Submit Search
Upload
Математик индукц
•
2 likes
•
1,386 views
Март
Follow
Дараалал ба цуваа цуврал хичээлийн 3 12-р ангийн сонгон судлах агуулга
Read less
Read more
Education
Report
Share
Report
Share
1 of 19
Recommended
8ш статистик характеристик
8ш статистик характеристик
naraa_0714
11
Trigonometr
Trigonometr
Enkhbaatar.Ch
геометр прогрессын тэмдэглэгээ
геометр прогрессын тэмдэглэгээ
Khishighuu Myanganbuu
Дараалал ба цуваа бүлэг сэдвийг 12р ангийн сурагчдад зориулан 3 цахим хичээл болгон оруулж байна Цахим хичээл-1: Прогрессууд
Дараалал ба цуваа
Дараалал ба цуваа
Март
олонлог
олонлог
Olonlog
арифметик прогресс
арифметик прогресс
Tserendejid_od
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
E-Gazarchin Online University
Дараалал ба цуваа цуврал хичээлийн-2, 12-р ангийн сонгон судлах агууллыг хамруулсан байгаа
Дараалал ба цуваа
Дараалал ба цуваа
Март
Recommended
8ш статистик характеристик
8ш статистик характеристик
naraa_0714
11
Trigonometr
Trigonometr
Enkhbaatar.Ch
геометр прогрессын тэмдэглэгээ
геометр прогрессын тэмдэглэгээ
Khishighuu Myanganbuu
Дараалал ба цуваа бүлэг сэдвийг 12р ангийн сурагчдад зориулан 3 цахим хичээл болгон оруулж байна Цахим хичээл-1: Прогрессууд
Дараалал ба цуваа
Дараалал ба цуваа
Март
олонлог
олонлог
Olonlog
арифметик прогресс
арифметик прогресс
Tserendejid_od
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
E-Gazarchin Online University
Дараалал ба цуваа цуврал хичээлийн-2, 12-р ангийн сонгон судлах агууллыг хамруулсан байгаа
Дараалал ба цуваа
Дараалал ба цуваа
Март
пирамид
пирамид
boloroo99
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэл
ch-boldbayar
11r angiin hicheel
Konus
Konus
Munguuzb
Toon daraalal
Toon daraalal
shand1_zoko
trignometr тригнометр тэгшитгэл
trignometr тригнометр тэгшитгэл
Khishighuu Myanganbuu
ЕБС-ийн ахлах ангийн статистикийн зарим агуулга
Basic of statistics
Basic of statistics
Davaasuren Davaadorj
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
Khishighuu Myanganbuu
арифметик прогресс нээлттэй хичээл
арифметик прогресс нээлттэй хичээл
delger_9g
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэль үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй тэгшитгэл, аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
Оюутнуудад
Hicheel 4
Hicheel 4
Ankhaa
интеграл
интеграл
Хөвсгөл Аймаг Боловсролын Газар
Undrah
Undrah
enhmonh
10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Enkhbaatar.Ch
Тоон дараалал
тоон дараалал
тоон дараалал
Ireedui12
Сайн шалгаарай :)
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
zulalazu
функц
функц
Huslen Zaya
7-р ангийн Математик
Пропорц
Пропорц
khsumy
Призм
123456
123456
Ireedui12
конус
конус
boloroo99
Hicheel
Hicheel
nomad_9
12-р анги Комплекс тооны модул ба хосмог тоо
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Март
According to Bertrand's postulate, we have 𝑝𝑛 + 𝑝𝑛 ≥ 𝑝𝑛+1. Is it true that for all 𝑛 > 1 then 𝑝𝑛−1 + 𝑝𝑛 ≥𝑝𝑛+1? Then 𝑝𝑛 + 𝑝𝑛+3 > 𝑝𝑛+1 + 𝑝𝑛+2where 𝑛 ≥ 𝑁, 𝑁 is a large enough value?
