Dokumen tersebut membahas berbagai ukuran pemusatan dan penyebaran data statistik, seperti rerata, median, modus, range, varians dan deviasi standar. Ukuran-ukuran tersebut digunakan untuk menggambarkan titik tengah dan seberapa jauh nilai-nilai data bervariasi dari titik tengahnya.
Makalah Statistik tentang Pengertian Ukuran Pemusatan Data dan SkewnessWindiAyuSafitri1
Makalah ini berisi tentang pengertian ukuran pemusatan data dan skewness, yang mana penulisan ini bertujuan untuk memenuhi tugas statistik dari dosen pengampu saya yaitu Dr.MUSNAINI,S.E.,MM, dan kemudian penilaiannya digunakan sebagai nilai ujian akhir semester 1. Mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisannya.
Makalah Statistik tentang Pengertian Ukuran Pemusatan Data dan SkewnessWindiAyuSafitri1
Makalah ini berisi tentang pengertian ukuran pemusatan data dan skewness, yang mana penulisan ini bertujuan untuk memenuhi tugas statistik dari dosen pengampu saya yaitu Dr.MUSNAINI,S.E.,MM, dan kemudian penilaiannya digunakan sebagai nilai ujian akhir semester 1. Mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisannya.
Studi Perbandingan merupakan sebuah studi untuk membandingkan sistem pemerintahan. Dalam Studi Perbandingan beberapa ruang lingkup dan indikator yang dijadikan parameter dalam membandingkan sistem pemerintahan.
Ukuran Pemusatan data adalah ukuran atau nilai yang diperoleh dari sekumpulan data yang cenderung berada di tengah-tengah sekumpulan data tersebut dan dapat mewakili data secara keseluruhan. Dalam powerpoint ini membahas ukuran pemusatan data, yaitu mean(rata-rata), median (nilai yang terletak di tengah deretan data), modus(data yang paling sering muncul atau yang mempunyai frekuensi terbanyak).
Semoga bermanfaat...
materi statistik dasar
BAB I
Pengertian Statistik, Statistika, Statistik Deskriptif dan Statistik Inferensial, Macam-Macam Data ..........................................................
BAB II
Penyajian Data dan aplikasi pada data penelitian ..........................................................
BAB III
Daftar Distribusi Frekuensi dan aplikasi pada data penelitian ..........................................................
BAB IV
Ukuran Pemusatan, Ukuran Penyebaran ..........................................................
BAB V
Ukuran keruncingan ..........................................................
BAB VI
Distibusi Binomial, Poisson ..........................................................
BAB VII
Distribusi Normal dan aplikasinya ..........................................................
BAB VIII
Uji Normalitas dan Homogenitas ..........................................................
BAB IX
Uji Hipotesis ..........................................................
BAB X
Uji Hipotesis satu rata-rata ..........................................................
BAB XI
Uji Hipotesis dua rata-rata ..........................................................
DAFTAR PUSTAKA ..........................................................
Dalam power point ini berisikan tentang ukuran pemusatan dan ukuran letak baru mulai dari defenisi, mean, rata-rata ukur, rata-rata harmonik, modus, median serta ukuran letak baru beserta contoh soalnya.
1. Andhin Dyas Fitriani, M. Pd
Penyebaran
Ukuran Pemusatan &
Garis Besar Materi
نUkuran Pemusatan
(mean, median, mode,
rerata tertimbang dan
rerata geometris)
نUkuran Keragaman
(range, ragam, simpangan
baku)
نUkuran Lokasi
(kuartil, desil, persentil)
2. Ukuran Pemusatan (01)
Ukuran pemusatan (tendency central) suatu himpunan
data titik tempat di mana nilai-nilai suatu gugus data
cenderung mengelompok, menunjukkan titik tengah
suatu histogram atau kurva distribusi frekuensi
1. Rerata Hitung – Mean (Ungrouped Data)
نMean atau Mean Arithmetic (rerata hitung) sering
digunakan untuk mengukur pemusatan
نUntuk ‘ungrouped data’, mean dipeoleh dengan membagi
jumlah semua nilai dengan banyak nilai dalam data
x x
μ untuk populasi x untuk sampel
N n
نNilai x (mean sampel) memungkinkan bervariasi, karena
diambil dari sampel yang berbeda, bergantung nilai
observasi tiap sampel
3. Ukuran Pemusatan (02)
نDalam suatu data, dikenal istilah nilai pencilan atau outlier,
yaitu nilai yang sangat kecil atau sangat besar atau jauh dari
nilai observasi lainnya. Nilai pencilan akan menghasilkan
perbedaan dalam nilai mean.
