![Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
2
# π¦ π = jawaban parsial/partikuler
Permisalan π¦ π mengikuti ketentuan-ketentuan berikut.
(1) Untuk π( π₯) = π ππ₯
β ππ( π₯), dengan ππ( π₯) = polynomial berderajat π.
(a) Jika π bukan akar-akar persamaankarakteristik, maka π¦ π = π ππ₯
β π π( π₯)
dengan π π( π₯) = polynomial berderajat π dengan koefisien-koefisien tidak
ditentukan.
(b) Jika π akar-akar persamaan karakteristik, maka π¦ π = π₯ π
β π ππ₯
β π π( π₯)
dengan π adalah jumlah akar yang bernilai π ( π = 1 atau π = 2).
(2) Untuk π( π₯) = π ππ₯
β [ ππ( π₯) β cos ππ₯ + π π( π₯) β sin ππ₯],
(a) π( π Β± ππ) β 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Similar to Persamaan Diferensial
Similar to Persamaan Diferensial (20)
More from Bogor
More from Bogor (12)
Persamaan Diferensial
- 1. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-1 Cara Penyelesaiannya dengan: #A#PENJUMLAHAN JAWABAN βHOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULERβ; #B#METODE PEMISAHAN; #C#METODE REDUKSI; #D#METODE FAKTOR INTEGRAL; atau #E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI. A#PENJUMLAHAN JAWABAN βHOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULERβ Jawaban: π¦ = π¦β + π¦ π # π¦β = jawaban homogen β«β« π¦β = π΄ β π π π₯ Persamaanmenggunakan π¦β dan dipersamakan dengan nol.
- 2. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 2 # π¦ π = jawaban parsial/partikuler Permisalan π¦ π mengikuti ketentuan-ketentuan berikut. (1) Untuk π( π₯) = π ππ₯ β ππ( π₯), dengan ππ( π₯) = polynomial berderajat π. (a) Jika π bukan akar-akar persamaankarakteristik, maka π¦ π = π ππ₯ β π π( π₯) dengan π π( π₯) = polynomial berderajat π dengan koefisien-koefisien tidak ditentukan. (b) Jika π akar-akar persamaan karakteristik, maka π¦ π = π₯ π β π ππ₯ β π π( π₯) dengan π adalah jumlah akar yang bernilai π ( π = 1 atau π = 2). (2) Untuk π( π₯) = π ππ₯ β [ ππ( π₯) β cos ππ₯ + π π( π₯) β sin ππ₯], (a) π( π Β± ππ) β 0
- 3. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 3 π¦ π = π ππ₯ β [ π π( π₯) β cos ππ₯ + π π( π₯) β sin ππ₯], dengan π π( π₯) dan π π( π₯) adalah polinomial-polinomial berderajat π ππππ πππ’π{ π, π}. (b) π( π Β± ππ) β 0 π¦ π = π₯ π β π ππ₯ β [ π π( π₯) β cos ππ₯ + π π( π₯) β sin ππ₯], dengan π adalah jumlah akar yang samadengan ( π Β± ππ) #untuk persamaan-persamaan orde-2, π = 1. CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogendan parsial Selesaikan persamaan diferensial berikut! π ππ₯ π¦ + π¦ = π π₯
- 4. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 4 PENYELESAIAN βCONTOH#1#penjumlahan jawaban homogendan parsialβ Jawaban Homogen Bentuk persamaan homogenya, adalah: π¦β β² + π¦β = 0 Dimisalkan: π¦β = π΄π π π₯ >>>>>> π¦β β² = π β π΄π π π₯ Substitusikan π¦β dan π¦β β² ke persamaanhomogen-nya, diperoleh: π΄π π π₯ + π β π΄π π π₯ = 0 β«β«β« (1 + π ) β π΄π π π₯ = 0 Dicari nilai π dari (1 + π ) β π΄π π π₯ = 0, maka: 1 + π = 0 β«β«β« π = β1 Catatan: 1 + π = 0 β«β« persamaan karak teristik π = β1 β«β« akar persamaan karakteristik
- 5. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 5 β° β― β±Jawaban homogen: π π = π¨πβπ Jawaban Parsial Bentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah: π¦ π β² + π¦ π = π π₯ π( π₯) = π π₯ = π ππ₯ β ππ( π₯), maka: π = 1dan ππ( π₯) = 1. Berarti π = 0 #tidak terdapat fungsi π₯. π¦ π = π π₯[ π΅π₯0 + 0] β«β«β« π¦ π = π΅π π₯ β«β«β« π¦ π β² = π΅π π₯ Substitusikan π¦ π dan π¦ π β² ke persamaanparsial-nya, diperoleh: π΅π π₯ + π΅π π₯ = π π₯ β«β«β« 2π΅π π₯ = π π₯
- 6. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 6 Dicari nilai π΅ dari 2π΅π π₯ = π π₯ , maka: 2π΅ = 1 β«β«β« π΅ = 1 2 β― β±Jawaban parsial: π¦ π = 1 2 π π₯ β° β― β±Jawaban keseluruhan (total): π¦ = π¦β + π¦ π = π΄πβπ₯ + 1 2 π π₯ CONTOH#2#penjumlahan jawaban homogendan parsial Selesaikan persamaan diferensial berikut! π π ππ₯ π¦ + 12π¦ = 10π₯πβ5π₯
- 7. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 7 PENYELESAIAN βCONTOH#2#penjumlahan jawaban homogendan parsialβ Jawaban Homogen Bentuk persamaan homogennya, adalah: 4π¦β β² + 12π¦β = 0 Dimisalkan: π¦β = π΄π π π₯ >>>>>> π¦β β² = π β π΄π π π₯ Substitusikan π¦β dan π¦β β² ke persamaanhomogen-nya, diperoleh: 4π π΄π π π₯ + 12π΄π π π₯ = 0 β«β«β« (4π + 12) β π΄π π π₯ = 0 Dicari nilai π dari (4π + 12) β π΄π π π₯ = 0, maka: 4π + 12 = 0 β«β«β« 4π = β12 β«β«β« π = β3
- 8. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 8 Catatan: 4π + 12 = 0 β«β« persamaan karak teristik π = β3 β«β« akar persamaan karakteristik β― β±Jawaban homogen: π π = π¨πβππ Jawaban Parsial Bentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah: 4π¦ π β² + 12π¦ π = 10π₯πβ5π₯ π( π₯) = 10π₯πβ5π₯ = π ππ₯ β ππ( π₯), maka: π = β5 β akar persamaan karakteristik dan ππ( π₯) = 10π₯. Berarti π = 1#terdapat fungsi π₯. π¦ π = πβ5π₯[ π΅π₯ + πΆ] β«β«β« π¦ π β² = β5πβ5π₯[ π΅π₯ + πΆ] + π΅πβ5π₯
- 9. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 9 β«β« 4π¦ π β² + 12π¦ π, maka: 4 β [β5πβ5π₯( π΅π₯ + πΆ) + π΅πβ5π₯] + 12 β [ πβ5π₯( π΅π₯ + πΆ)] = 10π₯πβ5π₯ 4 β [(β5πβ5π₯ β π΅π₯) + (β5πβ5π₯ β πΆ) + π΅πβ5π₯] + 12πβ5π₯ π΅π₯ + 12πβ5π₯ πΆ = 10π₯πβ5π₯ β20πβ5π₯ β π΅π₯β20πΆπβ5π₯ + 4π΅πβ5π₯ + 12π΅π₯πβ5π₯ + 12πΆπβ5π₯ = 10π₯πβ5π₯ β20π΅π₯πβ5π₯ + 12π΅π₯πβ5π₯ + 4π΅πβ5π₯ β20πΆπβ5π₯ + 12πΆπβ5π₯ = 10π₯πβ5π₯ β8π΅π₯πβ5π₯ + 4π΅πβ5π₯ β8πΆπβ5π₯ = 10π₯πβ5π₯ [β8π΅π₯ + (4π΅ β 8πΆ)] β πβ5π₯ = 10π₯πβ5π₯
