เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกร

1. เรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตนเรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตนเรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตนเรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตนเรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตนเรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตนเรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตนเรขาคณิตวิเคราัหเบื้องตน
((((((((IIIIIIIInnnnnnnnttttttttrrrrrrrroooooooodddddddduuuuuuuuccccccccttttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnn ttttttttoooooooo AAAAAAAAnnnnnnnnaaaaaaaallllllllyyyyyyyyttttttttiiiiiiiicccccccc GGGGGGGGeeeeeeeeoooooooommmmmmmmeeeeeeeettttttttrrrrrrrryyyyyyyy))))))))
F
ก
““““ F F”””” F 6
F
F F F F . . 2537
www.thai-mathpaper.net

3. ก 1
ก F F 6 ˈ ก F F ʿก F F
F 1 ก F F F ก
ˈ Fก F F F F กก F
F
26 ก . . 2550
ก 2
ก 2 F F กF 2 3 F F F
F F ʿก F F F F F ก F ก
F F ก ˈ Fก F F F ก F F F ก
F ก F F F F F F F
F
7 ก F . . 2554

5. F F ˈ F F 6 15 F F
F F F F . ก F F F
F F ก
F ก ก F F F F ก ก F F F กF
ก ก ก ก ก ก ก ก F F ก
ก F F 2 ก ก ก F
2 ˈ ก ก F F กF F ก ก F
F ก ก F ก F F F F
F ˈ ก ก ก F กF ก F
ก ก Fก ก ก F F F ก
ก
ˈ F F F F F F กF ก F F F กก
F ก F F F F ก ก F F F F F F F
F
16 ก . . 2549

7. 1 ก F 1 8
1.1 ก ก 1
1.2 ก 3
1.3 ก ก 5
1.4 ก ก ก 7
2 F 9 25
2.1 F 9
2.2 ก ก F 11
2.3 F ก ก 14
2.4 F ก F 21
2.5 F F ก 23
3 ก 27 49
3.1 27
3.2 ก 28
3.3 29
3.4 32
3.5 F 34
3.6 ก ก 37
3.7 Fก 42
3.8 ก ก 45
3.9 ก ก 48
ก 51

9. 1
ก F
1.1 ก ก (Rectangular Coordinate System)
F ก ก 2 F
1.1 ก ก 2
ก 1.1 F ก ก 2 ก F F 2 F ก ˈ ก F
ก (0, 0) ก ก F ก X F ก ก F ก Y ก F ก
F ก ก ก F F (x ,y) x ก F ก F
F ก x ก X ก x < 0 ก F ก F F ก |x| F y ก F
ก ก F y F ก y ก Y ก y < 0
ก F ก F F ก |y|
ก ก F ก 1.1 F ก F F 2 F ก ˈ ก (0, 0) F F ก
ก ก 4 F ก F
1) 1 F 1 (Q1) F (x, y) x, y > 0
2) 2 F 2 (Q2) F (x, y) x < 0 y > 0
3) 3 F 3 (Q3) F (x, y) x, y < 0
4) 4 F 4 (Q4) F (x, y) x > 0 y < 0

10. 2 F F
ก ก ˈ F ก F ก F F ก ก กก F ก F
F F กF ˆ F F F ก F ก F F F
ʿก 1.1
กก ก F F F (1, 2), (3, 1), ( 2, 3), ( 2, 5) F F F F F

11. F F 3
1.2 ก (Polar Coordinate System)
ก ก
1.2 ก
ก 1.2 F F ก ก F ก F F P(r, θ)
ก F O(0, 0) OP F F ก r θ F ก X ก F F OP
ก F ก F F ก ก F ก F
ก F ก ก 2 F ก ก F
ก ก F ก ก ก ก ก F ก F F
ก ก
1.3 P(x, y) ก ก ก ก
1.2 ก 1.3 F F r = 2 2
x + y x = r cos θ, y = r sin θ ก
F ก F F tan θ = y
x

12. 4 F F
F 1.1 ก F P(1, 1) ˈ ก ก ก P ก
ก x = 1, y = 1 F F r = 2 2
1 + 1 = 2
tan θ = y
x = 1
1 = tan 4
π F F θ = 4
π
ก P ก P(r, θ) = P( 2 , 4
π )
F 1.2 ก F P(5, arctan 4
3 ) ˈ ก ก P ก ก
ก P(5, arctan 4
3 ) F F θ = arctan 4
3 ==> tan θ = 4
3 = y
x y = 4
3 x -----(1.2.1)
ก r = 2 2
x + y F r = 5 F 5 = 2 2
x + y
กก F F x2
+ y2
= 25 -----(1.2.2)
กF ก (1.2.1) (1.2.2) F x = 3, y = 4 ( F tan θ > 0)
ก P ก ก P(3, 4)
ʿก 1.2
1. ก F A(5, 12) ˈ ก ก ก A F ก
2. ก F P(1, 4
π ) ˈ ก F P ก F ˈ F ก
ก ก
3. ก F x2
2xy + y2
= 4 ˈ ก ก ก ก ก ก
ก F ก

13. F F 5
1.3 ก ก (Spherical Coordinate System)
F F F ก ก ก 3
(3 dimensional space) F กF ก ก ก ก ก F F
ก ก ก ก กF F
1.4 ก ก ก ก ก
ก 1.4 F F ก F ก ก ก ก 3 F
F (parameter) ก 1 φ ก F P ก ก X
ก P ก ก F ˈ P(r, φ, θ)
1.5 ก ก ก ก
ก ก
ก ก ก F ก ก ก F ก ก ก ก
F ก ก ( 3 F ) ˈ ก F

14. 6 F F
x = r sin φcos θ
y = r sin φsin θ
z = r cos φ
r = 2 2 2
x + y + z , tan θ =
y
x , cos φ = 2 2 2
z
x + y + z
F 1.3 ก F P(3, 4, 5) ˈ ก 3 ก P ก ก
r = 2 2 2
x + y + z = 2 2 2
3 + 4 + 5 = 5 2
tan θ = y
x = 4
3 ==> θ = arctan 4
3
cos φ = 5
5 2
= 1
2
==> φ = arccos 1
2
= 4
π
ก P(3, 4, 5) ก ก P(5 2 , 4
π , arctan 4
3 )
F 1.4 ก F P(3, 3
π , π) ˈ ก ก ก P ก ก
ก F P(3, 3
π , π)
F F r = 3, φ = 3
π , θ = π
x = 3 sin 3
π cos π = 3 3
2 ,
y = 3 sin 3
π sin π = 0,
z = 3 cos 3
π = 3
2
ก P ก ก P( 3 3
2 , 0, 3
2 )
ʿก 1.3
1. ก ก ก ก F F ก ก
1) (4, 4, 4 6 )
2) ( 1, 1, 1)
2. ก ก ก ก F F ก ก
1) (16, 2
3
π , 6
π )
2) (14, 3
π , 2
π )

