Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang persamaan diferensial orde satu, meliputi definisi, bentuk umum persamaan diferensial orde satu, dan metode penyelesaian yang dapat digunakan seperti metode integral langsung dan metode pemisahan variabel. Kemudian disertai contoh soal dan pembahasan penyelesaian persamaan diferensial orde satu.

1. PERSAMAAN
DIFERENSIAL ORDE
SATU
M U H A M M A D Z A I N A L R O I S U L A M I N , M . T

2. DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL
• Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai:
• Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa
dan persamaan diferensial parsial.
• Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde
tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
adalah orde 3 ;
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 adalah orde 2 ;
𝑑𝑥
𝑑𝑦
adalah orde 1
• Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial
adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde,
contohnya :
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
2+
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
5+
𝑦
𝑥2+1
= 𝑒𝑥

3. Persamaan diferensial orde satu dapat dinyatakan dalam bentuk :

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
 Dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde satu, akan
membahas dengan menggunakan metode :
 Metode Integral Langsung
 Metode Pemisahan Variabel
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

4. Dengan Metode Integral
Secara Langsung
*Bila persamaan dalam bentuk 𝑦′ = 𝑓(𝑥) maka persamaan
tersebut dapat diselesaikan dengan integral sederhana :
Contoh :
1. 𝑦′
= 3𝑥2
− 6𝑥 + 5𝑦 = 3𝑥2
− 6𝑥 + 5 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 + 𝑐
2. 𝑦′
= 2𝑥3
+ 4𝑥 + 2
*𝑦 = (2𝑥3 + 4𝑥 + 2)𝑑𝑥
*𝑦 =
1
2
𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑥 + 𝑐

5. Dengan Metode Pemisahan Variabel
 Bila persamaan diferensial berbentuk 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) , yaitu
persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai
perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, maka
penyelesaian Persamaan Diferensial dengan cara memisahkan
variabelnya sehingga faktor ‘y’ bisa dikumpulkan dengan ‘dy’ dan
faktor ‘x’ dapat dikumpulkan dengan ‘dx’.
Contoh :
9𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑥 = 0 ,Dengan memisahkan variabelnya diperoleh :
9𝑦𝑑𝑦 = −4𝑥𝑑𝑥
Selanjutnya tiap ruas diintegralkan dan didapatkan solusi :
9
2
𝑦2
= −2𝑥2
+ 𝑐
9
2
𝑦2 + 2𝑥2 = 𝑐 ↔
𝑦2
2
+
2𝑥2
9
=
𝑐
9
𝑦 = −
4
9
𝑥2 +
2
9
𝑐

6. SOAL DAN PEMBAHASAN
1. 𝑥𝑦′ = 5𝑥3 + 4
• 𝑦′
= 5𝑥2
+
4
𝑥
→ 𝑦 = 5𝑥2
+
4
𝑥
𝑑𝑥
• 𝑦 =
5
3
𝑥3 + 4𝑙𝑛𝑥 + 𝑐
2.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 − 𝑥2
• 𝑑𝑦 = 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥
• 𝑦 =
1
2
𝑥2 −
1
3
𝑥3 + 𝑐

7. 3. Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y=2 dan x=3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3
2
𝑥2
+ 2𝑥2
𝑑𝑦 =
3
2
𝑥2
+ 2𝑥2
𝑑𝑥
𝑦 =
1
2
𝑥3
+
2
3
𝑥3
+ 𝑐
→ merupakan solusi umum untuk mencari solusi khusus
maka 𝑦 = 2 dan 𝑥 = 3 dimasukkan ke persamaan
2 =
27
2
+ 18 + 𝑐 → 𝑐 = −
59
2
Maka solusi khususnya adalah 𝑦 =
1
2
𝑥3 +
2
3
𝑥3 −
59
2

8. 5.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥𝑦
𝑦𝑑𝑦 =
𝑑𝑥
𝑥
→ 𝑦𝑑𝑦 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑦2
2
+ 𝑐 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐 → 𝑦2 = 2 ln 𝑥 + 𝑐 → 𝑦 = 2𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐
6. Selesaikan persamaan beikut : 𝑦′
= 𝑥
3
2 + 𝑥
1
2 + 2𝑥
𝑦 = (𝑥
3
2+𝑥
1
2 + 2𝑥)𝑑𝑥
𝑦 =
2
5
𝑥
5
2 +
2
3
𝑥
3
2 + 𝑥2
+ 𝑐

9. 7. Selesaikan persamaan berikut : 𝑦′ = 𝑥
1
2 + 𝑥5 − 7
8. Selesaikan persamaan berikut : 𝑦′ = 𝑥
5
2 − 50𝑥49 + 100𝑥99