- 10. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 10 β8π΅π₯ + (4π΅ β 8πΆ) = 10π₯ β8π΅ = 10 β«β«β« π© = β π π 4π΅ β 8πΆ = 0 β«β« 4π΅ = 8πΆ β«β« πΆ = 1 2 π΅ β«β« πΆ = 1 2 (β π π ) πͺ = β π π β― β±Jawaban parsial: π¦ π = πβ5π₯[ π΅π₯ + πΆ] β«β«β« π¦ π = πβ5π₯ [β 5 4 π₯ β 5 8 ] β«β«β«
- 11. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 11 π π = β ( π π π + π π ) πβππ β° β― β±Jawaban keseluruhan (total): π = π π + π π = π¨πβππ β ( π π π + π π ) πβππ CONTOH#3#penjumlahan jawaban homogendan parsial Selesaikan persamaan diferensial berikut! π π ππ₯ π¦ β 15π¦ = 20π₯3 π3π₯ PENYELESAIAN βCONTOH#3#penjumlahan jawaban homogendan parsialβ Jawaban homogen Bentuk persamaan homogennya, adalah:
- 12. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 12 5π¦β β² β 15π¦β = 0 Dimisalkan: π¦β = π΄π π π₯ >>>>>> π¦β β² = π β π΄π π π₯ Substitusikan π¦β dan π¦β β² ke persamaanhomogen-nya, diperoleh: 5π π΄π π π₯ β 15π΄π π π₯ = 0 β«β«β« (5π β 15) β π΄π π π₯ = 0 Dicari nilai π dari (5π β 15) β π΄π π π₯ = 0, maka: 5π β 15 = 0 β«β«β« 5π = 15 β«β«β« π = 3 Catatan: 5π β 15 = 0 β«β« persamaan karak teristik π = 3 β«β« akar persamaan karakteristik β― β±Jawaban homogen:
- 13. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 13 π π = π¨π ππ β― β±Jawaban parsial Bentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah: 5π¦ π β² β 15π¦ π = 20π₯3 π3π₯ π( π₯) = 20π₯3 π3π₯ = π₯ π β π ππ₯ β ππ( π₯), maka: π = 3 =akar persamaan karakteristik ( π = 1) dan ππ( π₯) = 20π₯3 . Berarti π = 3 #terdapat fungsi π₯. π¦ π = π₯ π β π΅π₯ π β π ππ₯ π¦ π = π₯1 β π΅π₯3 β π3π₯ β«β« π π = π©π π β π ππ β«β« π π β² = π©π π β ππ ππ + ππ©π π β π ππ
- 14. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 14 Substitusikan π¦ π dan π¦ π β² ke persamaanparsial-nya (5π¦ π β² β 15π¦ π), maka diperoleh: 5 β ( π΅π₯4 β 3π3π₯ + 4π΅π₯3 β π3π₯) β 15 β π΅π₯4 β π3π₯ = 20π₯3 π3π₯ (15π΅π₯4 β 15π΅π₯4) β π3π₯ + 4π΅π₯3 β π3π₯ = 20π₯3 π3π₯ 4π΅π₯3 β π3π₯ = 20π₯3 π3π₯ 4π΅π₯3 = 20π₯3 4π΅ = 20 β«β« π© = π Substitusikan π΅ = 5 ke π¦ π = π΅π₯4 β π3π₯ = 5π₯4 π3π₯ , maka: β― β±Jawaban parsial:
- 15. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 15 π π = ππ π π ππ β° β― β±Jawaban keseluruhan (total): π = π π + π π = π¨π ππ + ππ π π ππ B#METODE PEMISAHAN Untuk kondisi dimana terdapat bentuk: π( π¦) β π ππ₯ π¦ + π( π₯) = 0 atau π( π¦) β π ππ₯ π¦ = π( π₯), maka diubah menjadi: π( π¦) β ππ¦ = π( π₯) β ππ₯. Selanjutnya diselesaikan dengan pengintegralan terhadap kedua ruas.