15. F F 7
1.4 ก ก ก (Cylindrical Coordinate System)
ก 3 3 ก F กF ก ก ก
ก F
1.6 ก ก ก
ก ก ก ก F P(r, θ, z) ก ก ก ก F ก
ก ก F F ก ก ก ก ก ก ก ก ก ก
F ก ก F F
ก ก
ก ก ก F ก ก ก F ก
F
x = r cos θ, y = r sin θ, z = z
tan θ = y
x r = 2 2
x + y
F 1.5 ก F P(1, 1, 1) ˈ ก ก ก P ก ก ก
ก tan θ = y
x = 1
1 = 1 ==> θ = arctan 1 = 4
π
r = 2 2
x + y = 2 2
1 + 1 = 2
ก P(1, 1, 1) ก ก ก P( 2 , 4
π , 1)

16. 8 F F
F 1.6 ก F P(12, 7
4
π , 2) ˈ ก ก ก ก P ก
ก
ก x = r cos θ F x = 12 cos 7
4
π = 12( 2
2 ) = 6 2
ก y = r sin θ F y = 12 sin 7
4
π = 12( 2
2 ) = 6 2
ก P ก ก P(6 2 , 6 2 , 2)
ʿก 1.4
1. ก ก ก ก F F ก ก ก
1) ( 2 3 , 2, 5)
2) (3, 3, 2)
2. ก ก ก ก ก F F ก ก
1) (16, 6
π , 11)
2) (2, 4
π , 7)

17. 2
F
F (Analytic Geometry) ˈ F F
ก ก ˆ Fก F F (Rene Descartes) ʽ F F F (Pierre De Fermat)
ˈ F ก F F ก ˈ F ก ก F
2.1 F
F
2.1 F F AB
ก 2.1 ก F A(x1, y1), B(x2, y2) ˈ F F AB F AB
F
ก F ก A F ก ก X ก ก F ก B F ก ก Y
F F F ก F ˈ C(x2, y1) F F ABC ˈ
ก
ʾ ก F |AB|2
= |AC|2
+ |CB|2
-----(2.1.1)
AC F ˈ F F ก ก X F F
|AC| = |x2 x1| ( F F F ) ก CB ˈ F
F ก ก Y F F |CB| = |y2 y1|
F |AC| |CB| ก (2.1.1) F F |AB|2
= (x2 x1)2
+ (y2 y1)2
|AB| = 2 2
2 1 2 1(x - x ) + (y - y ) -----(2.1.2)

18. 10 F F
ก F F ก (2.1.2) F A, B ก AB
F 2.1 ก F A(1, 3), B(2, 1) |AB|
ก 2.1 |AB| = 2 2
2 1 2 1(x - x ) + (y - y )
F x1 = 1, x2 = 2, y1 = 3, y2 = 1 ก F F F F
|AB| = 2 2
(2 - 1) + (-1 - 3) = 2 2
1 + (-4) = 17
AB F F ก 17 F
F 2.2 ก F C(1, 3) ˈ Fก ก A( 2, 1) ˈ
ก ก
ก ก ก Fก ก ก
F r ก F F
r = |AC| = 2 2
(1 - (-2)) + (3 - (-1)) = 2 2
3 + 4 = 5
ก F ก 5 F
ʿก 2.1
1. A(3, 0), B(7, 0) C(8, 4) ˈ
2. F A( 4, 0), B(4, 0) C(0, 3) ˈ F
3. F A( 1, 3), B(3, 11) C(5, 15) F F ก ก F
|AB| + |BC| = |AC|
2.1
ก F A(x1, y1) B(x2, y2) ˈ XY F |AB| ˈ F A
ก B F F
|AB| = 2 2
2 1 2 1(x - x ) + (y - y )

19. F F 11
2.2 ก ก F
F
2.2 ก ก ก x - coordinate
ก 2.2 ก F AB ˈ F F A(x1, y1) B(x2, y2) ก F
ก ก A, B F ก X F ก D, F D(x1, 0) F(x2, 0)
F D, F ˈ ก X F ก F ก ก C ก X E F
x coordinate F ก 1 2x + x
2 F y coordinate ก 2.3 F
2.3 ก ก ก y coordinate
ก 2.3 ก F ก ก B ก Y D(0, y2) ก ก F ก ก
A ก Y E(0, y1) F F D ก E F ก Y F ˈ ก ก F
D ก E F y coordinate F ก 1 2y + y
2

20. 12 F F
ก F F F F F ก ก F A, B F F
F AB ก ( 1 2x + x
2 , 1 2y + y
2 )
F 2.3 ก F A( 2, 4), B(1, 5) ˈ ก ก F
O(0, 0) ก ก ก F F AB
ก F ก F F
F F F ก |CO| FกF F |CO| F ก
C F F กF F ก Fก F C ˈ ก ก AB F
2.2 F
ก C ( 1 2x + x
2 , 1 2y + y
2 ) = ( (-2) + 1
2 , 4 + 5
2 ) = ( 1
2 , 9
2 )
2.1 F F
| CO | = 2 291
2 2(0 - (- )) + (0 - )
= ( ) ( )22 91
2 2+ -
= 811
4 4+ = 82
4 = 82
2 F
2.2
ก F A(x1, y1), B(x2, y2) ˈ F F AB C ˈ ก ก F A, B F
F F AB F ก C ( 1 2x + x
2 , 1 2y + y
2 )

21. F F 13
ʿก 2.2
1. ก F A, B ˈ ก ก A ก F ก (x1, y1) B ก F
ก (x2, y2) F C ˈ ก ก AB F F
|AC| = |CB| = 2 21
1 2 1 22 (x - x ) + (y - y )
2. ก F A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) ˈ ABC
F F ABC ก F ก ก ˈ
( 1 2 3x + x + x
3 , 1 2 3y + y + y
3 ) F F ˈ F F F F ˈ F ก F F

