Dokumen ini menjelaskan konsep bilangan kompleks, termasuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, serta konjugat bilangan kompleks. Terdapat juga penjelasan mengenai bentuk kutub dan eksponensial dari bilangan kompleks beserta contoh-contohnya. Selain itu, dijelaskan kesamaan dua bilangan kompleks dalam konteks bagian riil dan imajiner.

1. KOMPLEKS
BILANGAN

2. SIMBOL J
Pemecahan persamaan kuadrat
dengan rumus, x =
contoh:

3. LANJUTAN……
Jika dituliskan huruf j untuk menyatakan ,
maka

4. PANGKAT DARI J
j menyatakan , marilah kita tinjau beberapa pangkat
dari j
Untuk menyatakan pangkat dari j, kurangi pangkatnya
dengan pangkat j⁴ yang mungkin,hasilnya kembali ke
salah satu hasil: j, -1, -j, 1

5. LANJUTAN…….
Contoh:
pangkat dibagi dengan 4,
sisa pembagian merupakan
hasil
j43 = (j4)10.j3
= (1)10. (j2)(j)
= (1) . (-1)(j)
= - j
j125 = (j4)31.j
= (1)31.j
= j

6. BILANGAN KOMPLEKS
Gabungan antara bilangan riil dan bilangan
imajiner
Bilangan kompleks = (bil.riil)+j(bil.imajiner)
Contoh: x = 3 + j5
 3 disebut bagian riil dari x
 5 disebut bagian imajiner dari x
BILANGAN KOMPLEKS
Z=a+jb

7. PENJUMLAHAN & PENGURANGAN
(a+jb) + (c+jd) = (a+c) + j(b+d)
Contoh:
(2+j8)  (2+j2)+(6-j3)
=2 + j8  2  j2 + 6  j3
=2  2 + 6 + j8  j2  j3
=6 + j(8  2  3)
=6 + j3

8. PERKALIAN
(a+jb)(c+jd)=ac+jbc+jad+j²bd
Contoh:
Z₁=3+j4
Z₂=2+j5
(3+j4)(2+j5)=6+j8+j15+j²20
=6+j23-20
=-14+j23

9. LANJUTAN……..
Jika perkaliannya memuat lebih dari dua faktor
maka perkalian dilakukan secara bertahap
Contoh:
Z₁=3+j4 (3+j4)(2-j5)(1-j2)=(6+j8-j15-j²20)(1-j2)
Z₂=2-j5 =(6-j7+20)(1-j2)
Z₃=1-j2 =(26-j7)(1-j2)
=26-j7-j52+j²14
=26-j59-14
=12-j59

10. BILANGAN KOMPLEKS KONJUGAT
 yaitu bilangan kompleks dalam bentuk
(a+jb)dan(a-jb)
 Hasil perkalian antara dua bilangan kompleks
konjugat selalu riil
Contoh:
(3-j2)(3+j2)=3²-j6+j6-(j2)²
=9-j²4
=9+4
=13

11. PEMBAGIAN
 Untuk membagi sebuah bilangan kompleks dengan bilangan
kompleks lainnya, kita kalikan pembilang & penyebutnya dengan
konjugat dari penyebutnya. Cara ini akan mengubah
penyebutnya menjadi bilangan riil
Contoh: konjugat dari penyebutnya
yaitu 1+j3
─

12. PEMBAGIAN

13. KESAMAAN BILANGAN KOMPLEKS
Apa yang dapat diketahui jika dua bilangan
kompleks dikatakan sama?
Misal kedua bilangan tersebut adalah:
a+jb dan c+jd
Maka diperoleh:
a+jb=c+jd
Penyusunan kembali letak suku-sukunya,
memberikan:
a-c=j(d-b)

14. LANJUTAN……..
Dari pernyataan tersebut, besaran di ruas kiri
keseluruhannya “riil” sedangkan besaran di ruas
kanan keseluruhannya “imajiner”. Jadi besaran
riil=besaran imajiner!! Hal itu TIDAK BENAR.
Tetapi ada “satu” hal khusus yang memungkinkan
hal itu benar, yaitu jika “masing-masing ruas =0”
a-c=j(d-b)
BENAR hanya jika a-c=0, yaitu a=c
dan jika d-b=0, yaitu d=b

15. LANJUTAN……..
 Jadi jika dua buah bilangan kompleks sama,
maka:
 kedua bagian riilnya sama
 kedua bagian imajinernya sama
Misal:
x+jy=5+j4
maka diketahui, x=5 dan y=4

16. PERNYATAAN BILANGAN KOMPLEKS SECARA
GRAFIS
Garis vektor menyatakan besar dan arah
disebut vektor.Faktor “j” selalu memutar
vektor sebesar 90˚ dalam arah positif,tetapi
berlawanan dengan arah jarum jam.
Garis acuan pada diagram
a)Skala sumbu-x menyatakan bilangan riil
b)Skala sumbu-y menyatakan bilangan
imajiner
Pernyataan grafis disebut sebagai diagram
argand

17.  Contoh :
Tentukan (4+j5)+(-5+j2)-(-3+j4)
=4+j5-5+j2+3-j4
=4-5+3+j(5+2-4)
= 2+j3

18. BENTUK KUTUB BILANGAN KOMPLEKS
Maka r²=a²+b²
Dan
Juga a=r cosθ dan b=r sinθ
z=a+jb
z=r cosθ +j r sin θ
z=r(cosθ+j sinθ)

19.  Contoh:
Nyatakan z=4+j3 dalam bentuk kutub.
a=4
b=3

20. Z=4+j3
=r(cosθ+j sinθ)
=5(cos 36˚52’+j sin 36˚52’)
r disebut modulus dari bilangan kompleks(|z|)
θ disebut argumen dari bilangan kompleks(arg z)

21. BENTUK EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS
 Bentuk eksponen diperoleh dari bentuk kutub
 r(cosθ+j sinθ) dapat dituliskan
a)Harga r dalam kedua bentuk sama
b) Sudut dalam kedua bentuk itu juga sama,tetapi
untuk bentuk eksponensial harus dinyatakan
dalam radian.

22. Contoh: ubahlah dalam bentuk kutub
5(cos 60˚+j sin 60˚)
r=5
θ = 60˚= radian
Bentuk eksponensialnya adalah
 Tentang sudut negatif
Diketahui
jika kita ganti θ dengan –θ, maka kita dapatkan:

23. Nyatakan z=1+j dalam bentuk kutub dan
eksponensial.