The document defines and classifies real numbers and discusses their properties. It begins by defining real numbers as any numbers that correspond to a point on the real number line, including natural numbers, integers, rationals, and irrationals. It then discusses how real numbers can be represented on the real number line between negative and positive infinity. The document proceeds to classify real numbers into different subsets and provide examples of each. It also outlines important properties of real numbers like commutativity, identity, distributivity, and associativity. Finally, it discusses inequalities and absolute value.

1. PNFCP
Cristian Pinto S.
C.I: 30.173.719
Sección 0101
Ministerio del poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto - Edo. Lara

2. Números Reales (R)
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta
real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito
y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente
dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino
que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R
 Números Reales
Entonces, en resumidas cuentas, los números reales son los números
comprendidos entre extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en
el conjunto.

3. La Recta Real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un número
real. Como cada punto de ella está identificado con un número racional o
irracional esta recta es una recta compacta donde no queda ningún “espacio
libre” entre dos puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine
que dados dos números racionales siempre es posible encontrar uno entre ellos.
Esto es simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera siempre
está entre ellos dos. En la recta real representamos todos los números (recuerde
que todo punto de la recta esta etiquetado con un número real) y en ella
podemos visualizar el orden en que se ubican.
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella
todos los números reales

4. Clasificación de los Números Reales
 Números Enteros (Z)
Los números enteros son
todos los números naturales e
incluyen el cero (0) y todos
los números negativos. La
letra Z representa el conjunto
de números enteros.
Nos podemos acordar de los
números enteros pensando en
que son todos los números
que usamos naturalmente
para contar junto con sus
opuestos e incluyendo el cero
(0). A diferencia de los
racionales, los números
enteros representan
“enteramente” su valor.
 Números Naturales (N)
Los números naturales es el
primer conjunto de números
que aprendemos de
pequeños. Este conjunto no
tiene en cuenta el número
cero (0) excepto que se
especifique lo contrario
(cero neutral). La letra N
representa los números
naturales.
Nos podemos acordar de los
números naturales pensando
en que son los números que
usamos “naturalmente”
para contar. Cuando
contamos con la mano
obviamos el cero, lo mismo
para los naturales.
 Números Racionales (Q)
Los números racionales son las
fracciones que pueden
formarse a partir de los
números enteros y naturales.
Entendemos las fracciones
como cocientes de números
enteros. La letra Q representa
el conjunto de números
racionales.
Nos podemos acordar de los
números racionales pensando
en que siendo fracciones de
números enteros, es
“racional” que el resultado
sea un numero entero o un
numero decimal finito o
semiperiódico. También se les
conoce como números
fraccionarios
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números
naturales, enteros, racionales e irracionales.

5.  Números Irracionales (I)
Los números irracionales
son los números decimales
que no pueden expresarse
ni de manera exacta ni de
manera periódica. La letra
I representa el conjunto
de números irracionales.
Nos podemos acordar de
los números irracionales
pensando en que son todos
los números que no
encajan en las
clasificaciones anteriores y
que también pertenecen a
la recta real.
 Números Algebraicos
Son aquellos que provienen de
la solución de alguna ecuación
algebraica y se representan
por un número finito de
radicales libres o anidados. Por
ejemplo, 𝟑
En general, todas las raíces no
exactas de cualquier orden
son irracionales algebraicos.
Hay números racionales que
parecen irracionales, como por
Ejemplo 𝟐𝟓
A simple vista parecen
irracionales pero al
observarlos con más
detenimiento notamos que las
raíces son exactas y al
calcularlas llegamos a números
racionales. En efecto, 𝟐 𝟓 = 𝟓
 Números
Trascendentales
No pueden representarse
mediante un número finito
de raíces libres o anidadas;
provienen de las llamadas
funciones trascendentes:
trigonométricas,
logarítmicas y
exponenciales. El número 𝝅
y 𝒆 son irracionales
trascendentes, puesto que
no pueden expresarse
mediante radicales. Los
irracionales trascendentes
también surgen al escribir
números decimales no
periódicos al azar o con un
patrón que no lleva periodo
definido.

6. Ejemplos de Números Reales
En el siguiente ejemplo sobre los números reales, se comprueba que los
siguientes números corresponden a punto en la recta real.
 Números naturales: 1, 2, 3…
 Números enteros: …,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3…
 Números racionales: Cualquier fracción de números enteros.
 Números irracionales: 3 = 1,73205080, 𝜋 = 3,14159265, 𝑒 = 2,71828182

7. Propiedades De Los Números
Propiedad Conmutativa
Cuando dos números se
suman o se multiplican,
el producto es el mismo
sin importar el orden de
los factores.
3 + 5 = 8 ó 5 + 3 = 8
3𝑥5 = 15 ó 5𝑥3 = 15

Propiedad de Identidad
Todo número real sumado
a 0 se queda igual; el 0 es
la identidad aditiva. Todo
número real multiplicado
por 1 se queda igual; el 1
es la identidad
multiplicativa.
a) 11 + 0 = 11
b) 17 𝑥 1 = 17
Propiedad Distributiva
La propiedad distributiva
es aquella por la que la
multiplicación de un
número por una suma nos
va a dar lo mismo que la
suma de cada uno de los
sumandos multiplicados
por ese número.
3 𝑥 (4 + 5) = (3 𝑥 4) + (3 𝑥 5)
Propiedad Asociativa
Cuando se suman o multiplican tres o más números, la suma es la misma sin importar el modo en
que los números son agrupados.
6 + 4 + 3 = 13 ó 6 + 4 + 3 = 13
6 4 𝑥 3 = 72 ó 6 𝑥 4 3 = 72

8. Propiedades De Las Igualdades
Propiedad Reflexiva
Establece que toda
cantidad o expresión es
igual a sí misma.
 2𝑎 = 2𝑎
 7 + 8 = 7 + 8
 𝑥 = 𝑥
Propiedad Simétrica
Consiste en poder
cambiar el orden de los
miembros sin que la
igualdad se altere
 𝑎 − 𝑏 = 𝑐
𝑐 = 𝑎 − 𝑏
Propiedad Transitiva
Enuncia que si dos
igualdades tienen un
miembro en común los otros
dos miembros también son
iguales. Ejemplo: Si 𝑥 +
𝑦 = 𝑧 y 𝑎 + 𝑏 = 𝑧 ,
entonces 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏.
𝑚 = 𝑛
𝑛 = 𝑝
𝑚 = 𝑝
Propiedad Uniforme
Establece que si se aumenta o
disminuye la misma cantidad en
ambos miembros, la igualdad se
conserva. Si 2 + 5 = 7 , entonces
(2 + 5) (3) = (7) (3).
𝑎 = 𝑏
𝑎 + 𝑥 = 𝑏 + 𝑥
Propiedad Cancelativa
Dice que en una igualdad se pueden
suprimir dos elementos iguales en
ambos miembros y la igualdad no se
altera. Si (2 𝑥 6) − 4 = 12 − 4 ,
entonces 2 𝑥 6 = 12.
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑏
𝑎 = 𝑐

9. Inecuaciones
Las inecuaciones son una desigualdad condicionada, a diferencia de una
ecuación, esta tiene, normalmente, infinitas soluciones definidas por un
conjunto de solución. Una inecuación es una desigualdad que relaciona letras y
números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas.
 Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado
de la expresión algebraica. Estas son:
Primer grado con
una incógnita.
 𝟑𝒙 − 𝟐 > 𝒙 + 𝟓
Primer grado con
dos incógnitas.
 𝟐𝒙 − 𝟔 ≤ 𝒚
Segundo grado con
una incógnita.
 𝒙𝟐
− 𝟓𝒙 + 𝟔 ≥ 𝟎
Grado superior a
dos con una
incógnita.
𝒙𝟑
− 𝟕𝒙𝟐𝟖
+ 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟐
> 𝟎

10. Ejercicios
 El procedimiento para resolver inecuación de primer grado con una incógnita
es similar al utilizado en la resolución de una ecuación: teniendo cuidado
cuando se multiplica o divide por un número negativo, si es así el sentido de
la desigualdad cambia.
3𝑥 < 5 + 1:
3𝑥 < 5 + 1
3𝑥 < 6
𝑥 <
6
3
𝑥 < 2
2 𝑥 + 1 − 3 𝑥 − 2 < 𝑥 + 6:
2 𝑥 + 1 − 3 𝑥 − 2 < 𝑥 + 6
2𝑥 + 2 − 3𝑥 + 6 < 𝑥 + 6
−𝑥 + 8 < 𝑥 + 6
8 − 6 < 𝑥 + 𝑥
2 < 2𝑥
1 < 𝑥

11. Desigualdades
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores
cuando estos son distintos, Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. El objetivo de
la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores
diferentes.
 Tipos de Desigualdades
La notación 𝑎 < 𝑏 significa 𝑎 es menor que 𝑏.
La notación 𝑎 > 𝑏 significa 𝑎 es mayor que 𝑏 .
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que 𝑎 no puede ser igual
a 𝑏; también puede leerse como “estrictamente menor que” o “estrictamente mayor que”
La notación 𝑎 ≤ 𝑏 significa 𝑎 es menor o igual que 𝑏
La notación 𝑎 ≥ 𝑏 significa 𝑎 es mayor o igual que 𝑏
La siguiente expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
La notación 𝑎 ≠ 𝑏 significa que 𝑎 no es igual a 𝑏.
Generalmente se tienden a confundir
los operadores según la posición de los
elementos que se están comparando;
didácticamente se enseña que el signo
señala/apunta al elemento menor.

12. Propiedades de una Desigualdad
a) Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
b) Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el
signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
c) Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad:
4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 – 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
d) Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí cambia
de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
e) Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí cambia de
sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
 Notación encadenada
Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas expresiones de
desigualdad en las que se relacionan más de dos elementos. Sería este caso si, por
ejemplo, relacionamos a, b y c de modo que cada uno es menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez, “b es
menor que c”. De modo que podemos deducir que “a es menor que c”, esta propiedad
la conocemos por el nombre de propiedad transitiva.

13. Diferencia Entre Desigualdad e
Inecuación
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser
incongruente o, simplemente, denotar que no existe solución posible al
enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una desigualdad, pero, por
otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.
 Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca
una inecuación porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es
así puede ser, a la vez, una inecuación. Para operar con ellas debes entender sus
propiedades ante la suma, resta, multiplicación y división de sus elementos.

14. Valor Absoluto
Valor absoluto, también conocido como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar
si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como
de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el
número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras
verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es
negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números
opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|.
También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el número y 0.
El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia del 0. Ese,
por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su
diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor
absoluto de |3|.
El concepto de valor absoluto se encuentra presente en varios temas de las matemáticas, y
el vector es uno de ellos; más precisamente, es en la norma vectorial donde nos vemos frente a
una definición similar

15. Desigualdades De Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro. Por ejemplo:
 𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟓
Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto, para ello, vamos a utilizar
el siguiente modelo: 𝒂 < 𝒃 → −𝒃 < 𝒂 < 𝒃
Si tenemos valor absoluto de una cantidad 𝒂 menor que una cantidad 𝒃 positiva,
tal como tenemos en este caso, entonces la solución es la siguiente:

16. Si tenemos valor absoluto de una cantidad 𝒂 menor que una cantidad 𝒃 positiva,
tal como tenemos en este caso, entonces la solución es la siguiente:
Tendríamos 𝒂 comprendido entre – 𝒃 y 𝒃 entonces lo que hacemos es sustituir
cada componente, escribimos el equivalente de 𝒃 ponemos el signo menor y aquí
en el centro el equivalente de 𝒂, vemos que 𝒂 es lo que se encuentra dentro de
las barras, es decir 𝟑𝒙 − 𝟐 y resolvemos esta desigualdad.
𝑹𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝑮𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒂
𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟓
−𝟓 < 𝟑𝒙 − 𝟐 < 𝟓
−𝟓 + 𝟐 < 𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝟐 < 𝟓 + 𝟐
−𝟑 < 𝟑𝒙 < 𝟕
−
𝟑
𝟑
<
𝟑𝒙
𝟑
<
𝟕
𝟑
−𝟏 < 𝒙 <
𝟕
𝟑

17. Conjuntos
Un conjunto es una colección bien definida de elementos con características
similares considerada en sí misma como un objeto, entendiendo que dichos
objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos,
etc.
 En general se podría entender como variedad o conjunto toda multiplicidad
que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos
determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que
componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que pertenecen
al conjunto y se denota mediante el símbolo “∈”: La expresión “𝑎 ∈ 𝐴” se lee
entonces como (𝑎 está en 𝐴), (𝑎 pertenece a 𝐴), (𝐴 contiene a 𝑎), etc. Para la
noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:
 3 ∈ 𝐴, ♠ ∈ 𝐷
 𝐴𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 ∉ 𝐵, 𝑧 ∉ 𝐶

18. Operaciones Con Conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos,
nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro
conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes: unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
 Unión o Reunión De Conjuntos (∪)
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos
para formar otro conjunto que contendrá a todos los
elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es
decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir
ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: (∪)
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

19.  Intercepción De Conjuntos (∩)
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la de intersección de los
conjuntos A y B, estará formado por los
elementos de A y los elementos de B que sean
comunes, los elementos no comunes A y B, serán
excluidos. El símbolo que se usa para indicar la
operación de intersección es el siguiente: (∩)
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}.
 Diferencia De Conjuntos (-)
Es la operación que nos permite formar
un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá
todos los elementos que pertenecen al
primero pero no al segundo. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia
de los conjuntos entra A y B, estará
formado por todos los elementos de A
que no pertenezcan a B. El símbolo que
se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción,
que es el siguiente: (-)
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}.

20.  Diferencia Simétrica de Conjuntos (△)
Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los
elementos que no sean comunes a ambos
conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B,
la diferencia simétrica estará formado por
todos los elementos no comunes a los
conjuntos A y B. El símbolo que se usa para
indicar la operación de diferencia simétrica es
el siguiente: (△)
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}.