22. 14 F F
2.3 F ก ก
2.3.1 ก F
F
2.4 ก ก F F 2 ก F
ก 2.4 ก F A(x1, y1) B(x2, y2) ˈ ก ก ก F F
F ก ก X ก F F ก ก Y F F F ก C ก ˈ
ก ACB
F F θ ˈ F AB ก AC ( ก F AB ก ก X ก )
ก F ก F F
m = tan θ = BC
AC = 2 1
2 1
y - y
x - x ----- (2.3.1)
ก m F (slope) F AB
F ก F AC F A(x1, y1) F ก m
F A1(x, y) ˈ ก ก x ≠ x1 F A1 ก F F F AC
ก F F F A1 A F ก m
ก ก (2.3.1) F F m = 1
1
y - y
x - x -----(2.3.2)
ก (2.3.2) F F y y1 = m(x x1) -----(2.3.3)

23. F F 15
ก (2.3.3) ˈ ก F F F ก F F
ก
F ก (2.3.3) ก F
1) F A ก F F x1 = y1 = 0 y = mx
2) F A ˈ ก X F F y1 = 0 y = m(x x1)
3) F A ˈ ก Y F F x1 = 0 y y1 = mx
ก ก y y1 = m(x x1) F ก m F ก F F y y1 = mx mx1 F
ก F ก F y1 F y = mx mx1 + y1 -----(2.3.4)
ก m, x1 y1 F ก ˈ F F c = mx1 + y1 F c ก (2.3.4)
F y = mx + c -----(2.3.5)
ก F F ก (2.3.5) ˈ ก F (standard form)
ʿก 2.3 ก
1. F F A, B F 2.1 F 2.3
2. ก F 1. ก F F A, B
3. F F F AB F A ก (0, 5) F ก 1
4 F ก F F
F AB 5 ( ก ก A)
4. F A( 1, 3), B(3, 11) C(5, 15) F F ก
2.3
ก F A(x1, y1) ˈ ก ก m ˈ F F A F
ก F F A ก F ก y y1 = m(x x1)

24. 16 F F
2.3.2 ก F
ก F F F ก F y = mx + c F ก F
ก F ก F y F F mx + c y = 0 ก mx y + c = 0
F F A = m, B = 1 C = c ก F F Ax + By + C = 0 ------(2.3.6)
ก (2.3.6) ก F ก F (general form of linear equation)
ก ก F A = m B = 1 F F A
B = m
-1 = m 1 F F
m = A
B ก F
F 2.4 ก F A(1, 6) ˈ F F F ก 2
3 ก F
ก ก F ก F กก ก F กF
ก ก กก F
ก y y1 = m(x x1) F x1 = 1, y1 = 6 m = 2
3 ก
F F y 6 = 2
3 (x 1)
ก F 3
2 ก F 3
2 (y 6) = x 1
x 3
2 y + 8 = 0 F ก F 2
F ก F 2x 3y + 16 = 0
ʿก 2.3
1. ก F A( 1, 4), B(2, 2) ˈ ก ก ก F AB
2.1
ก F ก F Ax + By + C = 0 A, B, C ˈ
B ≠ 0 m = A
B F ก F

25. F F 17
2.3.3 ก F ก
ก ก F Ax + By + C = 0 ก F ก ก F ก
F C F F Ax + By = C C F ก F F ( )A
C- x + ( )B
C- y = 1
ก ก F ( )-C
A
x + ( )-C
B
y
= 1
F F a = C
A , b = C
B ก F ˈ x
a + y
b = 1 -----(2.3.7)
ก (2.3.7) ก F ก F ก (intercept form of linear equation)
F ก ก ก F Ax + By + C = 0 F F ก ก X F y = 0
Ax + C = 0 กF ก F x = C
A ก F F ก ก Y
ก F x = 0 F By + C = 0 กF ก F y = C
B ˈ F ก ก F
F x
a + y
b = 1 F ก F ก
F 2.5 ก F 2x + y 2 = 0 ˈ ก F ก ก ก X
ก Y F ก F ก F
ก ก Fก F F ก F
F F ก X = (-2)
2 = 1 ก Y = (-2)
1 = 2
ก F ก x
1 + y
2 = 1
F 2.6 ก F A(0, 1), B(3, 4) ˈ ก ก ก X ก
Y F AB F ก F AB F
ก Fก F 2 F A, B
F F ก m = 2 1
2 1
y - y
x - x = (-4) - 1
3 - 0 = 5
3
ก A(0, 1) F ก F ก y y1 = m(x x1)
F m = 5
3 , x1 = 0, y1 = 1 F y 1 = 5
3 (x 0)
ก F F 5x + 3y 3 = 0
2.2
ก F ก ก F x
a + y
b = 1
a, b ก X ก ก Y a = C
A , b = C
B

26. 18 F F
ก F AB 5x + 3y 3 = 0
ก ก 5x + 3y 3 = 0
F ก ก Y F x = 0 F 3y 3 = 0 y = 1
ก X F y = 0 F 5x 3 = 0 x = 3
5
ก X F ก 3
5 ก Y F ก 1
F ก F AB ก 5
3 x + y = 1
ʿก 2.3
1. F ก X ก Y F F 2.6
2. ก X ก Y F F A(1, 8
3 ) ก B( 2, 2
3 )
3. ก F A(2, 1), B( 1, 4) ˈ F AB ʽ F F ก X, ก Y
F AB
4. ก F L1 ˈ F ก ก ก F ก Ax + By + C = 0 A, B, C
ˈ A ≠ 0 F ก X ก Y F ก F ก
2 F F F ก F F F ก ก ก ( ก ก )
2.3.4 F F F
F ก ก F F F ก ก
F F F ก ก F F 2 F

27. F F 19
F
2.5 F AB ก F AC A F ก
ก 2.5 F F AB ก F AC A F ก ก ก X F ก θ1
θ2 F F AB ก F AC F F ก θ1 θ2 ก
θ1 , θ2 F F
ก ก ก F F 2.3.1 F m1 = tan θ1 m2 = tan θ2
ก F F θ1 θ2 F m1 ก m2 F F F ก
tan (θ1 θ2) = 1 2
1 2
tan - tan
1 + tan tan
θ θ
θ ⋅ θ
F m1 = tan θ1, m2 = tan θ2 F tan (θ1 θ2) = 1 2
1 2
m - m
1 + m m
ก 2.4 F F ก
ก F ก ก F ก F tan 2
π F F F F ก 2.1
F F 1 2
1 2
m - m
1 + m m F F F ก F F F 1 + m1⋅m2 = 0 F F F
2.4
ก F ℓ1, ℓ2 ˈ F ก ก F ก m1, m2 ก ก X F ก
θ1, θ2 F F F tan (θ1 θ2) = 1 2
1 2
m - m
1 + m m