10. 7. Selesaikan persamaan berikut : 𝑦′ = 𝑥
1
2 + 𝑥5 − 7
 Jawab :
 𝑦 = (𝑥
1
2+𝑥5 − 7) 𝑑𝑥
 𝑦 =
2
3
𝑥
3
2 +
1
6
𝑥6
− 7𝑥 + 𝑐

11. 8. Selesaikan persamaan berikut : 𝑦′
= 𝑥
5
2 − 50𝑥49
+ 100𝑥99
 Jawab :
 𝑦 = ( 𝑥
5
2 − 50𝑥49 + 100𝑥99)𝑑𝑥
 𝑦 =
2
7
𝑥
7
2 − 𝑥50 + 𝑥100 + 𝑐

12. 9. Selesaikan persamaan berikut :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
 Jawab :
 𝑦 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥
 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐
10. Selesaikan persamaan berikut :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
 Jaawab:
 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
 𝑦 = −
1
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
2
𝑠𝑖𝑛2𝑥

13. 11. Selesaikan persamaan berikut : 9𝑦𝑦′
+ 4𝑥 = 0
9𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −4𝑥𝑑𝑥
9𝑦 𝑑𝑦 = − 4𝑥 𝑑𝑥
9
2
𝑦2 + 𝑐1 = −2𝑥2 + 𝑐2
9𝑦2
= −4𝑥2
+ 𝑐 → 𝑐 = (2𝑐2 − 2𝑐1)
𝑦 = −
4
9
𝑥2 + 𝑐

14. 12. 𝑦2
𝑑𝑦 = 𝑥 + 3𝑥2
𝑑𝑥 , bilamana x=0 & y=6
 Jawab :
 𝑦2𝑑𝑦 = ( 𝑥 + 3𝑥2)𝑑𝑥


𝑦3
3
+ 𝑐1 =
𝑥2
2
+ 𝑥3 + 𝑐2
 𝑦3
=
3𝑥2
2
+ 3𝑥3
+ 3𝑐 − 3𝑐 → 𝑐 = 3𝑐1 − 3𝑐2
 𝑦3
=
3𝑥2
2
+ 3𝑥3
+ 𝑐 → 𝑦 =
3 3𝑥2
2
+ 3𝑥3 + 𝑐
 Memasukkan nilai x=0 & y=6 maka didapat c= 216
 Maka solusi khusus dari persamaan diatas adalah 𝑦 =
3 3𝑥2
2
+ 3𝑥3 + 216

15. 13. Selesaikan Persamaan Diferensial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
1+3𝑦2
 Jawab : 1 + 3𝑦2 𝑑𝑦 = 𝑥2𝑑𝑥
 1 + 3𝑦2 𝑑𝑦 = 𝑥2𝑑𝑥 → 𝑦 + 𝑦3 =
1
3
𝑥3 + 𝑐
14. Selesaikan persamaan berikut :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
7𝑥4
2𝑦+𝑦+3𝑦
 Jawab :

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
7𝑥4
2𝑦+𝑦+3𝑦
→
7𝑥4
6𝑦
 6𝑦𝑑𝑦 = 7𝑥4
𝑑𝑥

 6𝑦𝑑𝑦 = 7𝑥4
𝑑𝑥
 3𝑦2 =
7
5
𝑥5 + 𝑐
 𝑦 =
7
15
𝑥5 + 𝑐

16. 15. Selesaikan persamaan berikut :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥3
2+2𝑦3
Jawab :
 2 + 2𝑦3
𝑑𝑦 = 2𝑥3
𝑑𝑥
 2 + 2𝑦3
𝑑𝑦 = 2𝑥3
𝑑𝑥
 2𝑦 +
1
2
𝑦4
=
1
2
𝑥4
+ 𝑐
 4𝑦 + 𝑦4
= 𝑥4
+ 𝑐

17. 17. Selesaikan persamaan berikut :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
100𝑥
3𝑦+999𝑦
• Jawab :
• 1002𝑦𝑑𝑦 = 100𝑥𝑑𝑥
• 1002𝑑𝑦 = 100𝑥𝑑𝑥
• 501𝑦2
= 50𝑥2
+ 𝑐
18. Selesaikan persamaan berikut :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑦
• Jawab :
• 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
• 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
• 𝑠𝑖𝑛 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐

18. 20. Selesaikan persamaan berikut :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑐𝑜𝑠2𝑥
2𝑠𝑖𝑛5𝑦
• Jawab :
2𝑠𝑖𝑛5𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
2𝑠𝑖𝑛5𝑦 𝑑𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
−
2
5
𝑐𝑜𝑠5𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐

19. TERIMA
KASIH