Downloaded 11 times
Uploaded byChokchai Puatanachokchai
การคำนวณปรับแก้ระบบสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น
Least squares adjustment of nonlinear systems
การคำนวณปรับแก้ระบบสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น
- 1. วิชา การคํานวณปรับแก แผนการสอนวชาการคานวณปรบแก - แผนการสอน • มโนทัศนของการคํานวณปรับแก • การคํานวณปรับแกร บบสมการที่ไมเปนเชิงเสน• มโนทศนของการคานวณปรบแก – measurements, errors, redundancy – แบบจําลองทางคณิตศาสตรในงานสํารวจ และทําแผนที่ • การคานวณปรบแกระบบสมการทไมเปนเชงเสน – ระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสนและการหาคําตอบ – การคํานวณปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสน • การแพรของความคลาดเคลื่อน • สมการคารังวัด และ คําตอบของระบบ สมการเชิงเสน • การคํานวณปรับแก • การแพรของความคลาดเคลอน – ความนาจะเปน – วงรีความคลาดเคลื่อน • การวิเคราะหผลการคํานวณปรับแก – ตัวอยางงายๆ • การปรับแกแบบลีสทสแควร – วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการเงื่อนไข การวเคราะหผลการคานวณปรบแก • การคํานวณปรับแกในงานสํารวจและทําแผนที่ – การสํารวจทางราบ – งานระดับ – วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการคารังวัด • น้ําหนักของคารังวัด และ การคํานวณ ปรับแกคารังวัดแบบมีน้ําหนัก ป ใ ป งานระดบ – GPS – การแปลงพิกัด – การสํารวจจากภาพถาย • การคํานวณปรับแกในการแปลงพิกัด 1วิชาการคํานวณปรับแก
- 2.
- 3.
- 4.
- 5. Equation of Circles: http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/atc1/circlelesson.htm
- 6. ตองการหาจดตัดของต กา หาจุดตดข วงกลม2 วง มีจุดตัด 2 จุด
- 7. 95y2x 16yx 22 22 =++− =+ )()( 95y2x =++−)()( ระบบสมการนี้ไมใชระบบสมการเชิงเสน ไมสามารถเขียนใหอยูในรูป Ax = b ไดโดยตรงAx = b ไดโดยตรง การหาคําตอบของระบบสมการสามารถทําไดโดยทําใหสมการอยในการหาคาตอบของระบบสมการสามารถทาไดโดยทาใหสมการอยูใน รูปของสมการเชิงเสนเสียกอน แลวจึงเขียนใหอยูในรูป Ax = b
- 8.
- 9. ตัวอยาง = 24 y ..= 12414 xy = ___. =14 y x x
- 10. y y xy = y Δy yo yo x x x Δx xxo xox yyy 0 Δ+= dy axax0 Δ+= slopelinetheis, dx dy a =
- 11. ตัวอยาง ใ___.14 = กําหนดใหx0 = 4 d xy = 14y .= 0 1 x dx dy x Δ+= 414 42 1 4 ).( −+= )( 0 0 0 xx x2 1 x −+= 10 4 1 2 .+= 0252.=
- 12. ใ ใการทําสมการ2 ตัวแปร ใหเปนเชิงเสน ใชการ ประมาณคาดวยอนกรมเทเลอร (Ta lor’s Series)ประมาณคาดวยอนุกรมเทเลอร (Taylor’s Series) dfdf y dy df x dx df yxfyxf 0 xxxx 00 Δ+Δ+= = ),(),( dydx 0 0 0 0 yy xx yy xx = = = = xo,yo เปนคาประมาณของ x,y ตามลําดับ 12
- 13. 22 16yx =+ )()( xx 22 xx 22 2 o 2 o 22 y y yx x x yx yxyx oo Δ ∂ +∂ +Δ ∂ +∂ ++=+ == oo 2 o 2 o yy xx yy xx 16yy2xx2yx yx o o o o =Δ+Δ++= ∂∂ == )( 2 o 2 ooo oooo yx16yy2xx2 yyy +−=Δ+Δ )()(22 95y2x =++− ))()(()()( 2 o 2 ooo 5y2x9y5y2x2x2 ++−−=Δ++Δ−
- 14. 5295222 yx16yy2xx2 22 2 o 2 ooo +−=Δ+Δ )( 5y2x9y5y2x2x22 o 2 ooo ++−−=Δ++Δ− ))()(()()( 5y2x9 yx16 y x 5y22x2 y2x2 2 o 2 o 2 o 2 o oo oo ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++−− +− =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− ))()(( )( )()( bxA yyy oo = ⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ))()(( bAx bxA 1− = ่ ่ ่คา Δx,Δy ที่คํานวณได เปนคาแกใหกับคาประมาณเริ่มตน เพื่อหาคําตอบ x,y xxx o Δ+= จากนั้นตองทําการวนซ้ํา โดยแทนคาให x = x y = y ที่ได คา Δx Δy ที่ไดในการวนซ้ํา yyy o Δ+= จากนนตองทาการวนซา โดยแทนคาให xo = x, yo = y ทได คา Δx,Δy ทไดในการวนซา ควรมีขนาดเล็กลง จนกระทั่งเล็กกวาเกณฑที่กําหนดหรือไมมีนัยสําคัญ
- 15. ตองการหาจดตัดของต กา หาจุดตดข วงกลม2 วง มีจุดตัด 2 จุด 1 ≈ 1 ≈ 41. x ≈ -1, y ≈ -4 2. x ≈ 3, y ≈ -22. x , y 2 2 1
- 17.