28. 20 F F
m1⋅m2 = 1
F F F ℓ1, ℓ2 F F ก 1 F F F
F ℓ1, ℓ2 กก
F 2.7 F F 4x ky = 6 F 6x + 3y + 2 = 0 กก F k
ก F ℓ1, ℓ2 F 4x ky = 6 F 6x + 3y + 2 = 0
ก ℓ1, ℓ2 กก F 1
mℓ ⋅ 2
mℓ = 1
ก 1
mℓ = k
4
− = k
4 2
mℓ = 3
6 = 1
2
F F ( k
4 )( 1
2 ) = 1 k = 8
ʿก 2.3
1. ก F ก F F F A(1, 4) B(7, 2)
2. ก F F (1, 6) ก F x + 2y 6 = 0
3. ก F ℓ1: 2x + y 6 = 0 ℓ2: x 2y + 1 = 0 ˈ F 2 F ก ก
F ℓ1, ℓ2 กก
4. ก F ℓ1: Ax + By + 2 = 0 ℓ2: 2Ax By + 1 = 0 ˈ F 2 F ก ก
A, B ˈ A ≠ 0 F F ℓ1, ℓ2 กก F
F ( )2A
B = 1
2
5. F F ก ก F F ก ก Y F F
F
6. F F ก ก F F ก ก X F F F
F F F ก 0
2.5
ก F ℓ1, ℓ2 ˈ F ก ก F ก m1, m2 F F F
F ℓ1, ℓ2 กก ก F m1⋅m2 = 1

29. F F 21
2.4 F ก F
F F F ก ก F F
ก F F ก ก F F ก ก ก
F
2.6 F L ก P ก ก
ก 2.6 ก F ก F กก F L S = Ai +Bj i , j ก F F
ก X ก Y F R = PQ = 1(x - x )i + 1(y - y )j ˈ ก F ก P
Q F F Ax + By + C = 0
กก ก F ก F R S (proj RS ) F F |d| =
R S
S
⋅
-----(2.4.1)
ก (2.4.1)
ก R⋅S = (Ai +Bj ) ⋅ [ 1(x - x )i + 1(y - y )j ]
= A(x x1) + B(y y1)
= Ax Ax1 + By By1
= (Ax1 + By1) + (Ax + By )
F F Ax + By + C = 0 Ax + By = C

30. 22 F F
F F R⋅S = (Ax1 + By1 + C) |S | = 2 2
A + B
F R⋅S |S | ก (2.4.1) F F |d| = 1 1
2 2
-(Ax + By + C)
A + B
= 1 1
2 2
Ax + By + C
A + B
( F F F x F F |x| = | x|)
ก F F ˈ F
F 2.8 ก F ℓ ˈ F ก ก ℓ ก 3x 4y + 2 = 0
F P(2, 3) ก F ℓ
ก 2.6 F F d = 1 1
2 2
Ax + By + C
A + B
F A = 3, B = 4, C = 4, x1 = 2, y1 = 3 ก F F
d = 2 2
(3)(2) + (-4)(-3) + 2
3 + (-4)
= 20
5 = 4
F F F P ก F ℓ F F ก 4 F
F 2.9 ก C Fก C(4, 1) F F F F ก ก ˈ
4x 3y + 12 = 0 ก C ก F
ก F ก ก F F ก กก
ก F Fก ก C(h, k) ก F
ก ก
ก ก d = 1 1
2 2
Ax + By + C
A + B
F A = 4, B = 3, C = 12, x1 = 4, y1 = 1 F F
d = 2 2
(4)(4) + (-3)(1) + 12
4 + (-3)
= 25
5 = 5
ก F F ก 5 F
2.6
ก F Ax + By + C = 0 ˈ ก F ก ก P(x1, y1) ˈ
ก ก F F P ก F Ax + By + C = 0 ก F d (distance) ˈ ก
d = 1 1
2 2
Ax + By + C
A + B

31. F F 23
ʿก 2.4
1. ก F A, B, C ˈ ABC F BC ˈ F F F BC
F (4, 3) (7, 5) A ก (5, 7) ABC ก F
2. ก F ℓ: 4x + 3y 1 = 0 ˈ F P(x0, y0) ˈ ก ก ก P
F F ก F ℓ ก F ˈ F ก 2 F
3. ( F F . . 2548) F A(a, b) ˈ F F 2x + y = 1 a ≠ 0
F F F 3x + 4y + 1 = 0 ก A F ก 1 F a + b F F ก F
2.5 F F ก
F F F ก ก F ก กก F F
ก F F F F F F ก F F ก F ก F
F F ก F F F
2.7 F L1 ก F L2 L1 //////// L2

32. 24 F F
ก F AB ˈ F F F F ℓ1 ก F ℓ2 F F |AB| = d
F P(x, y) ˈ ก ก AB
ก F d1 = |PB| d2 = |AP| F F d1 d2 = 0 -----(2.5.1)
ก d1 = 1 1 1
2 2
Ax + By + C
A + B
d2 = 1 1 2
2 2
Ax + By + C
A + B
F F d1 d2 = 1 1 1
2 2
Ax + By + C
A + B
1 1 2
2 2
Ax + By + C
A + B
= 1 1 1 1 1 2
2 2
Ax + By + C - Ax + By + C
A + B
ก F ก (Backward Triangle s Inequality) F F
1 1 1 1 1 2
2 2
Ax + By + C - Ax + By + C
A + B
≤
( ) ( )1 1 1 1 1 2
2 2
Ax + By + C - Ax + By + C
A + B
= 1 2
2 2
C - C
A + B
F ก ก (2.5.1) F F F 1 2
2 2
C - C
A + B
≥ 0
ก 1 F 1 2
2 2
C - C
A + B
= 0 F ℓ1, ℓ2 ˈ F ก
ก 2 F 1 2
2 2
C - C
A + B
> 0 F ℓ1, ℓ2 F ˈ F ก F F F
ก F ก ˈ F F
ก F d = 1 2
2 2
C - C
A + B
-----(2.5.2)
ก (2.5.2) ˈ ก F F F ℓ1, ℓ2 ก
ก ˈ F
2.7
ก F ℓ1 : Ax + By + C1 = 0, ℓ2 : Ax + By + C2 = 0 ˈ F ก ก ℓ1 // ℓ2
F d ˈ F F ℓ1, ℓ2 F F F d = 1 2
2 2
C - C
A + B

