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Presentación
- 1. República Bolivariana deVenezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco” Barquisimeto Estado Lara. Elaborado por: Carlos Ramos 28.454.680 PNF: Administración Sección: AD0103 Conjuntos, Operaciones con conjuntos, Números reales, desigualdades, Valor absoluto, Desigualdades con valor absoluto
- 2. Conjuntos Un conjunto esuna colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son: A. Es el conjunto de los números naturales menores que 5. B. Es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo. C. Es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u. D. Es el conjunto de los palos de la baraja francesa. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: 3 ∈ A , ♠ ∈ D amarillo ∉ B, z ∉ C
- 3. Operaciones con Conjuntos Existenvarias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos: Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B }
- 4. Complemento: El complementode un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A , respecto a un conjunto U que lo contiene. A c = { x ∈ U ∣ x ∉ A } Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A , o bien a B, pero no a ambos a la vez. A △ B = { x ∣ x ∈ A ∖ B ∨ x ∈ B ∖ A } Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B. Ejemplos: {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0} {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠} {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z} {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8} {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
- 6. Números Reales El conjuntode los números reales (denotado por R) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: 5, π, o el número real: log( 2 ), cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.2
- 7. Desigualdades Una desigualdad esuna relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
- 8. Estos tipos dedesigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
- 9. El valor absolutoo módulo1 de un número real x, denotado por |x|, es el valor no negativo de x sin importar el signo, sea este positivo o negativo.2 Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3. El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. Valor Absoluto
- 10. Una desigualdad devalor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Desigualdades con Valor Absoluto Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
- 11. Así, x >-4 Y x < 4. El conjunto solución es . 𝑥 −4 < 𝑥 < 4 Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si |a| < b , entonces a < b Y a > - b .
- 12. Ejemplo 1 : Resuelvay grafique. | x – 7| < 3 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta . x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así:
- 13. Desigualdades de valorabsoluto (>): La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es . 𝑥 𝑥 < −4 𝑂 𝑥 > 4 Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera numeras reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .
- 14. Ejemplo 2 : Resuelvay grafique. 𝑥 + 2 ≥ 4 Separe en dos desigualdades. 𝑥 + 2 ≥ 4 𝑂 𝑥 + 2 ≤ −4 Reste 2 de cada lado en cada desigualdad. 𝑥 ≥ 2 𝑂 𝑥 ≤ −6 La gráfica se vería así:
- 15.