silvia kuswanti, profile picture
Uploaded bysilvia kuswanti
DOCX, PDF55,068 views

Makalah Statistika Dasar

Makalah ini membahas tentang statistika dasar meliputi pengertian statistika dan statistika, jenis-jenis statistika, data, populasi dan sampel, serta macam-macam data dan sumber data statistika. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mengumpulkan, mengolah, menganalisis, dan menarik kesimpulan dari data, sedangkan statistika merupakan data mengenai suatu masalah. Jenis statistika terdiri atas statistika deskript

Embed presentation

Downloaded 512 times
1 / 112
2 / 112
3 / 112
4 / 112
5 / 112
6 / 112
7 / 112
8 / 112
9 / 112
10 / 112
11 / 112
12 / 112
13 / 112
14 / 112
15 / 112
16 / 112
17 / 112
18 / 112
19 / 112
20 / 112
21 / 112
22 / 112
23 / 112
24 / 112
25 / 112
26 / 112
27 / 112
28 / 112
29 / 112
30 / 112
31 / 112
32 / 112
33 / 112
34 / 112
Most read
35 / 112
36 / 112
37 / 112
Most read
38 / 112
39 / 112
40 / 112
41 / 112
42 / 112
43 / 112
44 / 112
45 / 112
46 / 112
47 / 112
48 / 112
49 / 112
50 / 112
Most read
51 / 112
52 / 112
53 / 112
54 / 112
55 / 112
56 / 112
57 / 112
58 / 112
59 / 112
60 / 112
61 / 112
62 / 112
63 / 112
64 / 112
65 / 112
66 / 112
67 / 112
68 / 112
69 / 112
70 / 112
71 / 112
72 / 112
73 / 112
74 / 112
75 / 112
76 / 112
77 / 112
78 / 112
79 / 112
80 / 112
81 / 112
82 / 112
83 / 112
84 / 112
85 / 112
86 / 112
87 / 112
88 / 112
89 / 112
90 / 112
91 / 112
92 / 112
93 / 112
94 / 112
95 / 112
96 / 112
97 / 112
98 / 112
99 / 112
100 / 112
101 / 112
102 / 112
103 / 112
104 / 112
105 / 112
106 / 112
107 / 112
108 / 112
109 / 112
110 / 112
111 / 112
112 / 112
MAKALAH STATISTIKA DASAR Nama : Dania Yuliani (06081181419001) Silvia Kuswanti (06081181419017) Lia Destiani (06081181419064) PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA
ii KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan hidayah- Nyalah sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si dan Ibu Puji selaku dosen pembimbing mata kuliah statistika dasar yang telah memberikan tugas, sehingga dapat menambah wawasan kami serta dapat memberikanpengetahuan bagi seluruh pembaca. Kami sangat menyadari dalam penyusunan makalah ini terdapat banyak kekurangan dan kesalahan.Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan sarannya dari Ibu.Sehingga dikemudian hari dapat kami dapat membuat makalah lebih baik lagi.Semoga makalah ini dapat digunakan dengna baik dan bermanfaat bagi kita semua.Aamiin. Penulis Kelompok 5
iii DAFTAR ISI Kata Pengantar ........................................................................................................ i Daftar Isi..................................................................................................................ii ISI BAB 1 Pengertian, Jenis Statistika dan Macam-Macam Data ..........................................5 BAB II Penyajian Data dan Aplikasi pada Data Penelitian .............................................13 BAB III Daftar Distribusi Frekuensi dan Aplikasi pada Data Penelitian .........................23 BAB IV Ukuran Pemusatan................................................................................................34 BAB V Ukuran Letak dan Ukuran Penyebaran ...............................................................58 BAB VI Distribusi Binomial dan Poisson..........................................................................65 BABVII Disrtribusi Normal................................................................................................69 BAB VIII Uji Normalitas dan Homogenitas.........................................................................76 BAB IX Uji Hipotesis.........................................................................................................90 BAB X
iv Uji Hipotesis satu Rata-rata..................................................................................96 BAB XI Uji Hipotesis 2 Rata-rata....................................................................................102 PENUTUP Daftar Pustaka......................................................................................................110
5 BAB I STATISTIKA DAN MACAM-MACAM DATA I. Pengertian Statistik dan Statistika A. Pengertian Statistik Menurut Prof. Drs. Sutrisno Hadi MA, statistik adalah cara untuk mengolah data dan menarik kesimpulan-kesimpulan yang teliti dan keputusan-keputusan yang logik dari pengolahan data. Menurut Prof. Dr. H. Agus Irianto, statistik adalah sekumpulan cara maupun aturan-aturan yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan (analisis), penarikan kesimpulan, atas data-data yang berbentuk angka dengan menggunakan suatu asumsi-asumsi tertentu. Dari beberapa pengetian para ahli diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa Statistik adalah data mengenai suatu masalah, yang biasanya disusun dalam tabel dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. B. Pengertian Statistika Menurut Sujana, statistika merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpuam fakta, pengolahan serta penganalisanya, penarikan kesimpulan, penyajian dan publikasi dari data- data yang berbentuk angka Menurut Sudrajat, statistika merupakan Ilmu pengetahuan mengenai cara dan aturan dalam hal pengumpulan data, pengolahan, analisa, penarikan keseimpulan, penyajian dan publikasi dari kata-kata yang berbentu angka. Dari beberapa pengetian para ahli diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa statistika adalah ilmu yang mempelajari statistik, yaitu ilmu yang mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data dan mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan.
6 II. Jenis-jenis Statistika A. Statistika Deskriptif Statistika Deskriptif merupakan statistika yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik, ataupun diagram agar memberikan gambaran yang teratur, ringkas, dan jelas mengenai kejadian suatu peristiwa. B. Statistika Inferensial Statistika inferensial merupakan statistika yang berkaitan dengan analisis data (data dari sampel) yang kemudian digunakan untuk melakukan peramalan atau penaksiran kesimpulan mengenaidata secara keselurahan (populasi). Generalisasi tersebut memiliki sifat tidak pasti karena hanya berdasarkan pada data dari sampel. Oleh sebab itu, dalam statistika induktif harus didasari dengan teori peluang. Data kasar diperoleh dari hasil pengukuran suatu variabel pada sampel yang diambil dari suatu populasi menggunakan teknik pengambilan sampel tertentu. Langkah-langkah kegiatan dtatistika untuk menangani data kasar yaitu : 1. Pengumpulan data 2. Pengolahan data 3. Penyajian data dalam bentuk tabel atau grafik 4. Penafsiran sajian data 5. Analisa data 6. Penafsiran dan pengambilan kesimpulan 7. Pemanfaat penafsiran dan kesimpulan untuk penentuan kegiatan penelitian lebih lanjut Dari langkah-langkah diatas, untuk nomor 1, 2, 3, 4, dan 7 disebut statistik deskriptif (tanpa analisis, tanpa pengujian hipotesis, dan hanya melakukan perhitungan-perhitungan saja) Data ini disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi
7 Sedangkan untuk nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 disebut statistik inferensial (dengan analisis, generalisasi, dan pengujian hipotesis III. Data, Populasi, dan Sampel Data adalah himpunan atau informasi lain yang diperoleh dari observasi, pengukuran dan penilaian terhadap suatu objek atau lebih. Populasi adalah sebuah kumpulan dari semua kemungkinan orang- orang, benda-benda dan ukuran lain dari objek yang menjadi perhatian. Contoh: a. Populasi mahasiswa Universitas Sriwijaya b. Populasi mahasiswa Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Sampel adalah bagian dari populasi yang di ambil melalui cara-cara tertentu yang juga memilki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang dianggap bisa mewakili populasi IV. Macam-macam Data Dalam melakukan suatu penelitian harus dilandasi dengan penggunaan metode ilmiah. Syarat metode ilmiah adalah: Dasar : Fakta/data yang reliable, valid, dan ternilai, teori yang relevan. Sifat : Universal, obyektif, jujur dan terbuka, logis, kritis, analistis, dinamis dan inovatif. A. Data menurut sifat angka a. Data Diskrit Angka-angka yang tidak memiliki desimal atau pecahan di antara bilangan bulatnya, diperoleh dari menghitung. Tiap objek memiliki satu satuan yang utuh, yang tidak memungkinkan untuk terjadinya secara sebagian. Contoh: Jumlah mahasiswa/i FKIP Matematika Universitas Sriwijaya kampus Indralaya tahun ajaran 2014 sebanyak 39 orang. b. Data Kontinu
8 Kumpulan angka-angka yang masih dimungkinkan memiliki bilangan desimal atau pecahan di antara bilangan bulatnya yang banyaknya tak terhingga, biasanya didapatkan dari proses pengukuran. Contoh: Mahasiswa FKIP Matematika Indralaya memiliki tinggi badan rata-rata 156,5 cm. B. Data menurut sifatnya a. Data Kualitatif Kenyataan yang menunjukkan sifat-sifat objek yang tidak memungkinkan secara langsung dapat diubah menjadi angka, sehingga menggunakan pendekatan dalam bentuk kategori. Contoh: lukisan indah, pemandangan bagus, wajah cantik, penataan rapi, kebijaksanaan tepat, perkataannya benar, tariannya indah. b. Data Kuantitatif, yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk angka. Misalnya : FKIP Unsri Indralaya mempunyai 4 gedung. C. Data menurut sumbernya a. Data Primer : data yang diperoleh secara langsung dengan melakukan sendiri pengumpulan terhadap obyek. b. Data Sekunder : data yang diperoleh dari olahan data primer c. Data Tersier : data yang diperoleh dari olahan data sekunder. d. Data Kuarter : data yang diperoleh dari data tersier yang telah diolah terlebih dahulu. D. Data menurut cara menyusun angkanya a. Data nominal, yaitu data statistik yang cara menyusunnya didasarkan pada klasifikasi tertentu. Misalnya: Jumlah mahasiswa FKIP Matematika tahun ajaran 2013/2014 menurut tingkat dan jenis kelaminnya. b. Data ordinal/urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan pada urutan/ranking. Misalnya: Hasil nilai ujian statistika
9 mahasiswa FKIP Matematika tahun ajaran 2013/2014 berdasarkan ranking. c. Data interval, yaitu data statistik dimana terdapat jarak yang sama di antara hal-hal yang sedang diteliti E. Data berdasarkan bentuk angkanya a. Data tunggal, yaitu data statistik yang angka-angkanya merupakan satu unit atau satu kesatuan, tidak dikelompokkan. b. Data kelompok, yaitu data statistik tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka, 51-55, 56-60, 61-65, dst. F. Data berdasarkan waktu pengumpulannya a. Data seketika, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan pada suatu waktu saja. Contoh : Pada semester gazal 2013/2014. b. Data urutan waktu, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan dari waktu ke waktu secara berurutan. Contoh: Jumlah mahasiswa FKIP Unsri yang lulus dari tahun 2010-2013 V. Sumber Data Statistika a. Data primer Data primer merupakan sumber data yang diperoleh langsung dari sumber asli (tidak melalui media perantara). Data primer dapat berupa opini subjek (orang) secara individual atau kelompok, hasil observasi terhadap suatu benda (fisik), kejadian atau kegiatan, dan hasil pengujia. Sumber data primer, misalnya: 1. Wawancara langsung 2. Wawancara tidak langsung 3. Pengisian kuisione b. Data sekunder
10 Data sekunder merupakan sumber data penelitian yang diperoleh peneliti secara tidak langsung melalui media perantara (diperoleh dan dicatat oleh pihak lain). Data sekunder umumnya berupa bukti, catatan atau laporan historis yang telah tersusun dalam arsip (data dokumenter) yang dipublikasikan dan yang tidak dipublikasikan. Sumber data sekunder, misalnya : 1. BPS 2. Bank Indonesia 3. Diknas VI. Istilah dalam Statistika a. Obyek Benda hidup atau mati yg diuji unsur-unsur, sifat dan kelakuannya melalui pengamatan, pengukuran dan penilaian guna mendpt info atau nilai-nilai yg berguna mengenai benda tsb b. Variabel Suatu sifat dari obyek atau unsur dari obyek yg dpt diamati atau diukur shg menghasilkan nilai, ukuran atau criteria lainyg dpt bervariasi c. Variate Angka/nilai ukuran/criteria lain yg dicapai suatu variabelpada suatu individu atau unit statistic d. Variasi Adanya perbedaan antar nilai/variate/ukuran dll dari suatu variabel pada populasi atau sampel e. Variabilitas Kemungkinan utk bervariasi dr nilai suatu variable pd suatu populasi atau sample f. Parameter
11 Suatu variabel terukur yg digunakan sbg criteria utk mengevaluasi suatu populasi atau system g. nilai parametrik Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dariperhitungan atau data sensus, masih harus di analisis. h. Nilai Statistik Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dariperhitungan atau data sensus.
12 KESIMPULAN Statistik merupakan data mengenai suatu masalah, yang biasanya disusun dalam 12tati dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. Sedangkan statistika merupakan ilmu yang mempelajari statistik, yaitu ilmu yang mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data dan mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan Jenis statitisk terdiri dari 12tatistic deskriptif dan inferensial. Statistika Deskriptif merupakan statistika yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik, ataupun diagram agar memberikan gambaran yang teratur, ringkas, dan jelas mengenai kejadian suatu peristiwa. Sedangkan statistika inferensial merupakan statistika yang berkaitan dengan analisis data (data dari sampel) yang kemudian digunakan untuk melakukan peramalan atau penaksiran kesimpulan mengenaidata secara keselurahan (populasi). Generalisasi tersebut memiliki sifat tidak pasti karena hanya berdasarkan pada data dari sampel. Oleh sebab itu, dalam statistika induktif harus didasari dengan teori peluang. Macam-macam data dibedakan berdasarkan dari data menurut sifat angka, data menurut sifatnya, data menurut sumbernya, data menurut cara menyusun angkanya, data berdasarkan bentuk angkanya, dan data berdasarkan waktu pengumpulannya. Sumber data 12tatistic terbagi menjadi 2, yaitu data primer (langsung) dan data sekunder (tidak langsung).
13 BAB II PENYAJIAN DATA DAN APLIKASINYA A. PENGERTIAN PENYAJIAN DATA Penyajian Data adalah salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitian yang telah dilakukan sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Penyajian data bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penilitian/observasi, data lebih cepat ditangkap dan dimengerti, memudahkan dalam analisis data, membuat proses pengambilan keputusan kesimpulan lebih tepat, cepat dan akurat. Penyajian data dalam sebuah tabel ataupun gambar grafik memiliki maksud tertentu. B. BENTUK PENYAJIAN DATA Secara umum ada beberapa cara penyajian data statistik yang sering digunakan, yaitu tabel, grafik, dan diagram. 1. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL Tabel, yaitu kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori- kategori. Misalnya berat badan menurut jenis kelamin, jumlah pegawaimenurut pendidikan, jumlah penjualan menurut jenis barang dan daerahpenjualan, dll. 1.1. Tabel Biasa Tabel biasa sering digunakan untuk bermacam keperluan baik bidang ekonomi, sosial, budaya dan lain-lain untuk menginformasikan data dari hasil penelitian. Bentuk table biasa : JUDUL TABEL ………………………………………… JUDUL KOLOM JUDUL BARIS Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sumber :……………………… Catatan :……………………… Keterangan :
14 a. Judul Tabel ditulis di atas simetris sumbu y dengan huruf capital tanpa penggalan kata secara singkat dan jelas tentang apa, macam atau klasifikasi, dimana, kapan dan apabila ada cantumkan satuan atau unit data yang digunakan. b. Judul kolom ditulis singkat, jelas, dan diupayakan jangan memutus (memenggal) kata. c. Sel-sel tempat penulisan angka-angka atau data. d. Catatan ditulis di bagian kiri bawah berguna untuk mencatat hal-hal penting dan perlu diberikan. Pada bagian tersebut juga terdapat sumber untuk menjelaskan dari mana data tersebut dikutip, kalau tidak ada berarti pelopor ikut di dalamnya. e. Selain 4 bagian tersebut juga harus diperhatikan yaitu nama sebaiknya disusun sesuai abjad, waktu secara berurutan (kronologis), menempaatkan data kategori disusun secara sistematis. 1.2. Tabel Kontigensi Tabel kontigensi biasanya digunakan khusus data yang terletak antara baris dan kolom berjenis variabel kategori. Bentuk tabel kontigensi : Sumber : www.google.com 1.3.Tabel Distribusi Frekuensi Distribusi Frekuensi adalah penyusunan suatu data mulai dari terkecil sampai terbesar yang membagi banyaknya data ke dalam beberapa kelas.Distribusi frekuensi terdiri dari dua yaitu distribusi frekuensi kategori dan distribusi frekuensi numerik. Distribusi frekuensi kategori adalah pengelompokkan data yang disusun berbentuk kata-kata atau
15 pengelompokkan kelas-kelasnya berdasarkan kumulatif. Distribusi numerik adalah pengelompokkan data yang kelas-kelasnya disusun secara interval didasarkan pada angka-angka (kuantitatif). Tabel distribusi frekuensi terdiri atas beberapa bentuk yaitu : a. Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif ialah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka mutlak atau nilai mutlak, tetapi setiap kelasnya dinyatakan dalam bentuk angka persentase (%) atau angka relatif. Contoh : b. Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif ialah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya (f) diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. 1. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari 2. Distribusifrekuensi kumulatif lebih dari c. Distribusi Kumulatif Relatif Distribusi frekuensi kumulatif relatif ialah distribusi frekuensi yang mana nilai frekuensi kemulatif diubah menjadi frekuensi relatif atau persentase. 2. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK Grafik, yaitu gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupaangka atau simbol-simbol yang biasanya dibuat berdasarkan data dari tabel yang telah dibuat. 2.1.Histogram Histogram ialah grafik yang menggambarkan suatu distribusi frekuensi dengan bentuk beberapa segi empat. Contoh : GRAFIK HISTOGRAM
16 2.2.Poligon Poligon frekuensi ialah grafik garis yang menghubungkan nilai tengah tiap sisi atas yang berdekatan dengan nilai tengah jarak frekuensi mutlak masing-masing. Contoh : GRAFIK POLIGON 2.3.Ogive Ogive ialah distribusi frekuensi kumulatif yang menggambarkan diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar atau eksponensial. Contoh : GRAFIK OGIVE Nilai Ujian Matematika Kelas X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 B C D E F 0 5 10 15 20 25 62 67 72 77 82 87 92 Nilai Ujian MatematikaKelas X SMA N 1 Bayung Lencir frekuensi -
17 SMA N 1 Bayung Lencir 3. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM Diagram ialah gambaran untuk memperlihatkan atau menerangkan sesuatu data yang akan disajikan. 3.1.Diagram Batang Diagram batang digunakan untuk menyajikan data yang bersifat kategori atau data distribusi. Penyajian data berbentuk diagram batang ini banyak modelnya antara lain : diagram batang satu komponen atau lebih, diagram batang dua arah, diagram batang tiga dimensi, dan lain-lain sesuai dengan variasi atau tergantung keahlian pembuat diagram. Contoh : 3.2.Diagram Garis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 60 65 70 75 80 85 90 95 f (kumulatif kurang dari) - f (kumulatif lebih dari) - 0 5 10 15 20 25 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 Diagram Batang Nilai Ujian MTK kelas X SMAN 1 Bayung Lencir Frekuensi
18 Diagram garis digunakan untuk menggambarkan keadaan yang serba terus menerus. 3.3.Diagram Lambang Diagram lambang atau simbol ialah suatu diagram yang menggambarkan simbol-simbol dari data sebagai alat visual untuk orang awam. Grafik Nilai Geometri FKIP Matematika Unsri Angkatan 2014 NILAI A  B  C  D  Ket : = Banyaknya 1 orang 3.4.Diagram Lingkaran dan Pastel Diagram lingkaran dan Pastel digunakan untuk penyajian data yang berbentuk kategori dinyatakan dalam persentase. Contoh : 0 5 10 15 20 25 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 Diagram Garis Nilai Ujian MatematikaKelas X SMA N 1 Bayug Lencir Frekuensi
19 Diagram pastel yaitu perubahan wujud dari model diagram lingkaran disajikan dalam bentuk tiga dimensi. Contoh : 3.5.Diagram Peta Diagram peta yaitu diagram yang melukiskan fenomena atau keadaan dihubungkan dengan tempat kejadian. Contoh : DIAGRAM PETA 3% 8% 21% 29% 23% 10% 6% Diagram Lingkaran Nilai ujian Matmatika kelas X SMA N 1 Bayung Lencir 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 3% 8% 21% 29% 23% 10% 6% Diagrampastel Nilai UjianMatematikaKelas X SMA N 1 Bayung Lencir 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89
20 3.6.Diagram Pencar (titik) Diagram pencar (titik) ialah diagram yang menunjukkan gugusan titik-titik setelah garis koordinat sebagai penghubung dihapus. Contoh : 3.7.Diagram Campuran Diagram Campuran ialah diagaram yang disajikan dalam bentuk gabungan dari beberapa dimensi dalam satu penyajian data. Contoh :
21
22 KESIMPULAN Penyajian data adalah salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitian yang telah dilakukan sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Penyajian data bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penilitian/observasi, data lebih cepat ditangkap dan dimengerti, memudahkan dalam analisis data, membuat proses pengambilan keputusan kesimpulan lebih tepat, cepat dan akurat. Secara umum ada beberapa cara penyajian data statistic yang sering digunakan yaitu, tabel, grafik, dan diagram. Penyajian data berbentuk tabel terdiri atas : table biasa, table kontigensi, dan table distribusi frekuensi. Penyajian data berbentuk grafik terdiri atas : grafik histogram, polygon, dan ogive. Penyajian data berbentuk diagram terdiri atas : diagram batang, diagram garis, diagram lambang, diagram lingkaran dan pastel, diagram peta, diagram pencar, dan diagram campuran.
23 BAB III DISTRIBUSI FREKUENSI & APLIKASI PADA DATA PENELITIAN 1. PENGERTIAN DAN TUJUAN DISTRIBUSI FREKUENSI 1.1 Pengertian Distribusi Frekuensi Definisi distribusi frekuensi menurut paraahli: - Distribusi Frekuensi adalah penyusunan data dalam kelas-kelas interval .(Kuswanto,2006) - Distribusi Frekuensi adalah membuat uraian dari suatu hasil penelitian dan menyajikan hasil penelitian tersebut dalam bentuk yang baik, yakni bentuk stastistik popular yang sederhana sehingga kita dapat lebih mudah mendapat gambaran tentang situasi hasil penelitian. (Djarwanto,1982) - Distribusi Frekuensi atau Tabel Frekuensi adalah suatu tabel yang banyaknya kejadian atau frekuensi (cases) didistribusikan ke dalam kelompok-kelompok (kelas-kelas) yang berbeda. (Budiyuwono,1987) Sehingga bisa disimpulkan bahwa distribusi frekuensi adalah penyusunan data kedalam kelas-kelas tertentu, dimana setiap individu hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja. Dalam suatu penelitian, biasanya juga akan dilakukan pengumpulan data. Salah satu cara untuk mengatur atau menyusun data adalah dengan mengelompokan data-data berdasarkan ciri-ciri penting dari sejumlah data kedalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam setiap kelas. 1.2 Tujuan Distribusi Frekuensi Tujuan distribusi frekuensi, yaitu :  Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi.  Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik. 2. MACAM-MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI 2.1 Ditinjau dari jenisnya
24 a. Distribusi Frekuensi Numerikal Distribusi frekuensi numeric aladalah pengelompokan data berdasarkan angka-angka dan biasanya disajikan dengan grafik histogram.Misalnya data tunggal. b. Distribusi Frtekuensi Kategorikal / Kategoris Distribusi frekuensi kategori adalah pengelompokan data berdasarkan kategori-kategori tertentu, biasanya distribusi frekuensi disajikan dengan grafik batang, lingkaran, dan gambar. Misalnya data berkelompok. 2.2. Ditinjau dari nyatatidaknyafrekuensi a. Distribusi frekuensi absolut Distribusi frekuensi absolute adalah suatu jumlah bilangan yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi ini disusun berdasarkan data apa adanya, sehingga tidak menyulitkan peneliti dalam membuat distribusi ini b. Distribusi frekuensi relatif Distribusi frekuensi relative adalah suatu jumlah presentase yang dinyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Dalam hal ini pembuat distribusi terlebih dahulu harus dapat menghitung persentase pada masing-masing kelompok. Distribusi akan memberikan informasi yang lebih jelas tentang posisi masing-masing bagian dalam keseluruhan, karena kita dapat melihat perbandingan antara kelompok yang satudengan kelompok yang lainnya. Walaupun demikian, kita masih belum memperoleh gambaran yang jelas tentang penyebab adanya perbedaan tersebut.. Berikut adalah rumus mencari distribusi frekuensi relatif: frekuensirelatif = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑛 ×100 2.3. Ditinjau dari kesatuannya: a. Distribusi frekuensi satuan Distribusi frekuensi satuan adalah frekuensi yang menunjukan berapa banyak data pada kelompok tertentu. b. Distribusi frekuensi kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang menunjukan jumlah frekuensi pada sekelompok nilai tertentu mulai dari
25 kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut. Frekuensi kumulatif dibagi menjadi dua, yaitu kurang dari dan lebih dari. 3. BAGIAN-BAGIAN DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Class (Kelas) Kelas adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. Batas kelas (Class Limit) adalah nilai batas dari pada tiap kelas dalam sebuah distribusi, terbagi menjadi dua, yaitu: a. stated class limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi frekuensi, terdiri dari Lower Class Limit (batas bawah kelas) dan upper class limit (batas atas kelas). b. class boundaries (tepikelas) adalah batas kelas yang sebenarnya, terdiri dari lower class boundary (batas bawah kelas yang sebenarnya) dan upper class boundary (batas atas kelas yang sebenarnya). 2. Class interval / panjang kelas merupakan lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya. 3. Mid point / class mark / titik tengah merupakan rata-rata hitung dari kedua batas kelas nya atau tepi kelasnya. 4. LANGKAH-LANGKAH MENYUSUN DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Urutkan data terlebih dahulu 2. Menentukan Range (Jangkauan) :didapat dari nilai yang terbesar dikurangi nilai yang terkecil. R = Xmax – X min 3. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan rumus Sturgess. K = 1 + 3,3 logn dimana K = Banyak nya kelas dan n = Jumlah Data. 4. Menentukan Interval Kelas : I = 𝑅 𝐾 5. Menentukan batas kelas :
26 Tbk = Bbk – 0,5 Tak = Bak + 0,5 Panjang interval kelas = Tak – Tbk Keterangan : Tbk = tepi bawah kelas Tak = tepi atas kelas Bbk = batas bawah kelas Bak = batas atas kelas 6. Menentukan titik tengahnya. 7. Memasukkan data kedalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem turus/tally. Menyajikan distribusi frekuensi : isi kolom frekuensi sesuai dengan kolom Tally atau Turus. Contoh : Diberikan data mentah tentang gaji bulanan 50 pegawai honorer dalam ribuan rupiah. 138 164 150 132 144 125 149 157 118 124 144 152 148 136 147 140 158 146 128 135 168 165 126 154 138 118 178 163 137 143 135 140 153 135 147 142 173 146 146 150 142 150 135 156 145 145 161 128 155 162 Dari data diatas, buatlah daftar distribusi frekuensi dari gaji tersebut. Untuk menjawab soal diatas, langkah – langkah yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut. 1. Menentukan Range (R). Range dapat diartikan sebagai jarak antara data terkecil sampai terbesar atau selisih antara data terbesar sampai terkecil. Dari contoh diatas :
27 2. Menentukan Jumlah Kelas (k). Interval atau panjang kelas adalah bebas, kelas dapat berinterval 3, 5, 10, dsb. Cara menentukan jumlah kelas (k) yang paling sederhana adalah dengan Rumus : Jumlah Kelas (k) = Range (R) : Interval kelas Ada cara lain untuk menentukan jumlah kelas, yaitu dengan rumus STURGES, yang formulasinya sebagai berikut : Jumlah kelas (k) = 1 + 3,3 log n Dimana : n = jumlah data yang dimiliki Sehingga, dari contoh diatas diperoleh : 3. Menentukan kelas. Dalam menentukan kelas, diharapkan semua data yang ada dapat masuk keseluruhan. Data terkecil harus masuk pada kelas pertama, dan data terbesar dapat masuk pada kelas terakhir.Dari persoalan diatas, dapat dibuat interval – interval kelas sebagai berikut. Range (R) = Data terbesar – data terkecil = 178 – 118 = 60 Dari contoh di atas, jika interval kelas adalah 9, maka jumlah kelasadalah : 60 : 9 = 6,67 » 7 (dibulatkan). k = 1 + 3,3 log 50 = 1 + 3,3 (1,699) = 6,607 dibulatkan 7 kelas Maka interval kelas (i) = R : k = 60 : 7 = 8,57 dibulatkan menjadi 9
28 Kelas I = dimulai dengan 118, mengingat panjang kelas = 9 maka : Kelas II = dimulai dengan 127 Kelas III = dimulai dengan 136 Kelas IV = dimulai dengan 145 Kelas V = dimulai dengan 154 Kelas VI = dimulai dengan 163 Kelas VII = dimulai dengan 172 4. Menghitung Frekuensi Kelas. Frekuensi tiap – tiap kelas diartikan sebagai jumlah dari data – data yang sudah dimasukkan kedalam masing – masing kelas.Selanjutnya semua data pengamatan pada masing – masing kelas dihitung dengan menggunakan sistem Tally (tanda : ////). Frekuensi kelas adalah jumlah dari tanda yang diperoleh. Jika semua langkah dipenuhi, maka dari soal diatas dapat dibuat table distribusi frekuensi sebagai berikut. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI GAJI BULANAN 50 PEGAWAI HONORER KELAS GAJI ( DalamRibuan ) TALLY FREKUENSI I II III IV V VI VII 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 - 171 172 - 180 //// //// // //// //// / //// //// //// //// // //// // 5 7 11 14 7 4 2
29 TOTAL 50 Jika frekuensi dinyatakan dalam persentasi terhadap total frekuensi, maka table tersebut dinamakan table frekuensi relatif. Jumlah frekuensi dari semua nilai yang lebih kecil dari limit atas dari suatu interval kelassampai dengan dan termasuk kelas yang bersangkutan disebut frekuensi kumulatif. Jika frekuensi kumulatif dinyatakan dalam bentuk hasil pembagiannya dengan total frekuensi disebut frekuensi kumulatif relatif. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI, FREKUENSI RELATIF, FREKUENSI KUMULATIF DAN FREKUENSI KUMULATIF RELATIF GAJI BULANAN 50 PEGAWAI HONORER KELAS GAJI (Ribuan ) FREKUENSI FREKUENSI KUMULATIF FREKUENSI RELATIF ( % ) FREKUENSI KUMULATIF RELATIF (%) I II III IV V VI VII 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 - 171 172 - 180 5 7 11 14 7 4 2 0 12 23 37 44 48 50 10 14 22 28 14 8 4 0 24 46 74 88 96 100 TOTAL 50 100
30 Contoh : DAFTAR HASIL MID SEMESTER KELAS XII IPA 3 SMAN 1 TANJUNG RAJA NILAI BATAS KELAS FREKUENSI 18-27 17,5 - 27,5 2 28-37 27,5 – 37,5 5 38-47 37,5 – 47,5 7 48-57 47,5 – 57,5 7 58-67 57,5 – 67,5 3 68-77 67,5 – 77,5 7 78-87 77,5 – 87,5 3 34 (sumber :makalah statistic tahun 2014) DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF KURANG DARI NILAI Batas Kelas FrekuensiKumulatif≤ PersenKumulatif ≤ 𝟏𝟕, 𝟓 0 0 18-27 ≤ 27,5 2 5,8 28-37 ≤ 37,5 7 20,5 38-47 ≤ 47,5 14 41,1 48-57 ≤ 57,5 21 61,7 58-67 ≤ 67,5 24 70,5 68-77 ≤ 77,5 31 91,1 78-87 ≤ 87,5 34 100
31 Berikut ogif kumulatif kurang dari untuk nilai MID semester Matemtika kelas XII IPA 3 SMA Tanjung Raja yang diambil dari tabel distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan menggunakan batas kelas. DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI NILAI Batas Kelas FrekuensiKumulatif≤ PersenKumulatif 18-27 ≥ 𝟏𝟕, 𝟓 34 100 28-37 ≥27,5 31 91,1 38-47 ≥ 37,5 24 70,5 48-57 ≥ 47,5 21 61,7 58-67 ≥ 57,5 14 41,1 68-77 ≥ 67,5 7 20,5 78-87 ≥ 77,5 2 5,8 ≥ 87,5 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5 OGIF FREKUENSI KUMULATIF ≤ OGIF FREKUENSI KUMULATIF ≤
32 Berikut ogif kumulatif lebih dari untuk nilai MID semester Matemtika kelas XII IPA 3 SMA Tanjung Raja Raja yang diambil dari table distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan menggunakan batas kelas. OGIF KUMULATIF 0 5 10 15 20 25 30 35 40 17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5 OGIF FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI DARI OGIF FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI DARI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5 Ogif kurang dari Ogif lebih dari