33. F F 25
F 2.10 ก F ℓ1, ℓ2 ˈ ก F ก ก ℓ1 : 5x 12y + 66 = 0
ℓ2 : 5x 12y + 1 = 0 F F ℓ1, ℓ2
กF F ก F F ℓ1, ℓ2 ก
ก ก d = 1 2
2 2
C - C
A + B
F F d = 2 2
66 - 1
5 + (-12)
= 2 2
65
5 + (-12)
= 65
13 = 5
F 2.11 ก F ℓ1, ℓ2 ˈ F x
3 y + 2 = 0 ก F x
3 y 2 = 0 F
F ก F F x = 1 ก F x = 3 F ℓ1, ℓ2 ก F
F ก ʽ F F F 4 F F F
ก Fก F F
ก F ABCD = AB⋅( F F ℓ1, ℓ2)
กF AB
A F x = 1 ก F ℓ2 F y = 7
3
A ก ( 1, 7
3 )
ก F F B ก (3, 1)
F F |AB| = 2 27
3(-1 - 3) + (- + 1) = 4
3 10
F F F ℓ1, ℓ2
ก 2.7 F F d = 2 21
3
2 + 2
( ) + (-1)
= 6
5 10
F ABCD F F ก ( 4
3 10 )( 6
5 10 ) = 16 F

35. 3
ก
3.1
ก (Conic sections) ก ก 2 F ก ก ก
ก F F F F ก ก ก F F
3.1 ก
ก 3.1 F F F F F ก ก F ก F
ก ก F F ก F กF ก F ก F F F
ก F ก ก F F ก F
F

36. 28 F F
3.2 ก (Circle)
ก ก ก ก FกF
F ก F ก กF
ก 3.1 F F F F ก F F ก
3.1 F F ก Fก ก
ก 2 F F F ก ก F F F
Fก ก ก ก ก F ก
ก C Fก C(0, 0) r F
3.2 ก Fก C(0, 0) r F
ก 3.2 F ก F P(x, y) ˈ ก C F F
|CP| = r = 2 2
(0 - x) +(0 - y) กก F ก F F x2
+ y2
= r2
-----(3.2.1)
ก (3.2.1) ก ก ก Fก F ก
3.1
ก ก F F ก ˈ F ก

37. F F 29
F 3.1 ก ก Fก F ก 2 F
ก Fก F ก
F r = 2 ก (3.2.1) F F x2
+ y2
= 22
= 4
ก ก Fก F ก 2 F
x2
+ y2
= 4
F ก x2
+ y2
= r2
ก F r ก F r ˈ ก ˈ F
ก F
1) F r ˈ ก F F ก (3.2.1) ˈ ก ก 2 ก
ก F ก (real circle)
2) F r ˈ F F F x2
+ y2
= 0 ˈ ก 2
3) F r ˈ F F F ก (3.2.1) ˈ ก ก (imaginary circle)
ก ก F ก F (complex circle) ก F
ก ก ก F ก F F ก
F 3.6 ก ก
ʿก 3.2
1. ก ก Fก F ก F P(3, 4)
2. ก ก 2 F Fก F F F
3x 5y + 19 = 0 ก F 10x + 6y 50 = 0
3.3 (Parabola)
ก 3.2 F F 2 ก F F
ก ก (focal point or focus) F ก F ก ก F (directrix)
3.2
(Parabola) ก F F ก F F
ˈ F ก

38. 30 F F
F ก ˈ 2
1) ก ก ก X F กF ก y2
= 4cx
c ˈ F
2) ก ก ก Y F กF ก x2
= 4cy
c ˈ F
2 ก F
3.3 ก ก ก X
3.4 ก ก ก Y
ก 3.3 3.4 F F
1) ก ก Fก ก F ก ˈ 2 F F ก
2) F ก ก F F ก ก F ก กก ก

39. F F 31
F F ก ก F ก 2 ก ก ก F
ก) F F ก ก F กก ก X ก x = c
) F F ก ก F กก ก Y ก y = c
2 F
x2
= 4cy y2
= 4cx
ก F ก Y F ก X
(vertex point) (0, 0) (0, 0)
ก (focal point) (0, c) (c, 0)
ก (latus rectum) |4c| |4c|
ก F ก ก F ก ก F F
ก
F 3.2 ก ก F F F x + 3y = 3 ก F
x + y = 1
กF F F F x + 3y = 3 ก F x + y = 1
ก x + 3y = 3 -----(3.3.1)
x + y = 1 -----(3.3.2)
(3.3.1) (3.3.2) 2y = 2
F F y = 1
F y = 1 ก (3.3.2) F F x = 1 1 = 0
F F (0, 1)
F F ก (0, 1)
F ก F ก Y F ก x2
= 4y
ʿก 3.3
1. ก F F
1) F ก ก F ก ˈ x = 2
2) ก F ก 1 F F ก ก F ก ก X
2. F ก F ก ก ˈ 2 F F ก

40. 32 F F
3.4 (Ellipse)
ก 3.3 ก F F F ก ก
F ก F ก ก
F ก ˈ 2
1) ก F ก X ก F F ก ก (major axis) F ก X
3.5 ก ก F ก X
2) ก F ก Y ก F ก ก F ก Y
3.3
(Ellipse) ก 2 ก ก 2 F
F กก F F

41. F F 33
3.6 ก ก F ก Y
F F
ก ก F ก X ก ก F ก Y
ก
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
2
2
y
a
+
2
2
x
b
= 1
(Vertex Point) V(a, 0) ก V′( a, 0) V(0, a) ก V′(0, a)
ก (Focal Point) F(c, 0) ก F′( c, 0) F(0, c) ก F′(0, c)
ก ก |2a|
ก |2b|
ก (ℓ) ℓ =
2
2b
a
ก F F F a, b, c a2
= b2
+ c2
F 3.3 ก ก ก 3 F ก 2 F F
ก X
ก ก ก 3 F F F a = 3
2 ก 2 F F F b = 1
ก F ก X ก
2
4x
9 + y2
= 1

