Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial orde pertama linear dan persamaan Bernoulli. Pertama, dijelaskan bentuk umum persamaan diferensial orde pertama linear dan cara menemukan faktor integrasinya. Kemudian, dibahas cara mengubah persamaan Bernoulli menjadi persamaan diferensial linear dengan substitusi variabel. Terakhir, beberapa soal contoh diberikan untuk latihan.

2. PERTEMUAN - 3
Persamaan Diferensial Orde Pertama Linear
Persamaan Bernoulli

3. Persamaan Diferensial Orde 1 Linear
Persamaan Diferensial Orde Satu Linear memiliki bentuk :
𝑦′
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)
Faktor Pengitegrasi untuk persamaan tersebut adalah :
𝐼 𝑥 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Faktor Pengitegrasi tersebut bergantung pada x saja dan independen terhadap y.
𝐼(𝑥)𝑦′
+ 𝑝 𝑥 𝐼(𝑥)𝑦 = 𝐼(𝑥)𝑞(𝑥)
Adalah eksak diamana solusinya dapat dituliskan dalam bentuk :
𝑑(𝑦𝐼)
𝑑𝑥
= 𝐼𝑞(𝑥)

4. Contoh
Persamaan Diferensial Orde 1 Linear
Tentukan solusi dari persamaan diferensial
linier ordo 1 berikut :
𝑦′
− 3𝑦 = 6
Mencari faktor integrasi 𝑝 𝑥 = −3 𝑑𝑎𝑛 𝑞 𝑥 = 6
𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = −3 𝑑𝑥 = −3𝑥 𝐼 𝑥 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒−3𝑥
Mengalikan PDL-TK1 dengan faktor integrasi I(x)
𝑒−3𝑥 𝑦′ − 3𝑒−3𝑥 𝑦 = 6𝑒−3𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑦𝑒−3𝑥 = 6𝑒−3𝑥
Mencari Solusi 𝑑
𝑑𝑥
𝑦𝑒−3𝑥 = 6𝑒−3𝑥
𝑦𝑒−3𝑥
= −2𝑒−3𝑥
+ 𝑐
𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥
− 2

5. Persamaan Diferensial Bernoulli
Persamaan Diferensial Bernoulli memiliki bentuk :
𝑦′
+ 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦 𝑛
Dimana n adalah bilangan real. Substitusi :
𝑧 = 𝑦1−𝑛
Mengubah bentuk utama menjadi suatu persamaan diferensial linear
dalam fungsi z(x) yang dicari.

6. Persamaan Diferensial Bernoulli
Contoh Tentukan solusi dari persamaan diferensial
Bernoulli berikut : 𝑦′
+ 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦2
Substitusi z 𝑝 𝑥 = 𝑞 𝑥 = 𝑥 , 𝑛 = 2
𝑧 = 𝑦1−2 = 𝑦−1
𝑦 =
1
𝑧
𝑑𝑎𝑛 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑦
= −
𝑧′
𝑧2
Masukkan dalam persamaan soal
−
𝑧′
𝑧2
+
𝑥
𝑧
=
𝑥
𝑧2
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 ; 𝑧′
−𝑥𝑧 = −𝑥 PDL-TK1
𝐼 𝑥 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒−𝑥2/2
Solusi PDL-TK1
𝑧 = 𝑐𝑒 𝑥2/2
+ 1 𝑦 =
1
𝑐𝑒 𝑥2/2 + 1

7. Soal 3.1
Tentukan solusi dari PDL-TK1 berikut :
𝑎 . 𝑦′
− 2𝑥𝑦 = 𝑥
𝑏 . 𝑦′
+
4
𝑥
𝑦 = 𝑥4
𝑐 .
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 𝑥𝑧 = −𝑥; 𝑧 0 = −4
Tentukan solusi dari PD Bernoulli berikut :
𝑎 . 𝑦′
−
3
4
𝑦 = 𝑥4
𝑦
1
3
𝑏 .
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥𝑦4

8. PERTEMUAN -3
Terima Kasih

9. Jawaban 3.1
Tentukan solusi dari PDL-TK1 berikut :
𝑎 . 𝑦′
− 2𝑥𝑦 = 𝑥
𝑏 . 𝑦′
+
4
𝑥
𝑦 = 𝑥4
𝑐 .
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 𝑥𝑧 = −𝑥; 𝑧 0 = −4
Tentukan solusi dari PD Bernoulli berikut :
𝑎 . 𝑦′
−
3
4
𝑦 = 𝑥4
𝑦
1
3
𝑏 .
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥𝑦4
𝑦 = ±(𝑐𝑥2
+
2
9
𝑥5
)
3
2
1
𝑦3
= 𝑥 +
1
3
+ 𝑐𝑒3𝑥
𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥2
−
1
2
𝑦 =
𝑐
𝑥4
+
1
9
𝑥5
𝑧 𝑥 = 1 − 5𝑒
𝑥2
2