Download as PDF, PPTX
![⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1415
12.15
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎦⎣
1
1
14.15
y
[ ] ⎥
⎤
⎢
⎡
=
⎥
⎦
⎢
⎣
1
14.1512.15
1
1
αu [ ]
=
⎥
⎦
⎢
⎣+ 22
2630
1
1
14.1512.15
11
α
=
1
26.30
2
yp α
⎥
⎤
⎢
⎡11
2630
1
y
y
p α
⎤⎡⎤⎡
⎥
⎦
⎢
⎣
=
ˆ1
12
26.30
2
l
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
ˆ1
1
13.15
l
l](https://image.slidesharecdn.com/xzk2xpyjrjwxtss5kwhc-signature-419e9e50dabfb46b886f468460fd859b16c072a948527abc13ffb3fc2d3b2f19-poli-150514141405-lva1-app6891/85/slide-11-320.jpg)
Uploaded byChokchai Puatanachokchai
การคำนวณปรับแก้ด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด
การคำนวณปรับแก้ด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด
การคำนวณปรับแก้ด้วยวิธีกำลังสองน้อยที่สุด
- 1. วิชา การคํานวณปรับแก แผนการสอนวชาการคานวณปรบแก - แผนการสอน • มโนทัศนของการคํานวณปรับแก • น้ําหนักของคารังวัด แล การคํานวณปรับแกคา• มโนทศนของการคานวณปรบแก – measurements, errors, redundancy – แบบจําลองทางคณิตศาสตรในงานสํารวจและทํา แผนที่ ั ั ํ • นาหนกของคารงวด และ การคานวณปรบแกคา รังวัดแบบมีน้ําหนัก • การคํานวณปรับแกปญหาที่ไมเปนระบบสมการ เชิงเสน • สมการคารังวัด และ คําตอบของระบบสมการ เชิงเสน • การคํานวณปรับแก – ตัวอยางงายๆ – Linearization of non-linear equations – Numerical differentiation • การแพรของความคลาดเคลื่อน ความนาจะเปนตวอยางงายๆ • การปรับแกแบบลีสทสแควร – วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการเงื่อนไข – วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการคารังวัด – ความนาจะเปน – วงรีความคลาดเคลื่อน • การวิเคราะหผลการคํานวณปรับแก • การคํานวณปรับแกในงานสํารวจและทําแผนที่ • Derivation – วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการเงื่อนไข – วิธีการคํานวณปรับแกดวยสมการคารังวัด – การสํารวจทางราบ – งานระดับ – GPS – การแปลงพิกัดการแปลงพกด – การสํารวจจากภาพถาย 1วิชาการคํานวณปรับแก
- 2.
- 3.
- 4. “Overdetermined Systems” ในงานสํารวจ เมื่อn > noo c > u
- 5. ั ตวอยาง 1 ในการหาระยะทางระหวางจุด2 จุด โดยการรังวัดโดยตรง จํานวน 2 ครั้ง ไดคารังวัด ดังนี้ 1 12 มl1 = 15.12 ม. l2 = 15.14 ม. ถา x แทนตัวแปรไมทราบคา ใหเขียนสมการคารังวัดของปญหานี้ 5วิชาการคํานวณปรับแก
- 6. x 2 l l2l l x n = 2 : l1,l2 n = 1 n = 2 : l1,l2 n = 1no = 1 u = 1 : x no = 1 u = 1 : xu = 1 : x c = 2 u = 1 : x c = 2 r = n- no = c-u =1r = n- no = c-u =1
- 7. xx 21 ˆ,ˆ llให เปนคารังวัดหลังการปรับแก ˆvllx +== 111 ˆ vllx vllx +== +== 222 vllx +== ˆˆ ll = 21 ll =
- 8. วิชาการคํานวณปรับแก 8 Mikhail, E.M.,Gracie, G, 1981, Analysis and Adjustment of Survey Adjustments, Fig. 3-3, page 39
- 9. Scalar and VectorProjectionj of x onto y yxT u y yx α = y y up 1 αα == yu – unit vector
- 10. m1215l x m14.15 m12.15 2 1 = = l l l x 11 vlx +=112.15 vx += แทนคา 22 vlx += 214.15 vx += ท ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 112.151 v ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 14.151 v x
- 11. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1415 12.15 x ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎦⎣ 1 1 14.15 y [ ] ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 1 14.1512.15 1 1 αu[ ] = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣+ 22 2630 1 1 14.1512.15 11 α = 1 26.30 2 yp α ⎥ ⎤ ⎢ ⎡11 2630 1 y y p α ⎤⎡⎤⎡ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ = ˆ1 12 26.30 2 l ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 ˆ1 1 13.15 l l
