This document discusses different types of real numbers including natural numbers, integers, rational numbers, and irrational numbers. It defines each set of numbers and provides examples. The key points are: - Natural numbers are the counting numbers and are denoted by N. Integers include natural numbers and their opposites, denoted by Z. - Rational numbers are numbers that can be expressed as fractions of integers, denoted by Q. Irrational numbers have non-periodic decimal expressions like√2. - The set of real numbers R consists of the union of rational numbers and irrational numbers. Real numbers can be represented on a number line.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
Bachiller.:
Hector Pereira
Cedula.: 27,142,729
Sección: 0102
Barquisimeto, marzo del 2021

2. CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
NUMEROS NATURALES
Los números naturales son los que se utilizan en la vida cotidiana para contar u
ordenar y pertenecen al conjunto de números enteros positivos, los números
naturales no contienen decimales, unidad imaginaria o bien no son fracciones es su
estructura. No hay cantidad total o final de éstos, es decir son infinitos. El conjunto
de números naturales se denota así:
ℕ = {0, 1,2,3,⋯ }
NUMEROS ENTEROS
Un numero entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números
naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero.
ℤ = {⋯ ,−3, −2,−1,0,1, 2,3}
Una propiedad importante de los números enteros es que son cerrados respecto a
las operaciones de adición, multiplicacióny sustracción, es decir, la suma, la resta y la
multiplicación de dos números enteros da otro número entero
NUMEROS RACIONALES
Los números racionales son los números que resultan de la razón (división) entre dos
números enteros. Se denota el conjunto de los números racionales como:
ℚ = [
𝑎
𝑏
𝑎
⁄ , 𝑏 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ≠ 0]
También llamados números fraccionarios, un numero racional es un cociente de
dos números enteros, donde el denominador es simple distinto de 0.
Así son los números racionales,
1
2
,
−3
4
,
5
−2
, etc., Todo numero entero es un numero
racional de denominador 1. Así, 2 =
2
1
, −5 =
−5
1
.

3. Un numero mediante su expresión decimal es racional solo si su expresión
decimal es periódica.
a)
1
2
= 0,500⋯ b)
11
6
= 1,833⋯
Un numero irracional es un número que tiene una expresión decimal no
periódica. Como ejemplos tenemos , √2, √3, √2
3
tomando en cuenta el número 𝜋 y
el numero ℮, base de los logaritmos naturales.
√2 = 1,41415⋯ 𝜋 = 3,14159⋯ ℮ = 2,7182818284⋯
El conjunto ℝ de los números reales es el conjunto formado por la unión del
conjunto de los números racionales junto con al conjunto de los números
irracionales. Es decir,
ℝ = ℚ ∪ {𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠}
Una representación geométrica de los números reales se obtiene identificando a
cada uno de los éstos con un punto de una recta fija, la cual orientamos eligiendo
una dirección positiva (a la derecha), que indicamos mediante una flecha. Fijamos
un numero de la recta al que le damos el nombre de “origen”, y le asignamos el
entero 0. Elegimos una unidad de longitud y mediante ésta localizamos el punto de
está a la derecha del origen a una distancia igual a la unidad escogida. A este punto
le asignamos el entero 1. El punto que está a la izquierda del origen a una distancia
igual a la unidad escogida. A este punto le asignamos el entero 1. El punto que está
a la izquierda del origen a una distancia igual a la unidad, le asignamos el entero -
1. Si X es un real positivo, le asignamos el punto que está a una distancia X a la
derecha del origen. Si X es negativo (-x es positivo) le asignamos el punto que está
a una distancia –X a la izquierda del origen.
Observe la periodicidad de
estas expresiones decimales

4. −√2 √2 ℮ 𝜋
| | | | | | | | | | | | |
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Le llamaremos recta real o recta numérica.
PROPIEDADES DE LA ADICION Y MULTIPLICACION
1. Leyes conmutativas:
a+b = b+a y ab = ba, ∀ 𝑎,𝑏 ∈ ℛ
2. Leyes asociativas:
a+(b+c) = (a+b) + c y a(bc) = (ab)c, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
3. Ley distributiva:
a(b+c) = ab + ac, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
4. Elementos neutros:
∃ 0 ∈ ℝ 𝑦 ∃ 1 ∈ ℝ,𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 0 ≠ 1 𝑦 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑎 + 0 = 𝑎 𝑦 1.𝑎 = 𝑎
5. Inverso aditivo:
∀ 𝑎 ∈ ℝ ∃ − 𝑎 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + (−𝑎) = 0
6. Inverso multiplicativo:
∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 0, ∃ 𝑎−1
∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎.𝑎−1
= 1
Haciendo uso de las propiedades anteriores podemos demostrar la siguiente
proposición, que, por ser importante, la presentamos como nuestro primer teorema.
DESIGUALDAD
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre
dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠,

5. mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores distintos.
PROPIEDADES BASICAS DE LAS DESIGUALDADES
O1. Ley de la tricotomía: Todo par de números reales a y b cumple una y solo una
de las tres relaciones siguientes:
a = b, a < b ó a > b
O2. Ley de transitividad:
a < b y b < c ⇒ a < c
O3. Ley aditiva:
a < b ⇒ a + c < b + c, ∀ 𝑐 ∈ ℝ
O4. Ley multiplicativa
a < b ⇔ ac < bc, ∀ 𝑐 > 0
a < b ⇔ ac > bc, ∀ 𝑐 > 0
0 < a < b ó a < b < 0 ⇒
1
𝑎
>
1
𝑏
DESIGUALDAD DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número es igual a la distancia del número al origen en
un eje real, esto es siempre un valor positivo, por
ejemplo: |−5|=5, |3|=3, |0|=0, |−8|=8, etc.
En general:
|𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Donde a puede ser una constante o una expresión algebraica.