33 KESIMPULAN Distribusi Frekuensi adalah penyusunanan data kedalam kelas-kelas tertentu dimana setiap individu hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja. Tujuan distribusi frekuensi, yaitu : memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi, memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik. Adapun macam-macam distribusi frekuensi, dapat ditinjau dari jenisnya, nyata tidaknya frekuensi dan kesatuannya. Dari jenisnya terdapat distribusi frekuensi numerical dan katagorikal, dari nyata tidaknya frekuensi terdapat distribusi frekuensi absolute dan relatif, sedangkan ditinjau dari kesatuannya terdapat distribusi frekuensi satuan dan kumulatif. Bagian-bagian distribusi frekuensi diantaranya terdapat kelas, interval kelas dan titik tengah.
34 BAB IV UKURAN PEMUSATAN DAN UKURAN PENYEBARAN A. Pengertian Ukuran Pemusatan Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data. B. Macam – macam Ukuran Pemusatan 1. Untuk Data Tunggal a. Rata-rata Rata- rata dapat dibedakan menjadi rata-rata hitung, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonik.  Rata-rata Hitung Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data. Rata-rata hitung dari data tunggal, dapat dirumuskan : x̅ = ∑ xi n i=1 ∑fi Keterangan : x̅ = rata-rata ∑ xi n i=1 = jumlah seluruh data fi = banyaknya data Contoh Tentukan nilai rata-rata mata pelajaran matematika bimbingan belajar kelas spesial yang terdiri dari 10 siswa dengan nilai 65, 73, 85, 70, 75, 90, 93, 80, 65, 73 Jawab: X̅ = ∑ xi n i=1 ∑ fi
35 = 65+65+70+73+73+75+80+85+90∓93 10 = 769 10 = 76,9 Jadi nilai rata-rata mata pelajaran matematika bimbingan belajar kelas spesial yang terdiri dari 10 siswa adalah 76,9  Rata-rata Ukur Untuk data tunggal, rata-rata ukur disimbolkan dengan G dirumuskan dengan: G = √( 𝑥1 )( 𝑥2) … (𝑥 𝑛)𝑛 G = rataan ukur atau n = banyaknya data Log(G) = ∑ log(xi) n xi = data ke-i Contoh Hitunglah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8 Jawab: G = √(2)(4)(8)3 Log(G) = log(2)+log(4)+log(8) 3 G = √64 3 atau Log(G) = log(2)+log(22)+log(23) 3 G = 4 Log(G) = log(4) G = 4 Jadi rata-rata nilai ukur yang didapatkan adalah 4  Rata-rata Harmonis Untuk data tunggal, rata-rata harmonis disimbolkan dengan G dirumuskan dengan:
36 H = n ∑ 1 xi n i=1 Keterangan : H = rataan harmonis n = banyaknya data xi= data ke-i Contoh Nilai ulangan harian 4 orang siswa adalah 70, 75, 78, 80. Tentukanlah rata-rata harmonisnya ! Jawab : H = n ∑ 1 xi n i=1 H = 4 1 70 + 1 75 + 1 78 + 1 80 H = 4 0,0142+ 0,0133+ 0,0128 + 0,0125 H = 4 0,0528 H = 75,75 Jadi nilai rata-rata harmonisnya adalah 75,75 b. Median Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan (disusun) dari data terkecil sampai data terbesar  Rumus untuk data yang berjumlah ganjil
37 𝑀𝑒 = 𝑥( 𝑛+1 2 )  Rumus untuk data yang berjumlah genap 𝑀𝑒 = 𝑥 𝑛 2 + 𝑥( 𝑛 2 +1) 2 Contoh 1. Diketahui data sebagai berikut 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50. Tentukan median dari data tersebut ! Jawab: Data diurutkan menjadi : 35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90 Jumlah data adalah 9, berjumlah ganjil. Jadi menggunakan rumus mencari median untuk data berjumlah ganjil. 𝑀𝑒 = 𝑥( 𝑛+1 2 ) 𝑀𝑒 = 𝑥( 9+1 2 ) 𝑀𝑒 = 𝑥5 𝑀𝑒 = 65 Jadi median dari data tersebut adalah 65 2. Diketahui data sebagai berikut 3, 2, 5, 2, 4, 6, 6, 7, 9, 6. Tentukan median dari data tersebut ! Jawab : Data diurutkan menjadi : 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9. Jumlah data adalah 10, berjumlah genap. Jadi menggunakan rumus mencari median untuk data berjumlah genap. 𝑀𝑒 = 𝑥 𝑛 2 + 𝑥( 𝑛 2 +1) 2
38 𝑀𝑒 = 𝑥10 2 + 𝑥( 10 2 +1) 2 𝑀𝑒 = 𝑥5 + 𝑥6 2 𝑀𝑒 = 5 + 6 2 𝑀𝑒 = 11 2 𝑀𝑒 = 5,5 Jadi median untuk data tersebut adalah 5,5 c. Modus Modus adalah data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar. Data yang belum dikelompokkan bisa memiliki satu modus, dua modus, atau mungkin tidak mempunyai modus. Data yang memiliki satu modus disebut monomodus, sedangkan data yang memiliki dua modus disebut bimodus. Contoh Tetukan modus dari data berikut ini 5, 7, 7, 6, 8, 6, 6, 5, 8, 6 Jawab : Data diurutkan menjadi : 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Mo = 6 karena nilai 6 muncul sebanyak 4 kali Jadi modus dari data tersebut adalah 6 2. Untuk Data Berkelompok a. Rata-rata
39  Rata-rata Hitung Rumus rata-rata hitung untuk data berkelompok 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑛 1 Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah rata-rata hitung nya! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 6 2 7 8 20 4 3 Jumlah 50 Jawab : Untuk mencari rata-rata hitung , perlu ditambahkan nilai tengah Nilai xi fi xi fi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 55 62 69 76 83 90 97 6 2 7 8 20 4 3 330 124 483 608 1660 360 291 Jumlah 50 3856
40 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑛 1 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 7 𝑖=1 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 7 1 𝑥̅ = 3856 50 𝑥̅ = 77,12 Jadi nilai rata-rata hitung dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 77,12  Rata-rata Ukur Rata-rata ukur disimbolkan dengan G. Untuk data berkelompok dirumuskan dengan: 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = ∑( 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖) ∑ 𝑓𝑖 Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah rata-rata ukur nya! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab : Nilai fi xi Log xi fi log xi
41 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 55 62 69 76 83 90 97 1,7403 1,7924 1,8388 1,8808 1,9190 1,9542 1,9868 3,4806 10,7544 12,8716 37,6160 15,3520 7,8168 5,9601 Jumlah 50 93,8515 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = ∑( 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖) ∑ 𝑓𝑖 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = 93,8515 50 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = 1,8770 𝐺 = 75,4 Jadi nilai rata-rata ukur dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 75,4  Rata-rata Harmonis Rata-rata ukur disimbolkan dengan H. Untuk data berkelompok dirumuskan dengan: 𝐻̂ = 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah rata-rata harmonis nya! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 2 6 7 20
42 80 – 86 87 – 93 94 – 100 8 4 3 Jumlah 50 Jawab : Nilai fi xi fi / xi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 55 62 69 76 83 90 97 0,1361 0,0968 0,1014 0,2631 0,0964 0,0444 0,0309 Jumlah 50 0,6694 𝐻̂ = 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝐻̂ = 50 0,6694 𝐻̂ = 74,69 Jadi nilai rata-rata harmonis dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 74,69 b. Median Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan (disusun) dari data terkecil sampai data terbesar. 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 ( 1 2 𝑛 − 𝐹 𝑓 )
43 Keterangan b = batas bawah kelas median p = panjang kelas n = banyaknya data F= jumlah frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah median dari data terebut Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab : Jumlah data (n) = 50 Median terlatak pada kelas 73-79 b = 72+73 2 = 72,5 p = 7 F = (2+6+7) = 15 f = 20 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 ( 1 2 𝑛 − 𝐹 𝑓 )
44 𝑀𝑒 = 72,5 + 7 ( 1 2 50 − 15 20 ) 𝑀𝑒 = 72,5 + 7 (0,5) 𝑀𝑒 = 76 Jadi nilai modus dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 76 c. Modus Modus adalah data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar. 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝 𝑏1 𝑏1+𝑏2 Keterangan : Mo = Modus b = batas bawah kelas modus p = panjang kelas 𝑏1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya 𝑏2= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah modus dari data terebut! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 2 6 7 20 8
45 87 – 93 94 – 100 4 3 Jumlah 50 Jawab : Frekuensi terbanyak terlatak pada kelas 73-79, berarti modusnya terletak pada kelas 73-79. b = 72+73 2 = 72,5 p = 7 𝑏1 = 20 – 7 = 13 𝑏2= 20-8 = 12 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝 𝑏1 𝑏1+𝑏2 𝑀𝑜 = 72,5 + 7 13 13 + 12 𝑀𝑜 = 72,5 + 3,64 𝑀𝑜 = 76,14 Jadi nilai modus dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 76,14 II. Ukuran Letak A. Macam – macam Ukuran Letak 1. Untuk Data Tunggal a. Kuartil (Q) Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat bagian yang sama besar. 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 𝑛 + 1 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 2( 𝑛 + 1) 4
46 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 3( 𝑛 + 1) 4 Contoh Diketahui data sebagai berikut 2, 4, 3, 3, 6, 5, 9 . tentukan 𝑄1, 𝑄2 , 𝑄3 ! Jawab : Data diurutkan menjadi 2, 3, 3, 4, 5, 6, 9  𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 𝑛+1 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 7 + 1 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 2 Artinya 𝑄1 terletak pada data ke-2 dari data yang sudah diurutkan, yaitu 3  𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 2( 𝑛+1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 2(7 + 1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 4 Artinya 𝑄2 terletak pada data ke-4 dari data yang sudah diurutkan, yaitu 4  𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 3( 𝑛+1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 3(7 + 1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 6 Artinya 𝑄3 terletak pada data ke-6 dari data yang sudah diurutkan, yaitu 6 b. Desil Desil merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi 10 bagian sama banyak 𝐷𝑖 = 𝑖 10 ( 𝑛 + 1)
47 Contoh Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7. Tentukan D7 Jawab : Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 𝐷𝑖 = 𝑖 10 ( 𝑛 + 1) 𝐷7 = 7 10 (10 + 1) 𝐷7 = 7,7 Artinya letak nilai D7 antara data ke 7 dan 8 Besar nilai D7 = 7 + 0,7 (7-7) Besar nilai D7 = 7 c. Persentil Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian sama setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar 𝑃𝑖 = 𝑖 100 ( 𝑛 + 1) Contoh Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7. Tentukan P20 Jawab : Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 𝑃𝑖 = 𝑖 100 ( 𝑛 + 1) 𝑃20 = 20 100 (10 + 1) 𝑃20 = 2,2 Artinya letak nilai P20 antara data ke 2 dan 3 Besar nilai P20 = 4 + 0,2 ( 4-4 ) Besar nilai P20 = 4 2. Untuk Data Berkelompok a. Kuartil (Q) 𝑄1 = 𝑏 + 𝑝 1 4 𝑛 − 𝐹 𝑓
48 𝑄2 = 𝑏 + 𝑝 1 2 𝑛 − 𝐹 𝑓 𝑄3 = 𝑏 + 𝑝 3 4 𝑛 − 𝐹 𝑓 Keterangan : b = tepi bawah kelas p = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas Q f = frekuensi sebelum kelas Q n = jumlah data Contoh Tentukan 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3 dari data berikut ! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50  𝑄1 = 𝑏 + 𝑝 1 4 𝑛−𝐹 𝑓 𝑄1 = 65,5 + 7 1 4 50 − 8 7 𝑄1 = 65,5 + 5,5 𝑄1 = 70  𝑄2 = 𝑏 + 𝑝 1 2 𝑛−𝐹 𝑓
49 𝑄2 = 72,5+ 7 1 2 50 − 15 20 𝑄2 = 72,5+ 3,5 𝑄2 = 76  𝑄3 = 𝑏 + 𝑝 3 4 𝑛−𝐹 𝑓 𝑄3 = 79,5+ 7 3 4 50 − 35 8 𝑄3 = 79,5+ 2,2 𝑄3 = 81,7 b. Desil (D) Untuk data berkelompok, desil dirumuskan 𝐷𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝 [ 𝑖 10 𝑛 − 𝐹 𝑓𝐷1 ] Keterangan i = 1,2,3,....9 Bb = batas bawah kelas interval yang mengandung Di p = panjang kelas n = banyak data F = Frekuensi kumulatif seebelum Di 𝑓𝐷1 = Frekuensi kelas interval yang mengandung Di c. Persentil (P) Untuk data berkelompok, persentil dirumuskan 𝑃𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝[ 𝑖 100 𝑛 − 𝐹 𝑓𝐷1 ]
50 Keterangan i = 1,2,3,....9 Bb = batas bawah kelas interval yang mengandung Pi p = panjang kelas n = banyak data F = Frekuensi kumulatif seebelum Pi 𝑓𝐷1 = Frekuensi kelas interval yang mengandung Pi Contoh Perhatikan data berkelompok berikut , hitunglah P10 Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab 𝑃𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝 [ 𝑖 100 𝑛 − 𝐹 𝑓𝐷1 ] 𝑃10 = 58,5 + 7[ 10 100 50 − 2 6 ] 𝑃10 = 58,5 + 3,5 𝑃10 = 62 Jadi P10 dari data diatas adalah 62 III. Ukuran Penyebaran
51 A. Pengertian Ukuran Penyebaran Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. B. Macam – macam Ukuran Penyebaran 1. Rentangan ( Range ) 𝑹 = 𝑿 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿 𝒎𝒊𝒏 Keterangan R = Rentangan (R) Xmax = Nilai data terbesar Xmin = Nilai data terkecil 2. Rentangan antar kuartil 𝑹𝑨𝑲 = 𝑸 𝟑 − 𝑸 𝟏 Keterangan RAK = Rentangan antar kuartil Q3 = kuartil ke 3 Q1 = kuartil ke 1 3. Simpangan Rata-rata 𝑺𝑹 = ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅|𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 Keterangan SR = Simpangan rata-rata x𝑖 = Data ke-i 𝑥̅ = Rataan hitung n = Banyak data 4. Simpangan Baku a. Untuk Data Tunggal 𝑺 = √ ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝑺 = √ ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 − 𝟏
52 Keterangan s = Simpangan baku xi = data ke-i n = jumlah data b. Untuk data Berkelompok 𝑺 = √ ∑ 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐 − (∑ 𝒇𝒊 𝒙𝒊) 𝟐 ∑ 𝒇𝒊 ∑ 𝒇𝒊 −𝟏 Keterangan s = Simpangan baku 𝑓𝑖 = Frekuensi ke-i 𝑥̅ = Rata-rata xi = Titik tengah data ke-i 5. Varians 𝑺 𝟐 = ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 6. Angka Baku Angka baku adalah perubahan yang dipergunakan untuk membandingkan dua buah keadaan atau lebih. 𝒁 = 𝒙 − 𝒙̅ 𝑺 Keterangan Z = Angka baku xi = data ke-i 𝑥̅ = rata-rata s = simpangan baku Contoh Diketahui nilai ujian semester statistika kelas IV sebagai berikut
53 90, 80, 70, 90, 70, 100, 80, 50, 75, 70 Tentukan : a. R b. SR c. Simpangan baku Jawab : a. Data diurutkan terlebih dahulu 50, 70, 70, 70, 75, 80, 80, 90, 90, 100 Berdasarkan data diatas, bahwa nilai terbesarnya adalah 100 sedangkan nilai terkecil adalah 50. 𝑹 = 𝑿 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿 𝒎𝒊𝒏 𝑹 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎 𝑹 = 𝟓𝟎 Jadi, rentangan nilai ujian semester statistika kelas IV adalah 50. b. Untuk mempermudah mencari simpangan rata-rata, digunakan tabel Nilai Ujian Semester Statistika kelas IV Nilai (xi) Rata-rata (𝑥̅) |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 50 77,5 27,5 70 7,5 70 7,5 70 7,5 75 2,5 80 2,5 80 2,5 90 12,5 90 12,5 100 22,5 ∑ 𝑥𝑖 = 775 ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅| = 105 𝑆𝑅 = ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 𝑛 Jumlah data (n) = 10
54 𝑆𝑅 = 105 10 = 10,5 Jadi, simpangan rata-rata daridata diatas adalah 10,5 c. Untuk mempermudah mencari simpangan baku dan varians, kita gunakan tabel Untuk data populasi Untu k simp anga n baku (pop ulasi ) : 𝑠 = √ ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 2 𝑛 𝑠 = √ 1412,5 10 = 11,8 Jadi simpangan baku nya adalah 11, Contoh Diketahui sebuah data ditribusi berikut (Nilai Ujian Statistika kelas XI) Nilai (xi) Frekuensi (fi) 60-64 2 65-69 6 70-74 15 Nilai (xi) Rata-rata (𝑥̅) |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| |𝑥 𝑖 − 𝑥̅|2 50 77,5 27,5 756,25 70 7,5 56,25 70 7,5 56,25 70 7,5 56,25 75 2,5 6,25 80 2,5 6,25 80 2,5 6,25 90 12,5 156,25 90 12,5 156,25 100 22,5 156,25 ∑ 𝑥𝑖 = 775 ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅| = 105 ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 2 = 1412,5
55 75-79 20 80-84 16 85-89 7 90-94 4 ∑ 𝑓 = 70 Tentukan a. Simpangan rata-rata b. Simpangan baku Jawab: Nilai (xi) Frekuensi (fi) T.Tengah (x) fi.x (|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) fi.(|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) (|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|)2 f. |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 60-64 2 62 124 15,64 31,28 244,6 489,2 65-69 6 67 402 10,64 63,84 113,2 679,2 70-74 15 72 1080 5,64 84,6 31,8 477 75-79 20 77 1540 0,64 12,8 0,4 8 80-84 16 82 1312 4,36 69,76 19 304 85-89 7 87 609 9,36 65,52 87,6 613,2 90-94 4 92 368 14,36 57,44 206,2 824,8 ∑ 𝑓i = 70 ∑ 𝑓i.x = 5435 fi.(|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) = 385,24 ∑fi.|𝑥𝑖− 𝑥̅| 3395,4 Rata-rata (𝑥̅) = ∑ 𝑓𝑖𝑥 ∑ 𝑓𝑖 𝑥̅ = 5435 70 = 77,6 a. Simpangan rata-rata 𝑆𝑅 = ∑ 𝑓𝑖|𝑥 𝑖 − 𝑥̅| ∑ 𝑓𝑖 𝑆𝑅 = 385,24 70 = 5,5 Jadi, simpangan rata-rata dari data tersebut adalah 5,5 b. Simpangan baku 𝒔 = √ ∑ 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 ∑ 𝒇𝒊
56 𝒔 = √ 𝟑𝟑𝟗𝟓, 𝟒 𝟕𝟎 = 𝟔, 𝟗 Jadi, simpangan baku dari data diatas adalah 6,9
57 KESIMPULAN Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data. Terdiri dari rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonis, modus dan median. Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Terdiri daru Rentangan, Rentangan Antar Kuartil, Simpangan Rata-rata, Simpangan Baku, Varians dan Angka Baku.
58 BAB V UKURAN KERUNCINGAN A. PENGERTIAN UKURAN KERUNCINGAN Kurtosis (ukuran keruncingan) adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. B. DERAJAT KERUNCINGAN DISTRIBUSIFREKUENSI Dilihat dari segi keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat digolongkan menjadi tiga golongan, yaitu : 1. Kurva Leptokurtik Kurva leptokurtik adalah kurva distribusi yang sangat runcing dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai rata-rata. Perhatikan gambar di bawah : Gambar Kurva Leptokurtik 2. Kurva Mesokurtik Kurva mesokurtik adalah kurva yang kemiringannya sedang dan merupakan penggambaran dari suatu distribusi normal. Perhatikan gambar di bawah :
59 Gambar Kurva Mesokurtik 3. Kurva Platikurtik Kurva platikurtik adalah kurva yang betuknya mendatar dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh dari rata-ratanya. Perhatikan gambar di bawah : Gambar Kurva Platikurtik Untuk mengetahui apakah suatu kurva distribusi merupakan leptokurtik, mesokurtik, atau platikurtik, kita dapat menggunakan suatu ukuran keruncingan atau koefisien kurtosis. Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva dipergunakan rumus 𝛼4 yang di rumuskan berikut ini : 1. Data Tidak Berkelompok
60 𝛼4 = 𝑚4 𝑆4 = 1 𝑛 ∑ (𝑥𝑖 − 𝑥̅)4 𝑆4 𝑛 𝑖=1 Keterangan : 𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖 𝑥̅ = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 2. Data Kelompok 𝛼4 = 𝑚4 𝑆4 = 1 𝑛 ∑ (𝑓𝑖( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)4 )𝑛 𝑖=1 𝑆4 Keterangan : 𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖 𝑥̅ = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑓𝑖 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 Berdasarkan koefisien kurtosisnya, jenis kurvanya dikategorikan sebagai berikut : 1. Jika 𝛼4 > 3, kurvanya runcing (liptokurtik) 2. Jika 𝛼4 = 3, kurvanya distribusi normal (mesokurtik) 3. Jika 𝛼4 < 3, kurvanya agak datar (platikurtik) Contoh :
61 Diketahui data kunjungan ke Perpustakaan di SMU “H” selama 100 hari adalah sebagia berikut Kelas Frekuensi 1-5 1 6-10 7 11-15 12 16-20 20 21-25 24 26-30 16 31-35 11 36-40 6 41-45 3 Jumlah 100 Hitunglah koefisien keruncingan dan tentukan jenis kurvanya ! Jawab : Kelas xi ci fi cifi 1-5 3 -4 1 -4 6-10 8 -3 7 -21 11-15 13 -2 12 -24 16-20 18 -1 20 -20 21-25 23 0 24 0 26-30 28 1 16 16 31-35 33 2 11 22 36-40 38 3 6 18 41-45 43 4 3 12
62 Jumlah 100 -1 Pertama tentukan rata-rata data tersebut 𝒙 𝟎 = 𝟐𝟑 P= 5 𝒄̅ = ∑ 𝒄𝒊 𝒇𝒊 ∑ 𝒇𝒊 𝒄̅ = −𝟏 𝟏𝟎𝟎 = −𝟎, 𝟎𝟏 𝒙̅ = 𝒙 𝟎 + 𝑷𝒄̅ 𝒙̅ = 𝟐𝟑 + 𝟓 (−𝟎, 𝟎𝟏) = 𝟐𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟐𝟐, 𝟗𝟓 (𝒅𝒊𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕𝒌𝒂𝒏 𝒎𝒆𝒏𝒋𝒂𝒅𝒊 𝟐𝟑) Kelas xi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 fi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 𝐟𝐢 1-5 3 -20 400 1 400 6-10 8 -15 225 7 1575 11-15 13 -10 100 12 1200 16-20 18 -5 25 20 500 21-25 23 0 0 24 0 26-30 28 5 25 16 400 31-35 33 10 100 11 1100 36-40 38 15 225 6 1350 41-45 43 20 400 3 1200 Jumlah 100 7725 𝑺 = √ 𝟏 𝒏 ∑( 𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 𝐟𝒊
63 𝑺 = √ 𝟏 𝟏𝟎𝟎 (𝟕𝟕𝟐𝟓) = √ 𝟕𝟕, 𝟐𝟓 = 𝟖, 𝟖 Kelas xi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) fi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟒 (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟒 𝐟𝐢 1-5 3 -20 1 160000 160000 6-10 8 -15 7 50625 354357 11-15 13 -10 12 10000 120000 16-20 18 -5 20 625 12500 21-25 23 0 24 0 0 26-30 28 5 16 625 10000 31-35 33 10 11 10000 110000 36-40 38 15 6 50625 303750 41-45 43 20 3 160000 480000 Jumlah 100 1550607 𝛼4 = 𝑚4 𝑆4 = 1 𝑛 ∑ (𝑓𝑖( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)4 )𝑛 𝑖=1 𝑆4 𝛼4 = 1 100 155060607 (8,8)4 𝛼4 = 1550606,07 5996,9536 𝛼4 = 2,585 = 2,6 𝛼4 < 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑔𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑑𝑖𝑘𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑗𝑒𝑛𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑘𝑢𝑟𝑡𝑖𝑘.
64 Kesimpulan Kurtosis (ukuran keruncingan) adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Dilihat dari segi keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat digolongkan menjadi tiga golongan, yaitu : Kurva leptokurtik adalah kurva distribusi yang sangat runcing dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai rata-rata. Kurva mesokurtik adalah kurva yang kemiringannya sedang dan merupakan penggambaran dari suatu distribusi normal. Kurva platikurtik adalah kurva yang betuknya mendatar dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh dari rata-ratanya.
65 BAB VI DISTRIBUSI BINOMIAL DAN POISSON A. DISTRIBUSI BINOMIAL Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa usaha, yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan gagal. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebasar ½. Adapun syarat percobaan atau distribusi binomial adalah sebagai berikut: 1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat. Contoh:melambungkan koin 2 kali, tidak mungkin 2½ kali. 2. Setiap eksperimen mempunyai duahasil. Contoh: sukses atau gagal, laki-laki atau perempuan, sehat atau sakit. 3. Peluang sukses sama setiap ekperimen. Contoh: Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedang kanpeluang gagal adalah 5/6. Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedang kan peluang gagal adalah (1 - p) atau biasa juga dilambangkan q, di manaq = 1- p. Distribusi Binomial dirumuskan( 𝑥) = 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥) = ( 𝑁 𝑥 ) 𝑝 𝑥 (𝑞) 𝑁−𝑥 ; dengan: 𝑁 Banyak percobaan 𝑥 Banyak kejadian sukses 𝑝 Peluang sukses 𝑞 = 1 − 𝑝 Peluang gagal (𝑁 − 𝑥) Banyak kejadian gagal Contoh Soal: Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi.Hitung lah peluang dari bayi
66 tersebut 2 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2) => b (2, 4, 0,2) Penyelesaian soal: Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D. Rumus untuk b (x,n,p) adalah: B. DISTRIBUSI POISSON Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Distribusi poisson ini juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume. Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah λ, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanya kx kali (x adalah bilangan bulat non negatif, x = 0, 1, 2, ...)maka sama dengan 𝑃( 𝑋) = 𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 𝑒−λλ 𝑥 𝑥! Dimana e adalah basis logaritma natural (𝑒 = 2,71828 …) Adapun ciri-ciri dari distribusi poisson adalah sebagai berikut: 1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain. 2. Peluang terjadi nya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil (jarang terjadi). 3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu singkat tertentu, dapat diabaikan.
67 Contoh soal : Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang. Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia : a) Tidak ada kesalahan ( x = 0 ) b) Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 ) c) Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15) Jawab : a) Dik : λ = 5 a. x = 0 P( x ; λ ) = 𝑒−λ λ 𝑥 𝑥! P( 0 ; 5 ) = 2.71828 −5 50 0! = 0.0067 b. x ≤ 3 ; P( x ; λ ) = 𝑒−λ λ 𝑥 𝑥! P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ) = P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 ) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650 atau 26.5 % c. X > 3 ; P( x ; λ ) = 𝑒−λ λ 𝑥 𝑥! P (X >3 , 5) = P( X 4, μ ) +….+p(X 15, μ) = P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau P (X >3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ] = 1 – [ P ( X 0, μ ) +….+ p (X 3, μ) ] = 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ] = 1 – [ 0.2650 ] = 73.5 %
68 KESIMPULAN Probabilitas dapat membantu kita dalam mengambil keputusan. Misalnya seperti memperkirakan mana yang lebih banyak peluang gagal atau sukses dari sebuah usaha yang dilakukan. Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa usaha, yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan gagal. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial) Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang Jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir
69 BAB VII DISTRIBUSI NORMAL I. Pengertian Distribusi Normal Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoritis dan variabel random kontinu. Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama pengembangnya, yaitu Karl Gauss II. Ciri-ciri Distribusi Normal a. Berbentuk lonceng simetris terhadap 𝑥 = 𝜇. Keterangan 𝜋 = nilai konstan yaitu = 3,1416 e = nilai konstan yaitu = 2,7183 𝜇 = parameter yang merupakan rata-rata distribusi 𝜎 = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi (Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:106). Jika x mempunyai bentuk −∞ < 𝑥 < ∞, maka disebut variabel acak X berdistribusi normal. Rumus di atas dapat digambarkan sebagai berikut: Kurva Normal 𝑓( 𝑥) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒 −1 2 ( 𝑥−𝜇 𝜎 ) 2
70 1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu absis X. 2. Mempunyai modus, jadi kurva unimodal tercapai pada 𝑥 = 𝜇 = 0,3939 𝜎 . 3. Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu absis X dimulai dari 𝑥 = 𝜇 + 3𝜎 ke kanan dan 𝑥 = 𝜇 − 3𝜎 ke kiri. 4. Luas daerah grafik selalu = satu unit persegi b. Bentuk Kurva Normal a. Normal Umum Di mana: 𝜇 = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝜎 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑘𝑢 𝜇 − 3𝜎 𝜇 − 2𝜎 𝜇 − 𝜎 𝜇 𝜇 + 𝜎 𝜇 + 2𝜎 𝜇 + 3𝜎 Kurva Normal Umum b. Normal Baku (Standar) Kurva Normal Baku
71 Menurut Husaini Usman dan R. Purnomo (2006:107-108), perubahan dari bentuk normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan langkah-langkah berikut: 1. Cari zhitung dengan rumus: 𝑧 = 𝑋̅−𝜇 𝜎 2. Gambar kurvanya. 3. Tuliskan nilai zhitung pada sumbu X di kurve di atas dan tarik garis dari titik zhitungke atas sehingga memotong garis kurve. 4. Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara garis tegak ke titik 0 di tengah kurve. 5. Carilah tempat nilai z dalam tabel normal. 6. Luas kurve normal = 1, karena𝜇 = 0, maka luas dari 0 ke ujung kiri = 0,5. Luas dari 0 ke titik kanan = 0,5. Jika z bilangan bulat, maka luas daerah (dalam %) adalah sebagai berikut: Gambar 4. Kurva Normal Baku dalam % Jika z bukan bilangan bulat, maka luas daerahnya dicari dengan menggunakan tabel kurva normal baku. III. Cara Menggunakan Tabel Kurva Normal Baku a. Hitung nilai z hingga dua desimal b. Gambarkan sketsa kurvanya
72 c. Tentukan nilai z pada sumbu z, kemudian buatlah garis tegaklurus sumbu z melaui z=0 sehingga membagi luas kura nya sama besar. Nilai z ada 2 kemungkinan yaitu positif dan negatif. d. Luas yang tertera dalam daftar F adalah luas daerah antara garis yang tegaklurus sumbu Z melalui titik z = 0 dan lengkungan kura. e. Dalam daftar F , dibawah kolom Z, carilah nilai Z sampaidengan 1 desimal sedangkan desimal yang kedua didapat pada baris paling atas f. Dari nilai daerah desimal yang terdapat pada kolom paling kiri ditelusuri, maju ke kanan dan dari nilai z di baris atas ditelusuri turub ke bawah sehingga seolah-olah bertemu di titik koordinat , maka pertemuan pada titik koordinat itulah bilangan yang merupakan luas yang dicari. Misalkan z = 0,23 Akan diperoleh antara z- 0,23 luas daerahnya sama dengan 0,0910 kira- kira sama dengan 9,1 %
73 Tabel daftar distribusi normal standar untuk 0 – Z Contoh Carilah luas daerah, dan gunakan Dftar F tadi. Antara z=0 dan z=1,25 Penjelasan Pada kolom z cari 1,2 kemudian ikuti ke kanan hingga bertemu dengan bilangan yang terdapat di bawah kolom angka 5. Bilangan yang dimaksud adalah 0,3944.
74 Maka luas daerah yang dicari adalah daerah yang di arsir yaitu 0,3944 atau 39,44 % IV. Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi normal Distribusi normal memiliki rata-rata, varians, dan simpangan baku sebagai berikut. a. Rata-rata; 𝜇 = ∑ 𝑋 𝑛 b. Varians; 𝜎2 = ∑(𝑋 − 𝜇)2 𝑛 c. Simpangan baku; 𝜎 = √ ∑(𝑋 − 𝜇)2 𝑛
75 KESIMPULAN Distribusi normal merupakan salah satu distribusi teoritis dan variabel random kontinu. Dimana kurvanya merupakan kurva normal. Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribsui normal standar. Menghitung luas daerah kurva normal dapat menggunakan Tabel Kurva Normal Baku.
76 BAB VIII UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS A. UJI NORMALITAS Uji distribusi normal adalah uji untuk mengukur apakah data yang didapatkan memiliki distribusi normal sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik (statistik inferensial). Dengan kata lain, uji normalitas adalah uji untuk mengetahui apakah data empirik yang didapatkan dari lapangan itu sesuai dengan distribusi teoritik tertentu. Dalam kasus ini, distribusi normal. Dengan kata lain, apakah data yang diperoleh berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Ada banyak cara untuk menguji normalitas, antara lain: a. Uji normalitas Chi Square (Chi kuadrat) Uji chi-kuadrat atau Chi square digunakan jika ukuran sampel 30 data atau lebih (n ≥ 30). Metode Chi-Square atau uji goodness of fit distribution normal ini menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan. Uji normalitas data dengan teknik chi-kuadrat digunakan untuk menguji normalitas data yang disajikan secara kelompok. Rumus : 𝑋2 = ∑ (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 𝐸𝑖 Keterangan : 𝑋2 = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥2 Oi = Nilai observasi Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dikalikan N (total frekuensi) (pi x N) N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi) Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal) a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi. b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 ) c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan. Signifikansi:
77 Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square). Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima. Contoh : Diambil Data Nilai Ujian Matematika siswa kelas X SMA N 1 Bayung Lencir Skor Frekuensi 27-33 34-40 41-47 48-54 55-61 62-68 69-75 1 9 13 15 13 11 2 Jumlah 64 Selidikilah dengan 𝛼= 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? (Mean = 51,77; Standar deviasi = 10,14) Jawab : Langkah-langkah untuk menguji normalitas dengann Chi Square: 1. Hipotesis : Ho : Populasi nilai ujian matematika siswa berdistribusi normal H1 : Populasi nilai ujian matematika siswa tidak berdistribusi normal 2. Nilai 𝛼 Nilai 𝛼 = level signifikansi = 5% = 0,05 3. Rumus Statistik Penguji 𝑋2 = ∑ (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2 𝐸𝑖 Kelas Interval Batas Kelas Z batas kelas Luas Z Tabel Ei Oi (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2 𝐸𝑖 27-33 26,5 -2,49 0,4936 1,89 1 0,41 34-40 33,5 -1,80 0,4641 6,25 9 1,21 41-47 40,5 -1,11 0,3665 13,04 13 0,00012 48-54 47,5 -0,42 0,1628 7,23 15 0,29 55-61 54,5 0,27 0,1064 14,41 13 0,14
78 62-66 61,5 0,96 0,3315 7,62 11 1,5 69-75 68,5 1,65 0,4505 2,55 2 0,12 75,5 2,34 0,4904 Jumlah 64 3,67 4. Derajat Bebas Df = ( k =panjang kelas) – 3 ) = ( 7 – 3 ) = 4 5. Nilai Tabel Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 4 ; = 9,49. Tabel X2 (Chi-Square) pada lampiran. 6. Menentukan daerah penolakan Menggunakan Rumus : Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima. Maka : |3,67 | < |9,49| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 7. Kesimpulan Populasi nilai ujian matematika siswa berdistribusi normal b. Uji Liliefors Uji Normalitas dengan uji liliefors apabila data masih disajikan secara individu, maka uji normalitas data sebaiknya dilakukan dengan Uji Liliefors, karena uji Liliefors jauh lebih teliti dibandingkan dengan Uji Chi-Kuadrat. Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut. Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam table distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal. Rumus: 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑠 keterangan : Xi = data / nilai X = rata- rata (mean) s = standar deviasi