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
mathsjournal
More Related Content
What's hot
пирамид
пирамид
boloroo99
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэл
ch-boldbayar
11r angiin hicheel
Konus
Konus
Munguuzb
Toon daraalal
Toon daraalal
shand1_zoko
trignometr тригнометр тэгшитгэл
trignometr тригнометр тэгшитгэл
Khishighuu Myanganbuu
ЕБС-ийн ахлах ангийн статистикийн зарим агуулга
Basic of statistics
Basic of statistics
Davaasuren Davaadorj
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
Khishighuu Myanganbuu
арифметик прогресс нээлттэй хичээл
арифметик прогресс нээлттэй хичээл
delger_9g
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэль үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй тэгшитгэл, аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
Оюутнуудад
Hicheel 4
Hicheel 4
Ankhaa
интеграл
интеграл
Хөвсгөл Аймаг Боловсролын Газар
Undrah
Undrah
enhmonh
10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Enkhbaatar.Ch
Тоон дараалал
тоон дараалал
тоон дараалал
Ireedui12
Сайн шалгаарай :)
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
zulalazu
функц
функц
Huslen Zaya
7-р ангийн Математик
Пропорц
Пропорц
khsumy
Призм
123456
123456
Ireedui12
конус
конус
boloroo99
Hicheel
Hicheel
nomad_9
What's hot
(20)
пирамид
пирамид
квадрат тэгшитгэл
квадрат тэгшитгэл
Konus
Konus
Toon daraalal
Toon daraalal
trignometr тригнометр тэгшитгэл
trignometr тригнометр тэгшитгэл
Basic of statistics
Basic of statistics
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
багтсан ба багтаасан дөрвөн өнцөгт
арифметик прогресс нээлттэй хичээл
арифметик прогресс нээлттэй хичээл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Hicheel 4
Hicheel 4
интеграл
интеграл
Undrah
Undrah
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
Math 10-р ангийн “Матриц”сэдвийн хүрээнд нэмэлт тайлбар, дасгал бодлогууд
тоон дараалал
тоон дараалал
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
тэнхлэгийн тэгш хэмүүдээр дараалан хувиргах
функц
функц
Пропорц
Пропорц
123456
123456
конус
конус
Hicheel
Hicheel
Similar to Математик индукц
12-р анги Комплекс тооны модул ба хосмог тоо
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Март
According to Bertrand's postulate, we have 𝑝𝑛 + 𝑝𝑛 ≥ 𝑝𝑛+1. Is it true that for all 𝑛 > 1 then 𝑝𝑛−1 + 𝑝𝑛 ≥𝑝𝑛+1? Then 𝑝𝑛 + 𝑝𝑛+3 > 𝑝𝑛+1 + 𝑝𝑛+2where 𝑛 ≥ 𝑁, 𝑁 is a large enough value?
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
mathsjournal
nth Derivatives of standard functions and related problems
nth Derivatives.pptx
nth Derivatives.pptx
SoyaMathew1
Differentiation
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
Rai University
Course: B.Sc CS. Subject: Discrete Mathematics Unit-1 Successive Differentiation RAI UNIVERSITY, AHMEDABAD
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
Rai University
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
Gogely The Great
sequence and series using drfrost slides
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
ArafathAliMathsTeach
integrales indefinidas
Hermes
Hermes
SantiagoHernandez475902
Annie
Annie
jennytuazon01630
JAWABAN
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
Muhammad Nur Chalim
Factor
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
AngieMichailidou
Yfycychcucuchchcgxhxhxhxhc Hxyxgxyztx Nchxhxgzt Hxgxgxyzyxycyc Vuguguvuvuvuv D D D Ddkkdidbi Jxyxhxhchxucuchchcus S S S H jsvuvsvuvsuvusvu Sibisuvusvuvusvuvsuvuavusvuvaivusvus Skisbivsuvusbusuvusvubsobizb
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
MohammedKhodary4
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
Paul Bleau
File presentasi ini berisi materi tentang integral fungsi dan metode pengintegralan
01. integral fungsi aljabar
01. integral fungsi aljabar
Hirwanto Iwan
Chapter 1 review topic in algebra 1
Chapter 1 review topic in algebra 1
jennytuazon01630
Grade 7 Algebra 6
Algebra 6
Algebra 6
Mang Oha
طبعة جديدة ومنقحة حل تمارين الكتاب شرح المواضيع الرياضية بالتفصيل وبأسلوب واضح ومفهوم لجميع المستويات حلول الاسألة الوزارية اعداد الدكتور أنس ذياب خلف email: anasdhyiab@gmail.com
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
anasKhalaf4
E content Material
E content on algebra & trignomentry
E content on algebra & trignomentry
V.M. Raut Shri Shivaji Science College, Amravati
Dalam hal ini menyajikan integral dalam berbahasa inggris untuk kemudahan bagi para pembaca
Integral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa Inggris
immochacha
General formula for numerical integration and interpolation formula.