42. 34 F F
ʿก 3.4
1. ก F
1) ก F ก X ก F
2) ก F F1( 3, 0) ก 4 F
3) ก F ก Y ก F P ก F ก
10 F ก ก Fก F ก 3 F
2. ก ก 2a F ก 2b F F a2
= b2
+ c2
c ˈ F
3.5 F (Hyperbola)
ก 3.4 ก F F ก ก F ก
F ก F
F F ก ˈ 2
1) F ก F ก X ก F F F ก (transverse axis)
F ก X
3.7 F ก F ก X
3.4
F (Hyperbola) ก 2 F ก
2 F F กก F F

43. F F 35
2) F ก F ก Y ก F F ก F ก Y
3.8 F ก ก F ก Y
F F F
F ก
F ก X
F ก
F ก Y
ก
2
2
x
a
2
2
y
b
= 1
2
2
y
a
2
2
x
b
= 1
(Vertex Point) V(a, 0) ก V′( a, 0) V(0, a) ก V′(0, a)
ก (Focal Point) F(c, 0) ก F′( c, 0) F(0, c) ก F′(0, c)
ก |2a|
ก |2b|
ก (ℓ) ℓ =
2
2b
a
ก F F F a, b, c c2
= a2
+ b2
ก F ก ก ก (asymtotic equation) y = b
a x± y = a
b x±
F 3.4 ก F ก F ( 5, 0) ก
4 F
ก F ก F ( 5, 0) F c = 5
ก ก 4 F F F a = 4
b2
= 52
42
= 9
b = 3
F ก F
2
x
16
2
y
9 = 1

44. 36 F F
F ก ก F F ก F
ก 3.5 F F ก ก ˈ 2
1) F ก k > 0 ก
3.9 F ก xy = k k >>>> 0
2) F ก k < 0 ก
3.10 F ก xy = k k <<<< 0
3.5
F ก F ก F ก xy = k k ˈ k ≠ 0

45. F F 37
ʿก 3.5
1. ก ก ก F ก ก ก ก F
2
(x + 3)
49
2
(y - 1)
576 = 1
2. F a, b, c, d F ก y = ax + b
cx + d ˈ ก F
3. F ก 2a F ก 2b F F c2
= a2
+ b2
c ˈ F
3.6 ก ก
ก ก ก F ก X ก ก Y ก (0, 0) ก F
F F ก Fก ก F ก C(0, 0) F ก
Fก F ก F F ก ก Fก
ก Fก F C(h, k) F ก
3.11 ก ก ก C(0, 0)
ก 3.11 F ก Y F ˈ h F F 3.12

46. 38 F F
3.12 ก ก ก X
ก 3.12 F F ก ก Y′ ก X ก Y′ x′ F F x′ = x h ก
ก ก F F ก ก ก X F ก ก Y F ก F
ก
3.13 ก ก ก Y
ก 3.13 F F ก ก X′ ก Y ก X′ x′ F F y′ = y k ก
ก ก F F ก ก ก X F ก ก X F ก F
ก
F ก ก ก ก X ก Y F ก ก กก
ก F F ก ก

47. F F 39
F 3.5 ก F x2
+ y2
2x + 6y 6 = 0 ˈ ก ก ก ก
F ˈ ก ก F ก ก F F
ก ก ก F F F ก ก F F F
F ก Fก F
ก x2
+ y2
2x + 6y 6 = 0 ก F F ˈ
(x2
2x) + (y2
+ 6y) = 6
(x2
2x + 1) + (y2
+ 6y + 9) = 6 + 1 + 9
(x 1)2
+ (y + 3)2
= 16 = 42
Fก ก F x′ = x 1 y′ = y + 3
F F ก F (x′)2
+ (y′)2
= 42
F ก ก ก F ˈ ก ก Fก C(1, 3)
F ก 4 F
F 3.6 ก F y2
6y 2x + 9 = 0 ˈ ก ก ก ก F
ˈ ก ก F ก ก F F
ก ก ก F F F ก F
y2
6y 2x + 9 = 0
y2
6y = 2x 9
(y2
6y + 9) = 2x 9 + 9 = 2x
(y 3)2
= 2(x 0)
Fก ก F y′ = y 3 x′ = x 0 F F (y′)2
= 2x′
F ก ก F ˈ ก F V(0, 3) ก F
F( 1
2 , 0) ก F ก 2 F
F 3.7 ก F 25x2
+ 169y2
+ 50x 1,352y 1,496 = 0 ˈ ก ก ก
ก F ˈ ก ก F ก ก
F F
ก F ก F
25x2
+ 169y2
+ 50x 1,352y 1,496 = 0
(25x2
+ 50x) + (169y2
1,352y) = 1,496
25(x2
+ 2x + 1) + 169(y2
8y + 16) = 1,496 + 25 + 2,704
25(x + 1)2
+ 169(y 4)2
= 4,225

48. 40 F F
4,225 ก F
2
(x + 1)
169 +
2
(y - 4)
25 = 1
ก ก F x′ = x + 1 y′ = y 4
F F
2
(x )
169
′
+
2
(y )
25
′
= 1 F ก ก ก F ˈ ก
1) Fก F C( 1, 4)
2) F V(12, 4) V′( 12, 4)
3) ก F F( 13, 4) F′(11, 4)
4) ก ก ก ก X 26 F
5) ก ก ก Y 10 F
6) ก F ก 50
13 F
F 3.8 ก F ก C Fก F ก (x 2)2
+ 8y = 8 F F
3x 4y + 5 = 0 ˈ F ก C F F F F ก C
1) (0, 1 + 5 ) 2) (2 2 2 , 0)
3) ( 1, 1) 4) (2, 2)
กF ก (x 2)2
+ 8y = 8
F F (x 2)2
= 8y + 8 = 8(y 1) = 4( 2)(y 1)
c = 2
F F ก F(2, 1 2) = F(2, 1)
Fก ก C C(2, 1)
ก Fก F ก C ก F 3x 4y + 5 = 0
ก C F ก 2 2
3(2) + (-4)(-1) + 5
3 + (-4)
= 3
ก F F ก F ก F ก Fก
ก F ก F F F ก ก F F ก
ก ก 4 F F (2, 2) F F ก (2, 1) ˈ 3 F
(2, 2) F ก C
F 3.9 ก ก Fก ก Fก
6x2
+ 5y2
+ 12x 20y 4 = 0 F
กF ก F F กF
ก ก (6x2
+ 12x) + (5y2
20y) = 4