- 16. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 16 CONTOH#1#metode pemisahan Selesaikan persamaan berikut! π₯(2π¦ β 3) + ( π₯2 + 1) π ππ₯ π¦ = 0 PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode pemisahan Diubah dalam bentuk: π( π¦) β ππ¦ = π( π₯) β ππ₯, sehinggadiperoleh: ( π₯2 + 1) π ππ₯ π¦ = βπ₯(2π¦ β 3) 1 (2π¦ β 3) ππ¦ = β π₯ ( π₯2 + 1) ππ₯
- 17. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 17 β« 1 (2π¦ β 3) ππ¦ = β β« π₯ β ππ₯ ( π₯2 + 1) 1 2 β« 1 (2π¦ β 3) ππ¦ = β β« π₯ ( π₯2 + 1) ππ₯ 1 2 ln(2π¦ β 3) = β 1 2 ln( π₯2 + 1) (2π¦ β 3) 1 2 = ( π₯2 + 1)β 1 2 β«β« 2π¦ β 3 = 1 π₯2 + 1 β«β« 2π¦ = 1 π₯2 + 1 + 3 β«β« 2π¦ = 1 π₯2 + 1 + 3 β π₯2 + 1 π₯2 + 1
- 18. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 18 β«β« 2π¦ = 1 π₯2 + 1 + 3π₯2 + 3 π₯2 + 1 β«β« 2π¦ = 1 + 3π₯2 + 3 π₯2 + 1 β«β« 2π¦ = 3π₯2 + 4 π₯2 + 1 β«β« π¦ = 3π₯2 + 4 2( π₯2 + 1) β΄ π = ππ π + π ππ π + π CONTOH#2#metode pemisahan Selesaikan persamaan berikut! (1 β π π₯) sec2 π¦ ππ¦ + 3π π₯ tan π¦ ππ₯ = 0 PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode pemisahan
- 19. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 19 Diubah dalam bentuk: π( π¦) β ππ¦ = π( π₯) β ππ₯, sehinggadiperoleh: (1 β π π₯) sec2 π¦ ππ¦ = β3π π₯ tan π¦ ππ₯ sec2 π¦ tan π¦ ππ¦ = β3π π₯ (1 β π π₯) ππ₯ sec2 π¦ tan π¦ ππ¦ = β3π π₯ (1 β π π₯) β ( 1 βπ π₯ ) β π(1 β π π₯) sec2 π¦ β 1 tan π¦ ππ¦ = β3π π₯ βπ π₯ β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) β
- 20. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 20 1 cos2 π¦ β cos π¦ sin π¦ ππ¦ = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) 1 cos π¦ β sin π¦ ππ¦ = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) ππ¦ sin π¦ β cos π¦ = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) ππ¦ 1 2 [sin( π¦ + π¦) + sin( π¦ β π¦)] = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) ππ¦ 1 2 [sin 2π¦ + sin 0] = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯)
- 21. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 21 ππ¦ 1 2 β sin 2π¦ = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) 2 ππ¦ sin 2π¦ = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) 2 β 1 2 β π(2π¦) sin 2π¦ = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯) csc 2π¦ π(2π¦) = 3 β π(1 β π π₯) (1 β π π₯)
- 22. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 22 β« csc 2π¦ π2π¦ = 3 β β« π(1 β π π₯) (1 β π π₯) ln|tan π¦| = 3 β ln(1 β π π₯) β«β« tan π¦ = (1 β π π₯)3 β΄ π = πππ§βπ( π β π π) π C#METODE REDUKSI Untuk kondisi dimana terdapat persamaan diferensial dalam bentuk yang mengandung π¦ π₯ (karena π¦β² dikalikan dengan π₯), maka digunakan metode reduksi dengan permisalan π¦ π₯ = π’.
