Teks tersebut membahas tentang: 1. Model aliran fluida antara dua silinder bergerak dengan kecepatan berbeda dan menentukan profil kecepatannya 2. Persamaan aliran fluida menurut model Ellis dan menentukan distribusi kecepatannya 3. Perhitungan gesekan yang dialami silinder dalam berputar dalam cairan 4. Membuktikan persamaan aliran panas melalui dinding silinder annulus

1. 2015
1. Tentukan 𝜐 𝜃( 𝑟) antara 2 silinder koaksial yang saling bergerak
Kecepatan distribusi pada keadaan steady
Kecepatan komponen Radial dan aksial adalah nol 𝜐𝑟 = 0 and 𝜐𝑧 = 0.
Koordinat pada silinder
Jadi, 𝜐 𝜃 = 𝜐 𝜃( 𝑟, 𝑧). 𝜐 𝜃 tidak tergantung pada z maka 𝜐 𝜃 = 𝜐 𝜃(𝑟)
Tidak ada gradien tekanan dalam arah x . Oleh karena itu , komponen dari persamaan
gerak menyederhanakan untuk
Solusi dari persamaan diferensial dan profille kecepatan
komponen X dari persamaan gerak dapat diintegrasikan untuk mendapatkan profil
kecepatan :

2. 2015
tidak ada slip pada kondisi batas di dua permukaan silinder yang
Solusi Persamaan (4.a.2)dan(4.a.3)untuk konstanta integrasi kita menemukan bahwa
mereka diberikan oleh
Mengganti nilai di atas untuk C1 dan C2 dalam persamaan (4.a.1), kecepatan profil yang
diperoleh sebagai
𝜐 𝜃( 𝑟) =
Ω0 − Ω𝑖 𝜅2
1 − 𝜅2
𝑟 +
Ω0 − Ω𝑖
1 − 𝜅2
𝜅2
𝑅2
𝑟
𝜐 𝜃( 𝑟) =
𝜅𝑅
1 − 𝜅2
[(Ω0 − Ω𝑖 𝜅2 )
𝑟
𝜅𝑅
+ (Ω0 − Ω𝑖)
𝜅𝑅
𝑟
]
Kecepatan Distribusi yang didapat bisa ditulis dalam bentuk alternatif berikut :
𝝊 𝜽( 𝒓) =
𝛀 𝟎 𝜿𝑹
𝟏 − 𝜿 𝟐
(
𝒓
𝜿𝑹
−
𝜿𝑹
𝒓
) +
𝛀𝒊 𝜿 𝟐
𝑹
𝟏 − 𝜿 𝟐
(
𝑹
𝒓
−
𝒓
𝑹
)

3. 2015
2. Dengan adanya persamaan fluida model Ellis
−
𝑑𝑉𝑧
𝑑𝑟
= 𝜑 𝑜 𝜏 𝑟𝑧 + 𝜑1 [ 𝜏 𝑟𝑧] 𝛼
Maka tentukan distribusi kecepatan fluida yang mengalir melalui pipa silinder dengan
mengikuti persamaan di atas.
Jawaban:
−
𝑑𝑉𝑧
𝑑𝑟
= 𝜑 𝑜 𝜏 𝑟𝑧 + 𝜑1 [ 𝜏 𝑟𝑧] 𝛼
−
𝒅𝑽 𝒛
𝒅𝒓
= 𝝋 𝒐 𝝉 𝒓𝒛 + 𝝋 𝟏[ 𝝉 𝒓𝒛] 𝜶

4. 2015
3. Dik:
 D = 15 cm
 P = 25 cm
 Ω silinder dalam = 100 rpm
 ∆y = 0.02 cm
 μ = 1.2 g cm-1 s-1
Dit : gesekan yang dialami silinder dalam
Jawaban :
K= π D υ = π D ω
K= (3.14) (15 cm) υ = (3.14) (15 cm) (100 rpm)
K = 47.1 cm υ = 4710 cm menit-1 = 78.5 cm detik-1
𝑑𝑣 𝑥
𝑑𝑦
≈
Δ𝑣 𝑥
Δ𝑦
𝑑𝑣 𝑥
𝑑𝑦
≈ −
78.5 cm detik−1
0.02 𝑐𝑚
𝑑𝑣 𝑥
𝑑𝑦
≈ −3925 detik−1
τyx = -μ
𝑑𝑣 𝑥
𝑑𝑦
τyx = (-1.2 g cm-1 s-1) (-3925 detik-1)
τyx = 4710 g cm-1 s-2
τyx = 4710 dyne cm-2
A = K p F = τyx A
A = (47.1 cm) (25 cm) F=(4710 dyne cm-2) (1177.5 cm2)
A = 1177.5 cm2 F = 5546025 dyne
Jadi besarnya gesekan yang dialami silinder luar sebesar 5546025 dyne.