Interpolation In Numerical Methods.
Interpolation In Numerical Methods.
Abu Kaisar
Similar to Математик индукц
(20)
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
Комплекс тоо цуврал хичээл-2
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
A Positive Integer 𝑵 Such That 𝒑𝒏 + 𝒑𝒏+𝟑 ~ 𝒑𝒏+𝟏 + 𝒑𝒏+𝟐 For All 𝒏 ≥ 𝑵
nth Derivatives.pptx
nth Derivatives.pptx
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
BSC_Computer Science_Discrete Mathematics_Unit-I
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
BSC_COMPUTER _SCIENCE_UNIT-1_DISCRETE MATHEMATICS
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
4 ESO Academics - UNIT 03 - POLYNOMIALS. ALGEBRAIC FRACTIONS
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
P2-Chp3-SequencesAndSeries from pure maths 2.pptx
Hermes
Hermes
Annie
Annie
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
ANALISIS RIIL 1 3.1 ROBERT G BARTLE
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
IGCSEFM-FactorTheorem.pptx
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
Lecture5_Laplace_ODE.pdf
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
Paul Bleau Calc III Project 2 - Basel Problem
01. integral fungsi aljabar
01. integral fungsi aljabar
Chapter 1 review topic in algebra 1
Chapter 1 review topic in algebra 1
Algebra 6
Algebra 6
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
E content on algebra & trignomentry
E content on algebra & trignomentry
Integral dalam Bahasa Inggris
Integral dalam Bahasa Inggris
Interpolation In Numerical Methods.
Interpolation In Numerical Methods.
Recently uploaded
anh sách HSG Bộ môn cấp trường - Cấp THPT.pdf
Danh sách HSG Bộ môn cấp trường - Cấp THPT.pdf
Danh sách HSG Bộ môn cấp trường - Cấp THPT.pdf
QucHHunhnh
This is the question and answer set of the inaugural edition of Pragya Champions Chalice, 2024. The genre of the quiz was general. Both the prelims and final sets are clubbed into one.
Pragya Champions Chalice 2024 Prelims & Finals Q/A set, General Quiz
Pragya Champions Chalice 2024 Prelims & Finals Q/A set, General Quiz
Pragya - UEM Kolkata Quiz Club
A presentation about a famous track athlete
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
beazzy04
UNIT – IV_PCI Complaints: Complaints and evaluation of complaints, Handling of return good, recalling and waste disposal.
UNIT – IV_PCI Complaints: Complaints and evaluation of complaints, Handling o...
UNIT – IV_PCI Complaints: Complaints and evaluation of complaints, Handling o...
Sayali Powar
Brief presentation of some of the benefits and challenges of using Open Educational Resources in your classes.
Morse OER Some Benefits and Challenges.pptx
Morse OER Some Benefits and Challenges.pptx
jmorse8
Let us know about Maruti Suzuki, a successful Joint venture in India.
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
bennyroshan06
The Author of this document is Dr. Abdulfatah A. Salem
Operations Management - Book1.p - Dr. Abdulfatah A. Salem
Operations Management - Book1.p - Dr. Abdulfatah A. Salem
Arab Academy for Science, Technology and Maritime Transport
Basic Civil Engineering Notes of Chapter-6, Topic- Ecosystem, Biodiversity Green house effect & Hydrological cycle Types of Ecosystem (1) Natural Ecosystem (2) Artificial Ecosystem component of ecosystem Biotic Components Abiotic Components Producers Consumers Decomposers Functions of Ecosystem Types of Biodiversity Genetic Biodiversity Species Biodiversity Ecological Biodiversity Importance of Biodiversity Hydrological Cycle Green House Effect
Basic Civil Engineering Notes of Chapter-6, Topic- Ecosystem, Biodiversity G...
Basic Civil Engineering Notes of Chapter-6, Topic- Ecosystem, Biodiversity G...
Denish Jangid
In this webinar, Lisa Quigley and Ryan Tatum of Tapp Network explained how to share your nonprofit's story effectively, and easy ways to create a recognizable brand to amplify your impact.
