r sin 𝜃 r cos 𝜃
] [
𝑢 𝑥
𝑢 𝑦
] = [
𝑢 𝑟
𝑢 𝜃
]
[
𝑢 𝑥
𝑢 𝑦
] =
1
𝑟
[
r cos 𝜃 −sin 𝜃
r sin 𝜃 cos 𝜃
] [
𝑢 𝑟
𝑢 𝜃
]
𝑢 𝑥 = cos 𝜃 𝑢 𝑟 −
1
𝑟
sin 𝜃 𝑢 𝜃. (3)
𝑢 𝑦 = sin 𝜃 𝑢 𝑟 +
1
𝑟
cos 𝜃 𝑢 𝜃. (4)
 Turunan parsial kedua terhadap r
𝜕2 𝑢
𝜕𝑟2 =
𝜕
𝜕𝑟
(
𝜕𝑢
𝜕𝑟
). (5)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (5) diperoleh:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑟2
=
𝜕
𝜕𝑟
(𝑢 𝑥 cos 𝜃 + 𝑢 𝑦 sin 𝜃)
=
𝜕
𝜕𝑟
(𝑢 𝑥 cos 𝜃) +
𝜕
𝜕𝑟
(𝑢 𝑦 sin 𝜃)
= cos 𝜃
𝜕
𝜕𝑟
𝑢 𝑥 + sin 𝜃
𝜕
𝜕𝑟
𝑢 𝑦
= cos 𝜃 (
𝜕𝑢 𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑢 𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
) + sin 𝜃 (
𝜕𝑢 𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑟
+
𝜕𝑢 𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑟
)
= cos 𝜃 (𝑢 𝑥𝑥
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢 𝑥𝑦
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 sin 𝜃))
+ sin 𝜃 (𝑢 𝑥𝑦
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢 𝑦𝑦
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟 sin 𝜃))
= cos 𝜃 (𝑢 𝑥𝑥(cos 𝜃) + 𝑢 𝑥𝑦(sin 𝜃))
+ sin 𝜃 (𝑢 𝑥𝑦(cos 𝜃) + 𝑢 𝑦𝑦(sin 𝜃))

3. Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
3
= cos2
𝜃 𝑢 𝑥𝑥 + cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢 𝑥𝑦 + cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢 𝑥𝑦 + sin2
𝜃 𝑢 𝑦𝑦
= cos2
𝜃 𝑢 𝑥𝑥 + 2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢 𝑥𝑦 + sin2
𝜃 𝑢 𝑦𝑦. (6)
 Turunan parsial kedua terhadap 𝜃
𝜕2 𝑢
𝜕𝜃2
=
𝜕
𝜕𝜃
(
𝜕𝑢
𝜕𝜃
). (7)
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (7), diperoleh:
𝜕2
𝑢
𝜕𝜃2
=
𝜕
𝜕𝜃
(𝑢 𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑦(𝑟 cos 𝜃))
=
𝜕
𝜕𝜃
(𝑢 𝑥(−𝑟 sin 𝜃)) +
𝜕
𝜕𝜃
(𝑢 𝑦(𝑟 cos 𝜃))
=
𝜕𝑢 𝑥
𝜕𝜃
(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑥
𝜕
𝜕𝜃
(−𝑟 sin 𝜃)
+
𝜕
𝜕𝜃
𝑢 𝑦(𝑟 cos 𝜃) + 𝑢 𝑦
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟 cos 𝜃)
= (
𝜕𝑢 𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜃
+
𝜕𝑢 𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜃
) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑥(−𝑟 cos 𝜃)
+ (
𝜕𝑢 𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝜃
+
𝜕𝑢 𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝜃
) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢 𝑦(−𝑟 sin 𝜃)
= (
𝜕𝑢 𝑥
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢 𝑥
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟 sin 𝜃)) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑥(−𝑟 cos 𝜃)
+ (
𝜕𝑢 𝑦
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟 cos 𝜃) +
𝜕𝑢 𝑦
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝜃
(𝑟 sin 𝜃)) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢 𝑦(−𝑟 sin 𝜃)
= (𝑢 𝑥𝑥(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑥𝑦(𝑟 cos 𝜃)) (−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑥(−𝑟 cos 𝜃)
+ (𝑢 𝑥𝑦(−𝑟 sin 𝜃) + 𝑢 𝑦𝑦(𝑟 cos 𝜃)) (𝑟 cos 𝜃) + 𝑢 𝑦(−𝑟 sin 𝜃)
= 𝑟[((−𝑟 sin 𝜃)𝑢 𝑥𝑥 + (𝑟 cos 𝜃)𝑢 𝑥𝑦) (− sin 𝜃) − cos 𝜃 𝑢 𝑥
+ cos 𝜃 ((− r sin 𝜃)𝑢 𝑥𝑦 + r cos 𝜃 𝑢 𝑦𝑦) − sin 𝜃 𝑢 𝑦]

4. Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
4
= 𝑟[((𝑟 sin2
𝜃)𝑢 𝑥𝑥 − (𝑟 sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢 𝑥𝑦) − cos 𝜃 𝑢 𝑥
+ ((r sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢 𝑥𝑦 − (r cos2
𝜃)𝑢 𝑦𝑦) − sin 𝜃 𝑢 𝑦]
= (𝑟2
sin2
𝜃)𝑢 𝑥𝑥 − (𝑟2
sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢 𝑥𝑦 − 𝑟 cos 𝜃 𝑢 𝑥
−(r2
sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢 𝑥𝑦 + r2
cos2
𝜃 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢 𝑦
= 𝑟2
((sin2
𝜃)𝑢 𝑥𝑥 + cos2
𝜃 𝑢 𝑦𝑦 − 2(sin 𝜃 cos 𝜃)𝑢 𝑥𝑦)
+𝑟(− cos 𝜃 𝑢 𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢 𝑦). (8)
Dari persamaan (6) diperoleh bahwa:
−2 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢 𝑥𝑦 = cos2
𝜃 𝑢 𝑥𝑥 + sin2
𝜃 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑢 𝑟𝑟. (9)
Subtitusi persamaan (9) kepersamaan (8), diperoleh:
𝑢 𝜃𝜃 = 𝑟(− cos 𝜃 𝑢 𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢 𝑦)
+𝑟2
((sin2
𝜃)𝑢 𝑥𝑥 + cos2
𝜃 𝑢 𝑦𝑦 + cos2
𝜃 𝑢 𝑥𝑥 + sin2
𝜃 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑢 𝑟𝑟)
= 𝑟(− cos 𝜃 𝑢 𝑥 − 𝑟 sin 𝜃 𝑢 𝑦)
+𝑟2
(((sin2
𝜃) + cos2
𝜃)𝑢 𝑥𝑥 + (sin2
𝜃 + cos2
𝜃)𝑢 𝑦𝑦 + 𝑢 𝑟𝑟)
= 𝑟(− cos 𝜃 𝑢 𝑥 − sin 𝜃 𝑢 𝑦) + 𝑟2
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑢 𝑟𝑟). (10)
Subtitusi persamaan (3) dan (4) ke persamaan (10), diperoleh:
𝑢 𝜃𝜃 = 𝑟 (− cos 𝜃 (cos 𝜃 𝑢 𝑟 −
1
𝑟
sin 𝜃 𝑢 𝜃) − sin 𝜃 (sin 𝜃 𝑢 𝑟 +
1
𝑟
cos 𝜃 𝑢 𝜃))
+𝑟2
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑢 𝑟𝑟)
= 𝑟 (− cos2
𝜃 𝑢 𝑟 +
1
𝑟
cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢 𝜃 − sin2
𝜃 𝑢 𝑟 −
1
𝑟
cos 𝜃 sin 𝜃 𝑢 𝜃)
+𝑟2
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑢 𝑟𝑟)
= 𝑟(− cos2
𝜃 𝑢 𝑟 − sin2
𝜃 𝑢 𝑟 + 𝑟2
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑢 𝑟𝑟)

5. Persamaan Laplace Dalam Bnetuk Polar April 21, 2015
5
= 𝑟(−(cos2
𝜃 + sin2
𝜃)𝑢 𝑟 + 𝑟2
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦 − 𝑢 𝑟𝑟)
𝑢 𝜃𝜃 = −𝑟 𝑢 𝑟 + 𝑟2
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦) − 𝑟2
𝑢 𝑟𝑟
−𝑟2
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦) = −𝑟 𝑢 𝑟 − 𝑟2
𝑢 𝑟𝑟 − 𝑢 𝜃𝜃
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦) =
1
𝑟
𝑢 𝑟 + 𝑢 𝑟𝑟 +
1
𝑟2
𝑢 𝜃𝜃.
Jadi, persamaan Laplace dalam bentuk koordinat polar adalah
(𝑢 𝑥𝑥 + 𝑢 𝑦𝑦) =
1
𝑟
𝑢 𝑟 + 𝑢 𝑟𝑟 +
1
𝑟2
𝑢 𝜃𝜃.
∇2
𝑢 =
1
𝑟
𝑢 𝑟 + 𝑢 𝑟𝑟 +
1
𝑟2
𝑢 𝜃𝜃.