49. F F 41
(6x2
+ 12x + 6) + (5y2
20y + 20) = 4 + 6 + 20 = 30
6(x2
+ 2x + 1) + 5(y2
4y + 4) = 30
6(x + 1)2
+ 5(y 2)2
= 30
30 ก F ก F ก
2
(x + 1)
5 +
2
(y - 2)
6 = 1
ก F ก Fก F C( 1, 2)
F F ก
ก Fก F ก F F
F ก F F ก ก
ก ก F F ก F ก 5 F
ก ก F ก (x + 1)2
+ (y 2)2
= ( 5 )2
= 5
F x2
+ y2
+ 2x 4y + 1 + 4 = 5 ก x2
+ y2
+ 2x 4y = 0
ʿก 3.6
1. ก F F ก ก F ก y2
4y + 8x = 20 ก P F ก F
ก P ก F F ก ก ก F
2. ก F H ˈ F 12y2
4x2
+ 72y + 16x + 44 = 0 ก F1 F2
F E ˈ Fก F ก H F1 F2 ˈ ก Y F E ก X
A B F F A ก B
3. ก F F1 F2 ˈ ก F x2
+ 6x y2
14y 41 = 0
P1(0, y1) P2(0, y2) ˈ F P1F1F2
P2F1F2 F ก F ก 2 2 F F |y1
2
y2
2
| F F ก F

50. 42 F F
3.7 Fก
Fก F F ก F
F
Fก
1) ก
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
ก ก e = c
a F F F c = ae
F c ก a2
= b2
+ c2
F F a2
= b2
+ a2
e2
a2
a2
e2
= b2
=> a2
(1 e2
) = b2
F b2
ก F
2
2
x
a
+
2
2 2
y
a (1 - e )
= 1
2 2 2
2 2
x (1 - e ) + y
a (1 - e )
= 1
x2
(1 e2
) + y2
= a2
(1 e2
)
y2
= (a2
x2
)(1 e2
)
2
2 2
y
a - x
= 1 e2
-----(3.7.1)
2) ก
2
2
y
a
+
2
2
x
b
= 1 ก ก F 1) F F
2
2 2
x
a - y
= 1 e2
-----(3.7.2)
ก (3.7.1) ก ก (3.7.2) ˈ ก Fก ก F F
ก ˈ ก F F 1 e2
> 0 กF ก F 0 < e < 1
3.6
Fก (eccentricity) F F ก F F
ก ก Fก ก F F e F Fก
ก F F e ก F ก
e = c
a
c ก ก
a ก Fก ก ก (ก
ก F ก ก F)

51. F F 43
F F F Fก F F 0 ก 1 (0 < e < 1)
Fก
1) ก x2
= 4cy
ก ก e = c
a F F F c = ae
F ก a = c F F e = 1
2) ก y2
= 4cx
ก ก e = c
a F F F c = ae
F ก a = c F F e = 1
F F F Fก F ก 1 (e = 1)
Fก F
1) F ก
2
2
x
a
2
2
y
b
= 1
ก ก e = c
a F F F c = ae
F ก c2
= a2
+ b2
F F a2
e2
= a2
+ b2
=> b2
= a2
(e2
1)
F b2
ก F F
2
2
x
a
2
2 2
y
a (e - 1)
= 1
ก F F
2
2 2
y
x - a
= e2
1 -----(3.7.3)
2) F ก
2
2
y
a
2
2
x
b
= 1 ก ก F 1) F F
2
2 2
x
y - a
= e2
1 -----(3.7.4)
ก (3.7.3) ก (3.7.4) ˈ ก F Fก
ก F F ก ˈ ก F F e2
1 > 0 กF ก F e < 1 e > 1
F ก ก e = c
a F e F ˈ ก F F e > 1 F F F
Fก F F กก F 1 (e > 1)

52. 44 F F
ก ˈ F
F 3.10 F Fก
2
4x
9 + y2
= 1
ก ก F F F
( )
2
23
2
x +
2
2
y
1
= 1
ก ก a2
= b2
+ c2
F a2
= 9
4 , b2
= 1 F F c2
= 9
4 1 = 5
4
c = 5
2
F Fก F F ก
5
2
3
2
= 5
3
F 3.11 F Fก F
2
y
16
2
x
9 = 1
ก ก F ก F F F a2
= 16, b2
= 9
c2
= 16 + 9 = 25 c = 5
F F F Fก F F ก 5
4
ʿก 3.7
Fก ก ก F F
1. x2
= y
2. y2
+ 2x2
= 4
3. x2
y2
= 144
3.1
ก F e = c
a ˈ F Fก ก F F F
1) e = 1 ˈ ก
2) 0 < e < 1 ˈ ก
3) e > 1 ˈ ก F

53. F F 45
3.8 ก ก
ก F F ก F ก ก F ก ก
ก F F ก ก ก ก F
ก F ก ก F ก ก F F FกF F
ก ก กF
F ก B = 0 กF ˈ ก ก F
ˈ ก F F ก ก
ก F F Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
1) ก A = C F ก F x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0 ˈ ก ก
ก ก ก ก Fก
ก F F
ก x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0 ก F F F
(x2
+ Dx) + (y2
+ Ey) = F
ˈ ก F F
(x2
+ Dx +
2
D
4 ) + (y2
+ Ey +
2
E
4 ) = F +
2
D
4 +
2
E
4
(x + D
2 )2
+ (y + E
2 )2
=
2 2
D + E - 4F
4 = ( )
2
2 21
2 D + E - 4F -----(3.8.1)
ก (3.8.1) ก ก ก F F Fก ก ก C( D
2 , E
2 )
ก = 2 21
2 D + E - 4F
2) ก A = 0 C = 0 F ก F Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
Ax2
+ Dx + Ey + F = 0
2.1) Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 F C = 1 ก
y2
+ Dx + Ey + F = 0 ก F F y2
+ Ey = Dx F
F ˈ ก F F y2
+ Ey +
2
E
4 = Dx F +
2
E
4
(y + E
2 )2
=
2
-4Dx - 4F + E
4 -----(3.8.2)
3.7
ก ก (General form of Conic Sections Equation) ก F
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
A, B, C, D, E, F ˈ

54. 46 F F
ก (3.8.2) ก ก ก ก ก X
2.2) Ax2
+ Dx + Ey + F = 0 F A = 1 ก
x2
+ Dx + Ey + F = 0 ก F F x2
+ Dx = Ey F
F ˈ ก F F x2
+ Dx +
2
D
4 = Ey F +
2
D
4
(x + D
2 )2
=
2
-4Ey - 4F + D
4 -----(3.8.3)
ก (3.8.3) ก ก ก ก ก Y
3) ก A, C ≠ 0, A ≠ C
3.1) F A, C > 0 F ก F Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
ก F F (Ax2
+ Dx) + (Cy2
+ Ey) = F
A(x2
+ D
A x) + C(y2
+ E
C y) = F
A(x2
+ D
A x +
2
2
D
4A
) + C(y2
+ E
C y +
2
2
E
4C
) = F +
2
D
4A +
2
E
4C
A(x + D
2A )2
+ C(y + E
2C )2
=
2 2
D + E - 4ACF
4AC
2 2
D + E - 4ACF
4AC ก F F
2
2 2
4A C
D + E - 4ACF
(x + D
2A )2
+
2
2 2
4AC
D + E - 4ACF
(y + E
2C )2
= 1
ก ก ก F F F
2 2
2
2D
2A
2
D + E - 4ACF
4A C
(x + )
 
 
 
+
2 2
2
2E
2C
2
D + E - 4ACF
4AC
(y + )
 
 
 
= 1 -----(3.8.4)
ก (3.8.4) ˈ ก
ก ก (3.8.4) F F ˈ ก ก F
2 2
2
2
D + E - 4ACF
4A C
 
 
 
2 2
2
2
D + E - 4ACF
4AC
 
 
 
F F
2 2
2
2
D + E - 4ACF
4A C
 
 
 
กก F
2 2
2
2
D + E - 4ACF
4AC
 
 
 
F ˈ ก ก ก ก X ก ก
ก F F ˈ ก ก ก ก Y ก ก ก ก
F ก F ก Fก C(h, k) F C( D
2A , E
2C )
3.2) F A < 0 C < 0 F ก F Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
Ax2
Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0

55. F F 47
ก F F ( Ax2
+ Dx) + (Cy2
+ Ey) = F
A(x2 D
A x) + C(y2
+ E
C y) = F
A(x2 D
A x +
2
2
D
4A
) + C(y2
+ E
C y +
2
2
E
4C
) = F
2
D
4A +
2
E
4C
A(x D
2A )2
+ C(y + E
2C )2
=
2 2
E - D - 4ACF
4AC
2 2
E - D - 4ACF
4AC ก F F
2
2 2
-4A C
E - D - 4ACF
(x D
2A )2
+
2
2 2
4AC
E - D - 4ACF
(y + E
2C )2
= 1
ก ก ก F F F
2 2
2
2D
2A
2
E - D - 4ACF
4A C
-(x - )
 
 
 
+
2 2
2
2E
2C
2
E - D - 4ACF
4AC
(y + )
 
 
 
= 1
2 2
2
2E
2C
2
E - D - 4ACF
4AC
(y + )
 
 
 
2 2
2
2D
2A
2
E - D - 4ACF
4A C
(x - )
 
 
 
= 1 -----(3.8.5)
ก (3.8.5) ˈ ก F ก ก ก Y
Ax2
Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
ก F F (Ax2
+ Dx) + ( Cy2
+ Ey) = F
A(x2
+ D
A x) C(y2 E
C y) = F
A(x2
+ D
A x +
2
2
D
4A
) C(y2 E
C y +
2
2
E
4C
) = F +
2
D
4A
2
E
4C
A(x + D
2A )2
C(y E
2C )2
=
2 2
D - E - 4ACF
4AC
2 2
D - E - 4ACF
4AC ก F F
2
2 2
4A C
D - E - 4ACF
(x + D
2A )2
2
2 2
4AC
D - E - 4ACF
(y E
2C )2
= 1
ก ก ก F F F
2 2
2
2D
2A
2
D - E - 4ACF
4A C
(x + )
 
 
 
2 2
2
2E
2C
2
D - E - 4ACF
4AC
(y - )
 
 
 
= 1 -----(3.8.6)
ก (3.8.6) ˈ ก F ก ก ก X

56. 48 F F
3.9 ก ก
ก ก ก F ก 3.11 F ก ˈ F Fก
ก ก ก F F F F ก
ก F Fก ก ก ก ก ก F F F F
F กก ก F F ก ก (rotation of the axis)
ก F X′, Y′ ˈ ก ก F ก กก ก X, Y ก
ˈ θ
3.14 ก ก ก
ก 3.14 F P(x, y) ˈ XY F P′(x′, y′) ˈ X′Y′ ก
กก XY ก ˈ F ก θ
F F x = OM = OP cos (θ + α)
= OP(cos θ cos α sin θ sin α)
= OP cos θ cos α OP sin θ sin α
y = MP = OP sin (θ + α)
= OP(sin θ cos α + cos θ sin α)
= OP sin θ cos α + OP cos θ sin α
x′ = OM′ = OP cos α

57. F F 49
y′ = M′P = OP sin α
x = x′ cos θ y′ sin θ
y = x′ sin θ + y′ cos θ
ก x′′′′ = x cos θθθθ + y sin θθθθ y′′′′ = y cos θθθθ x sin θθθθ
ก ก F F
x
y
′ 
 ′ 
=
x
cos
y
 
θ 
 
+
y
sin
-x
 
θ 
 
ก F F ˈ F
ʿก 3.9
1. ก F x2
+ y2
xy = 1 ˈ ก ก XY F ก ˈ
4
π ก ก X′Y′
2. ก x2
8y = 0 ก ˈ F ก 4
π
3. ก ก ก Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 A, B, C, D, E, F
ˈ F F Fก ก ˈ F ก θ F cot 2θ = A - C
B F ก
ก ก กก ก ก F F F F
4. ก ก ก 73x2
+ 72xy + 52y2
+ 30x 40y 75 = 0
1) F Fก ก ˈ F ก θ F ก F F F
F cos θ = 4
5
2) ก ก X′Y′
5. F ก 2x2
72xy + 23y2
80x 60y = 125 ˈ ก F
6. F F xy = 2
3.2
ก F P(x, y) ˈ XY F ก X, Y ก ˈ θ F ก F
X′Y′ F F F P(x, y) ก X′Y′ ˈ P′(x′, y′) x′, y′ ก F ก
F
x′ = x cos θ + y sin θ
y′ = y cos θ x sin θ

59. F F 51
ก
กF . F. F 1 ( ). ก :
, 2541.
F F F . F 2.
ก : , 2541.
ก F . ก F F ก ก F. ก : ,
2546.
F . F 3. F 5. ก : ,
2544.
. F ˆ กF . F 2. ก :
ก F , 2530.