Telling Your Story_ Simple Steps to Build Your Nonprofit's Brand Webinar.pdf
Telling Your Story_ Simple Steps to Build Your Nonprofit's Brand Webinar.pdf
TechSoup
Incheon National University Capstone Design Final Presentation - Team Password 486 With Seungjun Rye(CSE), Eunbin Lee(BIZ). Jeonggyo Lee(ECON)
INU_CAPSTONEDESIGN_비밀번호486_업로드용 발표자료.pdf
INU_CAPSTONEDESIGN_비밀번호486_업로드용 발표자료.pdf
bu07226
Presentation for Build with AI online event by GDSC YCCE
[GDSC YCCE] Build with AI Online Presentation
[GDSC YCCE] Build with AI Online Presentation
GDSCYCCE
This presentation was provided by William Mattingly of the Smithsonian Institution, during the closing segment of the NISO training series "AI & Prompt Design." Session Eight: Limitations and Potential Solutions, was held on May 23, 2024.
Mattingly "AI & Prompt Design: Limitations and Solutions with LLMs"
Mattingly "AI & Prompt Design: Limitations and Solutions with LLMs"
National Information Standards Organization (NISO)
The benefits and challenges of using OER
The Benefits and Challenges of Open Educational Resources
The Benefits and Challenges of Open Educational Resources
aileywriter
This PowerPoint presentation, titled "Research Methods in Psychology for Cambridge AS Level Students," provides a comprehensive overview of essential research methodologies in psychology. It covers fundamental concepts such as experimental, correlational, and observational methods, highlighting their advantages and limitations. The presentation delves into the design of experiments, including independent and dependent variables, control groups, and random assignment. It also addresses ethical considerations, data collection techniques, and statistical analysis. Emphasizing practical application, the presentation includes examples of classic psychological studies and offers tips for designing and conducting research projects. It concludes with a discussion on interpreting results and the importance of critical evaluation, preparing students for both theoretical understanding and practical application in their AS Level psychology coursework.
Research Methods in Psychology | Cambridge AS Level | Cambridge Assessment In...
Research Methods in Psychology | Cambridge AS Level | Cambridge Assessment In...
Abhinav Gaur Kaptaan
UNA PRESENTACION IMPECABLE DE PHRASAL VERBS
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
MIRIAMSALINAS13
The first step to enter the process...
PART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer Service
PedroFerreira53928
Title: Maximizing Industrial Training Benefits: A Comprehensive Guide Introduction:- Welcome to our comprehensive guide on industrial training and its myriad benefits. Learn how to optimize your industrial training experience for maximum growth and skill development. Understanding Industrial Training:- Definition: Industrial training refers to a structured program that integrates academic knowledge with practical application in a professional setting. Importance: It bridges the gap between theoretical learning and real-world industry practices. Key Components of Industrial Training:- Practical Experience: Hands-on learning in a real workplace environment. Mentorship: Guidance from experienced professionals in the field. Skill Development: Enhancement of technical, interpersonal, and problem-solving skills. Benefits of Industrial Training Enhanced Skill Set: Gain practical skills relevant to your field of study or career path. Industry Exposure: Acquire firsthand knowledge of industry practices and trends. Networking Opportunities: Connect with professionals and build valuable contacts for future endeavors. Career Advancement: Increase employability and stand out in the job market with relevant experience. Personal Growth: Develop confidence, adaptability, and problem-solving abilities. Resume Enhancement: Strengthen your resume with valuable practical experience. Potential Job Offers: Impress employers and increase your chances of securing job offers post-training. Insight into Work Culture: Understand workplace dynamics and organizational structures. Professional Guidance: Receive mentorship and guidance from seasoned professionals. Test-Drive Careers: Explore different career paths and industries to make informed decisions about your future. Case Studies Highlight successful industrial training experiences and their impact on participants' careers. Showcase testimonials from trainees and employers on the benefits of industrial training. Slide 8: Conclusion Industrial training offers invaluable opportunities for skill development, career advancement, and personal growth. By implementing the strategies outlined in this guide, you can maximize the benefits of your industrial training experience. Embrace every opportunity to learn, grow, and excel in your chosen field. SEO Ranking Tags:- Industrial Training AKTU report AKTU Industrial Training Report
Industrial Training Report- AKTU Industrial Training Report
Industrial Training Report- AKTU Industrial Training Report
Avinash Rai
salient features of environment protection act, 1986 of India
Salient features of Environment protection Act 1986.pptx
Salient features of Environment protection Act 1986.pptx
akshayaramakrishnan21
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
siemaillard
Slides from a webinar presented May 23, 2024 by Capitol Technology University and featuring faculty member Dr. Alexander Perry discussing hybrid quantum Machine Learning.