79 Hipotesis dari uji Liliefors:  Ho : Sampel berdistribusi normal  Hi : Sampel tidak berdistribusi normal Kriteria:  Jika Lhitung, < L tabel maka terima Ho dan tolak Hi  Jika Lhitung, > L tabel maka tolak Ho dan terima Hi c. Uji normalitas Kolmogorov-Smirnov Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors. No Xi 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑠 𝐹𝑇 Fs | 𝐹𝑇 − 𝐹𝑠| 1 2 3 4 dst Keterangan : Xi = Angka pada data Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal 𝐹𝑇 = Probabilitas kumulatif normal 𝐹𝑇 = Probabilitas kumulatif empiris Persyaratan: a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
80 b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi c. Dapat untuk n besar maupun n kecil. Signifikansi: Signifikansi uji, nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov Smirnov. Jika nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar < nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil Statistik Kolmogorov Distribusi Normal. Contoh : Suatu penelitian tentang berat badan mahasiswa yang mengikuti pelatihan kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut : 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 . Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ? Penyelesaian: a. Hipotesis Ho : Populasi berat badan mahasiswa berdistribusi normal H1 : Populasi berat badan mahasiswa tidak berdistribusi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Statistik Penguji No 𝑋𝑖 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑠 𝐹𝑇 Fs | 𝐹𝑇 − 𝐹𝑠| 1 67 -1,3902 0,0823 0,0741 0,0082 2 67 -1,3902 3 68 -1,2929 0,0985 0,1111 0,0126 4 69 -1,1957 0,1151 0,1481 0,0330 5 70 -1,0985 0,1357 0,2222 0,0865
81 6 70 -1,0985 7 72 -0,904 0,1841 0,2963 0,1122 8 72 -0,904 9 77 -0,4178 0,3372 0,3704 0,0332 10 77 -0,4178 11 78 -0,3205 0,3745 0,5185 0,1440 12 78 -0,3205 13 78 -0,3205 14 78 -0,3205 15 80 -0,1261 0,4483 0,5556 0,1073 16 82 0,06843 0,5279 0,5926 0,0647 17 84 0,26291 0,6025 0,6025 0,0271 18 87 0,55463 0,7088 0,7088 0,0421 19 88 0,65188 0,7422 0,7422 0,0385 20 89 0,74912 0,7734 0,7734 0,0327 21 90 0,84636 0,8023 0,8148 0,0125 22 90 0,84636 23 95 1,33256 0,9082 0,5190 0,3892 24 97 1,52704 0,9370 0,9630 0,026025 97 1,52704 26 97 1,52704 27 98 1,62429 0,7474 1,0000 0,2526 Nilai | 𝐹 𝑇 − 𝐹𝑠| tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1440 d. Derajat Bebas Df tidak diperlukan. e. Nilai Tabel Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α= 0,05 ; N = 27 ; yaitu 0,254. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran. f. Daerah Penolakan Menggunakan rumus | 0,1440 | < | 0,2540| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak g. Kesimpulan Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal dengan α = 0,05.
82 B. UJI HOMOGENITAS Uji homogenitas merupakan uji perbedan antara dua atau lebih populasi. Semua karakteristik populasi dapat bervariasi antara satu populasi dengan yang lain. Dua di antaranya adalah mean dan varian (selain itu masih ada bentuk distribusi, median, modus, range, dll). Uji homogenitas bertujuan untuk mengetahui apakah varians skor yang diukur pada kedua sampel memiliki varians yang sama atau tidak. Populasi- populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi dengan varians yang homogen, sedangkan populasi-populasi dengan varians yang tidak sama besar dinamakan populasi dengan varians yang heterogen. Menguji Homogenitas Varians Populasi Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B berikut ini: No Nilai KelasA KelasB 1 5 5 2 6 5 3 9 9 4 8 6 5 10 10 6 9 6 7 8 9 8 9 9 9 9 9 10 10 10 11 10 10 12 8 8 13 10 10 14 6 2 15 7 6 16 9 10 17 9 9 18 8 10 19 9 9 20 10 10 21 9 10 22 10 10 23 9 10 24 7 6 25 8 10 26 9 10 27 10 9 28 5 3 29 8 8 30 9 9 31 10 10 32 7 6 33 6 4 34 8 3 35 8 8
83 Untuk melakukan uji homogenitas data tersebut.Ada dua macam uji homogenitas untuk menguji kehomogenan dua atau lebih variansi yaitu : 1. Uji Bartlett Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama maupun tidak sama (n yang sama maupun n yang berbeda) untuk tiap kelompok. Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata, dimisalkan populasinya mempunyai varians yang homogen, yaitu 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = ⋯ = 𝜎𝑘 2 . Demikian untuk menguji kesamaan dua rata-rata, telah dimisalkan 𝜎1 2 = 𝜎2 2 , akan diuraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k buah (k≥2) buah populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan varians 𝜎1 2 , 𝜎1 2 ,… , 𝜎𝑘 2 . Akan diuji hipotesis : { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = ⋯ = 𝜎𝑘 2 H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.Metode yang akan digunakan untuk melakukan pengujian ini adalah dengan uji Bartlett. Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n1 ,n1 , …, n𝑘 dengan data Y𝑖𝑗 (𝑖 = 1,2, …, 𝑘𝑑𝑎𝑛𝑗 = 1,2, … , n𝑘 ) dan hasil pengamatan telah disusun dalam daftar : selanjutnya, dari sampel-sampel itu akan kita hitung variansnya masing- masing adalah 𝑠1 2 = 𝑠2 2 = ⋯ = 𝑠 𝑘 2 . Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar seperti : Sampel ke dk 1 𝑑𝑘 𝑠1 2 Log 𝑠1 2 (dk) log 𝑠1 2 DARI POPULASI KE 1 2 … k Data hasil pengamatan Y11 Y21 …. Y 𝑘1 Y12 Y22 …. Y 𝑘2 … … … Y1𝑛1 Y2𝑛2 …. Y 𝑘𝑛 𝑘
84 1 2 . . . k n1 − 1 𝑛2 − 1 . . n𝑘 − 1 1 (n1 − 1) 1 (n2 − 1 1 (n 𝑘 − 1) 𝑠1 2 𝑠2 2 . . . 𝑠 𝑘 2 Log 𝑠1 2 Log 𝑠2 2 . . Log 𝑠 𝑘 2 (n1 − 1)Log 𝑠1 2 (n2 − 1)Log 𝑠 𝑘 2 . . . (n 𝑘 − 1)Log 𝑠 𝑘 2 jumlah ∑ n𝑘 − 1 ∑ 1 (n 𝑘 − 1) … … ∑(n 𝑘 − 1)Log 𝑠 𝑘 2 Dari daftar ini kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni : 𝑠2 = (∑( 𝑛1 − 1) 𝑠𝑖 2) ∑( 𝑛𝑖 − 1) Harga satuan B dengan rumus : 𝐵 = (log 𝑠2 ) ∑( 𝑛𝑖 − 1) Untuk uji Bartlet digunakan statistik chi-kuadrat. 𝑥2 = (ln10){𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖 2 } Dengan ln 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10. Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis 𝐻0 jika 𝑥2 ≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 , dimana 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = ( k-1). Jika harga 𝑥2 yang dihitung dengan rumus di atas ada di atas harga 𝑥2 dari daftar dan cukup dekat kepada harga tersebut, biasanya dilakukan koreksi terhadap rumus dengan menggunakan faktor koreksi K sebagai berikut : 𝐾 = 1 + 1 3(𝑘 − 1) {∑ ( 1 𝑛𝑖 − 1 ) − 1 ∑ 𝑛𝑖 − 1 𝑘 𝑖=1 }
85 Dengan faktor koreksi ini, statistik 𝑥2 yang dipakai sekarang ialah : 𝑥 𝐾 2 = ( 1 𝐾 )𝑥2 Dengan 𝑥2 di ruas kanan dihitung dengan rumus . dalam hal ini, hipotesis 𝐻0 ditolak jika 𝑥 𝐾 2 ≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 Prosedur pengujian hipotesis : 1) Menentukan formulasi hipotesis { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = ⋯ = 𝜎𝑘 2 H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku 2) Menentukan taraf nyata (α) dan 𝑥2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑥2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dimana 𝑥2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = ( k-1). 3) Menentukan kriteria pengujian: Ho diterima jika 𝑥2 < 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 Ho ditolak jika 𝑥2 ≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 4) Menentukan uji statistik 𝑥2 = (ln10){𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖 2 } 5) Menarik kesimpulan Contoh soal : Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas. Dengan rumus varians 𝑠𝑖 2 = ∑ 𝑥 𝑖 2 n 𝑖−1 − (∑ 𝑥 𝑖)2 𝑛𝑖(n 𝑖−1) Dari data diperoleh : 𝑠1 2 =2,114286 𝑠2 2 =5,878992
86 1. H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 (homogen) H1 ∶ 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 (tidak homogen) 2. Taraf nyata (α=5%) dan 𝑥2 tabel 𝑥2 tabel= 𝑥2(1 − 𝛼)( 𝑘 − 1) = 𝑥2(1− 0,05)(1) = 𝑥2(0,95)(1) = 3,81 3. Kriteria pengujian H0 diterima, jika 𝑥2 hitung<𝑥2 tabel H0 ditolak, jika 𝑥2 hitung≥ 𝑥2 tabel 4. Menentukan uji statistik Uji statistik : a. Varians gabungan dari semua sampel 𝑠2 = ∑( 𝑛𝑖 − 1) 𝑠𝑖 2 ∑( 𝑛𝑖 − 1) = 34(2,114286) + 34(5,878992) 34 + 34 = 71,88571 + 199,8857 68 = 271,7715 68 =3,996639 b. Harga satuan B Log 𝑠2 = log3,996639 =0,601695 𝐁 = (Log s2)∑( 2 i=1 ni − 1) = 40,91525 c. Harga X2 𝑥2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = (ln10) {𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1) log 𝑠𝑖 2 } = 2,3026(40,91525 − 37,21186)
87 = 2,3026(3,703388) = 8,527437 d. Kesimpulan Karena 𝑥2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 8,527437 ≥ 3,81 = 𝑥2 tabel maka H0 ditolak. Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogen dalam taraf nyata 0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga kedua sampel tersebut tidak homogen. 2. Uji Harley Pearson Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama (n yang sama ) untuk tiap kelompok, misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan varians 𝜎1 2 dan 𝜎2 2 , akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasangan hipotesis nol H0 dan tandingannya H1 : { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 H1 : 𝜎1 2 ≠ 𝜎 Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independen diambil dari populasi tersebut. Jika sampel dari populasi kesatu berukuran n1 dengan varians 𝑠1 2 dan sampel dari populasi kedua berukuran n2 dengan varians 𝑠2 2 maka untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistik F = 𝑠1 2 𝑠2 2 Kriteria pengujian adalah : diterima hipotesis H0 jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) untuk taraf nyata α, dimana F 𝛽(𝑚,𝑛) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang β, dk pembilang = m dan dk penyebut = n. dalam hal lainnya H0 ditolak. Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 adalah
88 F= Varians terbesar Varians terkecil Prosedur pengujian hipotesis : 1) Menentukan formulasi hipotesis { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 H1 : 𝜎1 2 ≠ 𝜎 2) Menentukan taraf nyata (α) dan F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ditentukan dengan α, derajat bebas pembilang (n1 − 1), dan derajat penyebut (n2 − 1) dengan rumus F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) 3) Menentukan kriteria pengujian: Ho diterima jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) Ho ditolak jika F(1−𝛼)(n1 −1)≤ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) atau F(1−𝛼)(n1 −1)≥ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) 4) Menentukan uji statistik F = 𝑠1 2 𝑠2 2 F= Varians terbesar Varians terkecil 5) Menarik kesimpulan Contoh soal : Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas. 1. Hipotesis (homogen) H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 H1 ∶ 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 (tidak homogen)
89 2. Menentukan taraf nyata (α) dan F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ditentukan dengan α = 5%, derajat bebas pembilang (n1 − 1) = 34, dan derajat penyebut (n2 − 1) = 34 dengan rumus F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) = F0,05(34,34) = 1,77 3. Kriteria pengujian: Ho diterima jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) Ho ditolak jika F(1−𝛼)(n1 −1)≤ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) atau F(1−𝛼)(n1 −1)≥ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) 4. Uji statistik F = 𝑠1 2 𝑠2 2 = 5,878992 2,114268 = 2,780604 5. Kesimpulan Karena 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 2,780604 ≥ 1,77 = 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka H0 ditolak. Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogendalam taraf nyata 0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga kedua sampel tersebut tidak homogen.
90 BAB IX UJI HIPOTESIS A. PENGERTIAN HIPOTESIS STATISTIK Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. Hupo berarti lemah, kurang atau di bawah, dan thesis berarti teori, proposisi, atau pernyataan yang sajikan dengan bukti. Jadi, hipotesis dapat diartikan sebagai suatu anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan keputusan/pemecahan masalah atau untuk dasar penelitian lebih lanjut. Hipotesis juga merupakan suatu pernyataan atau dugaan yang masih lemah kebenarannya sehingga masih harus diuji terlebih dahulu menggunakan teknik tertentu. Suatu hipotesis bisa juga salah, untuk itu harus diuji terlebih dahulu menggunakan data-data observasi. Suatu hipotesis dirumuskan berdasarkan teori, dugaan, pengalaman pribadi/orang lain, kesan umum, ataupun kesimpulan yang masih sangat sementara. Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Atau dengan kata lain, jika suatu pernyataan dibuat untuk menjelaskan nilai parameter populasi, maka hal pernyataan ini juga disebut hipotesis statistik. B. Konsephipotesis Menurut Kerlinger (1973:18) dan Tuckman (1982:5) mengartikan hipotesis adalah sebagai dugaan terhadap hubungan antara dua variable atau lebih. Selanjutnya menurut Sudjana (1992:219) mengartikan hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai suatu hal yang dibuat untuk menjelaskan halitu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekan nya. Atas dasar dua definisi
91 diatas, maka dapat disimpulkan bahwa hipotesis adalah jawaban atau dugaan sementara yang harus diuji lagi kebenarannya. Hipotesis penelitian adalah hipotesis kerja (Hipotesis Alternatif Ha atau H1) yaitu hipotesis yang dirumuskan untuk menjawab permasalahan dengan menggunakan teori-teori yang ada hubungan nya (relevan) dengan masalah penelitian dan belum berdasarkan fakta serta dukungan data yang nyata dilapangan. Hipotesisa lternatif (Ha) dirumuskan dengan kalimat positif. Hipotesis nol adalah pernyataan tidak adanya hubungan, pengaruh, atau perbedaan antara parameter dengan statistik. Hipotesis Nol (Ho) dirumuskan dengan kalimat negatif). Nilai Hipotesis Nol (Ho) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter. C. PERUMUSAN HIPOTESIS Suatu rumusan dari sebuah hipotesis digunakan sebagai petunjuk arah dalam rancangan penelitian, teknik pengumpulan, dan analisis data serta penyimpulan. Rumusan hipotesis sebenarnya sudah dapat dibaca dari uraian masalah, tujuan penelitian, kajian teoritik, dan kerangka pikir sehingga rumusannya harus sejalan. Rumusan hipotesis mempunyai ciri-ciri umum, yaitu sebagai berikut: 1. Kalimat dari rumusan hipotesis dinyatakan sebagai kalimat pernyataan (deklaratif). 2. Rumusan hipotesis melibatkan minimal dua variabel penelitian. 3. Rumusan hipotesis mengandung suatu prediksi. 4. Suatu rumusan hipotesis harus dapat diuji (testable). D. TIPE-TIPE HIPOTESIS
92 Hipotesis statistik akan diterima jika hasil pengujian membenarkan pernyataan nya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataan nya. Di dalam pengujian hipótesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Hipotesis digolongkan menjadi 2 tipe, yaitu hipotesis nihil dan hipotesis alternatif. 1. Hipotesis nihil/nol (Ho) Hipotesis nihil adalah hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih. 2. Hipotesis alternatif (H1) Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang menyatakan adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih. E. KESALAHAN/KEKELIRUAN PENGUJIAN HIPOTESIS Kesimpulan Hipotesis benar Hipotesis salah Terima hipotesis Kekeliruan tipe II ( 𝛽) (kuasa uji = 1 – 𝛽) Tolak hipotesis Kekeliruan tipe I (taraf signifikan 𝛼) Di dalam menaksir parameter populasi berdasarkan data sampel, kemungkinan akan terdapat dua kesalahan, yaitu:  Kesalahan tipe I, yaitu suatu kesalahan bila menolak Ho yang benar (seharusnya diterima). Dalam hal ini tingkat kesalahan dinyatakan dengan 𝛼.
93  Kesalahan tipe II, yaitu suatu kesalahan bila menerima Ho yang salah (seharusnya ditolak). Tingkat kesalahan ini dinyatakan dengan 𝛽. Pembuat keputusan berusaha agar kedua tipe kesalahan di atas ditekan sampai sekecil-kecilnya, hal ini dapat terjadi jika n meningkat. F. FORMULASI HIPOTESIS 1. Uji Satu Pihak (Kanan) Contoh: metode pembelajaran kostektual lebih unggul daripada metode pembelajaran simulasi. Ho: 𝜃 = 𝜃o Ho: 𝜃 > 𝜃o 2. Uji Satu Pihak (Kiri) Contoh: dengan metode ceramah pembiayaan media lebih hemat dari pada metode konstektual. Ho: 𝜃 = 𝜃o Ho: 𝜃 < 𝜃o
94 3. Uji Dua Pihak Contoh: salah satu dari metode pembelajaran lebih unggul dari pada metode pembelajaran yang lain. Ho: 𝜃 = 𝜃o Ho: 𝜃 ≠ 𝜃o
95 Kesimpulan Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis digolongkan menjadi 2 tipe, yaitu hipotesis nihil dan hipotesis alternatif. Hipotesis memiliki formulasi :Uji Satu Pihak (Kanan), Satu Pihak (Kiri), danUji Dua Pihak.
96 BAB X UJI HIPOTESIS SATU RATA-RATA Pengujian hipotesis merupakan suatu prosedur yang akan menghasilkan suatu keputusan, yaitu keputusan menerima atau menolak keputusan itu. Dalam pengujian hipotesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam sebuah probabilitas. I. Pengujian Hipotesis Satu rata-rata Sampel besar (n > 30) Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel besar (n > 30), uji statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedurnya sebagai berikut. 1) Formulasi hipotesis H0 : = H1 : > Kriteria pengujian -H0 diterima jika Z0 , -H0 ditolak jika Z0 > , H0 : = H1 : < Kriteria pengujian -H0 diterima jika Z0 , -H0 ditolak jika Z0 < , , H0 : = H1 : Kriteria pengujian H0 diterima jika Z0 , H0 ditolak jika Z0 > atau Z0 < ,
97 2) Penentuan nilai 𝛼 (taraf nyata) dan nilai Z tabel (𝑍 𝛼 ) Menentukan nilai 𝛼 sesuai soal, kemudian nilai 𝑍 𝛼 atau 𝑍 𝛼/2 ditentukan dari tabel. 3) Uji statistik a. Simpangan baku populasi (𝜎) diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎𝑥̅ = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎 √ 𝑛 b. Simpangan baku populasi (𝜎) tidak diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅−𝜇0 𝑠 𝑥̅ = 𝑋̅−𝜇0 𝑠 √ 𝑛 Keterangan: s = penduga dari 𝜎 = simpangan baku sampel 𝜇0 = nilai 𝜇 sesuai dengan H0 4) Kesimpulan Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai dengan kriteria pengujiannya) Contoh : Menurut pendapat salah satu pinpinan perusahaan buku Statistika, rata-rata penerimaan per hari sebesar Rp 7.000, dengan alternatif lebih besar dari itu. Diketahui simpangan baku dari penerimaan sebesar Rp 1.600. untuk menguji pendapatnya, dilakukan penyelidikan terhadap 256 orang penjual buku ke mahasiswa yang dipilih secara acak, ternyata diketahui rata-rata
98 penerimaan mereka sebesar Rp 7.100. dengan menggunakan 𝛼 = 5%, ujilah pendapat tersebut. Penyelesaian 1.) Formulasi hipotesis 𝐻0 ∶ 𝜇 = 7000 𝐻 𝑎 ∶ 𝜇 > 7000 Kriteria pengujian  H0 diterima jika Z0 𝑍 𝛼 ,  H0 ditolak jika Z0 > 𝑍 𝛼 2.) Taraf Signifikansi 𝛼 = 5%, 𝑍 𝑎 = 1,64 (dari tabel normal) 3.) Uji Statistik 𝑍0 = 𝑋̅−𝜇0 𝜎 √ 𝑛 = 7100−7000 1600 √256 = 1 4.) Berdasarkan kriteria, H0 diterima jika Z0 𝑍 𝛼 . Karena 1 ≤ 1,64 maka Ho diterima Artinya memang benar rata-rata penerimaan mereka sebesar Rp 7.100. dengan menggunakan 𝛼 = 5% II. Pengujian Hipotesis Satu Rata-rata Sampel kecil (n 30) Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel kecil (n 30), uji statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedurnya sebagai berikut.
99 1) Formulasi hipotesis i. H0 : 𝜇 = 𝜇0 H1 : 𝜇 > 𝜇0 Kriteria pengujian: H0 diterima jika t0 ≤ 𝑡 𝛼 , H0 ditolak jika t0 > 𝑡 𝛼 , ii. H0 : 𝜇 = 𝜇0 H1 : 𝜇 < 𝜇0 Kriteria pengujian: a) H0 diterima jika t0 −𝑡 𝛼 , b) H0 ditolak jika t0 < −𝑡 𝛼 , 2) Penentuan nilai 𝛼 (taraf nyata) dan nilai t-tabel Menentukan nilai 𝛼 sesuai soal, kemudian menentukan derajat bebas, yaitu db = n – 1, lalu menentukan nilai 𝑡 𝛼;𝑛−1 atau 𝑡 𝛼/2;𝑛−1 dari tabel. , 3) Uji statistik a. Simpangan baku populasi (𝜎) diketahui: 𝑡0 = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎𝑥̅ = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎 √ 𝑛 b. Simpangan baku populasi (𝜎) tidak diketahui: H0 : = H1 : Kriteria pengujian H0 diterima jika −𝑡 𝑎/2 ≤ 𝑡0 ≤ 𝑡 𝑎/2 H0 ditolak jika 𝑡0 > 𝑡 𝑎/2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡0 < −𝑡 𝑎/2
100 𝑡0 = 𝑋̅ − 𝜇0 𝑠 𝑥̅ = 𝑋̅ − 𝜇0 𝑠 √ 𝑛 4) Kesimpulan Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai dengan kriteria pengujiannya). Contoh Menurut salah satu seorang guru yayasan Bina Ria, pengeluaran per hari siswa-siswi sekolah tersebut yaitu sebesar Rp1.740 dengan alternatifnya tidak sama dengan itu. Untuk menguji pendapat guru tersebut, dilakukan wawancara terhadap 25 orang siswa yayasan yang dipilih secara acak sebagai sampel, dan ternyata rata-rata pengeluaran per hari adalah Rp1.800 dengan simpangan bakunya sebesar Rp100. Dengan menggunakan 𝛼 = 0,05(−5%), ujilah pendapat tersebut. Penyelesaian 𝑛 = 25, 𝑋̅ = 1800, 𝑠 = 100, 𝜇0 = 1740 Formulasi hipotesis 𝐻0 ∶ 𝜇 = 1740 𝐻0 ∶ 𝜇 ≠ 1740 𝑡0 = 𝑋̅−𝜇0 𝑠 √ 𝑛⁄ = 1800−1740 100 √25 ⁄ = 3 𝛼 = 0,05 derajat kebebasan = 𝑛 − 1 = 25 − 1 = 24 𝑡 𝛼 2(𝑛−1)⁄ = 𝑡0,025(24) = 2,0639
101 −𝑡 𝛼 2⁄ = −2,0639 Karena 𝑡0 > 𝑡 𝛼 2⁄ = 3 > −2,0639, maka 𝐻0 ditolak. Berarti,rata-rata pengeluaran perhari siswa-siswa sekolah dasar tersebut tidak sama dengan Rp.1.740.
102 BAB XI UJI HIPOTESIS DUA RATA-RATA A. PengertianUji Hipotesis Dua Rata-Rata Uji hipotesis dua rata-rata digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya perbedaan (kesamaan) antara dua buah data. Salah satu teknik analisis statistic untuk menguji kesamaan dua rata-rata inii adalah uji t (t test) karena rumus yang digunakan disebut rumus t. Rumus t sendiri banyak ragamnya dan pemakaiannya disesuaikan dengan karakteristik kedua data yang akan dibedakan. Ada beberapa syarat yang harus dipenuhi sebelum uji t dilakukan yaitu ; a. Data masing-masing berdistribusi normal b. Data dipilih secara acak c. Data masing-masing homogen B. Pengujian Hipotesis Dua Rata-Rata a. Perumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut: 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 ( 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑎) 𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 > 0 ( 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛, 𝜇1 > 𝜇2) 𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 < 0 ( 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛, 𝜇1 < 𝜇2) 𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 (𝜇1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜇2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜇1 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜇2 ) b. Langkah –langkah untuk melakukan uji hipotesis dua rata-rata adalah sebagai berikut : 1. Uji atau asumsikan bahwa data dipilih secar acak 2. Uji atau asumsikan bahwa data berdistribusi normal 3. Asumsikan bahwa kedua variansnya homogen 4. Tulis Ha dan H0 dlam bentuk kalimat 5. Tulis Ha dan H0 dlam bentuk statistik 6. Cari thitung dengan rumus tertentu 7. Tetapkan taraf signifikansinya (α)
103 1. Sampel besar (n < 30) Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel besar (n<30).uji statistiknya menggunakan distribusi Z. prosedur pengujian hipotesisnya ialah sebagai berikut. 1) Formulasi Hipotesis a. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 b. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 c. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 2) Penentuan nilai dan nilai Z tabel 𝑍 𝑎 Mengambil nilai sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan nilai atau dari 𝑍 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑍 𝑎 2⁄ tabel. 3) Kriteria pengujian Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 ≤ 𝑍 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 > 𝑍 𝑎 Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 ≥ −𝑍 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 < −𝑍 𝑎 Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑍 𝑎 2⁄ ≤ 𝑍0 ≥ −𝑍 𝑎 2⁄ b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 > −𝑍 𝑎 2⁄ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍0 < −𝑍 𝑎 2⁄ 4) Uji Statistik a) Jika simpangan baku populasi diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅1−𝑋2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜎 𝑥1−𝑥2 dengan 𝜎𝑥1−𝑥2 = √ 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 b) Jika simpangan baku populasi tidak diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅1−𝑋2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆 𝑥1−𝑥2 dengan 𝑆 𝑥1−𝑥2 = √ 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2
104 Dimana apabila 𝜎1 𝑑𝑎𝑛 𝜎2 tidak diketahui, dapat diestimasi dengan : 𝑆 𝑥1−𝑥2 = √ 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 𝑆1 2 == 1 𝑛1 − 1 ∑(𝑋𝑖1 ̅̅̅̅ − 𝑋1)2 𝑆2 2 == 1 𝑛2 − 1 ∑(𝑋𝑖2 ̅̅̅̅ − 𝑋2)2 5) Kesimpulan Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0. a). Jika H0 diterima maka H1 ditolak b). Jika H0 ditolak maka H1 diterima. (Hasan, 2003:151) 2. Sampel Kecil ( n ≤ 30 ) Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel ( n ≤ 30 ), uji statisticnya menggunakan distribusi t . Prosedur pengujian hipotesisnya ialah sebagai berikut : 1. Formulasi Hipotesis a. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 b. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 c. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 2. Penentuan nilai dan nilai t tabel 𝑡 𝑎 Mengambil nilai sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan nilai atau dari 𝑡 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 𝑎 2⁄ tabel. 3. Kriteria pengujian Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 ≤ 𝑡 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 > 𝑡 𝑎
105 Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 ≥ −𝑡 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 < −𝑡 𝑎 Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑡 𝑎 2⁄ ≤ 𝑡0 ≥ −𝑡 𝑎 2⁄ b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 > −𝑡 𝑎 2⁄ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡0 < −𝑡 𝑎 2⁄ 4. Uji Statistik a) Untuk pengamatan tidak berpasangan 𝑡0 = 𝑋1 − 𝑋2 √ ( 𝑛1 − 1) 𝑠1 2 + ( 𝑛2 − 1) 𝑠2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 ( 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ) b) Untuk pengamatan berpasangan 𝑡0 = 𝑑̅ 𝑆𝑑 √ 𝑛 𝑑̅ = ∑ 𝑑𝑖 𝑛 𝑑𝑖 = 𝑈1 − 𝑢2 𝑆𝑑 = √ ∑(𝑑𝑖 − 𝑑̅)2 𝑛 − 1 Keterangan : 𝑑̅ = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑 Sd = simpangan baku dari niai d n = banyaknya pasangan 𝑡0 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑏 = 𝑛 − 1 5) Kesimpulan Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0. a). Jika H0 diterima maka H1 ditolak b). Jika H0 ditolak maka H1 diterima.
106 Contoh : 1. Suatu pabrik susu merek Good Milk melakukan pengecekan terhadap produk mereka, apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang di produksi dan di pasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu. Dari data sebelumnya di ketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng sama dengan 125 gram. Dari sample 50 kaleng yang di teliti, di peroleh rata- rata berat bersih 375 gram. Dapatkah di terima bahwa berat bersih rata-rata yang di pasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5 % ! Penyelesaian : Diketahui : n = 50, X = 375, σ = 125, µo = 400 Jawab : a. Formulasi hipotesisnya : Ho : µ = 400 H1 : µ < 400 b. Taraf nyata dan nilai tabelnya : α = 5% = 0,05 Z0,05 = -1,64 (pengujian sisi kiri) c. Kriteria pengujian :
107 o Ho di terima jika Zo ≥ - 1,64 o Ho di tolak jika Zo < - 1,64 d. Uji Statistik 𝑍0 = 𝑥̅ − 𝜇0 √ 𝑛 𝑍0 = 375 − 400̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 125 √50 = −1,41 e. Kesimpulan Karena Zo = -1,41 ≥ - Z0,05 = - 1,64 maka Ho di terima. Jadi, berat bersih rata-rata susu bubuk merek GOOD MILK per kaleng yang di pasarkan sama dengan 400 gram 2. Sebuah perusahan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak 12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir pelatihan di berikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternative keduanya tidak sama! Gunakan taraf nyata 10%! Asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan varians yang sama!
108 Penyelesaian : Diketahui : n1 = 12 X1 = 80 s₁ = 4 n2 = 10 X2 = 75 s₂ = 4,5 Jawab: a. Formulasi hipotesisnya : Ho : µ₁ = µ₂ H1 : µ₁ ≠ µ₂ b. Taraf nyata dan nilai tabelnya : α = 10% = 0,10 𝑡 𝑎 2⁄ = 0,05 db = 12 + 10 – 2 = 20 t0,05;20 = 1,725 c. Kriteria pengujian : o Ho di terima apabila -1,725 ≤ t0 ≤ 1,725 o Ho di tolak apabila t0 > 1,725 atau t0 < -1,725 d. Uji Statistik
109 𝑡0 = 𝑋1 − 𝑋2 √ ( 𝑛1 − 1) 𝑠1 2 + ( 𝑛2 − 1) 𝑠2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 ( 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ) 𝑡0 = 80 − 75 √ (12 − 1)42 + (10 − 1)4,52 12 + 10 − 2 ( 1 12 + 1 10 ) = 2,76 e. Kesimpulan Karena t0 = 2,76 > t0,05;20 = 1,725 maka Ho di tolak. Jadi, kedua metode yang digunakan dalam pelatihan tidak sama hasilnya.
110 DAFTAR PUSTAKA Subana, Moersetyo Rahadi, dan Sudrajat.2000.Statistik Pendidikan.Bandung : Pustaka Setia. Sudjana.2005.Metode Statistika.Bandung : Tarsito. Sudaryono.2014.Teori dan Aplikasi dalam Statistik.Yogyakarta: Andi. Riduwan, MBA. 2007. Pengantar Statistika Sosial. Bandung : Alfabeta Herrhyanto, Nar dan Akib Hamid. 1992. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka. Putri, Ratu Ilma Indra. Distribusi Binomial dan Poisson. http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/distribusi-binomial-dan-poisson- baru.pdf http://fathur14klose.blogspot.com/2011/12/makalah-statistika-distribusi- binomial.html. Diakses pada tanggal 21Oktober2015 Herrhyanto, Nar dan Akib Hamid. 1992. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka. Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Hipotesis. http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji_hipotesis-dan-uji- hipotesis_1_ratarata.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015. Marhaendro, Agus Susworo Dwi. Pengujian Hipotesis. http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/Pengujian%20Hipotesis.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015. Harlyan, Ledhyane Ika. Uji Hipotesis. http://ledhyane.lecture.ub.ac.id/files/2012/11/PENGUJIAN- HIPOTESIS.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015. Yassin, Moh. Tabeldistribusifrekuensi.
111 http://metodestatistik.blogspot.co.id/2011/05/tabel-distribusi- frekuensi.html#.VltJknYrLDc Diaksespadatanggal 28 november 2015. Primasanti, Iftitah. Ujihipotesis. http://iftitahprimasanti.blogspot.com/2012/05/uji-hipotesis.html# Diaksespadatanggal 28 November 2015 Untari, RinaDwi. Distribusi Binomial. http://rinadwiuntari.blogspot.com/2012/12/distribusi-binomial.html# Diaksespadatanggal 28 November 2015 Lailiyah,Intan. Distribusi binomial danpoisson. http://intanlailiyah98.blogspot.com/2013/04/distribusi-binomial-dan- poisson.html# diaksespadatanggal 28 November 2015 https://www.academia.edu/9325441/Pengertian_Penyajian_Data (28 November 2015) https://www.scribd.com/doc/49584241/Tujuan-Penyajian-Data (28 November 2015) Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas. http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-normalitas-dan-homogenitas- ri.pdf Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Hipotesis 1 dan 2 Rata-Rata http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-hipotesis-12-rata-rata1.pdf Yusup, Muhammad. Uji Normalitas http://yourmath.wordpress.com/tabel-Z/ (10 November 2015) Hidayat, Anwar. Uji Normalitas http://www.statistikian.com/2013/01/uji-normalitas.html (10 November 2015) Hafizah, Ellyna. Uji Normalitas dan Homogenitas Data http://www.academia.edu/6774849/Uji-Normalitas-dan-Homogenitas-data (30 November 2015) Kesuma, Dera Puji. Uji Hipotesis Dua Rata-rata
112 http://datapujik.blogspot.co.id/2012/06/Uji-Hipotesis-dua-rata-rata- uji.html (30 November 2015) Marfuah, Siti. Uji Hipotesis Dua Rata-Rata (1) http://sitemath.wordpress.com/2013/03/08/uji-hipotesis-2-rata-rata/ (03 November 2015) Dajan, A. (2000). Pengantar Metode Statistik Jilid 1. Jakarta: LP3ES. Irianto, A. (2010). Statistik: Konsep Dasar, Aplikasi, dan Pengembangannya. Jakarta: Kencana. Riduwan. (2013). Pengantar Statistika. Bandung : Alfabeta. Saleh, S. (1996). Statistik Induktif. UPP-AMP YKPN: Yogyakarta. Statistika Deskriptif. (2014). Sumanto: CAPS. Sugiyo. (2013). Statistika Untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta

More Related Content

PPTX
Statistika Dasar (Statistik dan Statistika )
byHanifa Zulfitri
 
PPTX
Statistik dan Statistika
byAnita Juliani
 
PDF
Rangkuman bab 2, 3 dan 12 metode penelitian pendidikan karya prof. dr. sugio...
byrizka lailatul fitriya
 
PPT
1 pengantar statistika dasar
byAlwan Alfazari
 
PPT
2. penyajian data dan distribusi frekuensi
byNanda Reda
 
PPTX
statistika dasar
byastiariani14
 
PDF
Analisis regresi.
byNovy Yuliyanti
 
PPTX
PPT PROSES PENELITIAN, MASALAH, VARIABEL DAN PARADIGMA PENELITIAN.pptx
byFutriAuliya
 
Statistika Dasar (Statistik dan Statistika )
byHanifa Zulfitri
 
Statistik dan Statistika
byAnita Juliani
 
Rangkuman bab 2, 3 dan 12 metode penelitian pendidikan karya prof. dr. sugio...
byrizka lailatul fitriya
 
1 pengantar statistika dasar
byAlwan Alfazari
 
2. penyajian data dan distribusi frekuensi
byNanda Reda
 
statistika dasar
byastiariani14
 
Analisis regresi.
byNovy Yuliyanti
 
PPT PROSES PENELITIAN, MASALAH, VARIABEL DAN PARADIGMA PENELITIAN.pptx
byFutriAuliya
 

What's hot

DOCX
Makalah dasar-dasar statistika
bySiti_Rita_Anita
 
DOCX
Laporan Pratikum analisis regresi linier sederhana
bygita Ta
 
DOCX
Makalah statistika
byLufi Nurmawan
 
DOCX
Taraf signifikan
byRapul anwar
 
DOC
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...
bySylvester Saragih
 
DOCX
Laporan hasil analisis
byInne Marthyane Pratiwi
 
PPTX
statistika - populasi dan sampel
byAprinsya Panjaitan
 
DOCX
Pertanyaan presentasi
byMelisa Dewintasari
 
PPTX
PPT SPSS-Statistika
byDeviLusianawati
 
PPTX
Uji-T
byHanny Kruisdiarti
 
PDF
Distribusi Sampling
byEman Mendrofa
 
PDF
Probabilitas 2
byCeria Agnantria
 
PPTX
PARAGRAF (ppt)
byPutri Sanuria
 
DOCX
Review Materi Kuliah Perkim
byLaras Kun Rahmanti Putri
 
PPTX
Uji Normalitas dan Homogenitas ppt-
byAisyah Turidho
 
DOCX
ringkasan uji homogenitas dan normalitas
byGina Safitri
 
DOCX
Distribusi Peluang Binomial
byMuhammad Arif
 
PPTX
Uji perbedaan uji z
byUniversitas Negeri Makassar
 
PPTX
Deret berkala dan peramalan
byMaulina Sahara
 
PPTX
Uji Normalitas dan Homogenitas
byPutri Handayani
 
Makalah dasar-dasar statistika
bySiti_Rita_Anita
 
Laporan Pratikum analisis regresi linier sederhana
bygita Ta
 
Makalah statistika
byLufi Nurmawan
 
Taraf signifikan
byRapul anwar
 
Contoh tabel data interval, data nominal, data ordinal, data distribusi freku...
bySylvester Saragih
 
Laporan hasil analisis
byInne Marthyane Pratiwi
 
statistika - populasi dan sampel
byAprinsya Panjaitan
 
Pertanyaan presentasi
byMelisa Dewintasari
 
PPT SPSS-Statistika
byDeviLusianawati
 
Uji-T
byHanny Kruisdiarti
 
Distribusi Sampling
byEman Mendrofa
 
Probabilitas 2
byCeria Agnantria
 
PARAGRAF (ppt)
byPutri Sanuria
 
Review Materi Kuliah Perkim
byLaras Kun Rahmanti Putri
 
Uji Normalitas dan Homogenitas ppt-
byAisyah Turidho
 
ringkasan uji homogenitas dan normalitas
byGina Safitri
 
Distribusi Peluang Binomial
byMuhammad Arif
 
Uji perbedaan uji z
byUniversitas Negeri Makassar
 
Deret berkala dan peramalan
byMaulina Sahara
 
Uji Normalitas dan Homogenitas
byPutri Handayani
 

Viewers also liked

PDF
Makalah statistika dasar 2015 universitas sriwijaya
byDhea Budiman
 
DOCX
makalah statistik, statistika, macam data
byAisyah Turidho
 
DOCX
Makalah statistika
byBonz D's
 
DOCX
Makalah statistik new
byDevandy Enda
 
DOCX
Makalah Dasar-dasar Statistika "Himpunan"
byzn Yedhi
 
DOC
Soal dan pembahasan statistika
bysatriyo buaya
 
DOCX
Makalah statistika (analisis teknik penelitian)
bywilmamamsky
 
PDF
Makalah Statistika ekonomi 1 by Tria Ningrum. R
byTrianingrum
 
DOC
Makalah statistik
byLukmanul Hakim
 
DOCX
tugas karya ilmiah tentang peran statistika
byNurkhairiyah Nurkhairiyah
 
DOCX
Makalah Statistika Dasar
byRia Defti Nurharinda
 
PPTX
PowerPoint Statistika
byAisyah Turidho
 
PPTX
power point statistik by faisal
bymuhammadikhsaniks
 
DOCX
Makalah penyajian data
byAisyah Turidho
 
DOCX
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data
byAisyah Turidho
 
DOCX
Peranan statistik dalam kehidupan sehari
byOki Mentari
 
DOCX
STATISTIKA DASAR (CARA PENYAJIAN DATA STATISTIKA)
byYusrina Fitriani Ns
 
PPTX
Dasar - Dasar Statistik
byphient_dvero
 
DOCX
Makalah Statistika Dasar
byPutri Handayani
 
PPTX
Statistika Matematika kelas X
byKhansha Hanak
 
Makalah statistika dasar 2015 universitas sriwijaya
byDhea Budiman
 
makalah statistik, statistika, macam data
byAisyah Turidho
 
Makalah statistika
byBonz D's
 
Makalah statistik new
byDevandy Enda
 
Makalah Dasar-dasar Statistika "Himpunan"
byzn Yedhi
 
Soal dan pembahasan statistika
bysatriyo buaya
 
Makalah statistika (analisis teknik penelitian)
bywilmamamsky
 
Makalah Statistika ekonomi 1 by Tria Ningrum. R
byTrianingrum
 
Makalah statistik
byLukmanul Hakim
 
tugas karya ilmiah tentang peran statistika
byNurkhairiyah Nurkhairiyah
 
Makalah Statistika Dasar
byRia Defti Nurharinda
 
PowerPoint Statistika
byAisyah Turidho
 
power point statistik by faisal
bymuhammadikhsaniks
 
Makalah penyajian data
byAisyah Turidho
 
Makalah ukuran pemusatan data dan ukuran letak data
byAisyah Turidho
 
Peranan statistik dalam kehidupan sehari
byOki Mentari
 
STATISTIKA DASAR (CARA PENYAJIAN DATA STATISTIKA)
byYusrina Fitriani Ns
 
Dasar - Dasar Statistik
byphient_dvero
 
Makalah Statistika Dasar
byPutri Handayani
 
Statistika Matematika kelas X
byKhansha Hanak
 

Similar to Makalah Statistika Dasar

DOCX
Bahasa indo
bydieny zaury
 
PDF
6. PPT Materi Ajar Statistik Pendidikan (Genap 2019-2020).pdf
byMantoRimbacandi
 
DOCX
Statistika Dasar (Pengertian dan Macam Macam Data )
byHanifa Zulfitri
 
DOCX
29514 statistik dasar
bynurwa ningsih
 
PPTX
Pengantar Statistika Pendidikan untuk Mahasiswa
byssuser6a6b0f
 
PPTX
Materi Statistika Pertemuan 1 "Pengantar Statistikk"
byssuser6a6b0f
 
PPT
Pengantar Statistik
byMariaAmelia34
 
PPT
Pengantar statistik
byHafiza .h
 
DOC
STATISTIKA
byFauziah Nofrizal
 
PPT
Statistik dasar
byali mustofa
 
DOCX
Pertemuan 2 (statistik, statistika, macam data)
byreno sutriono
 
PDF
pptstatdasrevisi-160317063147 fix jadiii
byMellyani Aprilia
 
PPT
Materi Matematika tentang statistika.ppt
bylayliadriani35
 
PDF
PENGERTIAN_STATISTIK_DATA_VARIABEL_DAN_S.pdf
byJumainmain1
 
PPT
Statistika i (2)
bySyarif Yusuf
 
PPTX
STATISTIK-manajemen-proyek-it-pada perusahaan.pptx
byMuhMahdinulBahar1
 
DOCX
Statistik Dasar
bylinda_rosalina
 
PPTX
statistiska materi 1mahasiswa tingkat akhir
bykelas6pantara
 
PPT
materi ini dibuat untuk keperluan kuliah
byRABIATULADAWIYAH671396
 
DOCX
Tugas statistika 3
byTaqiyyuddin Hammam 'Afiify
 
Bahasa indo
bydieny zaury
 
6. PPT Materi Ajar Statistik Pendidikan (Genap 2019-2020).pdf
byMantoRimbacandi
 
Statistika Dasar (Pengertian dan Macam Macam Data )
byHanifa Zulfitri
 
29514 statistik dasar
bynurwa ningsih
 
Pengantar Statistika Pendidikan untuk Mahasiswa
byssuser6a6b0f
 
Materi Statistika Pertemuan 1 "Pengantar Statistikk"
byssuser6a6b0f
 
Pengantar Statistik
byMariaAmelia34
 
Pengantar statistik
byHafiza .h
 
STATISTIKA
byFauziah Nofrizal
 
Statistik dasar
byali mustofa
 
Pertemuan 2 (statistik, statistika, macam data)
byreno sutriono
 
pptstatdasrevisi-160317063147 fix jadiii
byMellyani Aprilia
 
Materi Matematika tentang statistika.ppt
bylayliadriani35
 
PENGERTIAN_STATISTIK_DATA_VARIABEL_DAN_S.pdf
byJumainmain1
 
Statistika i (2)
bySyarif Yusuf
 
STATISTIK-manajemen-proyek-it-pada perusahaan.pptx
byMuhMahdinulBahar1
 
Statistik Dasar
bylinda_rosalina
 
statistiska materi 1mahasiswa tingkat akhir
bykelas6pantara
 
materi ini dibuat untuk keperluan kuliah
byRABIATULADAWIYAH671396
 
Tugas statistika 3
byTaqiyyuddin Hammam 'Afiify
 

More from silvia kuswanti

PPSX
PPT Interaktif Materi Luas Permukaan Kubus
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Wawasan Dasar Pengelolaan Pendidikan
bysilvia kuswanti
 
DOCX
Makalah Wawasan Dasar Pengelolaan Pendidikan
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Uji Hipotesis Satu Rata-rata
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Uji Hipotesis Dua Rata-rata
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Uji Hipitesis
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Uji Normalitas dan Homogenitas
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Distribusi Normal
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Distribusi Bernouli dan Poisson
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Ukuran Keruncingan
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Distribusi Frekuensi
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Ukuran Pemusatan dan Ukuran Penyebaran
bysilvia kuswanti
 
PPT
Pengertian Statistika dan Macam macam Data
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Penyajian Data
bysilvia kuswanti
 
PDF
Integral lipat tiga
bysilvia kuswanti
 
DOCX
FPB dan KPK (Aljabar)
bysilvia kuswanti
 
DOC
Irisan bidang
bysilvia kuswanti
 
DOC
Lembar kerja siswa materi luas permukaan kubus
bysilvia kuswanti
 
DOC
RPP tugas peerteaching
bysilvia kuswanti
 
PPTX
Bunga-bunga Langka di Dunia
bysilvia kuswanti
 
PPT Interaktif Materi Luas Permukaan Kubus
bysilvia kuswanti
 
Wawasan Dasar Pengelolaan Pendidikan
bysilvia kuswanti
 
Makalah Wawasan Dasar Pengelolaan Pendidikan
bysilvia kuswanti
 
Uji Hipotesis Satu Rata-rata
bysilvia kuswanti
 
Uji Hipotesis Dua Rata-rata
bysilvia kuswanti
 
Uji Hipitesis
bysilvia kuswanti
 
Uji Normalitas dan Homogenitas
bysilvia kuswanti
 
Distribusi Normal
bysilvia kuswanti
 
Distribusi Bernouli dan Poisson
bysilvia kuswanti
 
Ukuran Keruncingan
bysilvia kuswanti
 
Distribusi Frekuensi
bysilvia kuswanti
 
Ukuran Pemusatan dan Ukuran Penyebaran
bysilvia kuswanti
 
Pengertian Statistika dan Macam macam Data
bysilvia kuswanti
 
Penyajian Data
bysilvia kuswanti
 
Integral lipat tiga
bysilvia kuswanti
 
FPB dan KPK (Aljabar)
bysilvia kuswanti
 
Irisan bidang
bysilvia kuswanti
 
Lembar kerja siswa materi luas permukaan kubus
bysilvia kuswanti
 
RPP tugas peerteaching
bysilvia kuswanti
 
Bunga-bunga Langka di Dunia
bysilvia kuswanti
 

Recently uploaded

PDF
Modul Ajar PJOK Kelas 8 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PDF
BIOLOGI SMA KELAS 10 PPT VIRUS JASMIN X.2.pdf
byjasminduabelass
 
PDF
Instrumen Akreditasi madrasah tsanawiyah 2025 c.pdf
byrahmatpurwo13
 
PDF
Modul Ajar PJOK Kelas 6 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PPTX
3. BAHAN TAYANG VIRTUAL AGENDA III (1).pptx
byjhenneryage1234
 
PPTX
Perilaku Konsumen dalam Kegiatan Ekonomi
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Fikih Kelas 11
byModul Guruku
 
PPTX
Sukses Ramadhan-Sukses Ramadhan-Sukses Ramadhan.pptx
byBudiGunawan61
 
PDF
Modul Ajar Matematika Kelas 6 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PDF
Membangun Kemandirian Bangsa Menuju Pencapaian Asta Cita
byDadang Solihin
 
PPTX
TEMPLATE PPT UNAIR Universitas Airlangga 287 QS WUR.pptx
byyutikameliaEffendi
 
PDF
Modul Ajar PJOK Kelas 7 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Bahasa Arab Kelas 11
byModul Guruku
 
PDF
Modul Ajar PJOK Kelas 2 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PPTX
PPT WAYANG PANDAWA LIMA BAHASA JAWA.pptx
byRifatulMaulani1
 
PDF
(Deep Learning) Modul Ajar Prakarya Rekayasa Kelas 10 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
PPTX
Model Ekonomi Sederhana dan Pelaku Ekonomi di Pasar
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
PDF
Modul Ajar PJOK Kelas 9 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PPTX
Besarnya Nilai Iman - Nasihat Ustadz.pptx
bySeniSatriawan5
 
PPTX
1. kelas 3 Matematika Bangun Datar garis sejajar dan garis tegak lurus.pptx
bymltfn24
 
Modul Ajar PJOK Kelas 8 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
BIOLOGI SMA KELAS 10 PPT VIRUS JASMIN X.2.pdf
byjasminduabelass
 
Instrumen Akreditasi madrasah tsanawiyah 2025 c.pdf
byrahmatpurwo13
 
Modul Ajar PJOK Kelas 6 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
3. BAHAN TAYANG VIRTUAL AGENDA III (1).pptx
byjhenneryage1234
 
Perilaku Konsumen dalam Kegiatan Ekonomi
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Fikih Kelas 11
byModul Guruku
 
Sukses Ramadhan-Sukses Ramadhan-Sukses Ramadhan.pptx
byBudiGunawan61
 
Modul Ajar Matematika Kelas 6 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
Membangun Kemandirian Bangsa Menuju Pencapaian Asta Cita
byDadang Solihin
 
TEMPLATE PPT UNAIR Universitas Airlangga 287 QS WUR.pptx
byyutikameliaEffendi
 
Modul Ajar PJOK Kelas 7 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Bahasa Arab Kelas 11
byModul Guruku
 
Modul Ajar PJOK Kelas 2 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
PPT WAYANG PANDAWA LIMA BAHASA JAWA.pptx
byRifatulMaulani1
 
(Deep Learning) Modul Ajar Prakarya Rekayasa Kelas 10 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
Model Ekonomi Sederhana dan Pelaku Ekonomi di Pasar
bySMK Negeri 44 Jakarta
 
Modul Ajar PJOK Kelas 9 - Kurikulum Berbasis Cinta
byvisipintarClass
 
Besarnya Nilai Iman - Nasihat Ustadz.pptx
bySeniSatriawan5
 
1. kelas 3 Matematika Bangun Datar garis sejajar dan garis tegak lurus.pptx
bymltfn24
 

Makalah Statistika Dasar

  • 1.
    MAKALAH STATISTIKA DASAR Nama : DaniaYuliani (06081181419001) Silvia Kuswanti (06081181419017) Lia Destiani (06081181419064) PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA
  • 2.
    ii KATA PENGANTAR Puji syukurkami panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan hidayah- Nyalah sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini. Kami mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si dan Ibu Puji selaku dosen pembimbing mata kuliah statistika dasar yang telah memberikan tugas, sehingga dapat menambah wawasan kami serta dapat memberikanpengetahuan bagi seluruh pembaca. Kami sangat menyadari dalam penyusunan makalah ini terdapat banyak kekurangan dan kesalahan.Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan sarannya dari Ibu.Sehingga dikemudian hari dapat kami dapat membuat makalah lebih baik lagi.Semoga makalah ini dapat digunakan dengna baik dan bermanfaat bagi kita semua.Aamiin. Penulis Kelompok 5
  • 3.
    iii DAFTAR ISI Kata Pengantar........................................................................................................ i Daftar Isi..................................................................................................................ii ISI BAB 1 Pengertian, Jenis Statistika dan Macam-Macam Data ..........................................5 BAB II Penyajian Data dan Aplikasi pada Data Penelitian .............................................13 BAB III Daftar Distribusi Frekuensi dan Aplikasi pada Data Penelitian .........................23 BAB IV Ukuran Pemusatan................................................................................................34 BAB V Ukuran Letak dan Ukuran Penyebaran ...............................................................58 BAB VI Distribusi Binomial dan Poisson..........................................................................65 BABVII Disrtribusi Normal................................................................................................69 BAB VIII Uji Normalitas dan Homogenitas.........................................................................76 BAB IX Uji Hipotesis.........................................................................................................90 BAB X
  • 4.
    iv Uji Hipotesis satuRata-rata..................................................................................96 BAB XI Uji Hipotesis 2 Rata-rata....................................................................................102 PENUTUP Daftar Pustaka......................................................................................................110
  • 5.
    5 BAB I STATISTIKA DANMACAM-MACAM DATA I. Pengertian Statistik dan Statistika A. Pengertian Statistik Menurut Prof. Drs. Sutrisno Hadi MA, statistik adalah cara untuk mengolah data dan menarik kesimpulan-kesimpulan yang teliti dan keputusan-keputusan yang logik dari pengolahan data. Menurut Prof. Dr. H. Agus Irianto, statistik adalah sekumpulan cara maupun aturan-aturan yang berkaitan dengan pengumpulan, pengolahan (analisis), penarikan kesimpulan, atas data-data yang berbentuk angka dengan menggunakan suatu asumsi-asumsi tertentu. Dari beberapa pengetian para ahli diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa Statistik adalah data mengenai suatu masalah, yang biasanya disusun dalam tabel dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. B. Pengertian Statistika Menurut Sujana, statistika merupakan pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpuam fakta, pengolahan serta penganalisanya, penarikan kesimpulan, penyajian dan publikasi dari data- data yang berbentuk angka Menurut Sudrajat, statistika merupakan Ilmu pengetahuan mengenai cara dan aturan dalam hal pengumpulan data, pengolahan, analisa, penarikan keseimpulan, penyajian dan publikasi dari kata-kata yang berbentu angka. Dari beberapa pengetian para ahli diatas, dapat ditarik kesimpulan bahwa statistika adalah ilmu yang mempelajari statistik, yaitu ilmu yang mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data dan mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan.
  • 6.
    6 II. Jenis-jenis Statistika A.Statistika Deskriptif Statistika Deskriptif merupakan statistika yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik, ataupun diagram agar memberikan gambaran yang teratur, ringkas, dan jelas mengenai kejadian suatu peristiwa. B. Statistika Inferensial Statistika inferensial merupakan statistika yang berkaitan dengan analisis data (data dari sampel) yang kemudian digunakan untuk melakukan peramalan atau penaksiran kesimpulan mengenaidata secara keselurahan (populasi). Generalisasi tersebut memiliki sifat tidak pasti karena hanya berdasarkan pada data dari sampel. Oleh sebab itu, dalam statistika induktif harus didasari dengan teori peluang. Data kasar diperoleh dari hasil pengukuran suatu variabel pada sampel yang diambil dari suatu populasi menggunakan teknik pengambilan sampel tertentu. Langkah-langkah kegiatan dtatistika untuk menangani data kasar yaitu : 1. Pengumpulan data 2. Pengolahan data 3. Penyajian data dalam bentuk tabel atau grafik 4. Penafsiran sajian data 5. Analisa data 6. Penafsiran dan pengambilan kesimpulan 7. Pemanfaat penafsiran dan kesimpulan untuk penentuan kegiatan penelitian lebih lanjut Dari langkah-langkah diatas, untuk nomor 1, 2, 3, 4, dan 7 disebut statistik deskriptif (tanpa analisis, tanpa pengujian hipotesis, dan hanya melakukan perhitungan-perhitungan saja) Data ini disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi
  • 7.
    7 Sedangkan untuk nomor1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 disebut statistik inferensial (dengan analisis, generalisasi, dan pengujian hipotesis III. Data, Populasi, dan Sampel Data adalah himpunan atau informasi lain yang diperoleh dari observasi, pengukuran dan penilaian terhadap suatu objek atau lebih. Populasi adalah sebuah kumpulan dari semua kemungkinan orang- orang, benda-benda dan ukuran lain dari objek yang menjadi perhatian. Contoh: a. Populasi mahasiswa Universitas Sriwijaya b. Populasi mahasiswa Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Sampel adalah bagian dari populasi yang di ambil melalui cara-cara tertentu yang juga memilki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang dianggap bisa mewakili populasi IV. Macam-macam Data Dalam melakukan suatu penelitian harus dilandasi dengan penggunaan metode ilmiah. Syarat metode ilmiah adalah: Dasar : Fakta/data yang reliable, valid, dan ternilai, teori yang relevan. Sifat : Universal, obyektif, jujur dan terbuka, logis, kritis, analistis, dinamis dan inovatif. A. Data menurut sifat angka a. Data Diskrit Angka-angka yang tidak memiliki desimal atau pecahan di antara bilangan bulatnya, diperoleh dari menghitung. Tiap objek memiliki satu satuan yang utuh, yang tidak memungkinkan untuk terjadinya secara sebagian. Contoh: Jumlah mahasiswa/i FKIP Matematika Universitas Sriwijaya kampus Indralaya tahun ajaran 2014 sebanyak 39 orang. b. Data Kontinu
  • 8.
    8 Kumpulan angka-angka yangmasih dimungkinkan memiliki bilangan desimal atau pecahan di antara bilangan bulatnya yang banyaknya tak terhingga, biasanya didapatkan dari proses pengukuran. Contoh: Mahasiswa FKIP Matematika Indralaya memiliki tinggi badan rata-rata 156,5 cm. B. Data menurut sifatnya a. Data Kualitatif Kenyataan yang menunjukkan sifat-sifat objek yang tidak memungkinkan secara langsung dapat diubah menjadi angka, sehingga menggunakan pendekatan dalam bentuk kategori. Contoh: lukisan indah, pemandangan bagus, wajah cantik, penataan rapi, kebijaksanaan tepat, perkataannya benar, tariannya indah. b. Data Kuantitatif, yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk angka. Misalnya : FKIP Unsri Indralaya mempunyai 4 gedung. C. Data menurut sumbernya a. Data Primer : data yang diperoleh secara langsung dengan melakukan sendiri pengumpulan terhadap obyek. b. Data Sekunder : data yang diperoleh dari olahan data primer c. Data Tersier : data yang diperoleh dari olahan data sekunder. d. Data Kuarter : data yang diperoleh dari data tersier yang telah diolah terlebih dahulu. D. Data menurut cara menyusun angkanya a. Data nominal, yaitu data statistik yang cara menyusunnya didasarkan pada klasifikasi tertentu. Misalnya: Jumlah mahasiswa FKIP Matematika tahun ajaran 2013/2014 menurut tingkat dan jenis kelaminnya. b. Data ordinal/urutan, yaitu data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan pada urutan/ranking. Misalnya: Hasil nilai ujian statistika
  • 9.
    9 mahasiswa FKIP Matematikatahun ajaran 2013/2014 berdasarkan ranking. c. Data interval, yaitu data statistik dimana terdapat jarak yang sama di antara hal-hal yang sedang diteliti E. Data berdasarkan bentuk angkanya a. Data tunggal, yaitu data statistik yang angka-angkanya merupakan satu unit atau satu kesatuan, tidak dikelompokkan. b. Data kelompok, yaitu data statistik tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka, 51-55, 56-60, 61-65, dst. F. Data berdasarkan waktu pengumpulannya a. Data seketika, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan pada suatu waktu saja. Contoh : Pada semester gazal 2013/2014. b. Data urutan waktu, yaitu data statistik yg mencerminkan keadaan dari waktu ke waktu secara berurutan. Contoh: Jumlah mahasiswa FKIP Unsri yang lulus dari tahun 2010-2013 V. Sumber Data Statistika a. Data primer Data primer merupakan sumber data yang diperoleh langsung dari sumber asli (tidak melalui media perantara). Data primer dapat berupa opini subjek (orang) secara individual atau kelompok, hasil observasi terhadap suatu benda (fisik), kejadian atau kegiatan, dan hasil pengujia. Sumber data primer, misalnya: 1. Wawancara langsung 2. Wawancara tidak langsung 3. Pengisian kuisione b. Data sekunder
  • 10.
    10 Data sekunder merupakansumber data penelitian yang diperoleh peneliti secara tidak langsung melalui media perantara (diperoleh dan dicatat oleh pihak lain). Data sekunder umumnya berupa bukti, catatan atau laporan historis yang telah tersusun dalam arsip (data dokumenter) yang dipublikasikan dan yang tidak dipublikasikan. Sumber data sekunder, misalnya : 1. BPS 2. Bank Indonesia 3. Diknas VI. Istilah dalam Statistika a. Obyek Benda hidup atau mati yg diuji unsur-unsur, sifat dan kelakuannya melalui pengamatan, pengukuran dan penilaian guna mendpt info atau nilai-nilai yg berguna mengenai benda tsb b. Variabel Suatu sifat dari obyek atau unsur dari obyek yg dpt diamati atau diukur shg menghasilkan nilai, ukuran atau criteria lainyg dpt bervariasi c. Variate Angka/nilai ukuran/criteria lain yg dicapai suatu variabelpada suatu individu atau unit statistic d. Variasi Adanya perbedaan antar nilai/variate/ukuran dll dari suatu variabel pada populasi atau sampel e. Variabilitas Kemungkinan utk bervariasi dr nilai suatu variable pd suatu populasi atau sample f. Parameter
  • 11.
    11 Suatu variabel terukuryg digunakan sbg criteria utk mengevaluasi suatu populasi atau system g. nilai parametrik Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dariperhitungan atau data sensus, masih harus di analisis. h. Nilai Statistik Suatu nilai dari suatu parameter yg diperoleh dariperhitungan atau data sensus.
  • 12.
    12 KESIMPULAN Statistik merupakan datamengenai suatu masalah, yang biasanya disusun dalam 12tati dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. Sedangkan statistika merupakan ilmu yang mempelajari statistik, yaitu ilmu yang mempelajari bagaimana caranya mengumpulkan data, mengolah data, menyajikan data, menganalisis data, membuat kesimpulan dari hasil analisis data dan mengambil keputusan berdasarkan hasil kesimpulan Jenis statitisk terdiri dari 12tatistic deskriptif dan inferensial. Statistika Deskriptif merupakan statistika yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik, ataupun diagram agar memberikan gambaran yang teratur, ringkas, dan jelas mengenai kejadian suatu peristiwa. Sedangkan statistika inferensial merupakan statistika yang berkaitan dengan analisis data (data dari sampel) yang kemudian digunakan untuk melakukan peramalan atau penaksiran kesimpulan mengenaidata secara keselurahan (populasi). Generalisasi tersebut memiliki sifat tidak pasti karena hanya berdasarkan pada data dari sampel. Oleh sebab itu, dalam statistika induktif harus didasari dengan teori peluang. Macam-macam data dibedakan berdasarkan dari data menurut sifat angka, data menurut sifatnya, data menurut sumbernya, data menurut cara menyusun angkanya, data berdasarkan bentuk angkanya, dan data berdasarkan waktu pengumpulannya. Sumber data 12tatistic terbagi menjadi 2, yaitu data primer (langsung) dan data sekunder (tidak langsung).
  • 13.
    13 BAB II PENYAJIAN DATADAN APLIKASINYA A. PENGERTIAN PENYAJIAN DATA Penyajian Data adalah salah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitian yang telah dilakukan sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Penyajian data bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penilitian/observasi, data lebih cepat ditangkap dan dimengerti, memudahkan dalam analisis data, membuat proses pengambilan keputusan kesimpulan lebih tepat, cepat dan akurat. Penyajian data dalam sebuah tabel ataupun gambar grafik memiliki maksud tertentu. B. BENTUK PENYAJIAN DATA Secara umum ada beberapa cara penyajian data statistik yang sering digunakan, yaitu tabel, grafik, dan diagram. 1. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL Tabel, yaitu kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori- kategori. Misalnya berat badan menurut jenis kelamin, jumlah pegawaimenurut pendidikan, jumlah penjualan menurut jenis barang dan daerahpenjualan, dll. 1.1. Tabel Biasa Tabel biasa sering digunakan untuk bermacam keperluan baik bidang ekonomi, sosial, budaya dan lain-lain untuk menginformasikan data dari hasil penelitian. Bentuk table biasa : JUDUL TABEL ………………………………………… JUDUL KOLOM JUDUL BARIS Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sel-sel Sumber :……………………… Catatan :……………………… Keterangan :
  • 14.
    14 a. Judul Tabelditulis di atas simetris sumbu y dengan huruf capital tanpa penggalan kata secara singkat dan jelas tentang apa, macam atau klasifikasi, dimana, kapan dan apabila ada cantumkan satuan atau unit data yang digunakan. b. Judul kolom ditulis singkat, jelas, dan diupayakan jangan memutus (memenggal) kata. c. Sel-sel tempat penulisan angka-angka atau data. d. Catatan ditulis di bagian kiri bawah berguna untuk mencatat hal-hal penting dan perlu diberikan. Pada bagian tersebut juga terdapat sumber untuk menjelaskan dari mana data tersebut dikutip, kalau tidak ada berarti pelopor ikut di dalamnya. e. Selain 4 bagian tersebut juga harus diperhatikan yaitu nama sebaiknya disusun sesuai abjad, waktu secara berurutan (kronologis), menempaatkan data kategori disusun secara sistematis. 1.2. Tabel Kontigensi Tabel kontigensi biasanya digunakan khusus data yang terletak antara baris dan kolom berjenis variabel kategori. Bentuk tabel kontigensi : Sumber : www.google.com 1.3.Tabel Distribusi Frekuensi Distribusi Frekuensi adalah penyusunan suatu data mulai dari terkecil sampai terbesar yang membagi banyaknya data ke dalam beberapa kelas.Distribusi frekuensi terdiri dari dua yaitu distribusi frekuensi kategori dan distribusi frekuensi numerik. Distribusi frekuensi kategori adalah pengelompokkan data yang disusun berbentuk kata-kata atau
  • 15.
    15 pengelompokkan kelas-kelasnya berdasarkankumulatif. Distribusi numerik adalah pengelompokkan data yang kelas-kelasnya disusun secara interval didasarkan pada angka-angka (kuantitatif). Tabel distribusi frekuensi terdiri atas beberapa bentuk yaitu : a. Distribusi Frekuensi Relatif Distribusi frekuensi relatif ialah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya tidak dinyatakan dalam angka mutlak atau nilai mutlak, tetapi setiap kelasnya dinyatakan dalam bentuk angka persentase (%) atau angka relatif. Contoh : b. Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif ialah distribusi frekuensi yang nilai frekuensinya (f) diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. 1. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari 2. Distribusifrekuensi kumulatif lebih dari c. Distribusi Kumulatif Relatif Distribusi frekuensi kumulatif relatif ialah distribusi frekuensi yang mana nilai frekuensi kemulatif diubah menjadi frekuensi relatif atau persentase. 2. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK GRAFIK Grafik, yaitu gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupaangka atau simbol-simbol yang biasanya dibuat berdasarkan data dari tabel yang telah dibuat. 2.1.Histogram Histogram ialah grafik yang menggambarkan suatu distribusi frekuensi dengan bentuk beberapa segi empat. Contoh : GRAFIK HISTOGRAM
  • 16.
    16 2.2.Poligon Poligon frekuensi ialahgrafik garis yang menghubungkan nilai tengah tiap sisi atas yang berdekatan dengan nilai tengah jarak frekuensi mutlak masing-masing. Contoh : GRAFIK POLIGON 2.3.Ogive Ogive ialah distribusi frekuensi kumulatif yang menggambarkan diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar atau eksponensial. Contoh : GRAFIK OGIVE Nilai Ujian Matematika Kelas X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 B C D E F 0 5 10 15 20 25 62 67 72 77 82 87 92 Nilai Ujian MatematikaKelas X SMA N 1 Bayung Lencir frekuensi -
  • 17.
    17 SMA N 1Bayung Lencir 3. PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM Diagram ialah gambaran untuk memperlihatkan atau menerangkan sesuatu data yang akan disajikan. 3.1.Diagram Batang Diagram batang digunakan untuk menyajikan data yang bersifat kategori atau data distribusi. Penyajian data berbentuk diagram batang ini banyak modelnya antara lain : diagram batang satu komponen atau lebih, diagram batang dua arah, diagram batang tiga dimensi, dan lain-lain sesuai dengan variasi atau tergantung keahlian pembuat diagram. Contoh : 3.2.Diagram Garis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 60 65 70 75 80 85 90 95 f (kumulatif kurang dari) - f (kumulatif lebih dari) - 0 5 10 15 20 25 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 Diagram Batang Nilai Ujian MTK kelas X SMAN 1 Bayung Lencir Frekuensi
  • 18.
    18 Diagram garis digunakanuntuk menggambarkan keadaan yang serba terus menerus. 3.3.Diagram Lambang Diagram lambang atau simbol ialah suatu diagram yang menggambarkan simbol-simbol dari data sebagai alat visual untuk orang awam. Grafik Nilai Geometri FKIP Matematika Unsri Angkatan 2014 NILAI A  B  C  D  Ket : = Banyaknya 1 orang 3.4.Diagram Lingkaran dan Pastel Diagram lingkaran dan Pastel digunakan untuk penyajian data yang berbentuk kategori dinyatakan dalam persentase. Contoh : 0 5 10 15 20 25 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 Diagram Garis Nilai Ujian MatematikaKelas X SMA N 1 Bayug Lencir Frekuensi
  • 19.
    19 Diagram pastel yaituperubahan wujud dari model diagram lingkaran disajikan dalam bentuk tiga dimensi. Contoh : 3.5.Diagram Peta Diagram peta yaitu diagram yang melukiskan fenomena atau keadaan dihubungkan dengan tempat kejadian. Contoh : DIAGRAM PETA 3% 8% 21% 29% 23% 10% 6% Diagram Lingkaran Nilai ujian Matmatika kelas X SMA N 1 Bayung Lencir 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 3% 8% 21% 29% 23% 10% 6% Diagrampastel Nilai UjianMatematikaKelas X SMA N 1 Bayung Lencir 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89
  • 20.
    20 3.6.Diagram Pencar (titik) Diagrampencar (titik) ialah diagram yang menunjukkan gugusan titik-titik setelah garis koordinat sebagai penghubung dihapus. Contoh : 3.7.Diagram Campuran Diagram Campuran ialah diagaram yang disajikan dalam bentuk gabungan dari beberapa dimensi dalam satu penyajian data. Contoh :
  • 21.
  • 22.
    22 KESIMPULAN Penyajian data adalahsalah satu kegiatan dalam pembuatan laporan hasil penelitian yang telah dilakukan sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Penyajian data bertujuan memberikan gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penilitian/observasi, data lebih cepat ditangkap dan dimengerti, memudahkan dalam analisis data, membuat proses pengambilan keputusan kesimpulan lebih tepat, cepat dan akurat. Secara umum ada beberapa cara penyajian data statistic yang sering digunakan yaitu, tabel, grafik, dan diagram. Penyajian data berbentuk tabel terdiri atas : table biasa, table kontigensi, dan table distribusi frekuensi. Penyajian data berbentuk grafik terdiri atas : grafik histogram, polygon, dan ogive. Penyajian data berbentuk diagram terdiri atas : diagram batang, diagram garis, diagram lambang, diagram lingkaran dan pastel, diagram peta, diagram pencar, dan diagram campuran.
  • 23.
    23 BAB III DISTRIBUSI FREKUENSI& APLIKASI PADA DATA PENELITIAN 1. PENGERTIAN DAN TUJUAN DISTRIBUSI FREKUENSI 1.1 Pengertian Distribusi Frekuensi Definisi distribusi frekuensi menurut paraahli: - Distribusi Frekuensi adalah penyusunan data dalam kelas-kelas interval .(Kuswanto,2006) - Distribusi Frekuensi adalah membuat uraian dari suatu hasil penelitian dan menyajikan hasil penelitian tersebut dalam bentuk yang baik, yakni bentuk stastistik popular yang sederhana sehingga kita dapat lebih mudah mendapat gambaran tentang situasi hasil penelitian. (Djarwanto,1982) - Distribusi Frekuensi atau Tabel Frekuensi adalah suatu tabel yang banyaknya kejadian atau frekuensi (cases) didistribusikan ke dalam kelompok-kelompok (kelas-kelas) yang berbeda. (Budiyuwono,1987) Sehingga bisa disimpulkan bahwa distribusi frekuensi adalah penyusunan data kedalam kelas-kelas tertentu, dimana setiap individu hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja. Dalam suatu penelitian, biasanya juga akan dilakukan pengumpulan data. Salah satu cara untuk mengatur atau menyusun data adalah dengan mengelompokan data-data berdasarkan ciri-ciri penting dari sejumlah data kedalam beberapa kelas dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam setiap kelas. 1.2 Tujuan Distribusi Frekuensi Tujuan distribusi frekuensi, yaitu :  Memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi.  Memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik. 2. MACAM-MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI 2.1 Ditinjau dari jenisnya
  • 24.
    24 a. Distribusi FrekuensiNumerikal Distribusi frekuensi numeric aladalah pengelompokan data berdasarkan angka-angka dan biasanya disajikan dengan grafik histogram.Misalnya data tunggal. b. Distribusi Frtekuensi Kategorikal / Kategoris Distribusi frekuensi kategori adalah pengelompokan data berdasarkan kategori-kategori tertentu, biasanya distribusi frekuensi disajikan dengan grafik batang, lingkaran, dan gambar. Misalnya data berkelompok. 2.2. Ditinjau dari nyatatidaknyafrekuensi a. Distribusi frekuensi absolut Distribusi frekuensi absolute adalah suatu jumlah bilangan yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi ini disusun berdasarkan data apa adanya, sehingga tidak menyulitkan peneliti dalam membuat distribusi ini b. Distribusi frekuensi relatif Distribusi frekuensi relative adalah suatu jumlah presentase yang dinyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Dalam hal ini pembuat distribusi terlebih dahulu harus dapat menghitung persentase pada masing-masing kelompok. Distribusi akan memberikan informasi yang lebih jelas tentang posisi masing-masing bagian dalam keseluruhan, karena kita dapat melihat perbandingan antara kelompok yang satudengan kelompok yang lainnya. Walaupun demikian, kita masih belum memperoleh gambaran yang jelas tentang penyebab adanya perbedaan tersebut.. Berikut adalah rumus mencari distribusi frekuensi relatif: frekuensirelatif = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑛 ×100 2.3. Ditinjau dari kesatuannya: a. Distribusi frekuensi satuan Distribusi frekuensi satuan adalah frekuensi yang menunjukan berapa banyak data pada kelompok tertentu. b. Distribusi frekuensi kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang menunjukan jumlah frekuensi pada sekelompok nilai tertentu mulai dari
  • 25.
    25 kelompok sebelumnya sampaikelompok tersebut. Frekuensi kumulatif dibagi menjadi dua, yaitu kurang dari dan lebih dari. 3. BAGIAN-BAGIAN DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Class (Kelas) Kelas adalah penggolongan data yang dibatasi dengan nilai terendah dan nilai tertinggi yang masing-masing dinamakan batas kelas. Batas kelas (Class Limit) adalah nilai batas dari pada tiap kelas dalam sebuah distribusi, terbagi menjadi dua, yaitu: a. stated class limit adalah batas-batas kelas yang tertulis dalam distribusi frekuensi, terdiri dari Lower Class Limit (batas bawah kelas) dan upper class limit (batas atas kelas). b. class boundaries (tepikelas) adalah batas kelas yang sebenarnya, terdiri dari lower class boundary (batas bawah kelas yang sebenarnya) dan upper class boundary (batas atas kelas yang sebenarnya). 2. Class interval / panjang kelas merupakan lebar dari sebuah kelas dan dihitung dari perbedaan antara kedua tepi kelasnya. 3. Mid point / class mark / titik tengah merupakan rata-rata hitung dari kedua batas kelas nya atau tepi kelasnya. 4. LANGKAH-LANGKAH MENYUSUN DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Urutkan data terlebih dahulu 2. Menentukan Range (Jangkauan) :didapat dari nilai yang terbesar dikurangi nilai yang terkecil. R = Xmax – X min 3. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan rumus Sturgess. K = 1 + 3,3 logn dimana K = Banyak nya kelas dan n = Jumlah Data. 4. Menentukan Interval Kelas : I = 𝑅 𝐾 5. Menentukan batas kelas :
  • 26.
    26 Tbk = Bbk– 0,5 Tak = Bak + 0,5 Panjang interval kelas = Tak – Tbk Keterangan : Tbk = tepi bawah kelas Tak = tepi atas kelas Bbk = batas bawah kelas Bak = batas atas kelas 6. Menentukan titik tengahnya. 7. Memasukkan data kedalam kelas-kelas yang sesuai dengan memakai sistem turus/tally. Menyajikan distribusi frekuensi : isi kolom frekuensi sesuai dengan kolom Tally atau Turus. Contoh : Diberikan data mentah tentang gaji bulanan 50 pegawai honorer dalam ribuan rupiah. 138 164 150 132 144 125 149 157 118 124 144 152 148 136 147 140 158 146 128 135 168 165 126 154 138 118 178 163 137 143 135 140 153 135 147 142 173 146 146 150 142 150 135 156 145 145 161 128 155 162 Dari data diatas, buatlah daftar distribusi frekuensi dari gaji tersebut. Untuk menjawab soal diatas, langkah – langkah yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut. 1. Menentukan Range (R). Range dapat diartikan sebagai jarak antara data terkecil sampai terbesar atau selisih antara data terbesar sampai terkecil. Dari contoh diatas :
  • 27.
    27 2. Menentukan JumlahKelas (k). Interval atau panjang kelas adalah bebas, kelas dapat berinterval 3, 5, 10, dsb. Cara menentukan jumlah kelas (k) yang paling sederhana adalah dengan Rumus : Jumlah Kelas (k) = Range (R) : Interval kelas Ada cara lain untuk menentukan jumlah kelas, yaitu dengan rumus STURGES, yang formulasinya sebagai berikut : Jumlah kelas (k) = 1 + 3,3 log n Dimana : n = jumlah data yang dimiliki Sehingga, dari contoh diatas diperoleh : 3. Menentukan kelas. Dalam menentukan kelas, diharapkan semua data yang ada dapat masuk keseluruhan. Data terkecil harus masuk pada kelas pertama, dan data terbesar dapat masuk pada kelas terakhir.Dari persoalan diatas, dapat dibuat interval – interval kelas sebagai berikut. Range (R) = Data terbesar – data terkecil = 178 – 118 = 60 Dari contoh di atas, jika interval kelas adalah 9, maka jumlah kelasadalah : 60 : 9 = 6,67 » 7 (dibulatkan). k = 1 + 3,3 log 50 = 1 + 3,3 (1,699) = 6,607 dibulatkan 7 kelas Maka interval kelas (i) = R : k = 60 : 7 = 8,57 dibulatkan menjadi 9
  • 28.
    28 Kelas I =dimulai dengan 118, mengingat panjang kelas = 9 maka : Kelas II = dimulai dengan 127 Kelas III = dimulai dengan 136 Kelas IV = dimulai dengan 145 Kelas V = dimulai dengan 154 Kelas VI = dimulai dengan 163 Kelas VII = dimulai dengan 172 4. Menghitung Frekuensi Kelas. Frekuensi tiap – tiap kelas diartikan sebagai jumlah dari data – data yang sudah dimasukkan kedalam masing – masing kelas.Selanjutnya semua data pengamatan pada masing – masing kelas dihitung dengan menggunakan sistem Tally (tanda : ////). Frekuensi kelas adalah jumlah dari tanda yang diperoleh. Jika semua langkah dipenuhi, maka dari soal diatas dapat dibuat table distribusi frekuensi sebagai berikut. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI GAJI BULANAN 50 PEGAWAI HONORER KELAS GAJI ( DalamRibuan ) TALLY FREKUENSI I II III IV V VI VII 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 - 171 172 - 180 //// //// // //// //// / //// //// //// //// // //// // 5 7 11 14 7 4 2
  • 29.
    29 TOTAL 50 Jika frekuensidinyatakan dalam persentasi terhadap total frekuensi, maka table tersebut dinamakan table frekuensi relatif. Jumlah frekuensi dari semua nilai yang lebih kecil dari limit atas dari suatu interval kelassampai dengan dan termasuk kelas yang bersangkutan disebut frekuensi kumulatif. Jika frekuensi kumulatif dinyatakan dalam bentuk hasil pembagiannya dengan total frekuensi disebut frekuensi kumulatif relatif. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI, FREKUENSI RELATIF, FREKUENSI KUMULATIF DAN FREKUENSI KUMULATIF RELATIF GAJI BULANAN 50 PEGAWAI HONORER KELAS GAJI (Ribuan ) FREKUENSI FREKUENSI KUMULATIF FREKUENSI RELATIF ( % ) FREKUENSI KUMULATIF RELATIF (%) I II III IV V VI VII 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 - 171 172 - 180 5 7 11 14 7 4 2 0 12 23 37 44 48 50 10 14 22 28 14 8 4 0 24 46 74 88 96 100 TOTAL 50 100
  • 30.
    30 Contoh : DAFTAR HASILMID SEMESTER KELAS XII IPA 3 SMAN 1 TANJUNG RAJA NILAI BATAS KELAS FREKUENSI 18-27 17,5 - 27,5 2 28-37 27,5 – 37,5 5 38-47 37,5 – 47,5 7 48-57 47,5 – 57,5 7 58-67 57,5 – 67,5 3 68-77 67,5 – 77,5 7 78-87 77,5 – 87,5 3 34 (sumber :makalah statistic tahun 2014) DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF KURANG DARI NILAI Batas Kelas FrekuensiKumulatif≤ PersenKumulatif ≤ 𝟏𝟕, 𝟓 0 0 18-27 ≤ 27,5 2 5,8 28-37 ≤ 37,5 7 20,5 38-47 ≤ 47,5 14 41,1 48-57 ≤ 57,5 21 61,7 58-67 ≤ 67,5 24 70,5 68-77 ≤ 77,5 31 91,1 78-87 ≤ 87,5 34 100
  • 31.
    31 Berikut ogif kumulatifkurang dari untuk nilai MID semester Matemtika kelas XII IPA 3 SMA Tanjung Raja yang diambil dari tabel distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan menggunakan batas kelas. DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI NILAI Batas Kelas FrekuensiKumulatif≤ PersenKumulatif 18-27 ≥ 𝟏𝟕, 𝟓 34 100 28-37 ≥27,5 31 91,1 38-47 ≥ 37,5 24 70,5 48-57 ≥ 47,5 21 61,7 58-67 ≥ 57,5 14 41,1 68-77 ≥ 67,5 7 20,5 78-87 ≥ 77,5 2 5,8 ≥ 87,5 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5 OGIF FREKUENSI KUMULATIF ≤ OGIF FREKUENSI KUMULATIF ≤
  • 32.
    32 Berikut ogif kumulatiflebih dari untuk nilai MID semester Matemtika kelas XII IPA 3 SMA Tanjung Raja Raja yang diambil dari table distribusi frekuensi ditambah satu kolom frekuensi menurun dengan menggunakan batas kelas. OGIF KUMULATIF 0 5 10 15 20 25 30 35 40 17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5 OGIF FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI DARI OGIF FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI DARI 0 5 10 15 20 25 30 35 40 17,5 27,5 37,5 47,5 57,5 67,5 77,5 87,5 Ogif kurang dari Ogif lebih dari
  • 33.
    33 KESIMPULAN Distribusi Frekuensi adalahpenyusunanan data kedalam kelas-kelas tertentu dimana setiap individu hanya termasuk kedalam salah satu kelas tertentu saja. Tujuan distribusi frekuensi, yaitu : memudahkan dalam penyajian data, mudah dipahami, dan dibaca sebagai bahan informasi, memudahkan dalam menganalisa/menghitung data, membuat tabel, grafik. Adapun macam-macam distribusi frekuensi, dapat ditinjau dari jenisnya, nyata tidaknya frekuensi dan kesatuannya. Dari jenisnya terdapat distribusi frekuensi numerical dan katagorikal, dari nyata tidaknya frekuensi terdapat distribusi frekuensi absolute dan relatif, sedangkan ditinjau dari kesatuannya terdapat distribusi frekuensi satuan dan kumulatif. Bagian-bagian distribusi frekuensi diantaranya terdapat kelas, interval kelas dan titik tengah.
  • 34.