نKelemahan mean (dalam tinjauan statistik deskriptif),
adalah karena nilainya akan sangat dipengaruhi oleh
keberadaan nilai pencilan
نKelebihan mean adalah mudah dihitung, dan mempunyai
nilai matematik sehingga dapat digunakan pada statistik
inferensia
نIlustrasi
tabel berikut menunjukkan daftar populasi 5 negara bagaian
Pasifik pada tahun 1992
Negara
Washington Oregon Alaska Hawai California
Bagian
data pencilan
Populasi
5.136 2.977 587 1.160 30.867
(ribuan)
4. Ukuran Pemusatan (03)
Mean tanpa California :
5136 2977 587 1160
Mean 2465
4
Mean dengan California
5136 2977 587 1160 30867
Mean 8145,4
5
Populasi California sangat besar dibanding dengan jumlah
populasi 4 negara bagian lainnya. Pelibatan California, secara
signifikan memberikan pengaruh terhadap besaran ukuran nilai
mean sebagai ukuran pemusatan
5. Ukuran Pemusatan (04)
2. Rerata Hitung – Mean (Grouped Data)
نFormula
m.f m.f
μ untuk populasi x untuk sampel
N n
نContoh
Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi waktu (dalam menit)
yang diperlukan untuk berangkat dari rumah menuju kampus untuk
seluruh mahasiswa suatu perguruan tinggi yang berjumlah 25 orang.
Waktu (menit) Jumlah • Pertanyaan
hitunglah rerata waktu yang diperlukan?
0 – 10 4
• Jawab
10 – 20 9 - tentukan nilai tengah (m) masing-
20 – 30 6 masing kelas
- hitung perkalian m dengan frekuensi f
30 – 40 4
40 – 50 2
6. Ukuran Pemusatan (05)
Nilai
Waktu Frekuensi
Tengah m.f
(menit) (f)
(m)
0 – 10 4 5 20
10 – 20 9 15 135
20 – 30 6 25 150
30 – 40 4 35 140
40 – 50 2 45 90
Total 25 535
m.f 535
μ 21,40
N 25
7. Ukuran Pemusatan (06)
3. Median (Ungrouped Data)
نMedian adalah nilai yang terletak pada tengah suatu data di
mana data tersebut telah diurutkan (di ranking)
نHimpunan data yang telah diurutkan menurut besarnya ini,
dinamakan array
نPerhitungan median terdiri dari 2 tahap, yaitu :
- urutkan data dari yang terendah hingga yang tertinggi
- tentukan posisi median
n 1
posisi median , untuk n (banyak data) ganjil
2
posisi median rerata dari 2 data tengah ,
untuk n (banyak data) genap
8. Ukuran Pemusatan (07)
4. Median (Grouped Data)
نFormula di mana :
Bm = tepi bawah kelas median
n
2
fkm i = interval kelas
Median Bm i n = ukuran sampel data
fm fkm = frekuensi kumulatif sebelum
median
نContoh fm = frekuensi pada kelas median
Upah (dollar) Jumlah Dari data tabel di samping, diketahui :
301 – 400 9 50 25
Median 500,5 100
401 – 500 16 33
576,26
501 – 600 33
601 – 700 20
701 – 800 14
801 – 900 6
9. Ukuran Pemusatan (08)
5. Modus (Grouped Data)
نModus adalah nilai yang memiliki frekuensi tertinggi dalam
suatu gugus data
نData yang hanya memiliki 1 modus disebut unimodal; 2
modus dengan frekuensi sama disebut bimodal dan lebih
dari 2 modus disebut multimodal
نFormula :
d1
Modus Bm i
d1 d2
di mana :
Bm = tepi bawah kelas modus
i = interval kelas
d1 = frekuensi kelas modus – frekuensi sebelum kelas modus
d2 = frekuensi kelas modus – frekuensi sesudah kelas modus
10. Ukuran Pemusatan (09)
نContoh
Dari data di samping diperoleh
Upah (dollar) Jumlah
informasi :
301 – 400 9 17
401 – 500 16
Modus 500,5 100
17 13
501 – 600 33 557,17
601 – 700 20
701 – 800 14
801 – 900 6
11. Ukuran Pemusatan (10)
6. Hubungan antara Mea, Median dan Modus
ن Untuk suatu histogram yang simetris, dan kurva frekuensi
dengan sebuah puncak, nilai mean, media dan modus adalah
sama; yaitu terletak pada bagian tengah distribusi
ن Untuk suatu histogram yang miring ke kanan, nilai mean
terbesar, modus terkecil dan median terletak diantara mean
dan modus. Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan
di ekor sebelah kanan (pencilan mayor)
ن Untuk suatu histogram yang miring ke kiri, nilai mean terkecil,
modus terbesar dan median terletak diantara mean dan modus.
Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan di ekor
sebelah kiri (pencilan minor)
12. Ukuran Pemusatan (11)
7. Rerata Tertimbang (Weighted Average)
نRerata yang diperhitungkan setelah tiap nilai diberikan
pembobotan tertentu, yang menunjukkan bobot relatif
masing-masing nilai data yang diratakan (mis. IPK, nilai barang)
نFormula : n
Bx i i
i 1
xB n
B i
نContoh : i 1
Nilai Angka
Mata Kuliah SKS (Bi) Xi.Bi
ن Mutu Mutu (Xi)
نKalkulus B 3 2 6 40
IPK
Statistika A 4 4 16
12
Algoritma C 2 3 6 3,33
Struktur Data A 4 3 12
Σ 14 12 40
13. Ukuran Pemusatan (12)
8. Rerata Geometrik (Geometric Average)
نRerata geometrik digunakan untuk menghitung rerata laju
pertumbuhan (growth rate), misalnya pertumbuhan penduduk,
penjualan, tingkat suku bunga, dan lain-lain
نFormula :
G n
x 1 .x 2 . .x n
نContoh :
data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :
1,5 2,3 3,4 1,2 2,5
5
G 1,5 2,3 3,4 1,2 2,5
2,04
15. Ukuran Penyebaran (1)
1. Range (Selang)
نRange merupakan metode pengukuran paling sederhana
yang digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data.
نSepertihalnya mean, nilai range dipengaruhi oleh adanya
‘outlier/pencilan’, sehingga range bukanlah merupakan
ukuran yang baik untuk menunjukkan ketersebaran suatu
data yang memiliki pencilan
نNilai range yang hanya ditentukan oleh 2 data (nilai yang
lain dalam data diabaikan) menunjukkan tidak
representatifnya range dalam merepresentasikan
ketersebaran data
نFormula :
Range Nilai terbesar - Nilai terkecil
16. Ukuran Penyebaran (2)
2. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi)
– (Ungrouped Data)
نSimpangan baku, merupakan ukuran statistik yang paling sering
digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data
نNilai simpangan baku menunjukkan seberapa dekat nilai-nilai
suatu data dengan nilai rerata
نNilai simpangan baku yang kecil data menyebar dalam range
yang lebih kecil mendekati nilai rerata. Begitu pula sebaliknya.
نNilai simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat nilai ragam
(varians)
نRagam dari suatu data populasi dinotasikan dengan σ 2 ,
sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan s 2
نSimpangan baku dari suatu data populasi dinotasikan dengan σ
sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan s
17. Ukuran Penyebaran (3)
نFormula :
2 2
2 xi 2 xi
xi xi
σ
2 N s
2 n
N n 1
2
xi x
نContoh :
n 1
x x^2 2
480
90 8100 39.100
s
2 6
85 7225
5
65 4225
75 5625 39.100 38.400
70 4900 5
95 9025 140
total 480 39.100
18. Ukuran Penyebaran (4)
3. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi)
– (Grouped Data)
نFormula :
2
2
mf
m f
σ
2 N di mana :
N
m = titik tengah
2
2
mf f = frekuensi
m f
s
2 n
n 1
2
fm x
n 1
19. Ukuran Penyebaran (5)
4. Parameter Populasi dan Statistik Sampel
نNilai ukuran seperti mean, median, modus, range, ragam
atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data
populasi disebut parameter populasi
نNilai ukuran seperti mean, median, modus, range, ragam
atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data
sampel disebut statistik sampel
نSehingga :
2
μ, σ dan σ adalah parameter populasi
2
x , s dan s adalah statistik sampel
20. Ukuran Penyebaran (6)
• Koefisien Varians (koefisien keragaman)
نmerupakan rasio dari simpangan baku dan rerata
(populasi atau sampel)
نsemakin besar nilai koefisien variansi, maka data akan
semakin bervariasi atau dengan kata lain, data tersebut
memiliki tingkat keragaman yang tinggi
نFormula :
σ s
ω atau ω
μ x
dimana :
σ dan s simpangan baku populasi dan sampel
μ dan x rerata populasi dan sampel
ω koefisien varians
21. Ukuran Penyebaran (7)
• Nilai Baku (Z-Score)
نMerupakan ukuran penyimpangan data dari rerataa
populasi
نNilai z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)
z nol data bernilai samam dengan rerata populasi
z positif data bernilai di atas rerata populasi
z negatif data bernilai di bawah rerata populasi
نFormula :
x μ
z
σ
22. Ukuran Lokasi (1)
1. Kuartil
نKuartil membagi sederetan data terurut menjadi 4 bagian
yang sama, sehingga menghasilkan 3 kuartil, yaitu kuartil
pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3)
نKetiga titik lokasi tersebut adalah :
Q1 x1 , data ganjil Q3 x3 , data ganjil
n 1 n 1
4 4
Q1 x1 , data genap Q3 x1 , data genap
n 2 3n 2
4 4
Q2 Me x1 , data ganjil
n 1
2
1
Q2 Me xn xn , data genap
2 2 2
1
23. Ukuran Lokasi (2)
نUntuk data yang telah dikelompokkan, maka :
n di mana :
4
fkq
Q1 Bq i
fq Bq = tepi bawah kelas kuartil
i = interval kelas
3n
n = ukuran sampel/banyak data
4
fkq fq = frekuensi pada kelas kuartil
Q3 Bq i fkq = frekuensi kumulatif
fq sebelum kelas kuartil
نJarak antar kuartil (InterQuartil Range)
IQR Q3 Q1
نContoh :
berikut adalah nilai 12 mahasiswa dalam kelas statistika
75 80 68 53 99 58 76 73 85 88 91 79
tentukan nilai ketiga kuartil dan tentukan pula posisi 88 dalam
hubungannya dengan kuartil!
24. Ukuran Lokasi (3)
نJawab :
pertama, urutkan data dari yang terkecil menuju ke yang terbesar
nilai median nilai median
53 58 68 73 75 76 79 80 85 88 91 99
68 73 76 79 85 88
Q1 Q1 Q1
2 2 2
70,5 77,5 86,5
• Q1 = 70,5, menyatakan bahwa ±25% mahasiswa pada sampel
mendapat nilai < 70,5
• Q2 = 77,5, menyatakan bahwa ±50% mahasiswa pada sampel
mendapat nilai < 77,5
• Q3 = 86,5, menyatakan bahwa ±75% mahasiswa pada sampel
mendapat nilai < 86,5
• Dengan melihat letak nilai 88, maka nilai 88 termasuk ke dalam
25% terbaik
25. Ukuran Lokasi (4)
2. Desil
نDesil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan data ke
dalam 10 bagian yang sama
نNilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D1, D2, ..., D9, yang
mempunyai sifat bahwa 10% data berada di bawah D1, 20%
data berada di bawah D2, ..., dan 90% data berada di bawah
D9
نUntuk data yang dikelompokkan :
k
10
n fkd
Dk Bd i
fd
26. Ukuran Lokasi (5)
2. Persentil
نDesil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan data ke
dalam 100 bagian yang sama
نNilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1, P2, ..., P99,
yang mempunyai sifat bahwa 1% data berada di bawah P1, 2%
data berada di bawah P2, ..., dan 99% data berada di bawah
P9
نUntuk data yang dikelompokkan :
k
100
n fkp
Pk Bp i
fp