slides CapTechTalks Webinar May 2024 Alexander Perry.pptx
slides CapTechTalks Webinar May 2024 Alexander Perry.pptx
CapitolTechU
Recently uploaded
(20)
Danh sách HSG Bộ môn cấp trường - Cấp THPT.pdf
Danh sách HSG Bộ môn cấp trường - Cấp THPT.pdf
Pragya Champions Chalice 2024 Prelims & Finals Q/A set, General Quiz
Pragya Champions Chalice 2024 Prelims & Finals Q/A set, General Quiz
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
Sha'Carri Richardson Presentation 202345
UNIT – IV_PCI Complaints: Complaints and evaluation of complaints, Handling o...
UNIT – IV_PCI Complaints: Complaints and evaluation of complaints, Handling o...
Morse OER Some Benefits and Challenges.pptx
Morse OER Some Benefits and Challenges.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
MARUTI SUZUKI- A Successful Joint Venture in India.pptx
Operations Management - Book1.p - Dr. Abdulfatah A. Salem
Operations Management - Book1.p - Dr. Abdulfatah A. Salem
Basic Civil Engineering Notes of Chapter-6, Topic- Ecosystem, Biodiversity G...
Basic Civil Engineering Notes of Chapter-6, Topic- Ecosystem, Biodiversity G...
Telling Your Story_ Simple Steps to Build Your Nonprofit's Brand Webinar.pdf
Telling Your Story_ Simple Steps to Build Your Nonprofit's Brand Webinar.pdf
INU_CAPSTONEDESIGN_비밀번호486_업로드용 발표자료.pdf
INU_CAPSTONEDESIGN_비밀번호486_업로드용 발표자료.pdf
[GDSC YCCE] Build with AI Online Presentation
[GDSC YCCE] Build with AI Online Presentation
Mattingly "AI & Prompt Design: Limitations and Solutions with LLMs"
Mattingly "AI & Prompt Design: Limitations and Solutions with LLMs"
The Benefits and Challenges of Open Educational Resources
The Benefits and Challenges of Open Educational Resources
Research Methods in Psychology | Cambridge AS Level | Cambridge Assessment In...
Research Methods in Psychology | Cambridge AS Level | Cambridge Assessment In...
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Phrasal Verbs.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
PART A. Introduction to Costumer Service
PART A. Introduction to Costumer Service
Industrial Training Report- AKTU Industrial Training Report
Industrial Training Report- AKTU Industrial Training Report
Salient features of Environment protection Act 1986.pptx
Salient features of Environment protection Act 1986.pptx
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
slides CapTechTalks Webinar May 2024 Alexander Perry.pptx
slides CapTechTalks Webinar May 2024 Alexander Perry.pptx
Математик индукц
1.
2.
Jens Martensson 2 Тодорхойлолт:
3.
Jens Martensson • Юмсын
ерөнхий шинж чанарыг илэрхийлж, натурал тоогоор дугаарлагдсан 𝐴(𝑛) өгүүлбэрүүдийн дараалал авч үзье. Энэ дарааллын бүх өгүүлбэр үнэн байх эсэхийг яаж батлах вэ? • Натурал тоо төгсгөлгүй олон учир 𝐴(𝑛) өгүүлбэрүүдийг нэг бүрчлэн шалгах боломжгүй. Харин дараах сэтгэмжийг хэрэглэе. Хэрэв 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , … , 𝐴(𝑛) өгүүлбэр үнэн гэдгээс 𝐴(𝑛 + 1)өгүүлбэр мөрдөн гарч байвал 𝐴(𝑛) өгүүлбэр бүх натурал 𝑛-ийн хувьд үнэн байна. Үүнийг математик индукцийн зарчим гэр ба энэ зарчимд тулгуурлан батлах аргыг математик индукцийн арга гэнэ. 3 Математик индукцийн арга: Математик индукцийн арга № Нэр Үйл ажиллагаа Тайлбар 1 Индукцийн суурь 𝐴(1) үгүүлбэр үнэн эсэхийг шалгана. 𝑛 нь заавал 1-с эхлэх албагүй, харин заавал ямар нэгэн дугаараас эхлэх хэрэгтэй. 2 Индукцийн таамаглал 𝐴(𝑛) өгүүлбэрийг үнэн гэж үзнэ. 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , … , 𝐴(𝑛)-ийг бүгдийг үнэн гэж үзээд баталгааны явцад зарчмыг хэрэглэхгүй үлдээж болно. 3 Индукцийн шилжилт 𝐴(𝑛 + 1) өгүүлбэр үнэн болохыг батална. Индукцийн суурь ба таамаглалаа хэрэглэнэ.