    34 BAB IV UKURAN PEMUSATANDAN UKURAN PENYEBARAN A. Pengertian Ukuran Pemusatan Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data. B. Macam – macam Ukuran Pemusatan 1. Untuk Data Tunggal a. Rata-rata Rata- rata dapat dibedakan menjadi rata-rata hitung, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonik.  Rata-rata Hitung Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data. Rata-rata hitung dari data tunggal, dapat dirumuskan : x̅ = ∑ xi n i=1 ∑fi Keterangan : x̅ = rata-rata ∑ xi n i=1 = jumlah seluruh data fi = banyaknya data Contoh Tentukan nilai rata-rata mata pelajaran matematika bimbingan belajar kelas spesial yang terdiri dari 10 siswa dengan nilai 65, 73, 85, 70, 75, 90, 93, 80, 65, 73 Jawab: X̅ = ∑ xi n i=1 ∑ fi
  • 35.
    35 = 65+65+70+73+73+75+80+85+90∓93 10 = 769 10 = 76,9 Jadi nilairata-rata mata pelajaran matematika bimbingan belajar kelas spesial yang terdiri dari 10 siswa adalah 76,9  Rata-rata Ukur Untuk data tunggal, rata-rata ukur disimbolkan dengan G dirumuskan dengan: G = √( 𝑥1 )( 𝑥2) … (𝑥 𝑛)𝑛 G = rataan ukur atau n = banyaknya data Log(G) = ∑ log(xi) n xi = data ke-i Contoh Hitunglah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8 Jawab: G = √(2)(4)(8)3 Log(G) = log(2)+log(4)+log(8) 3 G = √64 3 atau Log(G) = log(2)+log(22)+log(23) 3 G = 4 Log(G) = log(4) G = 4 Jadi rata-rata nilai ukur yang didapatkan adalah 4  Rata-rata Harmonis Untuk data tunggal, rata-rata harmonis disimbolkan dengan G dirumuskan dengan:
  • 36.
    36 H = n ∑ 1 xi n i=1 Keterangan : H= rataan harmonis n = banyaknya data xi= data ke-i Contoh Nilai ulangan harian 4 orang siswa adalah 70, 75, 78, 80. Tentukanlah rata-rata harmonisnya ! Jawab : H = n ∑ 1 xi n i=1 H = 4 1 70 + 1 75 + 1 78 + 1 80 H = 4 0,0142+ 0,0133+ 0,0128 + 0,0125 H = 4 0,0528 H = 75,75 Jadi nilai rata-rata harmonisnya adalah 75,75 b. Median Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan (disusun) dari data terkecil sampai data terbesar  Rumus untuk data yang berjumlah ganjil
  • 37.
    37 𝑀𝑒 = 𝑥( 𝑛+1 2 ) Rumus untuk data yang berjumlah genap 𝑀𝑒 = 𝑥 𝑛 2 + 𝑥( 𝑛 2 +1) 2 Contoh 1. Diketahui data sebagai berikut 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 50. Tentukan median dari data tersebut ! Jawab: Data diurutkan menjadi : 35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90 Jumlah data adalah 9, berjumlah ganjil. Jadi menggunakan rumus mencari median untuk data berjumlah ganjil. 𝑀𝑒 = 𝑥( 𝑛+1 2 ) 𝑀𝑒 = 𝑥( 9+1 2 ) 𝑀𝑒 = 𝑥5 𝑀𝑒 = 65 Jadi median dari data tersebut adalah 65 2. Diketahui data sebagai berikut 3, 2, 5, 2, 4, 6, 6, 7, 9, 6. Tentukan median dari data tersebut ! Jawab : Data diurutkan menjadi : 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9. Jumlah data adalah 10, berjumlah genap. Jadi menggunakan rumus mencari median untuk data berjumlah genap. 𝑀𝑒 = 𝑥 𝑛 2 + 𝑥( 𝑛 2 +1) 2
  • 38.
    38 𝑀𝑒 = 𝑥10 2 + 𝑥( 10 2 +1) 2 𝑀𝑒= 𝑥5 + 𝑥6 2 𝑀𝑒 = 5 + 6 2 𝑀𝑒 = 11 2 𝑀𝑒 = 5,5 Jadi median untuk data tersebut adalah 5,5 c. Modus Modus adalah data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar. Data yang belum dikelompokkan bisa memiliki satu modus, dua modus, atau mungkin tidak mempunyai modus. Data yang memiliki satu modus disebut monomodus, sedangkan data yang memiliki dua modus disebut bimodus. Contoh Tetukan modus dari data berikut ini 5, 7, 7, 6, 8, 6, 6, 5, 8, 6 Jawab : Data diurutkan menjadi : 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Mo = 6 karena nilai 6 muncul sebanyak 4 kali Jadi modus dari data tersebut adalah 6 2. Untuk Data Berkelompok a. Rata-rata
  • 39.
    39  Rata-rata Hitung Rumusrata-rata hitung untuk data berkelompok 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑛 1 Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah rata-rata hitung nya! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 6 2 7 8 20 4 3 Jumlah 50 Jawab : Untuk mencari rata-rata hitung , perlu ditambahkan nilai tengah Nilai xi fi xi fi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 55 62 69 76 83 90 97 6 2 7 8 20 4 3 330 124 483 608 1660 360 291 Jumlah 50 3856
  • 40.
    40 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 𝑛 𝑖=1𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑛 1 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖 7 𝑖=1 𝑥𝑖 ∑ 𝑓𝑖 7 1 𝑥̅ = 3856 50 𝑥̅ = 77,12 Jadi nilai rata-rata hitung dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 77,12  Rata-rata Ukur Rata-rata ukur disimbolkan dengan G. Untuk data berkelompok dirumuskan dengan: 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = ∑( 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖) ∑ 𝑓𝑖 Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah rata-rata ukur nya! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab : Nilai fi xi Log xi fi log xi
  • 41.
    41 52 – 58 59– 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 55 62 69 76 83 90 97 1,7403 1,7924 1,8388 1,8808 1,9190 1,9542 1,9868 3,4806 10,7544 12,8716 37,6160 15,3520 7,8168 5,9601 Jumlah 50 93,8515 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = ∑( 𝑓𝑖 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑖) ∑ 𝑓𝑖 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = 93,8515 50 𝐿𝑜𝑔 𝐺 = 1,8770 𝐺 = 75,4 Jadi nilai rata-rata ukur dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 75,4  Rata-rata Harmonis Rata-rata ukur disimbolkan dengan H. Untuk data berkelompok dirumuskan dengan: 𝐻̂ = 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah rata-rata harmonis nya! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 2 6 7 20
  • 42.
    42 80 – 86 87– 93 94 – 100 8 4 3 Jumlah 50 Jawab : Nilai fi xi fi / xi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 55 62 69 76 83 90 97 0,1361 0,0968 0,1014 0,2631 0,0964 0,0444 0,0309 Jumlah 50 0,6694 𝐻̂ = 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝐻̂ = 50 0,6694 𝐻̂ = 74,69 Jadi nilai rata-rata harmonis dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 74,69 b. Median Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan (disusun) dari data terkecil sampai data terbesar. 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 ( 1 2 𝑛 − 𝐹 𝑓 )
  • 43.
    43 Keterangan b = batasbawah kelas median p = panjang kelas n = banyaknya data F= jumlah frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah median dari data terebut Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab : Jumlah data (n) = 50 Median terlatak pada kelas 73-79 b = 72+73 2 = 72,5 p = 7 F = (2+6+7) = 15 f = 20 𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑝 ( 1 2 𝑛 − 𝐹 𝑓 )
  • 44.
    44 𝑀𝑒 = 72,5+ 7 ( 1 2 50 − 15 20 ) 𝑀𝑒 = 72,5 + 7 (0,5) 𝑀𝑒 = 76 Jadi nilai modus dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 76 c. Modus Modus adalah data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar. 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝 𝑏1 𝑏1+𝑏2 Keterangan : Mo = Modus b = batas bawah kelas modus p = panjang kelas 𝑏1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya 𝑏2= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya Contoh Berikut ini merupakan daftar nilai matematika dari 50 orang siswa. Tentukanlah modus dari data terebut! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 2 6 7 20 8
  • 45.
    45 87 – 93 94– 100 4 3 Jumlah 50 Jawab : Frekuensi terbanyak terlatak pada kelas 73-79, berarti modusnya terletak pada kelas 73-79. b = 72+73 2 = 72,5 p = 7 𝑏1 = 20 – 7 = 13 𝑏2= 20-8 = 12 𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑝 𝑏1 𝑏1+𝑏2 𝑀𝑜 = 72,5 + 7 13 13 + 12 𝑀𝑜 = 72,5 + 3,64 𝑀𝑜 = 76,14 Jadi nilai modus dari nilai matematika dari 50 orang siswa adalah 76,14 II. Ukuran Letak A. Macam – macam Ukuran Letak 1. Untuk Data Tunggal a. Kuartil (Q) Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat bagian yang sama besar. 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 𝑛 + 1 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 2( 𝑛 + 1) 4
  • 46.
    46 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 3(𝑛 + 1) 4 Contoh Diketahui data sebagai berikut 2, 4, 3, 3, 6, 5, 9 . tentukan 𝑄1, 𝑄2 , 𝑄3 ! Jawab : Data diurutkan menjadi 2, 3, 3, 4, 5, 6, 9  𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 𝑛+1 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 7 + 1 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄1 = 2 Artinya 𝑄1 terletak pada data ke-2 dari data yang sudah diurutkan, yaitu 3  𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 2( 𝑛+1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 2(7 + 1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄2 = 4 Artinya 𝑄2 terletak pada data ke-4 dari data yang sudah diurutkan, yaitu 4  𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 3( 𝑛+1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 3(7 + 1) 4 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑄3 = 6 Artinya 𝑄3 terletak pada data ke-6 dari data yang sudah diurutkan, yaitu 6 b. Desil Desil merupakan sekumpulan data yang dibagi menjadi 10 bagian sama banyak 𝐷𝑖 = 𝑖 10 ( 𝑛 + 1)
  • 47.
    47 Contoh Diketahui data 6,7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7. Tentukan D7 Jawab : Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 𝐷𝑖 = 𝑖 10 ( 𝑛 + 1) 𝐷7 = 7 10 (10 + 1) 𝐷7 = 7,7 Artinya letak nilai D7 antara data ke 7 dan 8 Besar nilai D7 = 7 + 0,7 (7-7) Besar nilai D7 = 7 c. Persentil Persentil adalah nilai yang membagi data menjadi seratus bagian sama setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar 𝑃𝑖 = 𝑖 100 ( 𝑛 + 1) Contoh Diketahui data 6, 7, 9, 4, 3, 4, 7, 8, 5, 7. Tentukan P20 Jawab : Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. 𝑃𝑖 = 𝑖 100 ( 𝑛 + 1) 𝑃20 = 20 100 (10 + 1) 𝑃20 = 2,2 Artinya letak nilai P20 antara data ke 2 dan 3 Besar nilai P20 = 4 + 0,2 ( 4-4 ) Besar nilai P20 = 4 2. Untuk Data Berkelompok a. Kuartil (Q) 𝑄1 = 𝑏 + 𝑝 1 4 𝑛 − 𝐹 𝑓
  • 48.
    48 𝑄2 = 𝑏+ 𝑝 1 2 𝑛 − 𝐹 𝑓 𝑄3 = 𝑏 + 𝑝 3 4 𝑛 − 𝐹 𝑓 Keterangan : b = tepi bawah kelas p = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas Q f = frekuensi sebelum kelas Q n = jumlah data Contoh Tentukan 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3 dari data berikut ! Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50  𝑄1 = 𝑏 + 𝑝 1 4 𝑛−𝐹 𝑓 𝑄1 = 65,5 + 7 1 4 50 − 8 7 𝑄1 = 65,5 + 5,5 𝑄1 = 70  𝑄2 = 𝑏 + 𝑝 1 2 𝑛−𝐹 𝑓
  • 49.
    49 𝑄2 = 72,5+7 1 2 50 − 15 20 𝑄2 = 72,5+ 3,5 𝑄2 = 76  𝑄3 = 𝑏 + 𝑝 3 4 𝑛−𝐹 𝑓 𝑄3 = 79,5+ 7 3 4 50 − 35 8 𝑄3 = 79,5+ 2,2 𝑄3 = 81,7 b. Desil (D) Untuk data berkelompok, desil dirumuskan 𝐷𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝 [ 𝑖 10 𝑛 − 𝐹 𝑓𝐷1 ] Keterangan i = 1,2,3,....9 Bb = batas bawah kelas interval yang mengandung Di p = panjang kelas n = banyak data F = Frekuensi kumulatif seebelum Di 𝑓𝐷1 = Frekuensi kelas interval yang mengandung Di c. Persentil (P) Untuk data berkelompok, persentil dirumuskan 𝑃𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝[ 𝑖 100 𝑛 − 𝐹 𝑓𝐷1 ]
  • 50.
    50 Keterangan i = 1,2,3,....9 Bb= batas bawah kelas interval yang mengandung Pi p = panjang kelas n = banyak data F = Frekuensi kumulatif seebelum Pi 𝑓𝐷1 = Frekuensi kelas interval yang mengandung Pi Contoh Perhatikan data berkelompok berikut , hitunglah P10 Nilai Frekuensi 52 – 58 59 – 65 66 – 72 73 – 79 80 – 86 87 – 93 94 – 100 2 6 7 20 8 4 3 Jumlah 50 Jawab 𝑃𝑖 = 𝐵𝑏 + 𝑝 [ 𝑖 100 𝑛 − 𝐹 𝑓𝐷1 ] 𝑃10 = 58,5 + 7[ 10 100 50 − 2 6 ] 𝑃10 = 58,5 + 3,5 𝑃10 = 62 Jadi P10 dari data diatas adalah 62 III. Ukuran Penyebaran
  • 51.
    51 A. Pengertian UkuranPenyebaran Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. B. Macam – macam Ukuran Penyebaran 1. Rentangan ( Range ) 𝑹 = 𝑿 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿 𝒎𝒊𝒏 Keterangan R = Rentangan (R) Xmax = Nilai data terbesar Xmin = Nilai data terkecil 2. Rentangan antar kuartil 𝑹𝑨𝑲 = 𝑸 𝟑 − 𝑸 𝟏 Keterangan RAK = Rentangan antar kuartil Q3 = kuartil ke 3 Q1 = kuartil ke 1 3. Simpangan Rata-rata 𝑺𝑹 = ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅|𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 Keterangan SR = Simpangan rata-rata x𝑖 = Data ke-i 𝑥̅ = Rataan hitung n = Banyak data 4. Simpangan Baku a. Untuk Data Tunggal 𝑺 = √ ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝑺 = √ ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 − 𝟏
  • 52.
    52 Keterangan s = Simpanganbaku xi = data ke-i n = jumlah data b. Untuk data Berkelompok 𝑺 = √ ∑ 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐 − (∑ 𝒇𝒊 𝒙𝒊) 𝟐 ∑ 𝒇𝒊 ∑ 𝒇𝒊 −𝟏 Keterangan s = Simpangan baku 𝑓𝑖 = Frekuensi ke-i 𝑥̅ = Rata-rata xi = Titik tengah data ke-i 5. Varians 𝑺 𝟐 = ∑ | 𝒙𝒊 − 𝒙̅| 𝟐𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 6. Angka Baku Angka baku adalah perubahan yang dipergunakan untuk membandingkan dua buah keadaan atau lebih. 𝒁 = 𝒙 − 𝒙̅ 𝑺 Keterangan Z = Angka baku xi = data ke-i 𝑥̅ = rata-rata s = simpangan baku Contoh Diketahui nilai ujian semester statistika kelas IV sebagai berikut
  • 53.
    53 90, 80, 70,90, 70, 100, 80, 50, 75, 70 Tentukan : a. R b. SR c. Simpangan baku Jawab : a. Data diurutkan terlebih dahulu 50, 70, 70, 70, 75, 80, 80, 90, 90, 100 Berdasarkan data diatas, bahwa nilai terbesarnya adalah 100 sedangkan nilai terkecil adalah 50. 𝑹 = 𝑿 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿 𝒎𝒊𝒏 𝑹 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎 𝑹 = 𝟓𝟎 Jadi, rentangan nilai ujian semester statistika kelas IV adalah 50. b. Untuk mempermudah mencari simpangan rata-rata, digunakan tabel Nilai Ujian Semester Statistika kelas IV Nilai (xi) Rata-rata (𝑥̅) |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 50 77,5 27,5 70 7,5 70 7,5 70 7,5 75 2,5 80 2,5 80 2,5 90 12,5 90 12,5 100 22,5 ∑ 𝑥𝑖 = 775 ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅| = 105 𝑆𝑅 = ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 𝑛 Jumlah data (n) = 10
  • 54.
    54 𝑆𝑅 = 105 10 = 10,5 Jadi,simpangan rata-rata daridata diatas adalah 10,5 c. Untuk mempermudah mencari simpangan baku dan varians, kita gunakan tabel Untuk data populasi Untu k simp anga n baku (pop ulasi ) : 𝑠 = √ ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 2 𝑛 𝑠 = √ 1412,5 10 = 11,8 Jadi simpangan baku nya adalah 11, Contoh Diketahui sebuah data ditribusi berikut (Nilai Ujian Statistika kelas XI) Nilai (xi) Frekuensi (fi) 60-64 2 65-69 6 70-74 15 Nilai (xi) Rata-rata (𝑥̅) |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| |𝑥 𝑖 − 𝑥̅|2 50 77,5 27,5 756,25 70 7,5 56,25 70 7,5 56,25 70 7,5 56,25 75 2,5 6,25 80 2,5 6,25 80 2,5 6,25 90 12,5 156,25 90 12,5 156,25 100 22,5 156,25 ∑ 𝑥𝑖 = 775 ∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅| = 105 ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 2 = 1412,5
  • 55.
    55 75-79 20 80-84 16 85-897 90-94 4 ∑ 𝑓 = 70 Tentukan a. Simpangan rata-rata b. Simpangan baku Jawab: Nilai (xi) Frekuensi (fi) T.Tengah (x) fi.x (|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) fi.(|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) (|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|)2 f. |𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 60-64 2 62 124 15,64 31,28 244,6 489,2 65-69 6 67 402 10,64 63,84 113,2 679,2 70-74 15 72 1080 5,64 84,6 31,8 477 75-79 20 77 1540 0,64 12,8 0,4 8 80-84 16 82 1312 4,36 69,76 19 304 85-89 7 87 609 9,36 65,52 87,6 613,2 90-94 4 92 368 14,36 57,44 206,2 824,8 ∑ 𝑓i = 70 ∑ 𝑓i.x = 5435 fi.(|𝑥 𝑖 − 𝑥̅|) = 385,24 ∑fi.|𝑥𝑖− 𝑥̅| 3395,4 Rata-rata (𝑥̅) = ∑ 𝑓𝑖𝑥 ∑ 𝑓𝑖 𝑥̅ = 5435 70 = 77,6 a. Simpangan rata-rata 𝑆𝑅 = ∑ 𝑓𝑖|𝑥 𝑖 − 𝑥̅| ∑ 𝑓𝑖 𝑆𝑅 = 385,24 70 = 5,5 Jadi, simpangan rata-rata dari data tersebut adalah 5,5 b. Simpangan baku 𝒔 = √ ∑ 𝒇𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 ∑ 𝒇𝒊
  • 56.
    56 𝒔 = √ 𝟑𝟑𝟗𝟓,𝟒 𝟕𝟎 = 𝟔, 𝟗 Jadi, simpangan baku dari data diatas adalah 6,9
  • 57.
    57 KESIMPULAN Ukuran pemusatan adalahnilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data. Terdiri dari rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonis, modus dan median. Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Terdiri daru Rentangan, Rentangan Antar Kuartil, Simpangan Rata-rata, Simpangan Baku, Varians dan Angka Baku.
  • 58.
    58 BAB V UKURAN KERUNCINGAN A.PENGERTIAN UKURAN KERUNCINGAN Kurtosis (ukuran keruncingan) adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. B. DERAJAT KERUNCINGAN DISTRIBUSIFREKUENSI Dilihat dari segi keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat digolongkan menjadi tiga golongan, yaitu : 1. Kurva Leptokurtik Kurva leptokurtik adalah kurva distribusi yang sangat runcing dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai rata-rata. Perhatikan gambar di bawah : Gambar Kurva Leptokurtik 2. Kurva Mesokurtik Kurva mesokurtik adalah kurva yang kemiringannya sedang dan merupakan penggambaran dari suatu distribusi normal. Perhatikan gambar di bawah :
  • 59.
    59 Gambar Kurva Mesokurtik 3.Kurva Platikurtik Kurva platikurtik adalah kurva yang betuknya mendatar dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh dari rata-ratanya. Perhatikan gambar di bawah : Gambar Kurva Platikurtik Untuk mengetahui apakah suatu kurva distribusi merupakan leptokurtik, mesokurtik, atau platikurtik, kita dapat menggunakan suatu ukuran keruncingan atau koefisien kurtosis. Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva dipergunakan rumus 𝛼4 yang di rumuskan berikut ini : 1. Data Tidak Berkelompok
  • 60.
    60 𝛼4 = 𝑚4 𝑆4 = 1 𝑛 ∑ (𝑥𝑖 −𝑥̅)4 𝑆4 𝑛 𝑖=1 Keterangan : 𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖 𝑥̅ = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 2. Data Kelompok 𝛼4 = 𝑚4 𝑆4 = 1 𝑛 ∑ (𝑓𝑖( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)4 )𝑛 𝑖=1 𝑆4 Keterangan : 𝛼4 = 𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 𝑥𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒 𝑖 𝑥̅ = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑓𝑖 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖 𝑛 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑆 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 Berdasarkan koefisien kurtosisnya, jenis kurvanya dikategorikan sebagai berikut : 1. Jika 𝛼4 > 3, kurvanya runcing (liptokurtik) 2. Jika 𝛼4 = 3, kurvanya distribusi normal (mesokurtik) 3. Jika 𝛼4 < 3, kurvanya agak datar (platikurtik) Contoh :
  • 61.
    61 Diketahui data kunjunganke Perpustakaan di SMU “H” selama 100 hari adalah sebagia berikut Kelas Frekuensi 1-5 1 6-10 7 11-15 12 16-20 20 21-25 24 26-30 16 31-35 11 36-40 6 41-45 3 Jumlah 100 Hitunglah koefisien keruncingan dan tentukan jenis kurvanya ! Jawab : Kelas xi ci fi cifi 1-5 3 -4 1 -4 6-10 8 -3 7 -21 11-15 13 -2 12 -24 16-20 18 -1 20 -20 21-25 23 0 24 0 26-30 28 1 16 16 31-35 33 2 11 22 36-40 38 3 6 18 41-45 43 4 3 12
  • 62.
    62 Jumlah 100 -1 Pertamatentukan rata-rata data tersebut 𝒙 𝟎 = 𝟐𝟑 P= 5 𝒄̅ = ∑ 𝒄𝒊 𝒇𝒊 ∑ 𝒇𝒊 𝒄̅ = −𝟏 𝟏𝟎𝟎 = −𝟎, 𝟎𝟏 𝒙̅ = 𝒙 𝟎 + 𝑷𝒄̅ 𝒙̅ = 𝟐𝟑 + 𝟓 (−𝟎, 𝟎𝟏) = 𝟐𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟐𝟐, 𝟗𝟓 (𝒅𝒊𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕𝒌𝒂𝒏 𝒎𝒆𝒏𝒋𝒂𝒅𝒊 𝟐𝟑) Kelas xi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 fi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 𝐟𝐢 1-5 3 -20 400 1 400 6-10 8 -15 225 7 1575 11-15 13 -10 100 12 1200 16-20 18 -5 25 20 500 21-25 23 0 0 24 0 26-30 28 5 25 16 400 31-35 33 10 100 11 1100 36-40 38 15 225 6 1350 41-45 43 20 400 3 1200 Jumlah 100 7725 𝑺 = √ 𝟏 𝒏 ∑( 𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟐 𝐟𝒊
  • 63.
    63 𝑺 = √ 𝟏 𝟏𝟎𝟎 (𝟕𝟕𝟐𝟓)= √ 𝟕𝟕, 𝟐𝟓 = 𝟖, 𝟖 Kelas xi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) fi (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟒 (𝒙𝒊 − 𝒙̅) 𝟒 𝐟𝐢 1-5 3 -20 1 160000 160000 6-10 8 -15 7 50625 354357 11-15 13 -10 12 10000 120000 16-20 18 -5 20 625 12500 21-25 23 0 24 0 0 26-30 28 5 16 625 10000 31-35 33 10 11 10000 110000 36-40 38 15 6 50625 303750 41-45 43 20 3 160000 480000 Jumlah 100 1550607 𝛼4 = 𝑚4 𝑆4 = 1 𝑛 ∑ (𝑓𝑖( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)4 )𝑛 𝑖=1 𝑆4 𝛼4 = 1 100 155060607 (8,8)4 𝛼4 = 1550606,07 5996,9536 𝛼4 = 2,585 = 2,6 𝛼4 < 3 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑔𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑑𝑖𝑘𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑗𝑒𝑛𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑘𝑢𝑟𝑡𝑖𝑘.
  • 64.
    64 Kesimpulan Kurtosis (ukuran keruncingan)adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Dilihat dari segi keruncingannya, kurva distribusi frekuensi dapat digolongkan menjadi tiga golongan, yaitu : Kurva leptokurtik adalah kurva distribusi yang sangat runcing dan nilai-nilai datanya sangat terpusat di sekitar nilai rata-rata. Kurva mesokurtik adalah kurva yang kemiringannya sedang dan merupakan penggambaran dari suatu distribusi normal. Kurva platikurtik adalah kurva yang betuknya mendatar dan nilai-nilai datanya tersebar secara merata sampai jauh dari rata-ratanya.
  • 65.
    65 BAB VI DISTRIBUSI BINOMIALDAN POISSON A. DISTRIBUSI BINOMIAL Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa usaha, yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan gagal. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebasar ½. Adapun syarat percobaan atau distribusi binomial adalah sebagai berikut: 1. Jumlah percobaan merupakan bilangan bulat. Contoh:melambungkan koin 2 kali, tidak mungkin 2½ kali. 2. Setiap eksperimen mempunyai duahasil. Contoh: sukses atau gagal, laki-laki atau perempuan, sehat atau sakit. 3. Peluang sukses sama setiap ekperimen. Contoh: Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedang kanpeluang gagal adalah 5/6. Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedang kan peluang gagal adalah (1 - p) atau biasa juga dilambangkan q, di manaq = 1- p. Distribusi Binomial dirumuskan( 𝑥) = 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥) = ( 𝑁 𝑥 ) 𝑝 𝑥 (𝑞) 𝑁−𝑥 ; dengan: 𝑁 Banyak percobaan 𝑥 Banyak kejadian sukses 𝑝 Peluang sukses 𝑞 = 1 − 𝑝 Peluang gagal (𝑁 − 𝑥) Banyak kejadian gagal Contoh Soal: Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi.Hitung lah peluang dari bayi
  • 66.
    66 tersebut 2 orangbelum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=2, n=4, p=0,2) => b (2, 4, 0,2) Penyelesaian soal: Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D. Rumus untuk b (x,n,p) adalah: B. DISTRIBUSI POISSON Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Distribusi poisson ini juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume. Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah λ, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanya kx kali (x adalah bilangan bulat non negatif, x = 0, 1, 2, ...)maka sama dengan 𝑃( 𝑋) = 𝑃( 𝑋 = 𝑥) = 𝑒−λλ 𝑥 𝑥! Dimana e adalah basis logaritma natural (𝑒 = 2,71828 …) Adapun ciri-ciri dari distribusi poisson adalah sebagai berikut: 1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain. 2. Peluang terjadi nya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil (jarang terjadi). 3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu singkat tertentu, dapat diabaikan.
  • 67.
    67 Contoh soal : Duaratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang. Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia : a) Tidak ada kesalahan ( x = 0 ) b) Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 ) c) Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15) Jawab : a) Dik : λ = 5 a. x = 0 P( x ; λ ) = 𝑒−λ λ 𝑥 𝑥! P( 0 ; 5 ) = 2.71828 −5 50 0! = 0.0067 b. x ≤ 3 ; P( x ; λ ) = 𝑒−λ λ 𝑥 𝑥! P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ) = P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 ) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650 atau 26.5 % c. X > 3 ; P( x ; λ ) = 𝑒−λ λ 𝑥 𝑥! P (X >3 , 5) = P( X 4, μ ) +….+p(X 15, μ) = P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau P (X >3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ] = 1 – [ P ( X 0, μ ) +….+ p (X 3, μ) ] = 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ] = 1 – [ 0.2650 ] = 73.5 %
  • 68.
    68 KESIMPULAN Probabilitas dapat membantukita dalam mengambil keputusan. Misalnya seperti memperkirakan mana yang lebih banyak peluang gagal atau sukses dari sebuah usaha yang dilakukan. Percobaan Binomial adalah suatu percobaan yang terdiri dari beberapa usaha, yang mana setiap usaha memiliki dua kemungkinan hasil yaitu berhasil dan gagal. Percobaan tersebut disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial) Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang Jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir
  • 69.
    69 BAB VII DISTRIBUSI NORMAL I.Pengertian Distribusi Normal Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoritis dan variabel random kontinu. Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama pengembangnya, yaitu Karl Gauss II. Ciri-ciri Distribusi Normal a. Berbentuk lonceng simetris terhadap 𝑥 = 𝜇. Keterangan 𝜋 = nilai konstan yaitu = 3,1416 e = nilai konstan yaitu = 2,7183 𝜇 = parameter yang merupakan rata-rata distribusi 𝜎 = parameter yang merupakan simpangan baku distribusi (Usman Husaini dan R. Purnomo, 2006:106). Jika x mempunyai bentuk −∞ < 𝑥 < ∞, maka disebut variabel acak X berdistribusi normal. Rumus di atas dapat digambarkan sebagai berikut: Kurva Normal 𝑓( 𝑥) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒 −1 2 ( 𝑥−𝜇 𝜎 ) 2
  • 70.
    70 1. Grafiknya selaluberada di atas sumbu absis X. 2. Mempunyai modus, jadi kurva unimodal tercapai pada 𝑥 = 𝜇 = 0,3939 𝜎 . 3. Grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu absis X dimulai dari 𝑥 = 𝜇 + 3𝜎 ke kanan dan 𝑥 = 𝜇 − 3𝜎 ke kiri. 4. Luas daerah grafik selalu = satu unit persegi b. Bentuk Kurva Normal a. Normal Umum Di mana: 𝜇 = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝜎 = 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑘𝑢 𝜇 − 3𝜎 𝜇 − 2𝜎 𝜇 − 𝜎 𝜇 𝜇 + 𝜎 𝜇 + 2𝜎 𝜇 + 3𝜎 Kurva Normal Umum b. Normal Baku (Standar) Kurva Normal Baku
  • 71.
    71 Menurut Husaini Usmandan R. Purnomo (2006:107-108), perubahan dari bentuk normal umum menjadi normal baku dilakukan dengan langkah-langkah berikut: 1. Cari zhitung dengan rumus: 𝑧 = 𝑋̅−𝜇 𝜎 2. Gambar kurvanya. 3. Tuliskan nilai zhitung pada sumbu X di kurve di atas dan tarik garis dari titik zhitungke atas sehingga memotong garis kurve. 4. Luas yang terdapat dalam tabel merupakan luas daerah antara garis tegak ke titik 0 di tengah kurve. 5. Carilah tempat nilai z dalam tabel normal. 6. Luas kurve normal = 1, karena𝜇 = 0, maka luas dari 0 ke ujung kiri = 0,5. Luas dari 0 ke titik kanan = 0,5. Jika z bilangan bulat, maka luas daerah (dalam %) adalah sebagai berikut: Gambar 4. Kurva Normal Baku dalam % Jika z bukan bilangan bulat, maka luas daerahnya dicari dengan menggunakan tabel kurva normal baku. III. Cara Menggunakan Tabel Kurva Normal Baku a. Hitung nilai z hingga dua desimal b. Gambarkan sketsa kurvanya
  • 72.
    72 c. Tentukan nilaiz pada sumbu z, kemudian buatlah garis tegaklurus sumbu z melaui z=0 sehingga membagi luas kura nya sama besar. Nilai z ada 2 kemungkinan yaitu positif dan negatif. d. Luas yang tertera dalam daftar F adalah luas daerah antara garis yang tegaklurus sumbu Z melalui titik z = 0 dan lengkungan kura. e. Dalam daftar F , dibawah kolom Z, carilah nilai Z sampaidengan 1 desimal sedangkan desimal yang kedua didapat pada baris paling atas f. Dari nilai daerah desimal yang terdapat pada kolom paling kiri ditelusuri, maju ke kanan dan dari nilai z di baris atas ditelusuri turub ke bawah sehingga seolah-olah bertemu di titik koordinat , maka pertemuan pada titik koordinat itulah bilangan yang merupakan luas yang dicari. Misalkan z = 0,23 Akan diperoleh antara z- 0,23 luas daerahnya sama dengan 0,0910 kira- kira sama dengan 9,1 %
  • 73.
    73 Tabel daftar distribusinormal standar untuk 0 – Z Contoh Carilah luas daerah, dan gunakan Dftar F tadi. Antara z=0 dan z=1,25 Penjelasan Pada kolom z cari 1,2 kemudian ikuti ke kanan hingga bertemu dengan bilangan yang terdapat di bawah kolom angka 5. Bilangan yang dimaksud adalah 0,3944.
  • 74.
    74 Maka luas daerahyang dicari adalah daerah yang di arsir yaitu 0,3944 atau 39,44 % IV. Rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi normal Distribusi normal memiliki rata-rata, varians, dan simpangan baku sebagai berikut. a. Rata-rata; 𝜇 = ∑ 𝑋 𝑛 b. Varians; 𝜎2 = ∑(𝑋 − 𝜇)2 𝑛 c. Simpangan baku; 𝜎 = √ ∑(𝑋 − 𝜇)2 𝑛
  • 75.
    75 KESIMPULAN Distribusi normal merupakansalah satu distribusi teoritis dan variabel random kontinu. Dimana kurvanya merupakan kurva normal. Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribsui normal standar. Menghitung luas daerah kurva normal dapat menggunakan Tabel Kurva Normal Baku.
  • 76.
    76 BAB VIII UJI NORMALITASDAN HOMOGENITAS A. UJI NORMALITAS Uji distribusi normal adalah uji untuk mengukur apakah data yang didapatkan memiliki distribusi normal sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik (statistik inferensial). Dengan kata lain, uji normalitas adalah uji untuk mengetahui apakah data empirik yang didapatkan dari lapangan itu sesuai dengan distribusi teoritik tertentu. Dalam kasus ini, distribusi normal. Dengan kata lain, apakah data yang diperoleh berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Ada banyak cara untuk menguji normalitas, antara lain: a. Uji normalitas Chi Square (Chi kuadrat) Uji chi-kuadrat atau Chi square digunakan jika ukuran sampel 30 data atau lebih (n ≥ 30). Metode Chi-Square atau uji goodness of fit distribution normal ini menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan. Uji normalitas data dengan teknik chi-kuadrat digunakan untuk menguji normalitas data yang disajikan secara kelompok. Rumus : 𝑋2 = ∑ (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖 )2 𝐸𝑖 Keterangan : 𝑋2 = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥2 Oi = Nilai observasi Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal dikalikan N (total frekuensi) (pi x N) N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi) Persyaratan Metode Chi Square (Uji Goodness of fit Distribusi Normal) a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi. b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 ) c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan. Signifikansi:
  • 77.
    77 Signifikansi uji, nilaiX2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square). Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima. Contoh : Diambil Data Nilai Ujian Matematika siswa kelas X SMA N 1 Bayung Lencir Skor Frekuensi 27-33 34-40 41-47 48-54 55-61 62-68 69-75 1 9 13 15 13 11 2 Jumlah 64 Selidikilah dengan 𝛼= 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? (Mean = 51,77; Standar deviasi = 10,14) Jawab : Langkah-langkah untuk menguji normalitas dengann Chi Square: 1. Hipotesis : Ho : Populasi nilai ujian matematika siswa berdistribusi normal H1 : Populasi nilai ujian matematika siswa tidak berdistribusi normal 2. Nilai 𝛼 Nilai 𝛼 = level signifikansi = 5% = 0,05 3. Rumus Statistik Penguji 𝑋2 = ∑ (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2 𝐸𝑖 Kelas Interval Batas Kelas Z batas kelas Luas Z Tabel Ei Oi (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2 𝐸𝑖 27-33 26,5 -2,49 0,4936 1,89 1 0,41 34-40 33,5 -1,80 0,4641 6,25 9 1,21 41-47 40,5 -1,11 0,3665 13,04 13 0,00012 48-54 47,5 -0,42 0,1628 7,23 15 0,29 55-61 54,5 0,27 0,1064 14,41 13 0,14
  • 78.
    78 62-66 61,5 0,960,3315 7,62 11 1,5 69-75 68,5 1,65 0,4505 2,55 2 0,12 75,5 2,34 0,4904 Jumlah 64 3,67 4. Derajat Bebas Df = ( k =panjang kelas) – 3 ) = ( 7 – 3 ) = 4 5. Nilai Tabel Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 4 ; = 9,49. Tabel X2 (Chi-Square) pada lampiran. 6. Menentukan daerah penolakan Menggunakan Rumus : Jika nilai X2 hitung < nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai X2 hitung > nilai X2 tabel, maka maka Ho ditolak ; Ha diterima. Maka : |3,67 | < |9,49| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 7. Kesimpulan Populasi nilai ujian matematika siswa berdistribusi normal b. Uji Liliefors Uji Normalitas dengan uji liliefors apabila data masih disajikan secara individu, maka uji normalitas data sebaiknya dilakukan dengan Uji Liliefors, karena uji Liliefors jauh lebih teliti dibandingkan dengan Uji Chi-Kuadrat. Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut. Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam table distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal. Rumus: 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑠 keterangan : Xi = data / nilai X = rata- rata (mean) s = standar deviasi
  • 79.