5. 2015
4. adad Buktikan bahwa persamaan aliran panas yang melalui dinding silinder annulus
adalah
𝑞 𝑟 =
( 𝑇1 − 𝑇𝑂)
𝑟
( 𝑘 𝑜 + 𝑘1)
2
(ln
𝑟1
𝑟0
)
2
Pada panasyang mengalirmelalui sebuahannulusdenganjari-jari dalamro danjari-jari luarr1.
Konduktivitaspanasbervariasi secaralinierterhadapsuhudari ko padaro dengansuhuTO
dengansuhuTo samapi k1 pada r1 dengansuhuT1 sebagai berikut:
𝑘 = 𝑘 𝑜 + ( 𝑘1 − 𝑘 𝑜)(
𝑇 − 𝑇𝑂
𝑇1 − 𝑇0
)
Jawaban:
Kesetimbangan energy untuk kulit silinder dengan tebal ∆r dan panjang L
2𝜋𝐿(𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟
− 2𝜋𝐿(𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟+Δ𝑟
+ 0 = 0
2𝜋𝐿(𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟
− 2𝜋𝐿(𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟+Δ𝑟
= 0
Dibagi 2ΠL dan di limit untuk ∆r mendekati 0, maka…
2𝜋𝐿(𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟
− 2𝜋𝐿(𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟+Δ𝑟
2πL
= 0
(𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟
− (𝑟𝑞 𝑟 )|
𝑟+Δ𝑟
= 0
lim
Δ𝑟→0
(
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟𝑞 𝑟 )) = 0
∫
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟𝑞 𝑟 ) = ∫ 0
𝑟𝑞 𝑟 = 𝐶1
𝑞 𝑟 =
𝐶1
𝑟
−𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑟
=
𝐶1
𝑟

6. 2015
konduktivitas termal bervariasi secara linear dengan suhu, sehingga
𝑘 = 𝑘 𝑜 + ( 𝑘1 − 𝑘 𝑜)(
𝑇 − 𝑇𝑂
𝑇1 − 𝑇0
) ≡ 𝑘 𝑜 + ( 𝑘1 − 𝑘 𝑜)Θ
Maka
−[ 𝑘 𝑜 + ( 𝑘1 − 𝑘 𝑜)Θ]
𝜕𝑇
𝜕𝑟
=
𝐶1
𝑟
𝑎𝑡𝑎𝑢
−( 𝑇1 − 𝑇0)[ 𝑘 𝑜 + ( 𝑘1 − 𝑘 𝑜)Θ]
𝑑Θ
𝑑𝑟
=
𝐶1
𝑟
Untuk orde 1, persamaan diferensial dapat dipisahkan dengan cara di integralkan
persamaan tersebut
−( 𝑇1 − 𝑇0)[ 𝑘 𝑜 +
1
2
( 𝑘1 − 𝑘 𝑜)Θ]Θ = 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2
Kondisi batas :
Θ( 𝑟0) = 0 𝑑𝑎𝑛 Θ( 𝑟1) = 1
Maka di dapat 2 persamaan
0 = 𝐶1 ln 𝑟𝑜 + 𝐶2
Dan
−( 𝑇1 − 𝑇0)[ 𝑘 𝑜 +
1
2
( 𝑘1 − 𝑘 𝑜)Θ]Θ = 𝐶1 ln 𝑟1 + 𝐶2
ketika hubungan ini dikurangi dan persamaan untuk C1 diperoleh
𝐶1 = −
( 𝑇1 − 𝑇0)
ln (
𝑟1
𝑟𝑜
)
[
1
2
( 𝑘 𝑜 + 𝑘1)]
Dan untuk C2 juga dapat diperoleh jika diinginkan . sehingga untuk memperoleh aliran
panas melalui dinding adalah
𝒒 𝒓 =
( 𝑻 𝟎 − 𝑻 𝟏)
𝒓
( 𝒌 𝒐 + 𝒌 𝟏)
𝟐
𝐥𝐧 (
𝒓 𝟏
𝒓 𝒐
)
−𝟏

7. 2015