- 23. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 23 π¦ π₯ = π’ β« β« β« π¦ = π’ β π₯ β« β« β« π¦β² = π ππ₯ π¦ β« β« β« π¦β² = π’ + π₯ β π ππ₯ π’ β« β« β« π¦β² = π’ + π₯ β π’β² kemudian, substitusikan bentuk π¦β² dan π¦ yang baru ke persamaan. Selanjutnya, diselesaikan dengan metode pemisahan. CONTOH#1#metode reduksi Selesaikan persamaan diferensial berikut! π₯π¦β² = π¦ + π₯2 sec ( π¦ π₯ )
- 24. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 24 PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode reduksi π₯π¦β² = π¦ + π₯2 sec ( π¦ π₯ ) β«β« π¦β² = π¦ π₯ + π₯2 π₯ sec ( π¦ π₯ ) Diubah ke bentuk dasar: π¦β² = π’ + π₯ β π’β² . π¦β² = π¦ π₯ + π₯ sec ( π¦ π₯ ) β«β« π’ + π₯ β π’β² = π’ + π₯ β sec π’ β«β« π₯ β π ππ₯ π’ = π’ β π’ + π₯ β sec π’ β«β« π₯ β π ππ₯ π’ = π₯ β sec π’ β«β« π ππ₯ π’ = sec π’ β«β« π sec π’ π’ = ππ₯ β«β« cos π’ β ππ’ = ππ₯
- 25. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 25 β«β« β« cos π’ β ππ’ = β« ππ₯ β«β« sin π’ = π₯ β«β« π’ = sinβ1 π₯ β«β« π¦ π₯ = sinβ1 π₯ β΄ π = π β π¬π’π§βπ π CONTOH#2#metode reduksi Selesaikan persamaan berikut! ( π₯2 + 1) β π¦ β ( π₯π¦β² β π¦) = π₯3 PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode reduksi ( π₯2 + 1) β π¦ β ( π₯π¦β² β π¦) = π₯3 (πππππππππ ππππππ 1 π₯ )
- 26. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 26 ( π₯2 + 1) β π¦ β (π¦β² β π¦ π₯ ) = π₯2 π¦ β (π¦β² β π¦ π₯ ) = π₯2 ( π₯2 + 1) Diketahui (dalam penjelasan teorema): β΄ π¦ π₯ = π’ β΄ π¦ = π’π₯ β΄ π¦β² = π’ + π₯π’β² π’π₯ β ( π’ + π₯π’β² β π’) = π₯2 ( π₯2 + 1)
- 27. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 27 π’ β ( π₯π’β²) = π₯ ( π₯2 + 1) β«β« π’ β π’β² = 1 ( π₯2 + 1) π’ β π ππ₯ π’ = 1 ( π₯2 + 1) β«β« π’ β ππ’ = ππ₯ ( π₯2 + 1) π’ β ππ’ = 1 2 π( π₯2 + 1) ( π₯2 + 1) β«β« β« π’ β ππ’ = 1 2 β« π( π₯2 + 1) ( π₯2 + 1) 1 2 β π’2 = 1 2 β ln( π₯2 + 1) β«β« π’2 = ln( π₯2 + 1) β΄ π = β π₯π§( π π + π)
- 28. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 28 D#METODE FAKTOR INTEGRAL Untuk kondisi dimana terdapat bentuk: π¦β² + π( π₯) π¦ = π( π₯) maka penyelesaiannya: π¦ = πββ [β« πβ β π( π₯) β ππ₯ + πΆ] β = faktor integral β«β«β« β = β« π( π₯) + πΆ. CONTOH#1#metode faktor integral Selesaikan persamaan berikut! ( π₯2 + 1) β π¦β² = π₯π¦ β π₯
- 29. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 29 PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode faktor integral ( π₯2 + 1) π¦β² β π₯π¦ = βπ₯ π¦β² β π₯ ( π₯2 + 1) π¦ = β π₯ ( π₯2 + 1) Sesuai teorema sebelumnya, bahwa bentuk dasar: πβ² + π( π) π = π( π), sehingga: β΄ π( π₯) = β π₯ ( π₯2 + 1) β΄ π( π₯) = β π₯ ( π₯2 + 1) ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Digunakan teorema dasar: π¦ = πββ[β« πβ β π( π₯) β ππ₯ + πΆ]. β = (faktor integral) β = β« π( π₯) + πΆ. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
- 30. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 30 β = β« β π₯ ( π₯2 + 1) ππ₯ β«β« β = β 1 2 ln( π₯2 + 1) β΄ β = β ln( π₯2 + 1) 1 2 Digunakan persamaan dasar: π¦ = πββ [β« πβ β π( π₯) β ππ₯ + πΆ] π¦ = πln(π₯2+1) 1 2 [β« πβln(π₯2+1) 1 2 β (β π₯ ( π₯2 + 1) ) β ππ₯ + πΆ] π¦ = ( π₯2 + 1) 1 2 [β β« 1 ( π₯2 + 1) 1 2 β π₯ ( π₯2 + 1) β ππ₯ + πΆ]
- 31. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 31 π¦ = ( π₯2 + 1) 1 2 [β β« π₯ ( π₯2 + 1) 3 2 ππ₯ + πΆ] π¦ = ( π₯2 + 1) 1 2 [β β« π₯( π₯2 + 1)β 3 2 ππ₯ + πΆ] +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Gunakan teoremabentuk integral: β« π₯( ππ₯2 + π) π ππ₯ = 1 2π β ( ππ₯2 + π) π+1 π + 1 ; π β β1 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Diperoleh:
- 32. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 32 π¦ = ( π₯2 + 1) 1 2 β (β 1 2 ) ( π₯2 + 1) 1 2 β 1 2 + ( π₯2 + 1) 1 2 πΆ β«β« π¦ = 1 + ( π₯2 + 1) 1 2 β πΆ β«β«β΄ π = π + πͺ β β π π + π CONTOH#2#metode faktor integral Selesaikan persamaan berikut! π₯2 π¦2 + 2π₯π¦ = sinh 3π₯ PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode faktor integral π₯2 π¦2 + 2π₯π¦ = sinh 3π₯ { πππππππππ ππππππ 1 π₯2 }
- 33. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 33 π¦2 + 2 π₯ π¦ = 1 π₯2 sinh 3π₯ Digunakan bentuk dasar: πβ² + π( π) π = π( π), sehingga: β΄ π( π₯) = 2 π₯ β΄ π( π₯) = 1 π₯2 sinh 3π₯ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Digunakan teorema dasar: π¦ = πββ[β« πβ β π( π₯) β ππ₯ + πΆ]. β = (faktor integral) β = β« π( π₯) + πΆ. ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ β = β« 2 π₯ ππ₯ β«β« β = 2 ln π₯ = ln π₯2
- 34. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 34 β΄ β = ln π₯2 Digunakan teorema dasar: π¦ = πββ[β« πβ β π( π₯) β ππ₯ + πΆ]. π¦ = πβln π₯2 [β« πln π₯2 β 1 π₯2 sinh 3π₯ β ππ₯ + πΆ] π¦ = 1 π₯2 [β« π₯2 β 1 π₯2 sinh 3π₯ β ππ₯ + πΆ] π¦ = 1 π₯2 [β« sinh 3π₯ β ππ₯ + πΆ] π¦ = 1 π₯2 [β« 1 2 [ π3π₯ β πβ3π₯] β ππ₯ + πΆ]
- 35. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 35 π¦ = 1 π₯2 [ 1 2 β« π3π₯ β ππ₯ β 1 2 β« πβ3π₯ β ππ₯ + πΆ] π¦ = 1 π₯2 [ 1 2 β 1 3 π3π₯ β 1 2 (β 1 3 ) πβ3π₯ + πΆ] π¦ = 1 π₯2 [ 1 6 π3π₯ + 1 6 πβ3π₯ + πΆ] π¦ = 1 π₯2 [ 1 6 ( π3π₯ + πβ3π₯) + πΆ] π¦ = 1 π₯2 [ 1 6 β ( 1 2 sinh 3π₯) + πΆ] β«β« π¦ = 1 π₯2 [ 1 3 sinh 3π₯ + πΆ]
- 36. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 36 β΄ π = π¬π’π§π‘ ππ ππ π + πͺ π π E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI Untuk kondisi dimana terdapat bentuk: π¦β² + π( π₯) π¦ = π( π₯) β π¦ π , maka untuk penyelesaiannya, semuasuku dikalikan dengan (1 β π) β π¦βπ ; sehingga: (1 β π) β π¦βπ β π¦β² + π( π₯) π¦ β (1 β π) β π¦βπ = π( π₯) β π¦ π β (1 β π) β π¦βπ (1 β π) β π¦ π β π¦β² + π( π₯) β (1 β π) β π¦1βπ = (1 β π) β π( π₯) Selanjutnya dimisalkan:
- 37. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 37 π’( π₯) = π¦1βπ β«β«β« π’β² = (1 β π) β π¦βπ β π¦1 Sehingga: π’β² + (1 β π) β π( π₯) β π’ = (1 β π) β π( π₯) Bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan faktor integral dengan: β = β« π( π₯) β ππ₯ dan π( π₯) = π( π₯). CONTOH#1#persamaan diferensial Bernoulli Selesaikan persamaan berikut! π¦β² + π₯β1 π¦ = π₯π¦2 Penyelesaian: π¦β² + π₯β1 π¦ = π₯π¦2 β«β« π = 2; π( π₯) = 1 π₯ ; π( π₯) = π₯; π’ = π¦1β2 = π¦β1 = 1 π¦ .
- 38. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 38 Disubstitusikanke persamaan dasar: π’β² + (1 β π) β π( π₯) β π’ = (1 β π) β π( π₯) Diperoleh: π’β² + (1 β 2) β 1 π₯ β π’ = (1 β 2) β π₯ π’β² β 1 π₯ β π’ = βπ₯ β = β β« 1 π₯ β ππ₯ = β ln π₯ π’ = πβ ln π₯ [β« πβ ln π₯ β βπ₯ β ππ₯ β +πΆ]
- 39. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 39 π’ = π₯ [β« 1 π₯ β βπ₯ β ππ₯ β +πΆ] π’ = π₯[βπ₯ + πΆ] β«β« π’ = βπ₯2 + ππ₯ β°β°β° π’ = 1 π¦ 1 π¦ = βπ₯2 + ππ₯ β«β« β΄ π = π βπ π + ππ CONTOH#2#persamaan diferensial Bernoulli Selesaikan persamaan berikut! 3π¦β² + π¦ = (1 β 2π₯) π¦4 Penyelesaian: 3π¦β² + π¦ = (1 β 2π₯) π¦4 { ππ’ππ ππππ ππππππ ππππππ 3}
- 40. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 40 Menjadi bentuk lain: π¦β² + 1 3 π¦ = (1 β 2π₯) π¦4 β«β« π = 4; π( π₯) = 1 3 ; π( π₯) = (1 β 2π₯); π’ = π¦1β4 = π¦β3 = 1 π¦3 Disubstitusikanke persamaan dasar: π’β² + (1 β π) β π( π₯) β π’ = (1 β π) β π( π₯) Diperoleh: π’β² + (1 β 4) β 1 3 β π’ = (1 β 4) β (1 β 2π₯)
- 41. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 41 π’β² β 3 β 1 3 β π’ = β3 β (1 β 2π₯) β«β« π’β² β π’ = β3 β (1 β 2π₯) β«β« π’β² β π’ = 6π₯ β 3 β = β« ππ₯ = π₯ π’ = π π₯ [β« π π₯ β (6π₯ β 3) β ππ₯ + πΆ] π’ = π π₯ [β« π π₯ β 6π₯ β ππ₯ β β« 3π π₯ β ππ₯ + πΆ]
- 42. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 42 π’ = π π₯ [6 β« π₯ β ππ π₯ β 3 β« π π₯ β ππ₯ + πΆ] π’ = π π₯ [6π₯ β π π₯ β 6 β« π π₯ β ππ₯ β 3 β« π π₯ β ππ₯ + πΆ] π’ = π π₯[6π₯ β π π₯ β 9π π₯ + πΆ] π’ = π π₯[(6π₯ β 9) π π₯ + πΆ] π’ = (6π₯ β 9) π2π₯ + πΆπ π₯ β΄ π’ = 1 π¦3 β«β« 1 π¦3 = (6π₯ β 9) π2π₯ + πΆπ π₯
- 43. Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301 43 β΄ π = β π ( ππ β π) π ππ + πͺπ π π