- 12. u ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1415 12.15 13.15 1 1 1 v v ⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 14.1512v ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 01.0 01.0 2 1 v v ⎦⎣⎦⎣ 01.02v
- 13. Fundamental principle of LeastSquares The sum of the squares of the residuals is minimized i i++++Σ 22222 vvvvvφ minimum=++++=Σ= 321 ... nvvvvvφ Residuals and the sum of squared residuals I II IIII II III … v1 0 0.01 0.015 v2 -0.02 -0.01 -0.005 φ=Σv 2 0 0004 0 0002 0 00025φ=Σvi 2 0.0004 0.0002 0.00025 x 15.12 15.13 15.135 13วิชาการคํานวณปรับแก minimum2 2 2 1 →+ vv
- 14. สมการคารังวัด จํานวนตัวแปรไมทราบคา มากกวา จํานวนสมการ ป ื่ ไ ่ 1 1415 12.15 vx vx + += สมการคารงวด จําเปนตองกําหนดเงือนไขเพิมเติม ในงานสํารวจนิยมใชเงื่อนไขของวิธีกําลังสองนอยที่สุด 214.15 vx += ุ (Least Squares) คาเปนไปไดมากที่สุด xll ,ˆ,ˆ 21 111 ˆ ˆ ll vll += 222 vll +=
- 15. ใ ป เทคนิคในการปรับแกดวย ิ ี ํ ั ี่วิธีกําลังสองนอยทีสุด
- 16. minimum2 2 2 1 →+ vv 1 12.151−= xv 14.152 −= xv u minimum)14.15()12.15( 222 2 2 1 →−+−=+= xxvvφ 0)14.15)(1(2)12.15)(1(2 =−+−= xx d dφ ))(())(( dx 052.604 =−x 12151315 −=v 4 52.60 052.604 =x x 14151315 m01.0 12.1513.151 −= = −= v v m13.15 4 = m001.0 14.1513.152 −= −=v
- 17. minimum2 2 2 1 →+ vv 2 14.1512.1521 +=+ vv minimum)020( 02.0 22 12 21 →+ −= vv vv φ u minimum)02.0( 11 =→−+= vvφ 0)02.0)(1(22 11 1 =−+= vv dv dφ 04.0 004.04 1 1 = =− v v 020010 m01.0 4 1 = v v x = l +v =l +v m01.0 02.001.02 −= −=v x = l1+v1=l2+v2 =15.13 m
- 18. ตัวอยาง 2ตวอยาง 2 -x1+ 4x2 = 6 X1 + 2x2 = 6 X 2 1X1 = 2.1 วิชาการคํานวณปรับแก 18
- 19. ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡− 641 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 12 6 0 2 1 121 xx l v ⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 1.201 l k 11cx v22cx v 1c v2c v 1 j i
- 20. ใ ป ั ั ซึ่ ี ื่ใหคาทางขวาของสมการเปนคารังวัด ซึงมีความคลาดเคลือน รูปของสมการคารังวัดสําหรับการคํานวณปรับแก : -x1 + 4x2 = 6 + v11 2 1 x1 + 2x2 = 6 + v2 2 1x1 = 2.1 + v3 ซึ่ ี ั ป ไ ั้ ั ป ซึงมีตัวแปรไมทราบคาทังหมด 5 ตัว ประกอบดวย x1,x2 เรียกวา พารามิเตอรx1,x2 ก ต v1,v2,v3 เรียกวา คาเศษเหลือ (residuals) ของคารังวัด
- 21. ั ป ปั หากจัดเปนรูปคอลัมน : ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡− 1641 v ⎥ ⎥ ⎢ ⎢+⎥ ⎥ ⎢ ⎢=⎥ ⎥ ⎢ ⎢+⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 221 621 vxx ⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣⎥ ⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣ 31.201 v
- 22.
- 23. St i htli fittiStraight line fitting ตองการหา พารามิเตอร a,b ของ ส ตรง โดยใชของเสนตรง โดยใช คาพิกัดของจุดบน ่ ุ เสน ที่คา x ของจุด เปนคาคงที่ และคา yเปนคาคงท และคา y ของจุดไดจากการ รังวัด
- 24. หาพารามิเตอร a,bของเสนตรง โดยใชคาพิกัดของจุดบนเสน,ุ ที่คา x ของจุดเปนคาคงที่ และคา y ของจุดไดจากการรังวัด X YX Y 1 1.9 2 3.0 3 3 83 3.8 24วิชาการคํานวณปรับแก
- 25. หนังสืออางอิงและอานประกอบหนงสออางองและอานประกอบ L S J1998 Li Al b ith A li ti 5thLeon, S.J., 1998, Linear Algebra with Applications 5th edition – Chapter 5 Orthogonality, Prentice Hall, Inc. Mikhail, E.M., Gracie, G, 1981, Analysis and Adjustment of Survey Adjustments – Chapter 3 The Concept ofy j p p Adjustment, Van Nostrand Reinhold Co.
- 27. ตองการทราบระยะ AD จากคารังวัดตามรปตองการทราบระยะAD จากคารงวดตามรูป โดยใชวิธีกําลังสองนอยที่สุด ป ั ั ั1. ปรับแกจากสมการคารังวัด 2. ปรับแกจากสมการเงื่อนไข l 200 000 2. กจากสมกา น ข l3 = 200.040 m l4 = 200.000 m l1 = 100.000 m l2 = 100.080 m A B C D