4.
Jens Martensson • Дурын
𝒏 ∈ ℕ хувьд 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 + 𝟖 + ⋯ + 𝟐𝒏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 болохыг батал Баталгаа: 𝑺𝒏 = 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 + 𝟖 + ⋯ + 𝟐𝒏 1)𝑛 = 1 үед 𝑆1 = 2 × 1 = 1 × (1 + 1) буюу 2 = 2 тул үнэн 2)𝑛 = 𝑘 үед 𝑆𝑘 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘 𝑘 + 1 үнэн гэж үзээд 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 𝑆𝑘+1 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) 𝑘 + 1 + 1 гэж баталъя. 𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 + 𝑎𝑘+1 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) 𝑘 + 2 Энд 𝑆𝑘= 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘 𝑘 + 1 үнэн, 𝑎𝑘+1 = 2 𝑘 + 1 гэж үзсэн тул 𝑆𝑘 + 𝑎𝑘+1 = 𝑘 𝑘 + 1 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) 𝑘 + 2 болох ба тэнцэтгэлийн зүүн талаас 𝑘 + 1 ерөнхий үржэгдэхүүн гаргавал k 𝑘 + 1 + 2 𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) гарч тэнцэтгэлийн баруун талтай тэнцэж батлагдав. Эндээс математик индукцийн зарчмаар дурын 𝑛 ∈ ℕ хувьд 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛 𝑛 + 1 болох нь батлагдав. Жишээ-1: Тоон дарааллын нийлбэрийг батлах: 4
5.
Jens Martensson 5
6.
Jens Martensson Дурын натурал
𝒏-ийн хувьд тэнцэтгэл 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟑) = 𝒏 𝟑(𝟐𝒏+𝟑) биелнэ гэж батал Баталгаа: 1) 𝑛 = 1 байхад шалгая. 𝑆1 = 1 (2𝑛+1)(2𝑛+3) = 1 (2×1+1)(2×1+3) = 1 3∙5 тул тэнцүүгийн тэмдэгийн зүүн талын нийлбэр ганц нэмэгдэхүүнээс тогтох 1 3∙5 тоо байна. Харин баруун талын илэрхийлэл 𝑛 3(2𝑛+3) = 1 3(2×1+3) = 1 3∙5 адилхан илэрхийлэл гарч байгаа болохоор утга нь тэнцүү байна. 2) 𝑛 = 𝑘 утгад 𝑺𝒌 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) адитгал биелнэ гэж үзье. 3) 𝑛 = 𝑘 + 1 солиход гарах 𝑺𝒌+𝟏 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐(𝒌+𝟏)+𝟏)(𝟐(𝒌+𝟏)+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐(𝒌+𝟏)+𝟑) тэнцэтгэл биелнэ гэдгийг баталъя. 𝑺𝒌+𝟏 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝟓 + 𝟏 𝟓 ∙ 𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌 + 𝟏)(𝟐𝒌 + 𝟑) + 𝟏 (𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟏)(𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟑) = 𝒌 + 𝟏 𝟑(𝟐(𝒌 + 𝟏) + 𝟑) 𝑺𝒌+𝟏 = 𝑺𝒌 + 𝒂𝒌+𝟏 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) энд 𝑺𝒌 = 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) ашиглавал 𝑺𝒌 + 𝒂𝒌+𝟏 = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) энэ тэнцэтгэл биелэхийг баталхад хангалттай Жишээ-2: 6
7.
Jens Martensson 𝑺𝒌 +
𝒂𝒌+𝟏 = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) Тэнцэтгэлийн зүүн талын илэрхийлэлд ижил хуваарь өгөөд нэмбэл 𝒌 𝟑(𝟐𝒌 + 𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌 + 𝟑)(𝟐𝒌 + 𝟓) = 𝑘 2𝑘 + 5 + 3 3(2𝑘 + 3)(2𝑘 + 5) = 2𝑘2 + 5𝑘 + 3 3(2𝑘 + 3)(2𝑘 + 5) 2𝑘2 + 5𝑘 + 3 олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болговол 2𝑘2 + 5𝑘 + 3 = (2k + 3)(k + 1) 2𝑘2+5𝑘+3 3(2𝑘+3)(2𝑘+5) = (2𝑘+3)(𝑘+1) 3(2𝑘+3)(2𝑘+5) = (𝑘+1) 3(2𝑘+5) гарч тэнцэтгэлийн баруун талтай тэнцэж байгаа тул 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟑)(𝟐𝒌+𝟓) = 𝒌+𝟏 𝟑(𝟐𝒌+𝟓) батлагдав. Энд: 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟕 + ⋯ + 𝟏 (𝟐𝒌+𝟏)(𝟐𝒌+𝟑) = 𝒌 𝟑(𝟐𝒌+𝟑) 7
8.
Jens Martensson 8
9.
Jens Martensson 9
10.
Jens Martensson • Аливаа
натурал 𝑛-ийн хувьд 8𝑛 + 6 нь 7-д хуваагдахыг батал: Баталгаа: Батлах өгүүлбэрийг 𝑨(𝒏) гэе. 1)𝑛 = 1 үед 𝐴 1 = 81 + 6 = 14 = 7 × 2 тул үнэн. 2)𝑛 = 𝑘 үед 𝐴 𝑘 = 8𝑘 + 6 нь 7-д хуваагдан гэж үзье. 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед A k + 1 = 8𝑘+1 + 6 нь 7д хуваагдахыг батлая. 8𝑘+1 + 6 = 8𝑘 × 8 + 6 + 8 × 6 − 8 × 6 = 8 8𝑘 + 6 − 42 болох ба 𝐴 𝑘 = 8𝑘 + 6 нь 7-д хуваагдан гэж үзсэн тул 8 8𝑘 + 6 нь 7-д хуваагдана.Мөн 42 нь 7-д хуваагдана. Нийлбэрийн хуваагдах шинж ёсоор 8𝑘+1 + 6 нь 7д хуваагдах нь батлагдав. Иймд математик индукцийн зарчмаар 𝑛 ∈ ℕ үед 8𝑛 + 6 нь 7-д хуваагдана. Жишээ-3: Тооны хуваагдлыг батлах: 10
11.
Jens Martensson 11
12.
Jens Martensson 1)𝑛 =
1 үед 7 ∙ 52×1−1 + 23×1+1 = 7 × 5 + 16 = 35 + 16 = 51 тоо 17-д хуваагдана. 2)𝑛 = 𝑘 үед 7 ∙ 52𝑘−1 + 23𝑘+1 тоо 17-д хуваагдана гэж үзье 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 7 ∙ 52 𝑘+1 −1 + 23 𝑘+1 +1 = 7 ∙ 52𝑘+1 + 23𝑘+4 тоо 17-д хуваагдана гэдгийг баталъя. 7 ∙ 52𝑘+1 + 23𝑘+4 = 7 ∙ 52 ∙ 52𝑘−1 + 23 ∙ 23𝑘+1 = 7 ∙ 25 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ 23𝑘+1 = 17 + 8 ∙ 7 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ 23𝑘+1 = 17 ∙ 7 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ 7 × 52𝑘−1 + 8 ∙ 23𝑘+1 = 17 ∙ 7 ∙ 52𝑘−1 + 8 ∙ (7 ∙ 52𝑘−1 + 23𝑘+1 ) нэмэгдэхүүн тус бүр 17-д хуваагдах тул нийлбэр 17-д хуваагдана. Жишэээ-4: Дурын натурал 𝒏-ийн хувьд 𝟕 ∙ 𝟓𝟐𝒏−𝟏 + 𝟐𝟑𝒏+𝟏 тоо 17-д хуваагдана гэж батал: 12
13.
Jens Martensson 13
14.
Jens Martensson • Аливаа
𝟓 ≤ 𝒏 ∈ ℕ-ийн хувьд 𝟐𝒏 ≥ 𝒏𝟐 + 𝒏 + 𝟐 тэнцэтгэл биш биелэхийг батал. Индукцийн суурь заавал 𝑛 = 1 байх албагүй. Ямар нэг өгөгдсөн натурал тооноос эхлэж болно. Энэ жишээнд индукцийн суурь нь 𝑛 = 5 байна. 1)𝑛 = 5 үед 25 = 32, 52 + 5 + 2 = 32, 25 = 52 + 5 + 2 тул тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрч үнэн байна. 2)𝑛 = 𝑘 үед 2𝑘 ≥ 𝑘2 + 𝑘 + 2 тэнцэтгэл биш биелдэг гэж үзээд 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 2𝑘+1 ≥ 𝑘 + 1 2 + 𝑘 + 1 + 2 гэж баталъя. 𝑛 = 𝑘 тохиолдлын тэнцэтгэл бишийг 2-оор үржүүлбэл 2𝑘+1 = 2 ∙ 2𝑘 ≥ 2(𝑘2 + 𝑘 + 2) болно. Эндээс 𝑘 ≥ 5 үед 2 𝑘2 + 𝑘 + 2 ≥ 𝑘 + 1 2 + 𝑘 + 1 + 2 = 𝑘2 + 3𝑘 + 4 тэнцэтгэл биш биелнэ гэж батлахад хангалттай. Ялгаврыг нь авч үзвэл: 2 𝑘2 + 𝑘 + 2 − 𝑘2 + 3𝑘 + 4 = 𝑘2 − 𝑘 = 𝑘 𝑘 − 1 ≥ 0 үнэн. Жишээ-5: Тэнцэтгэл биш батлах: 14
15.
Jens Martensson • Бодолт: 1)𝑛
= 1 үед 4𝑛 + 15𝑛 − 1 = 41 + 15 ∙ 1 − 1 = 18 тул 9-д хуваагдана. 2)𝑛 = 𝑘 үед 4𝑛 + 15𝑛 − 1 = 4𝑘 + 15𝑘 − 1 нь 9-д хуваагдана гэж үзээд 3)𝑛 = 𝑘 + 1 үед 4𝑛 + 15𝑛 − 1 = 4𝑘+1 + 15 𝑘 + 1 − 1 = 4 ∙ 4𝑘 + 15𝑘 + 14 = 4 ∙ 4𝑘 + 4 ∙ 15𝑘 − 3 ∙ 15𝑘 − 4 + 18 = 4 4𝑘 + 15𝑘 − 1 − 45𝑘 + 18 = 4 4𝑘 + 15𝑘 − 1 + 9(2 − 5𝑘) нэмэгдэхүүн тус бүр нь 9д хуваагдаж байвал нийлбэр нь 9-д хуваагдана. 4)𝑎 = 1, 𝑏 = 8, 𝑐 = 4, 𝑑 = 9, 𝑒 = 5, 𝑓 = 2 Жишээ бодлого 2016 он 15
16.
16
17.
Jens Martensson Дасгал бодлого:
ЭЕШ 2016 он 17
18.
Jens Martensson 1) 𝒏
∈ ℕ бол 𝟏 ∙ 𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟑 + ⋯ + 𝒏 ∙ 𝒏 + 𝟏 = 𝒏(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐) 𝟑 батал 2) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏 ∙ 𝟒 + 𝟐 ∙ 𝟕 + ⋯ + 𝒏 ∙ 𝟑𝒏 + 𝟏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 батал 3) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟐 + 𝟏𝟖 + 𝟔𝟎 + ⋯ + 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 − 𝟏 = 𝟏 𝟔 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)(𝟑𝒏 − 𝟏) батал 4) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏 𝟒∙𝟓 + 𝟏 𝟓∙𝟔 + ⋯ + 𝟏 𝒏+𝟑 𝒏+𝟒 = 𝒏 𝟒 𝒏+𝟒 батал 5) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏 𝟑∙𝟓 + 𝟔 𝟓∙𝟕 + 𝟐𝟎 𝟕∙𝟗 + ⋯ + 𝟐𝒏−𝟏 (𝟐𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟑) ∙ 𝟐𝒏−𝟏 = 𝟐𝒏 𝟐𝒏+𝟑 − 𝟏 𝟑 батал 6) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒏𝟐 = 𝒏(𝒏+𝟏)(𝟐𝒏+𝟏) 𝟔 батал 7) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝒏𝟑 + 𝟓𝒏 нь 6-д хуваагдахыг батал 8) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝟏𝟒𝒏 − 𝟏 нь 13-д хуваагдахыг батал 9) 𝒏 ∈ ℕ бол 𝒏𝟑 + 𝟏𝟏𝒏 нь 6-д хуваагдахыг батал 10)𝒏 ∈ ℕ бол 𝟓𝒏+𝟐 + 𝟔𝟐𝒏+𝟏 нь 31-д хуваагдахыг батал Дасгал бодлого: 18
19.
Jens Martensson 19 Анхаарал тавьсанд баярлалаа