- 18. ตัวอยางต ตองการหาขนาดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง า า าา ั้ สา ี่ไ า าร ั รจากความยาวของดานทงสามทไดจากการวดระยะ คารังวัด (ม.) l2 l3 l1 3.1 l 3 92 l2 3.9 l3 5.1 l1
- 19. n = 3 2 l l3 no= 2 r = 1 l2 u = no = 2 X ( ) Y ( ) l1 : X (l1),Y (l2) 3 1 c = r + u = 3 1lX ˆ ˆ= 22 2 l lY ˆ ˆ= 3 22 lYX =+
- 20. 1lX ˆ ˆ= 22 2 l lY ˆ ˆ= => Ax= L + v 3 22 lYX =+ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎤⎡⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 11 v l l X 01 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 22 v v l l Y X aa 10 ⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 3321 vlaa สมการที่ 3 ไมสามารถเขียนใหอยูในรูป a X + a Y = l +va1X + a2Y = l3+v3
- 21. จากตัว า รสมการมีสมการที่มีตัว ปรไมทราจากตวอยาง ระบบสมการมสมการทมตวแปรไมทราบ คาในรูปที่ไมเปนเชิงเสน ทําใหไมสามารถใชวิธีการู ปรับแกสําหรับระบบสมการเชิงเสนได ในการคํานวณปรับแกตองเขียนสมการทั้งหมดใหอยูใน ่ไ รูปสําหรับการปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสน
- 22. 3 22 lYX =+ ˆ 2222 3 YXdYXd lYX ++ + 3 2222 2 0 2 0lY dY YXd X dX YXd YX =Δ + +Δ + ++ ˆ 3 2 0 2 03 2222 vYXlY dY YXd X dX YXd ++−=Δ + +Δ + 3003 Y21X21 dYdX 3 2 0 2 032 0 2 0 0 2 0 2 0 0 vYXlY YX Y2 2 1 X YX X2 2 1 ++−=Δ + +Δ +
- 23. lX ˆ 2 1 lY lX ˆ= = 3 22 lYX ˆ=+ lY dX X dX XˆΔΔ 10 lY dY X dY Y lY dY dX X dX dX X ˆΔ+Δ+ =Δ+Δ+ 2222 22 10 lY YXd X YXd YX lY dY X dX Y ˆΔ + Δ + =Δ+Δ+ 3 2 0 2 0 lY dY X X dX X YX =Δ+Δ++
- 24. +−=Δ+Δ 101 YlY1X0 vXlY0X1 )()( ++Δ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ +Δ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ +−=Δ+Δ 2200 202 vYXlY Y X X vYlY1X0)()( ++−=Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + +Δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + 30032 0 2 0 0 2 0 2 0 0 vYXlY YX X YX ⎤⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎤⎡⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 101 vXl X 01 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 3 2 1 2 0 2 03 02 01 00 v v YXl Yl X Y X YX 10 ⎥⎦⎢⎣⎦⎣ + ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ++ 3003 2 0 2 0 2 0 2 0 vYXl YXYX J x = L + v
- 25. การคํานวณปรับแกระบบสมการที่ไมเปนเชิงเสน 1. เขียนสมการคารังวัด f1,f2,…,fcและ กําหนดคาประมาณเริ่มตนของตัวแปรไมทราบคา (xo) f(x x x ) = l + vf(x1, x2, … , xu) = l + v 2. ทําใหอยูในรูปสมการเชิงเสน ii i 2 i 1 i vxflX df X df X df +−=Δ++Δ+Δ )( 3. แทนคาประมาณ และ เขียนในรูปเมตริกซ ioiu u 2 2 1 1 vxflX dX X dX X dX +Δ++Δ+Δ )(K J x = L + v 4. คํานวณหาตัวไมทราบคา (คาแก) – คารังวัดมีน้ําหนักเทากัน– คารงวดมนาหนกเทากน x = (JTJ)-1JTL – คารังวัดมีน้ําหนักตางกัน x = (JTWJ)-1JTWL 5. นําคาแกไปรวมกับคาประมาณเริ่มตน และ ใชคาที่ไดเปนคาประมาณเริ่มตนในการวนซ้ําขั้นตอนที่ 3 4 จนกระทั่งคาแกไมมีนัยสําคัญ (converge) วิชาการคํานวณปรับแก 25 3-4 จนกระทงคาแกไมมนยสาคญ (converge)
- 26. J x =L + v 3. ⎥ ⎤ ⎢ ⎡Δ − LJJJ X x T1T )( J x = L + v 3. 4=⎥ ⎦ ⎢ ⎣Δ = LJJJ Y x T1T )( 4. ⎤⎡Δ⎤⎡⎤⎡ XXX 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Y X Y X Y X 0 0 5. Δ > δ yes no ⎤⎡⎤⎡ XX0 yes no post process ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Y X Y X new0 0 post process - analysis make uses
- 27. ตัวอยางต ตองการหาขนาดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง า า าา ั้ สา ี่ไ า าร ั รจากความยาวของดานทงสามทไดจากการวดระยะ คารังวัด (ม.) l2 l3 l1 3.1 l 3 92 l2 3.9 l3 5.1 l1
- 28. n = 3 2 l l3 no= 2 r = 1 l2 u = no = 2 X ( ) Y ( ) l1 : X (l1),Y (l2) 3 1 c = r + u = 3 1lX ˆ ˆ= 22 2 l lY ˆ ˆ= 3 22 lYX =+
- 29. Xo = 3 Y= 4 ++ 543YX 2222 Yo = 4 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡⎥ ⎤ ⎢ ⎡ =+=+ 0101 543YX 00 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = 43 10 01 YX 10 01 J 00 ⎤⎡⎤⎡ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ++ 10Xl 55YXYX 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = 10 10 10 YXl Yl Xl L 22 02 01 . . = ⎥⎦⎢⎣⎥ ⎦ ⎢ ⎣ +− − LJJJx 10YXl T1T 2 0 2 03 )( . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0520 1360 . .
- 30. Xo = 3.1360 Y= 3 9480Yo = 3.9480 =+=+ 0419543YX 222 0 2 0 . ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = 10 01 J ⎤⎡− ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣ 03600 7830062200 . .. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 05810 04800 03600 L . . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎦⎢⎣ 00180 00070 x 05810 . . ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− 00180.
- 31. Xo = 3.1367 Y= 3 9462Yo = 3.9462 0410543YX 2222 =+=+ 0410543YX 222 0 2 0 . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 000010 000020 x . . X = 3.1367 ม. Y = 3.9462 ม. 03670 ⎤⎡ m 05900 04620 03670 LJxv ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =−= . . . ⎦⎣
- 32. ตัวอยาง Ghil i CD W lf P R 2006 dj C i i l D l i 4th di i 201Ghilani, C.D., Wolf, P.R., 2006, Adjustment Computation : Spatial Data Analysis 4th edition, page 201. n = 3 no = 2 r = 1r = 1 u = no = 2 : x,yu no x,y c = r + u = 3
- 33. +=−+ v016yyx3x 1 22 . ++ +=− ++ v23y3yx6x2 v771y3x7 v016yyx3x 2 2 23 1 . . +=+− 502 v23y3yx6x23. ⎤⎡⎤⎡ == 50y2x oo ., ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − −+ = 384 555 y6x21 y2x3y3x2 J o 2 o oooo . ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −+− ⎥⎦⎢⎣ −−⎥⎦⎢⎣ +−− 259yyx3x016 91y6x6y62 2 ooo 2 o ooo .)(. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ +−− −−= 454 4516 y3yx6x223 y3x7771 yy L 2 oooo 2 o 3 o oooo . . )(. )(. )( ⎦⎣⎦⎣ yy oooo )(
- 37.
- 38. P j tiT f tiProjective Transformation Projective Transformation เปนสมการ แปลงพิกัดบนระนาบสองระนาบที่ไมขนานกันแปลงพกดบนระนาบสองระนาบทไมขนานกน สามารถนํามาใชประโยชนในงานแผนที่ได งานที่ใช โ โ ้ประโยชนโดยตรงจากสมการนี้ คือ การดัดแก ภาพถายเพื่อใหไดภาพในมมมองที่ตองการภาพถายเพอใหไดภาพในมุมมองทตองการ
- 39.
- 40.
- 41.
- 42. จุดควบคุมภาพถาย เปนจุดบนภาพถายที่ทราบคาุ ุุ พิกัดพื้นดิน ใชในการหาความสัมพันธทาง คณิตศาสตรระหวางพิกัดภาพถาย x y และพิกัดคณตศาสตรระหวางพกดภาพถาย x,y และพกด พื้นดิน X,Y,Z โดยการรังวัดพิกัดภาพถาย สําหรับภาพถายของพื้นดินที่เปนที่ราบ ความสัมพันธสาหรบภาพถายของพนดนทเปนทราบ ความสมพนธ ระหวางพื้นดินและภาพถาย สามารถจําลองไดโดยใช สมการ projective transformation YaXaa ++ YbXbb YcXc1 YaXaa x 21 210 ++ ++ ++ = YcXc1 YbXbb y 21 210 ++ ++ =
- 43. สมการของ projective transformationมี ิ ั้ ั ึ่ ไ พารามิเตอรทังหมด 8 ตัว ซึงสามารถหาไดจาก การรังวัดพิกัดภาพถายของจดควบคมกา ดพกดภาพถายข จุดค คุม ในการคํานวณพารามิเตอรของการแปลงนั้น จุด i ซึ่ ี ิ ั ื้ ิ X Y รั ั ซงมพกดพนดน Xi,Yi จะถูกรงวดบนภาพถาย เพื่อใหไดพิกัดภาพถาย xi,yi แลวจึงนํามาเขียนใหi,yi อยูในรูปสมการแปลงพิกัดแบบ projective t sf ti โดยมีพารามิเตอรเปนตัวไมtransformation โดยมพารามเตอรเปนตวไม ทราบคาไดดังนี้ YaXaa ++ i2i10 i2i1 i2i10 i YbXbb YcXc1 YaXaa x ++ ++ ++ = i2i1 i2i10 i YcXc1 YbXbb y ++ ++ =
- 44. พิกัดพื้นดินและพิกัดภาพถายของจุดควบคุม 1 จุดุุ ุ สามารถนํามาเขียนไดเปนสมการได 2 สมการ ถา ตองการคํานวณหาคาพารามิเตอรซึ่งมี 8 ตัว จะตองมีตองการคานวณหาคาพารามเตอรซงม 8 ตว จะตองม จุดควบคุมอยางนอย 4 จุด ในทางปฏิบัติใชจุดมากกวา 4 จุด แลวทําการคํานวณปรับแกดวยวิธีลีสทสแควร สมการ projective transformation เปนสมการที่ไม ป ใ ป ั ึ ใ ใ ปเปนเชิงเสน ในการปรับแกจึงตองทําใหอยูในรูปสมการเชิง เสนเสียกอนเสนเสยกอน
- 45. คาประมาณเริ่มตนสามารถหาไดโดยการจัดรปสมการณ ต ถก ู ก ใหม เพื่อขจัดรูปของเศษสวนออก ดังนี้ YXYX YcXc1 YaXaa x 21 210 ++ ++ = YxcXxcYaXaax YaXaaYxcXxcx 21210 21021 −−++= ++=++ YcXc1 YbXbb y 210 ++ ++ = YycXycYbXbby YbXbbYycXycy YcXc1 21021 21 −−++= ++=++ ++ YycXycYbXbby 21210 ++= เมื่อไดคาประมาณเริ่มตนแลว จึงทําการคํานวณปรับแก ดวยสมการเดิมแบบวนซ้ํา เพื่อหาคาแกใหกับคาประมาณ
- 47. 1. (จาก Ghilani,C.D., Wolf, P.R., 2006, page 189.)
- 48. 2 (จาก Mikhil d G i E l 4 9 4)2. (จาก Mikhail and Gracie, Example 4-9, page 84) จุด A และ B อยูหางกัน 100.000 ม. ตองการหาระยะระหวางจุด B C ส ั้ ั ส AB รั ั รป ไป ี้และ C ตามแนวเสนตงฉากกบเสน AB จากคารงวดและรูปตอไปน คารังวัด S.D.คารงวด S.D. l1 131.200 m 0.005 m l 40° 20' 00" 21"l2 40 20 00 21 วิชาการคํานวณปรับแก้ 48
- 49. 3 (จาก Mikhil d G i P bl 4 9 04)3. (จาก Mikhail and Gracie, Problem 4-9, page 104) ตองการหาคาพิกัด x,y จากคารังวัดซึ่งไมมีสหสัมพันธ ตามตารางและ รป ไป ี้รูปตอไปน คารังวัด s 352.140 ms b 236.765 m θ 42° 15' 20"θ 42 15 20 วิชาการคํานวณปรับแก้ 49
- 50. หนังสืออางอิงและอานประกอบหนงสออางองและอานประกอบ Ghil i CD W lf P R 2006 Adj t t C t tiGhilani, C.D., Wolf, P.R., 2006, Adjustment Computation : Spatial Data Analysis 4th edition – section 11.10 Least Squares Solution Of Nonlinear Systems John Wiley &Squares Solution Of Nonlinear Systems, John Wiley & Sons, Inc. Mikhail, E.M., Gracie, G, 1981, Analysis and Adjustment of Survey Adjustments – Chapter 4 Least Squares Adj t t V N t d R i h ld CAdjustment, Van Nostrand Reinhold Co.