    79 Hipotesis dari ujiLiliefors:  Ho : Sampel berdistribusi normal  Hi : Sampel tidak berdistribusi normal Kriteria:  Jika Lhitung, < L tabel maka terima Ho dan tolak Hi  Jika Lhitung, > L tabel maka tolak Ho dan terima Hi c. Uji normalitas Kolmogorov-Smirnov Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors. No Xi 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑠 𝐹𝑇 Fs | 𝐹𝑇 − 𝐹𝑠| 1 2 3 4 dst Keterangan : Xi = Angka pada data Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal 𝐹𝑇 = Probabilitas kumulatif normal 𝐹𝑇 = Probabilitas kumulatif empiris Persyaratan: a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)
  • 80.
    80 b. Data tunggal/ belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi c. Dapat untuk n besar maupun n kecil. Signifikansi: Signifikansi uji, nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov Smirnov. Jika nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar < nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai |𝐹𝑇 – Fs| terbesar > nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran 5, Harga Quantil Statistik Kolmogorov Distribusi Normal. Contoh : Suatu penelitian tentang berat badan mahasiswa yang mengikuti pelatihan kebugaran fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut : 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 . Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ? Penyelesaian: a. Hipotesis Ho : Populasi berat badan mahasiswa berdistribusi normal H1 : Populasi berat badan mahasiswa tidak berdistribusi normal b. Nilai α Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 c. Statistik Penguji No 𝑋𝑖 𝑍𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋̅ 𝑠 𝐹𝑇 Fs | 𝐹𝑇 − 𝐹𝑠| 1 67 -1,3902 0,0823 0,0741 0,0082 2 67 -1,3902 3 68 -1,2929 0,0985 0,1111 0,0126 4 69 -1,1957 0,1151 0,1481 0,0330 5 70 -1,0985 0,1357 0,2222 0,0865
  • 81.
    81 6 70 -1,0985 772 -0,904 0,1841 0,2963 0,1122 8 72 -0,904 9 77 -0,4178 0,3372 0,3704 0,0332 10 77 -0,4178 11 78 -0,3205 0,3745 0,5185 0,1440 12 78 -0,3205 13 78 -0,3205 14 78 -0,3205 15 80 -0,1261 0,4483 0,5556 0,1073 16 82 0,06843 0,5279 0,5926 0,0647 17 84 0,26291 0,6025 0,6025 0,0271 18 87 0,55463 0,7088 0,7088 0,0421 19 88 0,65188 0,7422 0,7422 0,0385 20 89 0,74912 0,7734 0,7734 0,0327 21 90 0,84636 0,8023 0,8148 0,0125 22 90 0,84636 23 95 1,33256 0,9082 0,5190 0,3892 24 97 1,52704 0,9370 0,9630 0,026025 97 1,52704 26 97 1,52704 27 98 1,62429 0,7474 1,0000 0,2526 Nilai | 𝐹 𝑇 − 𝐹𝑠| tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1440 d. Derajat Bebas Df tidak diperlukan. e. Nilai Tabel Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α= 0,05 ; N = 27 ; yaitu 0,254. Tabel Kolmogorov Smirnov pada lampiran. f. Daerah Penolakan Menggunakan rumus | 0,1440 | < | 0,2540| ; berarti Ho diterima, Ha ditolak g. Kesimpulan Populasi tinggi badan mahasiswa berdistribusi normal dengan α = 0,05.
  • 82.
    82 B. UJI HOMOGENITAS Ujihomogenitas merupakan uji perbedan antara dua atau lebih populasi. Semua karakteristik populasi dapat bervariasi antara satu populasi dengan yang lain. Dua di antaranya adalah mean dan varian (selain itu masih ada bentuk distribusi, median, modus, range, dll). Uji homogenitas bertujuan untuk mengetahui apakah varians skor yang diukur pada kedua sampel memiliki varians yang sama atau tidak. Populasi- populasi dengan varians yang sama besar dinamakan populasi dengan varians yang homogen, sedangkan populasi-populasi dengan varians yang tidak sama besar dinamakan populasi dengan varians yang heterogen. Menguji Homogenitas Varians Populasi Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B berikut ini: No Nilai KelasA KelasB 1 5 5 2 6 5 3 9 9 4 8 6 5 10 10 6 9 6 7 8 9 8 9 9 9 9 9 10 10 10 11 10 10 12 8 8 13 10 10 14 6 2 15 7 6 16 9 10 17 9 9 18 8 10 19 9 9 20 10 10 21 9 10 22 10 10 23 9 10 24 7 6 25 8 10 26 9 10 27 10 9 28 5 3 29 8 8 30 9 9 31 10 10 32 7 6 33 6 4 34 8 3 35 8 8
  • 83.
    83 Untuk melakukan ujihomogenitas data tersebut.Ada dua macam uji homogenitas untuk menguji kehomogenan dua atau lebih variansi yaitu : 1. Uji Bartlett Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama maupun tidak sama (n yang sama maupun n yang berbeda) untuk tiap kelompok. Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata, dimisalkan populasinya mempunyai varians yang homogen, yaitu 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = ⋯ = 𝜎𝑘 2 . Demikian untuk menguji kesamaan dua rata-rata, telah dimisalkan 𝜎1 2 = 𝜎2 2 , akan diuraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k buah (k≥2) buah populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan varians 𝜎1 2 , 𝜎1 2 ,… , 𝜎𝑘 2 . Akan diuji hipotesis : { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = ⋯ = 𝜎𝑘 2 H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.Metode yang akan digunakan untuk melakukan pengujian ini adalah dengan uji Bartlett. Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n1 ,n1 , …, n𝑘 dengan data Y𝑖𝑗 (𝑖 = 1,2, …, 𝑘𝑑𝑎𝑛𝑗 = 1,2, … , n𝑘 ) dan hasil pengamatan telah disusun dalam daftar : selanjutnya, dari sampel-sampel itu akan kita hitung variansnya masing- masing adalah 𝑠1 2 = 𝑠2 2 = ⋯ = 𝑠 𝑘 2 . Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar seperti : Sampel ke dk 1 𝑑𝑘 𝑠1 2 Log 𝑠1 2 (dk) log 𝑠1 2 DARI POPULASI KE 1 2 … k Data hasil pengamatan Y11 Y21 …. Y 𝑘1 Y12 Y22 …. Y 𝑘2 … … … Y1𝑛1 Y2𝑛2 …. Y 𝑘𝑛 𝑘
  • 84.
    84 1 2 . . . k n1 − 1 𝑛2− 1 . . n𝑘 − 1 1 (n1 − 1) 1 (n2 − 1 1 (n 𝑘 − 1) 𝑠1 2 𝑠2 2 . . . 𝑠 𝑘 2 Log 𝑠1 2 Log 𝑠2 2 . . Log 𝑠 𝑘 2 (n1 − 1)Log 𝑠1 2 (n2 − 1)Log 𝑠 𝑘 2 . . . (n 𝑘 − 1)Log 𝑠 𝑘 2 jumlah ∑ n𝑘 − 1 ∑ 1 (n 𝑘 − 1) … … ∑(n 𝑘 − 1)Log 𝑠 𝑘 2 Dari daftar ini kita hitung harga-harga yang diperlukan, yakni : 𝑠2 = (∑( 𝑛1 − 1) 𝑠𝑖 2) ∑( 𝑛𝑖 − 1) Harga satuan B dengan rumus : 𝐵 = (log 𝑠2 ) ∑( 𝑛𝑖 − 1) Untuk uji Bartlet digunakan statistik chi-kuadrat. 𝑥2 = (ln10){𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖 2 } Dengan ln 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10. Dengan taraf nyata α, kita tolak hipotesis 𝐻0 jika 𝑥2 ≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 , dimana 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = ( k-1). Jika harga 𝑥2 yang dihitung dengan rumus di atas ada di atas harga 𝑥2 dari daftar dan cukup dekat kepada harga tersebut, biasanya dilakukan koreksi terhadap rumus dengan menggunakan faktor koreksi K sebagai berikut : 𝐾 = 1 + 1 3(𝑘 − 1) {∑ ( 1 𝑛𝑖 − 1 ) − 1 ∑ 𝑛𝑖 − 1 𝑘 𝑖=1 }
  • 85.
    85 Dengan faktor koreksiini, statistik 𝑥2 yang dipakai sekarang ialah : 𝑥 𝐾 2 = ( 1 𝐾 )𝑥2 Dengan 𝑥2 di ruas kanan dihitung dengan rumus . dalam hal ini, hipotesis 𝐻0 ditolak jika 𝑥 𝐾 2 ≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 Prosedur pengujian hipotesis : 1) Menentukan formulasi hipotesis { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 = ⋯ = 𝜎𝑘 2 H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku 2) Menentukan taraf nyata (α) dan 𝑥2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑥2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dimana 𝑥2 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan peluang (1-α) dan dk = ( k-1). 3) Menentukan kriteria pengujian: Ho diterima jika 𝑥2 < 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 Ho ditolak jika 𝑥2 ≥ 𝑥(1−𝛼)(𝑘−1) 2 4) Menentukan uji statistik 𝑥2 = (ln10){𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1)log 𝑠𝑖 2 } 5) Menarik kesimpulan Contoh soal : Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas. Dengan rumus varians 𝑠𝑖 2 = ∑ 𝑥 𝑖 2 n 𝑖−1 − (∑ 𝑥 𝑖)2 𝑛𝑖(n 𝑖−1) Dari data diperoleh : 𝑠1 2 =2,114286 𝑠2 2 =5,878992
  • 86.
    86 1. H0 ∶𝜎1 2 = 𝜎2 2 (homogen) H1 ∶ 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 (tidak homogen) 2. Taraf nyata (α=5%) dan 𝑥2 tabel 𝑥2 tabel= 𝑥2(1 − 𝛼)( 𝑘 − 1) = 𝑥2(1− 0,05)(1) = 𝑥2(0,95)(1) = 3,81 3. Kriteria pengujian H0 diterima, jika 𝑥2 hitung<𝑥2 tabel H0 ditolak, jika 𝑥2 hitung≥ 𝑥2 tabel 4. Menentukan uji statistik Uji statistik : a. Varians gabungan dari semua sampel 𝑠2 = ∑( 𝑛𝑖 − 1) 𝑠𝑖 2 ∑( 𝑛𝑖 − 1) = 34(2,114286) + 34(5,878992) 34 + 34 = 71,88571 + 199,8857 68 = 271,7715 68 =3,996639 b. Harga satuan B Log 𝑠2 = log3,996639 =0,601695 𝐁 = (Log s2)∑( 2 i=1 ni − 1) = 40,91525 c. Harga X2 𝑥2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = (ln10) {𝐵 − ∑( 𝑛𝑖 − 1) log 𝑠𝑖 2 } = 2,3026(40,91525 − 37,21186)
  • 87.
    87 = 2,3026(3,703388) =8,527437 d. Kesimpulan Karena 𝑥2 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 8,527437 ≥ 3,81 = 𝑥2 tabel maka H0 ditolak. Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogen dalam taraf nyata 0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga kedua sampel tersebut tidak homogen. 2. Uji Harley Pearson Uji ini digunakan untuk menguji ukuran dengan cuplikan yang sama (n yang sama ) untuk tiap kelompok, misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan varians 𝜎1 2 dan 𝜎2 2 , akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasangan hipotesis nol H0 dan tandingannya H1 : { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 H1 : 𝜎1 2 ≠ 𝜎 Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independen diambil dari populasi tersebut. Jika sampel dari populasi kesatu berukuran n1 dengan varians 𝑠1 2 dan sampel dari populasi kedua berukuran n2 dengan varians 𝑠2 2 maka untuk menguji hipotesis di atas digunakan statistik F = 𝑠1 2 𝑠2 2 Kriteria pengujian adalah : diterima hipotesis H0 jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) untuk taraf nyata α, dimana F 𝛽(𝑚,𝑛) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang β, dk pembilang = m dan dk penyebut = n. dalam hal lainnya H0 ditolak. Statistik lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 adalah
  • 88.
    88 F= Varians terbesar Varians terkecil Prosedurpengujian hipotesis : 1) Menentukan formulasi hipotesis { H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 H1 : 𝜎1 2 ≠ 𝜎 2) Menentukan taraf nyata (α) dan F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ditentukan dengan α, derajat bebas pembilang (n1 − 1), dan derajat penyebut (n2 − 1) dengan rumus F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) 3) Menentukan kriteria pengujian: Ho diterima jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) Ho ditolak jika F(1−𝛼)(n1 −1)≤ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) atau F(1−𝛼)(n1 −1)≥ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) 4) Menentukan uji statistik F = 𝑠1 2 𝑠2 2 F= Varians terbesar Varians terkecil 5) Menarik kesimpulan Contoh soal : Perhatikan data nilai matematika siswa kelas A dan kelas B di atas. 1. Hipotesis (homogen) H0 ∶ 𝜎1 2 = 𝜎2 2 H1 ∶ 𝜎1 2 ≠ 𝜎2 2 (tidak homogen)
  • 89.
    89 2. Menentukan tarafnyata (α) dan F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 ditentukan dengan α = 5%, derajat bebas pembilang (n1 − 1) = 34, dan derajat penyebut (n2 − 1) = 34 dengan rumus F 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) = F0,05(34,34) = 1,77 3. Kriteria pengujian: Ho diterima jika F(1−𝛼)(n1 −1)< F <F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) Ho ditolak jika F(1−𝛼)(n1 −1)≤ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) atau F(1−𝛼)(n1 −1)≥ F = F1 2 𝛼(n1 −1,n2−1) 4. Uji statistik F = 𝑠1 2 𝑠2 2 = 5,878992 2,114268 = 2,780604 5. Kesimpulan Karena 𝐹ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 2,780604 ≥ 1,77 = 𝐹𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 maka H0 ditolak. Jadi data tidak berasal dari populasi yang homogendalam taraf nyata 0,05. Jadi kedua sampel memiliki varians tidak homogen sehingga kedua sampel tersebut tidak homogen.
  • 90.
    90 BAB IX UJI HIPOTESIS A.PENGERTIAN HIPOTESIS STATISTIK Hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo dan thesis. Hupo berarti lemah, kurang atau di bawah, dan thesis berarti teori, proposisi, atau pernyataan yang sajikan dengan bukti. Jadi, hipotesis dapat diartikan sebagai suatu anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan keputusan/pemecahan masalah atau untuk dasar penelitian lebih lanjut. Hipotesis juga merupakan suatu pernyataan atau dugaan yang masih lemah kebenarannya sehingga masih harus diuji terlebih dahulu menggunakan teknik tertentu. Suatu hipotesis bisa juga salah, untuk itu harus diuji terlebih dahulu menggunakan data-data observasi. Suatu hipotesis dirumuskan berdasarkan teori, dugaan, pengalaman pribadi/orang lain, kesan umum, ataupun kesimpulan yang masih sangat sementara. Hipotesis statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Atau dengan kata lain, jika suatu pernyataan dibuat untuk menjelaskan nilai parameter populasi, maka hal pernyataan ini juga disebut hipotesis statistik. B. Konsephipotesis Menurut Kerlinger (1973:18) dan Tuckman (1982:5) mengartikan hipotesis adalah sebagai dugaan terhadap hubungan antara dua variable atau lebih. Selanjutnya menurut Sudjana (1992:219) mengartikan hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai suatu hal yang dibuat untuk menjelaskan halitu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekan nya. Atas dasar dua definisi
  • 91.
    91 diatas, maka dapatdisimpulkan bahwa hipotesis adalah jawaban atau dugaan sementara yang harus diuji lagi kebenarannya. Hipotesis penelitian adalah hipotesis kerja (Hipotesis Alternatif Ha atau H1) yaitu hipotesis yang dirumuskan untuk menjawab permasalahan dengan menggunakan teori-teori yang ada hubungan nya (relevan) dengan masalah penelitian dan belum berdasarkan fakta serta dukungan data yang nyata dilapangan. Hipotesisa lternatif (Ha) dirumuskan dengan kalimat positif. Hipotesis nol adalah pernyataan tidak adanya hubungan, pengaruh, atau perbedaan antara parameter dengan statistik. Hipotesis Nol (Ho) dirumuskan dengan kalimat negatif). Nilai Hipotesis Nol (Ho) harus menyatakan dengan pasti nilai parameter. C. PERUMUSAN HIPOTESIS Suatu rumusan dari sebuah hipotesis digunakan sebagai petunjuk arah dalam rancangan penelitian, teknik pengumpulan, dan analisis data serta penyimpulan. Rumusan hipotesis sebenarnya sudah dapat dibaca dari uraian masalah, tujuan penelitian, kajian teoritik, dan kerangka pikir sehingga rumusannya harus sejalan. Rumusan hipotesis mempunyai ciri-ciri umum, yaitu sebagai berikut: 1. Kalimat dari rumusan hipotesis dinyatakan sebagai kalimat pernyataan (deklaratif). 2. Rumusan hipotesis melibatkan minimal dua variabel penelitian. 3. Rumusan hipotesis mengandung suatu prediksi. 4. Suatu rumusan hipotesis harus dapat diuji (testable). D. TIPE-TIPE HIPOTESIS
  • 92.
    92 Hipotesis statistik akanditerima jika hasil pengujian membenarkan pernyataan nya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataan nya. Di dalam pengujian hipótesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Hipotesis digolongkan menjadi 2 tipe, yaitu hipotesis nihil dan hipotesis alternatif. 1. Hipotesis nihil/nol (Ho) Hipotesis nihil adalah hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih. 2. Hipotesis alternatif (H1) Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang menyatakan adanya hubungan antara dua variabel atau lebih atau adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih. E. KESALAHAN/KEKELIRUAN PENGUJIAN HIPOTESIS Kesimpulan Hipotesis benar Hipotesis salah Terima hipotesis Kekeliruan tipe II ( 𝛽) (kuasa uji = 1 – 𝛽) Tolak hipotesis Kekeliruan tipe I (taraf signifikan 𝛼) Di dalam menaksir parameter populasi berdasarkan data sampel, kemungkinan akan terdapat dua kesalahan, yaitu:  Kesalahan tipe I, yaitu suatu kesalahan bila menolak Ho yang benar (seharusnya diterima). Dalam hal ini tingkat kesalahan dinyatakan dengan 𝛼.
  • 93.
    93  Kesalahan tipeII, yaitu suatu kesalahan bila menerima Ho yang salah (seharusnya ditolak). Tingkat kesalahan ini dinyatakan dengan 𝛽. Pembuat keputusan berusaha agar kedua tipe kesalahan di atas ditekan sampai sekecil-kecilnya, hal ini dapat terjadi jika n meningkat. F. FORMULASI HIPOTESIS 1. Uji Satu Pihak (Kanan) Contoh: metode pembelajaran kostektual lebih unggul daripada metode pembelajaran simulasi. Ho: 𝜃 = 𝜃o Ho: 𝜃 > 𝜃o 2. Uji Satu Pihak (Kiri) Contoh: dengan metode ceramah pembiayaan media lebih hemat dari pada metode konstektual. Ho: 𝜃 = 𝜃o Ho: 𝜃 < 𝜃o
  • 94.
    94 3. Uji DuaPihak Contoh: salah satu dari metode pembelajaran lebih unggul dari pada metode pembelajaran yang lain. Ho: 𝜃 = 𝜃o Ho: 𝜃 ≠ 𝜃o
  • 95.
    95 Kesimpulan Hipotesis statistik adalahpernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya. Hipotesis digolongkan menjadi 2 tipe, yaitu hipotesis nihil dan hipotesis alternatif. Hipotesis memiliki formulasi :Uji Satu Pihak (Kanan), Satu Pihak (Kiri), danUji Dua Pihak.
  • 96.
    96 BAB X UJI HIPOTESISSATU RATA-RATA Pengujian hipotesis merupakan suatu prosedur yang akan menghasilkan suatu keputusan, yaitu keputusan menerima atau menolak keputusan itu. Dalam pengujian hipotesis, keputusan yang dibuat mengandung ketidakpastian, artinya keputusan bisa benar atau salah, sehingga menimbulkan resiko. Besar kecilnya resiko dinyatakan dalam sebuah probabilitas. I. Pengujian Hipotesis Satu rata-rata Sampel besar (n > 30) Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel besar (n > 30), uji statistiknya menggunakan distribusi Z. Prosedurnya sebagai berikut. 1) Formulasi hipotesis H0 : = H1 : > Kriteria pengujian -H0 diterima jika Z0 , -H0 ditolak jika Z0 > , H0 : = H1 : < Kriteria pengujian -H0 diterima jika Z0 , -H0 ditolak jika Z0 < , , H0 : = H1 : Kriteria pengujian H0 diterima jika Z0 , H0 ditolak jika Z0 > atau Z0 < ,
  • 97.
    97 2) Penentuan nilai𝛼 (taraf nyata) dan nilai Z tabel (𝑍 𝛼 ) Menentukan nilai 𝛼 sesuai soal, kemudian nilai 𝑍 𝛼 atau 𝑍 𝛼/2 ditentukan dari tabel. 3) Uji statistik a. Simpangan baku populasi (𝜎) diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎𝑥̅ = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎 √ 𝑛 b. Simpangan baku populasi (𝜎) tidak diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅−𝜇0 𝑠 𝑥̅ = 𝑋̅−𝜇0 𝑠 √ 𝑛 Keterangan: s = penduga dari 𝜎 = simpangan baku sampel 𝜇0 = nilai 𝜇 sesuai dengan H0 4) Kesimpulan Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai dengan kriteria pengujiannya) Contoh : Menurut pendapat salah satu pinpinan perusahaan buku Statistika, rata-rata penerimaan per hari sebesar Rp 7.000, dengan alternatif lebih besar dari itu. Diketahui simpangan baku dari penerimaan sebesar Rp 1.600. untuk menguji pendapatnya, dilakukan penyelidikan terhadap 256 orang penjual buku ke mahasiswa yang dipilih secara acak, ternyata diketahui rata-rata
  • 98.
    98 penerimaan mereka sebesarRp 7.100. dengan menggunakan 𝛼 = 5%, ujilah pendapat tersebut. Penyelesaian 1.) Formulasi hipotesis 𝐻0 ∶ 𝜇 = 7000 𝐻 𝑎 ∶ 𝜇 > 7000 Kriteria pengujian  H0 diterima jika Z0 𝑍 𝛼 ,  H0 ditolak jika Z0 > 𝑍 𝛼 2.) Taraf Signifikansi 𝛼 = 5%, 𝑍 𝑎 = 1,64 (dari tabel normal) 3.) Uji Statistik 𝑍0 = 𝑋̅−𝜇0 𝜎 √ 𝑛 = 7100−7000 1600 √256 = 1 4.) Berdasarkan kriteria, H0 diterima jika Z0 𝑍 𝛼 . Karena 1 ≤ 1,64 maka Ho diterima Artinya memang benar rata-rata penerimaan mereka sebesar Rp 7.100. dengan menggunakan 𝛼 = 5% II. Pengujian Hipotesis Satu Rata-rata Sampel kecil (n 30) Untuk pengujian hipotesis satu rata-rata dengan sampel kecil (n 30), uji statistiknya menggunakan distribusi t. Prosedurnya sebagai berikut.
  • 99.
    99 1) Formulasi hipotesis i.H0 : 𝜇 = 𝜇0 H1 : 𝜇 > 𝜇0 Kriteria pengujian: H0 diterima jika t0 ≤ 𝑡 𝛼 , H0 ditolak jika t0 > 𝑡 𝛼 , ii. H0 : 𝜇 = 𝜇0 H1 : 𝜇 < 𝜇0 Kriteria pengujian: a) H0 diterima jika t0 −𝑡 𝛼 , b) H0 ditolak jika t0 < −𝑡 𝛼 , 2) Penentuan nilai 𝛼 (taraf nyata) dan nilai t-tabel Menentukan nilai 𝛼 sesuai soal, kemudian menentukan derajat bebas, yaitu db = n – 1, lalu menentukan nilai 𝑡 𝛼;𝑛−1 atau 𝑡 𝛼/2;𝑛−1 dari tabel. , 3) Uji statistik a. Simpangan baku populasi (𝜎) diketahui: 𝑡0 = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎𝑥̅ = 𝑋̅ − 𝜇0 𝜎 √ 𝑛 b. Simpangan baku populasi (𝜎) tidak diketahui: H0 : = H1 : Kriteria pengujian H0 diterima jika −𝑡 𝑎/2 ≤ 𝑡0 ≤ 𝑡 𝑎/2 H0 ditolak jika 𝑡0 > 𝑡 𝑎/2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡0 < −𝑡 𝑎/2
  • 100.
    100 𝑡0 = 𝑋̅ −𝜇0 𝑠 𝑥̅ = 𝑋̅ − 𝜇0 𝑠 √ 𝑛 4) Kesimpulan Menyimpulkan tentang penerimaan atau penolakan H0 (sesuai dengan kriteria pengujiannya). Contoh Menurut salah satu seorang guru yayasan Bina Ria, pengeluaran per hari siswa-siswi sekolah tersebut yaitu sebesar Rp1.740 dengan alternatifnya tidak sama dengan itu. Untuk menguji pendapat guru tersebut, dilakukan wawancara terhadap 25 orang siswa yayasan yang dipilih secara acak sebagai sampel, dan ternyata rata-rata pengeluaran per hari adalah Rp1.800 dengan simpangan bakunya sebesar Rp100. Dengan menggunakan 𝛼 = 0,05(−5%), ujilah pendapat tersebut. Penyelesaian 𝑛 = 25, 𝑋̅ = 1800, 𝑠 = 100, 𝜇0 = 1740 Formulasi hipotesis 𝐻0 ∶ 𝜇 = 1740 𝐻0 ∶ 𝜇 ≠ 1740 𝑡0 = 𝑋̅−𝜇0 𝑠 √ 𝑛⁄ = 1800−1740 100 √25 ⁄ = 3 𝛼 = 0,05 derajat kebebasan = 𝑛 − 1 = 25 − 1 = 24 𝑡 𝛼 2(𝑛−1)⁄ = 𝑡0,025(24) = 2,0639
  • 101.
    101 −𝑡 𝛼 2⁄ =−2,0639 Karena 𝑡0 > 𝑡 𝛼 2⁄ = 3 > −2,0639, maka 𝐻0 ditolak. Berarti,rata-rata pengeluaran perhari siswa-siswa sekolah dasar tersebut tidak sama dengan Rp.1.740.
  • 102.
    102 BAB XI UJI HIPOTESISDUA RATA-RATA A. PengertianUji Hipotesis Dua Rata-Rata Uji hipotesis dua rata-rata digunakan untuk mengetahui ada atau tidaknya perbedaan (kesamaan) antara dua buah data. Salah satu teknik analisis statistic untuk menguji kesamaan dua rata-rata inii adalah uji t (t test) karena rumus yang digunakan disebut rumus t. Rumus t sendiri banyak ragamnya dan pemakaiannya disesuaikan dengan karakteristik kedua data yang akan dibedakan. Ada beberapa syarat yang harus dipenuhi sebelum uji t dilakukan yaitu ; a. Data masing-masing berdistribusi normal b. Data dipilih secara acak c. Data masing-masing homogen B. Pengujian Hipotesis Dua Rata-Rata a. Perumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut: 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 ( 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑎) 𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 > 0 ( 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛, 𝜇1 > 𝜇2) 𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 < 0 ( 𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎𝑎𝑛, 𝜇1 < 𝜇2) 𝐻 𝑎: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0 (𝜇1 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜇2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜇1 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜇2 ) b. Langkah –langkah untuk melakukan uji hipotesis dua rata-rata adalah sebagai berikut : 1. Uji atau asumsikan bahwa data dipilih secar acak 2. Uji atau asumsikan bahwa data berdistribusi normal 3. Asumsikan bahwa kedua variansnya homogen 4. Tulis Ha dan H0 dlam bentuk kalimat 5. Tulis Ha dan H0 dlam bentuk statistik 6. Cari thitung dengan rumus tertentu 7. Tetapkan taraf signifikansinya (α)
  • 103.
    103 1. Sampel besar(n < 30) Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel besar (n<30).uji statistiknya menggunakan distribusi Z. prosedur pengujian hipotesisnya ialah sebagai berikut. 1) Formulasi Hipotesis a. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 b. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 c. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 2) Penentuan nilai dan nilai Z tabel 𝑍 𝑎 Mengambil nilai sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan nilai atau dari 𝑍 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑍 𝑎 2⁄ tabel. 3) Kriteria pengujian Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 ≤ 𝑍 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 > 𝑍 𝑎 Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 ≥ −𝑍 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 < −𝑍 𝑎 Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑍 𝑎 2⁄ ≤ 𝑍0 ≥ −𝑍 𝑎 2⁄ b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑍0 > −𝑍 𝑎 2⁄ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑍0 < −𝑍 𝑎 2⁄ 4) Uji Statistik a) Jika simpangan baku populasi diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅1−𝑋2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜎 𝑥1−𝑥2 dengan 𝜎𝑥1−𝑥2 = √ 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 b) Jika simpangan baku populasi tidak diketahui: 𝑍0 = 𝑋̅1−𝑋2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆 𝑥1−𝑥2 dengan 𝑆 𝑥1−𝑥2 = √ 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2
  • 104.
    104 Dimana apabila 𝜎1𝑑𝑎𝑛 𝜎2 tidak diketahui, dapat diestimasi dengan : 𝑆 𝑥1−𝑥2 = √ 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 𝑆1 2 == 1 𝑛1 − 1 ∑(𝑋𝑖1 ̅̅̅̅ − 𝑋1)2 𝑆2 2 == 1 𝑛2 − 1 ∑(𝑋𝑖2 ̅̅̅̅ − 𝑋2)2 5) Kesimpulan Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0. a). Jika H0 diterima maka H1 ditolak b). Jika H0 ditolak maka H1 diterima. (Hasan, 2003:151) 2. Sampel Kecil ( n ≤ 30 ) Untuk pengujian hipotesis beda dua rata-rata dengan sampel ( n ≤ 30 ), uji statisticnya menggunakan distribusi t . Prosedur pengujian hipotesisnya ialah sebagai berikut : 1. Formulasi Hipotesis a. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 b. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 c. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 2. Penentuan nilai dan nilai t tabel 𝑡 𝑎 Mengambil nilai sesuai soal (kebijakan), kemudian menentukan nilai atau dari 𝑡 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡 𝑎 2⁄ tabel. 3. Kriteria pengujian Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 > 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 ≤ 𝑡 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 > 𝑡 𝑎
  • 105.
    105 Untuk 𝐻0: 𝜇1= 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 < 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 ≥ −𝑡 𝑎 b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 < −𝑡 𝑎 Untuk 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 𝑑𝑎𝑛 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 a. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 −𝑡 𝑎 2⁄ ≤ 𝑡0 ≥ −𝑡 𝑎 2⁄ b. 𝐻0 𝑑𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑘 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡0 > −𝑡 𝑎 2⁄ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡0 < −𝑡 𝑎 2⁄ 4. Uji Statistik a) Untuk pengamatan tidak berpasangan 𝑡0 = 𝑋1 − 𝑋2 √ ( 𝑛1 − 1) 𝑠1 2 + ( 𝑛2 − 1) 𝑠2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 ( 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ) b) Untuk pengamatan berpasangan 𝑡0 = 𝑑̅ 𝑆𝑑 √ 𝑛 𝑑̅ = ∑ 𝑑𝑖 𝑛 𝑑𝑖 = 𝑈1 − 𝑢2 𝑆𝑑 = √ ∑(𝑑𝑖 − 𝑑̅)2 𝑛 − 1 Keterangan : 𝑑̅ = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑 Sd = simpangan baku dari niai d n = banyaknya pasangan 𝑡0 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑏 = 𝑛 − 1 5) Kesimpulan Kesimpulan pengujian merupakan penerimaan atau penolakan H0. a). Jika H0 diterima maka H1 ditolak b). Jika H0 ditolak maka H1 diterima.
  • 106.
    106 Contoh : 1. Suatupabrik susu merek Good Milk melakukan pengecekan terhadap produk mereka, apakah rata-rata berat bersih satu kaleng susu bubuk yang di produksi dan di pasarkan masih tetap 400 gram atau sudah lebih kecil dari itu. Dari data sebelumnya di ketahui bahwa simpangan baku bersih per kaleng sama dengan 125 gram. Dari sample 50 kaleng yang di teliti, di peroleh rata- rata berat bersih 375 gram. Dapatkah di terima bahwa berat bersih rata-rata yang di pasarkan tetap 400 gram? Ujilah dengan taraf nyata 5 % ! Penyelesaian : Diketahui : n = 50, X = 375, σ = 125, µo = 400 Jawab : a. Formulasi hipotesisnya : Ho : µ = 400 H1 : µ < 400 b. Taraf nyata dan nilai tabelnya : α = 5% = 0,05 Z0,05 = -1,64 (pengujian sisi kiri) c. Kriteria pengujian :
  • 107.
    107 o Ho diterima jika Zo ≥ - 1,64 o Ho di tolak jika Zo < - 1,64 d. Uji Statistik 𝑍0 = 𝑥̅ − 𝜇0 √ 𝑛 𝑍0 = 375 − 400̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 125 √50 = −1,41 e. Kesimpulan Karena Zo = -1,41 ≥ - Z0,05 = - 1,64 maka Ho di terima. Jadi, berat bersih rata-rata susu bubuk merek GOOD MILK per kaleng yang di pasarkan sama dengan 400 gram 2. Sebuah perusahan mengadakan pelatihan teknik pemasaran. Sampel sebanyak 12 orang dengan metode biasa dan 10 orang dengan terprogram. Pada akhir pelatihan di berikan evaluasi dengan materi yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 75 dengan simpangan baku 4,5. Ujilah hipotesis kedua metode pelatihan, dengan alternative keduanya tidak sama! Gunakan taraf nyata 10%! Asumsikan kedua populasi menghampiri distribusi normal dengan varians yang sama!
  • 108.
    108 Penyelesaian : Diketahui : n1= 12 X1 = 80 s₁ = 4 n2 = 10 X2 = 75 s₂ = 4,5 Jawab: a. Formulasi hipotesisnya : Ho : µ₁ = µ₂ H1 : µ₁ ≠ µ₂ b. Taraf nyata dan nilai tabelnya : α = 10% = 0,10 𝑡 𝑎 2⁄ = 0,05 db = 12 + 10 – 2 = 20 t0,05;20 = 1,725 c. Kriteria pengujian : o Ho di terima apabila -1,725 ≤ t0 ≤ 1,725 o Ho di tolak apabila t0 > 1,725 atau t0 < -1,725 d. Uji Statistik
  • 109.
    109 𝑡0 = 𝑋1 −𝑋2 √ ( 𝑛1 − 1) 𝑠1 2 + ( 𝑛2 − 1) 𝑠2 2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 ( 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ) 𝑡0 = 80 − 75 √ (12 − 1)42 + (10 − 1)4,52 12 + 10 − 2 ( 1 12 + 1 10 ) = 2,76 e. Kesimpulan Karena t0 = 2,76 > t0,05;20 = 1,725 maka Ho di tolak. Jadi, kedua metode yang digunakan dalam pelatihan tidak sama hasilnya.
  • 110.
    110 DAFTAR PUSTAKA Subana, MoersetyoRahadi, dan Sudrajat.2000.Statistik Pendidikan.Bandung : Pustaka Setia. Sudjana.2005.Metode Statistika.Bandung : Tarsito. Sudaryono.2014.Teori dan Aplikasi dalam Statistik.Yogyakarta: Andi. Riduwan, MBA. 2007. Pengantar Statistika Sosial. Bandung : Alfabeta Herrhyanto, Nar dan Akib Hamid. 1992. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka. Putri, Ratu Ilma Indra. Distribusi Binomial dan Poisson. http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/distribusi-binomial-dan-poisson- baru.pdf http://fathur14klose.blogspot.com/2011/12/makalah-statistika-distribusi- binomial.html. Diakses pada tanggal 21Oktober2015 Herrhyanto, Nar dan Akib Hamid. 1992. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka. Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Hipotesis. http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji_hipotesis-dan-uji- hipotesis_1_ratarata.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015. Marhaendro, Agus Susworo Dwi. Pengujian Hipotesis. http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/Pengujian%20Hipotesis.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015. Harlyan, Ledhyane Ika. Uji Hipotesis. http://ledhyane.lecture.ub.ac.id/files/2012/11/PENGUJIAN- HIPOTESIS.pdf. Diakses pada tanggal 10 November 2015. Yassin, Moh. Tabeldistribusifrekuensi.
  • 111.
    111 http://metodestatistik.blogspot.co.id/2011/05/tabel-distribusi- frekuensi.html#.VltJknYrLDc Diaksespadatanggal 28 november2015. Primasanti, Iftitah. Ujihipotesis. http://iftitahprimasanti.blogspot.com/2012/05/uji-hipotesis.html# Diaksespadatanggal 28 November 2015 Untari, RinaDwi. Distribusi Binomial. http://rinadwiuntari.blogspot.com/2012/12/distribusi-binomial.html# Diaksespadatanggal 28 November 2015 Lailiyah,Intan. Distribusi binomial danpoisson. http://intanlailiyah98.blogspot.com/2013/04/distribusi-binomial-dan- poisson.html# diaksespadatanggal 28 November 2015 https://www.academia.edu/9325441/Pengertian_Penyajian_Data (28 November 2015) https://www.scribd.com/doc/49584241/Tujuan-Penyajian-Data (28 November 2015) Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Normalitas dan Uji Homogenitas. http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-normalitas-dan-homogenitas- ri.pdf Putri, Ratu Ilma Indra. Uji Hipotesis 1 dan 2 Rata-Rata http://ilma69.files.wordpress.com/2012/10/uji-hipotesis-12-rata-rata1.pdf Yusup, Muhammad. Uji Normalitas http://yourmath.wordpress.com/tabel-Z/ (10 November 2015) Hidayat, Anwar. Uji Normalitas http://www.statistikian.com/2013/01/uji-normalitas.html (10 November 2015) Hafizah, Ellyna. Uji Normalitas dan Homogenitas Data http://www.academia.edu/6774849/Uji-Normalitas-dan-Homogenitas-data (30 November 2015) Kesuma, Dera Puji. Uji Hipotesis Dua Rata-rata
  • 112.
    112 http://datapujik.blogspot.co.id/2012/06/Uji-Hipotesis-dua-rata-rata- uji.html (30 November2015) Marfuah, Siti. Uji Hipotesis Dua Rata-Rata (1) http://sitemath.wordpress.com/2013/03/08/uji-hipotesis-2-rata-rata/ (03 November 2015) Dajan, A. (2000). Pengantar Metode Statistik Jilid 1. Jakarta: LP3ES. Irianto, A. (2010). Statistik: Konsep Dasar, Aplikasi, dan Pengembangannya. Jakarta: Kencana. Riduwan. (2013). Pengantar Statistika. Bandung : Alfabeta. Saleh, S. (1996). Statistik Induktif. UPP-AMP YKPN: Yogyakarta. Statistika Deskriptif. (2014). Sumanto: CAPS. Sugiyo. (2013). Statistika Untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta