Faktorial permutasi matematika diskrit

1. 1. ARIF ADI MUKTAMAR
(40316004)
2. 2. ELMA HIDAYATUN N.
(40316008)
3. VEGA NAUTIKA BAHTERA H.
(40316015)
PERMUTASI DAN KOMBINASI

2. Faktorial
Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n disebut n factorial ditulis n!
Jadi n ! = 1.2.3….…..(n-2)(n-1).n
Catatan:
1! = 1 dan
0! = 1
Contoh 1:
3! = 1 x 2 x 3 = 6
Atau
3! = 3 x 2 x 1 = 6
Contoh 2:
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
Atau
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

3. Soal
Hitunglah:
1. 5! + 3!
2. 7! - 3!
3. 4! X 5!
4. 10! : 7!
Jawab 1:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120
3! = 3 x 2 x 1 = 6
5! + 3! = 120 + 6 = 126
Jawab 2:
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5.040
3! = 3 x 2 x 1 = 6
7! – 3! = 5040 – 6 = 5.034
Jawab 3:
4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4! X 5! = 24 + 120 = 144
Jawab 4:
10!
7!
=
10 x 9 x 8 x 7!
7!
= 10 x 9 x 8 = 720

4. Permutasi
Bola:
m b p
Kotak:
1 2 3
Berapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola
ke dalam kotak-kotak tersebut?

5. Lanjutan Permutasi
1 2 3 4 5 6
Kemungkinan urutan bola

6. Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Urutan
M
B P M B P
P B M P B
B
M P B M P
P M B P M
P
M B P M B
B M P B M
Jumlah kemungkian urutan berbeda dari penempatan bola ke dalam kotak adalah
(3)(2)(1) =3! = 6

7.  Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.
 Misalkan jumlah objek adalah n, maka
 urutan pertama dipilih dari n objek,
 urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,
 urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek,
 …
 urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.
Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah
n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!
Definisi 1:
Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

8. Penyelesaian:
Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata
Cara 2: P(5, 5) = 5! = 120 buah kata
Contoh 6.
Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
Contoh 7.
Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa?
Penyelesaian: P(25, 25) = 25!

9. Permutasi r dari n elemen
 Ada enam buah bola yang berbeda warnanya dan 3 buah kotak.
Masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola. Berapa jumlah
urutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola ke dalam
kotak-kotak tersebut?
Penyelesaian:
kotak 1 dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6 pilihan);
kotak 2 dapat diisi oleh salah satu dari 5 bola (ada 5 pilihan);
kotak 3 dapat diisi oleh salah satu dari 4 bola (ada 4 pilihan).
Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola = (6)(5)(4) = 120
1 2 3
Bola

10. Perampatan:
Ada n buah bola yang berbeda warnanya dan r buah kotak (r  n), maka
kotak ke-1 dapat diisi oleh salah satu dari n bola (ada n pilihan) ;
kotak ke-2 dapat diisi oleh salah satu dari (n–1) bola (ada n–1 pilihan);
kotak ke-3 dapat diisi oleh salah satu dari (n–2) bola (ada n–2 pilihan);
…
kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari {n–(r–1)} bola (ada n–r+1 pilihan)
Jumlah urutan berbeda dari penempatan bola adalah:
n(n – 1)(n – 2)…{n – (r – 1)}

11. Definisi 2:
Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang
dipilih dari n buah elemen, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan
urutan tidak ada elemen yang sama.
)}1()...{3)(2)(1(),(  rnnnnnrnP
)!(
!
rn
n


)!(
!
),(
rn
n
rnP



12. Penyelesaian:
a).Cara 1: dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 120 buah
Cara 2: dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 120 buah
b).Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53 =125 buah
Tidak dapat diselesaiakan dengan rumus permutasi
Contoh 7.
Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut: 1, 2, 3, 4, 5,
jika:
a) Tidak boleh ada pengulangan angka;
b) Boleh ada pengulangan angka

13. Penyelesaian:
Permutasi dari 26 huruf diambil 4 huruf
P (26, 4) = 26!/(26-4)! = 26 x 25 x 24 x 23 = 358.800 buah
Permutasi dari 10 angka diambil 3 angka
P (10, 3) = 10!/(10-3)! = 10 x 9 x 8 = 720 buah
Banyak kode buku: P(26, 4) x P(10, 3) = 258.336.000
Contoh 8.
Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7 karakter, terdiri dari 4 huruf
berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula?

14. Permuttasi denga unsur yang
sama
 Jika terdapat K,L,M buah unsur yang sama .
 Contoh :
 Berapakah banyaknya permutasui yang dapat di
susun 3 huruf dari kata “MATEMATIKA”

15. Jawab:
Di ketahui : n = 10, r= 3 , k= 2, l= 3 ,m = 2
=
= = 30

16. Permutasi melingkar (siklis/siklik)
 Permutasi siklis/siklik yaitu permutasi yang unsur
n di susun melingkar.
P = (n – 1) !
contoh :
Berapa banyanya cara susunan duduk dari 4 orang
untuk menempati 4 kursi pada suatu meja bundar
?
Jawab
P = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 cara penyusunan

17. Kombinasi
 Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi.
 Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka
pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan.
Misalkan ada 2 buah bola yang warnanya sama 3 buah kotak. Setiap kotak hanya
boleh berisi paling banyak 1 bola.
Berapa banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak?
Perhatikan ilustrasi berikut

18. 1 2
12
Kejadian yang sama
1 2
12
Kejadian yang sama
1 2
12
Kejadian yang sama
Banyaknya cara
memasukkan bola ke
dalam kotak = hanya ada 3
cara
P(3, 2)
2!
=
3 x 2!
2!
=
= 3
3!
1!
2!

19. Misalkan sekarang ada 3 buah bola yang warnanya sama dan jumlah kotak 10
buah. Setiap kotak hanya boleh berisi paling banyak 1 bola.
Berapa banyaknya cara memasukkan bola ke dalam kotak?
Penyelesaian:
P(10, 3)
3!
=
10 x 9 x 8 x 7!
7!
=
= 120
10!
7!
3! 3 X 2 x 1
10 x 9 x 8
3 x 2 x 1
=
3 4

20. Secara Umum:
Jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah
kotak adalah:
!
)}1()...{3)(2)(1(
r
rnnnnn 
)!(!
!
rnr
n


Perhitungan semacam di atas disebut combinasi r elemen dari n obyek, yang
dituliskan C(n, r)
C (n, r ) sering dibaca "n diambil r ", artinya r objek diambil dari n buah objek.

21. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C (n, r ), adalah
jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil
dari n buah elemen.
Definisi 3
),( rnC
)!(!
!
rnr
n



22.  Contoh
 Tentukan banyaknya kombinasi 2 warna
campuran dari warna- warna merah,kuning, hijau
dan putih.
 Jawab
N = 4 , r= 2
C (4,,2) = = =
= 6 cara

23. Latihan
1. Berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda
yang dapat di susun dari angka- angka 2,3,4,5,6,7 ?
2. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat
terjadi jia 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah
seorang dari padanya selalu duduk di kursi tertentu.
3. Berapa bayaknya permutasi yang dapat di susun 3 huruf dari
kata “PETAK UMPET” ?
4. Ada berapa cara gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat
menempati ke lima tempat ke lima tempat dengan urutan yang
berlainan ?
5. Dalam sebuah sekolah telah diseleksi 5 orang siswa yang
berbakat dan mahir dalam badminton. Berapa banyaknya cara
pemilihan yang mungkin jika dipilih 3 orang siswa untuk
mewakili sekolah dalam turnamen badminton ?
6. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling
kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat
tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi ?