6. Probabilitas.pdf

3
Probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau
kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi.
Probabilitas disebut juga teori kemungkinan atau peluang.
Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan
terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1.
Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang PASTI
terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Sedangkan suatu kejadian yang
mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang MUSTAHIL atau TIDAK
MUNGKIN terjadi.
Introduction

4
 Peluang 0 (nol) = peluang terhadap suatu kejadian yang TIDAK MUNGKIN
terjadi
Contoh : peluang manusia bisa hidup dengan tidak bernapas selama 24 jam
 Peluang 1 (satu) = peluang terhadap seuatu kejadian yang PASTI terjadi
Contoh : peluang manusia akan mati
 Nilai peluang komplemen dari suatu kejadian = 1 – nilai kejadian
Contoh :
peluang terjadi kebakaran 0.3, maka
peluang TIDAK terjadi kebakaran = 1 – peluang terjadi kebakaran
= 1 – 0.3 = 0.7
Introduction

5
 Perkataan-perkataan kemungkinan dalam suatu pernyataan di dalam teori
probabilitas diterjemahkan menjadi angka-angka sehingga untuk selanjutnya
dapat diolah dengan menggunakanmatematika
 Seperti seorang manajer pemasaran terlebih dahulu melihar besarnya peluang
produknya untukmerebut pasar, sebelummenpromosikan produknya.
 Teori probabilitas ini sering digunakan oleh para pengambil keputusan untuk
memutuskan apa yang harus dilakukan selanjutnyaatau apa yang harus dipilih
Introduction

6
 Statistika deskriptif : menggambarkan data
 Statistik inferensi  kesimpulan valid dan perkiraan akurat ttg populasi dengan
mengobservasi sampel
 Teori probabilitas sbg dasar statistika inferensi
 Beberapa istilah yang sering digunakan dalam teori probabilitas seperti ruang
sampel dankejadian atau peristiwa
Introduction

7
Konsep Dasar Probabilitas
1. Ruang Sampel
 Informasi yang dicatat dan dikumpulkan dalam bentuk asli, baik dalam bentuk
hitunganmaupunpengukuran,disebut data mentah
 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut
ruang sampel, dinyatakan dengan S.
 Unsur atau anggota ruang sampel disebut titiksampel

8
1. Ruang Sampel
Contoh:
 Himpunanangkapada dadu
𝐒 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔}
Titik sampel
RuangSampel
Maka ruang sampel adalah semua yang termasuk dalam S, adapun 1, atau 2, atau 3, …, atau 6
disebut titik-titik sampel.

9
1. Ruang Sampel
Contoh:
 𝑆 = 𝑥 𝑥2 + 2𝑥 − 24 = 0 ,
Dimana
𝑥2
+ 2𝑥 − 24 = 0
𝑥 + 6 𝑥 − 4 = 0
𝑥 + 6 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = −6 atau 𝑥 = 4
𝐒 = {−𝟔, 𝟒}
Titik sampel
RuangSampel

10
2. Kejadian
Himpunanbagiandari ruang sampel, disebut kejadian
Contoh:
Diketahui himpunanangka yang munculpada pelemparan dadu yaitu:
S = {1,2,3,4,5,6}
Misalkan A adalah kejadian munculnyaangka genap
maka
A = {2,4,6}

2. Kejadian
Suatu kejadian yang hanya mengandung satu unsur ruang sampel, disebut kejadian
sederhana. Kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian
sederhana, disebut kejadian majemuk.
Contoh:
Diketahui himpunanangka yang munculpada pelemparan dadu yaitu:
S = {1,2,3,4,5,6}
MisalkanA = {2,4,6} dan B = 2,3,4,5,6
Maka A disebut kejadian sederhana dan B disebutkejadian majemukkarena
B = { 2,4,6 ∪ 3,5 }
11

2. Kejadian
Ruang null atau ruang kosong adalah himpuan bagian ruang sampel yang tidak
mengandungunsur, dinyatakan dengan ∅.
Contoh:
Diketahui himpunanbilangan yaitu:
S = {1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9}
MisalkanA = 𝑥 𝑥 bilangan yang habis dibagi 10
Maka A = ∅ karena tidak terdapat satupun bilangan dari ruang sampel yang habis
dibagi dengan 10.
12

2. Kejadian
Operasi dengan Kejadian
1. Irisan
Irisan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B.
Dinyatakan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}.
S
A B
𝑨 ∩ 𝑩
Gambar 1.Irisan A danB
13

2. Kejadian
1. Irisan
Contoh:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Misalkan
A = 2,4,6,8 , B = 2,3, 5,7 dan
C = 1,3, 5, 7,9
Maka
A ∩ 𝐵 = 2 dan 𝐵 ∩ 𝐶 = 3, 5, 7
Gambar 2.Irisan
S
A B
2
4
6 8
3
5 7
9
1
C
14

2. Kejadian
1. Irisan
Bila 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ maka kejadian A dan B disebutsaling terpisah.
S
A B
Gambar 3.Kejadian yangsaling terpisah
15

2. Kejadian
2. Gabungan
Gabungan dua kejadian A dan B adalah kejadian yang mengandung semua unsur
yang termasuk A atau B atau keduanya.
Dinyatakan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}.
S
A B
𝑨 ∪ 𝑩
Gambar 4.Gabungan A danB
16

2. Kejadian
2. Gabungan
Contoh:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Misalkan
A = 2,4,6,8 , B = 2,3, 5,7 dan
C = 1,3, 5, 7,9
Maka
A ∪ 𝐵 = 2,3,5,6,7,8
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 1,2,3,5,6,7,8,9
Gambar 5.Gabungan A, B, danC
S
A B
2
4
6 8
3
5 7
9
1
C
17

2. Kejadian
2. Komplemen
Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah himpunan semua unsur yang tidak
termasuk A. Dinyatakan dengan A′ = {𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}.
S
A
𝑨′
Gambar 6.Komplemen A
18

2. Kejadian
S
A
𝑨′
Gambar 6.Komplemen A
𝟏. 𝑨 ∩ ∅ =
𝟐. 𝑨 ∪ ∅ =
𝟑. 𝑨 ∩ 𝑨′
=
4. 𝑨 ∪ 𝑨′ =
5. 𝑨′ ′ =
∅
∅
𝑨
𝑨
𝑺
19

3. Menghitung TitikSampel
Teorema 1:
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan 𝑛1 cara, dan bila operasi kedua dapat
dilakukan dengan 𝑛2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama dengan
𝑛1𝑛2 cara.
Teorema 2:
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan 𝑛1 cara, dan bila operasi kedua dapat
dilakukan dengan 𝑛2 cara, dan bila operasi ketiga dapat dilakukan dengan 𝑛3 cara,
dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dilakukan bersama dengan 𝑛1𝑛2…𝑛𝑘
cara.
20

Contoh:
Berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila dua buah dadu dilantunkan
sekali?
Jawab:
Dadu pertama (1) dapat menghasilkan salah satu dari enam kemungkinan, dadu
kedua (2) pun dapat menghasilkansalah satu dari enam kemungkinan.
Dimana 𝑛1 = 6 𝑑𝑎𝑛 𝑛2 = 6
Sehingga𝑛 𝑠 = 𝑛1. 𝑛2 = 6 6 = 36
Sehingga, ketika kedua dadu dilantunkan bersamaan, dapat menghasilkan salah
satu dari 36 kemungkinanyang ada.
21

Dadu kedua
1 2 3 4 5 6
Dadu
Pertama
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,6 6,6
22

Contoh:
Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiri
atas sop, nasi goreng, bakmi, dan soto. Bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi
goreng,5 macam bakmi, dan 4 macam soto?
Jawab:
Diketahui 𝑛1 = 4 , 𝑛2 = 3, 𝑛3 = 5, 𝑑𝑎𝑛 𝑛4 = 4
Sehingga𝑛 𝑠 = 𝑛1. 𝑛2. 𝑛3. 𝑛4 = 4 3 (5)(4) = 240.
Sehingga,akan terdapat 240 kemungkinanmacamhidangan yang dapat disajikan.
23

Contoh:
Berapa banyak bilangan genap yang terdiri atas tiga angka yang daoat dibuat dari
angka 1,2, 5, 6, dan 9 bilaangka ituhanya boleh digunakan sekali?
Jawab:
Karena bilangan yang akan dibentuk terdiri atas tiga angka, maka satu angka
pertama (1) merupakan ratusan, angkakedua (2) adalah puluhan dan angkaketiga
(3) adalah satuan, dimana bilangan yang akan dibuat haruslah merupakan
bilangangenap maka angkasatuan haruslah2 atau 6.
24

Jawab:
Karena satu angkaakan terpilihmengisiposisi satuan, maka hanya akan ada 4
kemungkinanangka yang boleh dipilihuntuk mengisiposisi puluhan,dan karena
satu angka lagiterpilihpada puluhan,maka hanya ada 3 kemungkinanangka yang
dapat dipilihuntukmengisiposisi ratusan.
Dengan demikian𝑛1 = 3 , 𝑛2 = 4, 𝑛3 = 2
Sehingga𝑛 𝑠 = 𝑛1. 𝑛2. 𝑛3 = 3 4 (2) = 24.
Sehingga,akan terdapat 24 kemungkinanbilanganratusan dan genapyang dapat
dibentukdari 5 angkatersebut.
25

Definisi:
Suatu permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan
benda yang diambilsebagian atau seluruhnya.
Teorema 3:
Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!
Teorema 4:
Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambilr sekaligus adalah:
𝒏𝑷𝒓 =
𝒏!
𝒏 − 𝒓 !
26

Contoh:
Berapa banyak permutasi yang dapat dibuat dari tiga huruf a, b,c?
Jawab:
Diketahui 𝑛 = 3
Sehingga𝑛 𝑠 = 𝑛! = 3! = (3)(2)(1) = 6
Terdapat 6 susunan yang berlainan yang dapat dibentuk,yaitu:
𝑆 = {𝑎𝑏𝑐, 𝑎𝑐𝑏, 𝑏𝑎𝑐, 𝑏𝑐𝑎, 𝑐𝑎𝑏, 𝑐𝑏𝑎}
27

Contoh:
Berapa banyak permutasi yang dapat dibuat dari tiga huruf a, b,c, dan d jika dua huruf
diambilsekaligus?
Jawab:
Diketahui 𝑛 = 4 , 𝑟 = 2
Sehingga 𝑛𝑃𝑟 =
𝑛!
𝑛−𝑟 !
=
4!
4−2 !
=
4!
2!
=
4 3 2!
2!
= 4 3 = 12
Terdapat 12 susunan yang berlainan yang dapat dibentuk,yaitu:
𝑆 = {𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑎𝑑, 𝑏𝑎, 𝑏𝑐, 𝑏𝑑, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏, 𝑐𝑑, 𝑑𝑎, 𝑑𝑏, 𝑑𝑐}
28

Teorema 5:
Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkaradalah (n-1)!
Contoh:
Berapa banyak permutasi yang dapat dibuat dari tiga huruf a, b,c jika disusun
melingkar?
Jawab:
Diketahui 𝑛 = 3
Sehingga 𝑛 − 1 ! = 3 − 1 ! = 2! = 2 1 = 2
Terdapat 2 susunan yang berlainan yang dapat dibentuk,yaitu: 𝑆 = {𝑎𝑏𝑐, 𝑏𝑎𝑐}
29

Teorema 6:
Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil 𝑛1 diantaranya berjenispertama,
𝑛2 diantaranya berjenis kedua, …, 𝑛𝑘 diantaranya berjenis ke-𝑘 adalah:
𝒏
𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … 𝒏𝒌
=
𝒏!
𝒏𝟏! 𝒏𝟐! … 𝒏𝒌!
Teorema 7:
Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi 𝑛1 dalam sel
pertama, 𝑛2 dalam sel kedua, …,𝑛𝑟 dalam sel ke-𝑟 adalah:
𝒏
𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … 𝒏𝒓
=
𝒏!
𝒏𝟏! 𝒏𝟐! … 𝒏𝒓!
Dimana 𝑛1 + 𝑛2 + …+𝑛𝑟 = 𝑛
30

31
Contoh:
Suatu bunga hias akan dipasangi bolam lampu yang dirangkai seri. Berapa banyak
cara menyusun 9 bola tersebut jika 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2
biru?
Jawab:
Diketahui 𝑛 = 9, 𝑛1 = 3 , 𝑛2 = 4, 𝑛3 = 2
Sehingga𝑛 𝑠 =
𝑛!
𝑛1!𝑛2 !𝑛3!
=
9!
3!4!2!
= 1260.
Terdapat 1260 susunan yang berlainan yang dapat dibentuk.

32
Contoh:
Berapa banyak permutasi yang dapat dibuat dari huruf pada kata “STATISTIKA”?
Jawab:
STATISTIKA terbentuk dari 2 huruf S, 2 huruf A, 3 huruf T, 2 huruf I,dan 1 huruf K
Diketahui 𝑛 = 10, 𝑛1 = 2 , 𝑛2 = 2, 𝑛3 = 3, 𝑛4 = 2, 𝑛5 = 1
Sehingga𝑛 𝑠 =
𝑛!
𝑛1!𝑛2 !𝑛3!𝑛4 !𝑛5!
=
10!
2!2!3!2!1!
= 75600
Terdapat 75600 susunan yang berlainan yang dapat dibentuk dari huruf pada kata
STATISTIKA.

Teorema 8:
Jumlahkombinasi dari n benda yang berlainan biladiambilsebanyak 𝑟 adalah:
𝒏
𝒓
=
𝒏!
𝒓! 𝒏 − 𝒓 !
Contoh:
Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang
yang dapat dibuat yang beranggotakan dua kimiawandan satu fisikawan?
33

34
Jawab:
Banyaknya cara memilihdua kimiawandari empatadalah:
4
2
=
4!
2! 4 − 2 !
=
4!
2! 2!
= 6
Banyaknya cara memilihdua kimiawandari empatadalah:
3
1
=
3!
1! 3 − 1 !
=
3!
1! 2!
= 3
Jadi banyaknya cara menyusunpanitia yang dapat dibentukadalah (6)(3)=18.

4. Peluang Suatu Kejadian
35
Definisi:
0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1, 𝑃 ∅ = 0, 𝑃 𝑆 = 1
Teorema 9:
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan 𝑛(𝑆) macam hasil, dan bila kejadian A tepat
sebanyak 𝑛(𝐴), maka peluangkejadian A adalah:
𝑷 𝑨 =
𝒏 𝑺
𝒏(𝑨)

4. Peluang Suatu Kejadian
36
Contoh:
Berapa peluangmunculangka genapjikasebuah dadu dilantunkan sekali?
Jawab:
Diketahui
S = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛 𝑆 = 6
A = 2,4,6 ⇒ 𝑛 𝐴 = 3
maka
𝑃 𝐴 =
𝑛 𝐴
𝑛 𝑆
=
3
6
=
1
2
= 0.5 = 50 %
Artinya bahwa ketika dadu dilantukan sekali, peluang munculnya angka 2 atau 4
atau 6 adalah 0.5.

5. Hukum Peluang
37
Teorema 10 :
Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Akibatnya:
Bila A dan B dua kejadian terpisah, artinya bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ sehingga𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,
maka:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩
Bila 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 salingterpisah, maka:
𝑷 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝑛 = 𝑷 𝐴1 + 𝑷 𝐴2 + ⋯ + 𝑷 𝐴𝑛

5. Hukum Peluang
38
Teorema 11:
Bila A dan A’ dua kejadian yang salingberkomplemen,maka:
𝑷 𝑨′ = 𝟏 − 𝑷 𝑨
Contoh:
Jikasebuah dadu dilantunkansekali,hitung:
(a) Peluang munculnya angka genap
(b) Peluang munculnya angka prima
(c) Peluang munculnya angka ganjil
(d) peluang munculnya angka genap atau angka prima,
(e) Peluang munculnya angka genap atau ganjil.
(f) Peluang tidakmunculnya angka genap
(g)Peluang tidaknya munculnya angka genap
atau angka prima

5. Hukum Peluang
39
Jawab:
𝑆 = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛(𝑆) = 6
𝐴 = 2,4,6 ⇒ 𝑛(𝐴) = 3
𝐵 = 2,3,5 ⇒ 𝑛(𝐵) = 3
𝐶 = 1,3,5 ⇒ 𝑛 𝐶 = 3
𝐴 ∪ 𝐵 = 2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 5
𝐴 ∪ 𝐶 = 1,2,3,4,5,6 ⇒ 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) = 6
a. 𝑃 𝐴 =
𝑛 𝐴
𝑛(𝑆)
=
3
6
=
1
2
b. 𝑃 𝐵 =
𝑛 𝐵
𝑛(𝑆)
=
3
6
=
1
2
c. 𝑃 𝐶 =
𝑛 𝐶
𝑛(𝑆)
=
3
6
=
1
2
d. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
𝑛 𝐴∪𝐵
𝑛(𝑆)
=
5
6
e. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐶 =
𝑛 𝐴∪𝐶
𝑛(𝑆)
=
6
6
= 1
f. 𝑃 𝐴’ = 1 – 𝑃 𝐴 = 1 −
1
2
=
1
2
g. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ′
= 1 – 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 −
5
6
=
1
6

5. Hukum Peluang
40
Contoh:
Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9.
Bila peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah adalah 4/5, berapakah
peluangnya luluspada kedua mata kuliahtsb?
Jawab:
𝑃 𝐴 =
2
3
𝑃 𝐵 =
4
9
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
4
5
Maka:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 =
2
3
+
4
9
−
4
5
=
14
45
Dengan demikian,peluangseorang mahasiswa lulus
pada kedua mata kuliahtersebut adalah 0.311.

6. Peluang Bersyarat
41
Peluang bersyarat adalah peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa
kejadian A telah terjadi.
Peluangbersyarat dinyatakan denganP 𝐵 𝐴 , ditentukanoleh:
P 𝐵 𝐴 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑃 𝐴 > 0
Bila kejadian A danB dapat terjadi pada suatu percobaan, maka:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴)P 𝐵 𝐴

42
Contoh:
Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah lulus SMA di suatu
kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan
sebagai berikut:
Kota tersebut akan dijadikan kota pariwisata dan akan dipilih seorang laki-laki secara
acak untuk mempromosikannya. Berapa peluang terpilihnya laki-laki dengan syarat
sudah bekerja?
Bekerja Tidak Bekerja
Laki-laki 460 40
Perempuan 140 260

43
Jawab:
Misalkan:
A : laki-laki
B : status bekerja
Maka :
𝑃 𝐵 =
𝑛 𝐵
𝑛(𝑆)
=
600
900
=
2
3
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝑆
=
460
900
=
23
45
P 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
=
23
45
2
3
=
𝟐𝟑
𝟑𝟎
Atau denganmenggunakanruang sampel B:
P 𝐴 𝐵 =
460
600
=
𝟐𝟑
𝟑𝟎
Dengandemikian,peluangterpilihnyalaki-
laki dengansyarat sudah memiliki
pekerjaan adalah: 0.767

44
Contoh:
Terdapat kotak yang isinya 20 buah bag, lima di antaranya cacat. Bila 2 bag
dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang
pertama ke dalam kotak, berapakah peluangkedua bag itu cacat?
Jawab:
Misalkan:
𝐴 ∶ bag pertama rusak
𝐵 ∶ bag yang kedua cacat

45
Jawab:
Dimana
𝑃 𝐴 =
5
20
=
1
4
setelah kejadan A terjadi, maka kemungkinan terpilihnya bag yang cacat lagi
adalah 4 dari 19 bag yang tersisa. Sehingga,𝑃 𝐵 𝐴 =
4
19
Maka :
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = P A . P 𝐵 𝐴 =
1
4
4
19
=
1
19
Jadi peluang munculnyaterambilnyabag A dan B cacat adalah: 1
19
.

46
Bila dalam contoh sebelumnya, bag yang diambil pertama dikembalikan maka akan
berlaku:
P 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵)
Dalam hal ini,kejadian A dan B dikatakan bebas.
Definisi:
KejadianA dan B bebas, jikadan hanya jika:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)

47
Contoh:
Dua dadu dilantunkan dua kali. Berapa peluangnya mendapat jumlah 7 dan 11 dalam
dua lantunanpertama?
Jawab:
Misalkan:
𝐴1 ∶ 7 munculdalam lantunanpertama
𝐴2 ∶ 7 munculdalam lantunankedua
𝐵1 ∶ 11 munculdalam lantunanpertama
𝐵2 ∶ 11 munculdalam lantunankedua

48
Jawab:
Akan dihitungpeluangkejadian 𝐴1 ∩ 𝐵2 atau 𝐵1 ∩ 𝐴2 yang salingterpisah.
Maka :
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵2 ∪ 𝐵1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵2 + 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴2
= 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴2
=
6
36
2
36
+
2
36
6
36
=
1
6
1
18
+
1
18
1
6
=
1
54
Jadi peluang munculnya jumlah 7 dan 11 dalam dua kali lantunan dua buah dadu
adalah 1
54
.

49
Ilustrasi:
Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah lulus SMA di suatu
kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan
sebagai berikut:
Kota tersebut akan dijadikan kota pariwisata dan akan dipilih seorang laki-laki secara
acak untuk mempromosikannya. Peluang terpilihnya laki-laki dengan syarat sudah
bekerja:
Bekerja Tidak Bekerja
Laki-laki 460 40
Perempuan 140 260

50
Ilustrasi:
Misalkan:
A : laki-laki
B : status bekerja
Maka :
𝑃 𝐵 =
𝑛 𝐵
𝑛(𝑆)
=
600
900
=
2
3
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝑆
=
460
900
=
23
45
P 𝐴 𝐵 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
=
23
45
2
3
=
𝟐𝟑
𝟑𝟎
Atau denganmenggunakanruang sampel B:
P 𝐴 𝐵 =
460
600
=
𝟐𝟑
𝟑𝟎
Dengandemikian,peluangterpilihnyalaki-
laki dengansyarat sudah memiliki
pekerjaan adalah: 0.767

7. Aturan Bayes
51
Ilustrasi:
Pemilihan secara acak seorang penduduk dewasa dalam rangka usaha penggalakan
kota sebagai kota pariwisata ke penjuru negeri. Sebelumnya telah dihitung peluang
terpilihnya seorang laki-laki dalam status bekerja. Misalkan tersedia keterangan
tambahan bahwa 36 dari status bekerja dan 12 dari yang menganggur adalah anggota
koperasi. Berapakah peluang orang yang telah terpilih berstatus bekerja bila diketahui
orang tersebut anggotakoperasi?
Misalkan C kejadian bahwa orang yang terpilih anggotakoperasi. Peluangbersyarat:
P 𝐵 𝐶 =
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶
𝑃 𝐶

7. Aturan Bayes
52
Ilustrasi:
dimana:
P 𝐶 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃 𝐵′ ∩ 𝐶
Sehingga:
P 𝐵 𝐶 =
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶
𝑃 𝐶
⇒
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃 𝐵′ ∩ 𝐶
S
C
𝑩
Gambar 7.Kejadian B,C, dan C’
𝑩′

7. Aturan Bayes
53
Ilustrasi:
Maka :
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 =
36
900
=
1
25
𝑃 𝐵′ ∩ 𝐶 =
12
900
=
1
75
P 𝐵 𝐶 =
1
25
1
25
+
1
75
=
3
4
Jadi peluang terpilihnya orang yang bekerja dengan syarat diamerupakan anggota
koperasi adalah 3
4
.

7. Aturan Bayes
54
Teorema 12:
Aturan Bayes, Misalkan {𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛} suatu himpunan kejadian yang merupakan
suatu sekatan ruang sampel S dengan 𝑃(𝐵1) ≠ 0, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Misalkan A
suatu kejadian sembarang dalam S dengan 𝑃(𝐴) ≠ 0,untuk k = 1,2, … , 𝑛,
P 𝐵𝑘 𝐴 =
𝑃 𝐵𝑘 ∩ 𝐴
𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴
𝑛
𝑖=𝑛
=
𝑃 𝐵𝑘 P 𝐴 𝐵𝑘
𝑃 𝐵𝑖 P 𝐴 𝐵𝑖
𝑛
𝑖=𝑛

7. Aturan Bayes
55
Contoh:
Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0.3,
peluang Pak Badu terpilih 0.5, sedangkan peluang Pak Cokro 0.2. Kalau Pak Ali
terpilih, maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0.8, bila Pak Badu atau Pak
Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0.1 dan 0.4.
Bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya
beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, maka
berapakah peluangPak Cokro terpilih jadi ketua?

7. Aturan Bayes
56
Jawab:
Misalkan:
𝐴 ∶ Orang yang terpilihmenaikkan iuran
𝐵1 ∶ Pak Aliyang terpilih
𝐵2 ∶ Pak Badu yang terpilih
𝐵3 ∶ Pak Cokro yang terpilih
Berdasarkan aturan Bayes, dapat dituliskansbb:
P 𝐵3 𝐴 =
𝑃 𝐵3 ∩ 𝐴
3
𝑖=1

7. Aturan Bayes
57
Jawab:
𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵1 P 𝐴 𝐵1 = 0.3 0.8 = 0.24
𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵2 P 𝐴 𝐵2 = 0.5 0.1 = 0.05
𝑃 𝐵3 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵3 P 𝐴 𝐵3 = 0.2 0.4 = 0.08
Sehingga:
P 𝐵3 𝐴 =
0.08
0.24 + 0.05 + 0.08
=
0.08
0.37
=
8
37
Berdasarkan kenyataan bahwa iuran telah naik,dan peluangPak Cokro terpilih
sangat kecil yaitu sebesar 8
37
= 0.216, halinimenunjukkanbahwa kemungkinan
besar bukan Pak Cokro yangterpilih sebagai ketuaKoperasi.

7. Aturan Bayes
58
Contoh:
Dalam industri perakitan, tiga mesin yaitu 𝑀1, 𝑀2, dan 𝑀3 menghasilkan 30%, 45%,
dan 25% produk. Diketahui dari pengalaman sebelumnya bahwa 2%, 3%, dan 2%
dari produk yang dihasilkan setiap mesin mengalami kerusakan (cacat). Diambil satu
produk secara acak, tentukan peluang bahwa produk yang cacat itu berasal dari mesin
𝑀3!

7. Aturan Bayes
59
Jawab:
Misalkan:
𝐴 ∶ Produk yang dihasilkan mengalamikerusakan
𝐵1 ∶ Mesin pertama yang terambil
𝐵2 ∶ Mesin kedua yang terambil
𝐵3 ∶ mesin ketigayang terambil
Berdasarkan aturan Bayes, dapat dituliskansbb:
P 𝐵3 𝐴 =
𝑃 𝐵3 ∩ 𝐴
3
𝑖=1

7. Aturan Bayes
60
Jawab:
𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵1 P 𝐴 𝐵1 = 0.3 0.02 = 0.006
𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵2 P 𝐴 𝐵2 = 0.45 0.03 = 0.0135
𝑃 𝐵3 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵3 P 𝐴 𝐵3 = 0.25 0.02 = 0.0050
Sehingga:
P 𝐵3 𝐴 =
0.005
0.006 + 0.0135 + 0.005
=
0.005
0.0245
= 0.204
Peluangproduk yang cacat itu berasal dari mesin 𝑀3 yaitu 0.204.

Dari 100 mahasiswa yang diwisuda, 42 belajar matematika, 68 belajar
psikologi, 54 belajar sejarah, 22 belajar matematika dan sejarah, 25 belajar
matematika dan psikologi, 7 belajar sejarah dan tidak belajar matematika
maupun psikolohi, 10 belajar ketiga mata pelajaran, dan 8 tidak belajar satu
pun dari ketiga pelajaran. Bila seorang siswa dipilih secara acak, hitunglah:
• peluang dia hanya belajar matematika
• peluang dia hanya belajar sejarah
• peluang dia hanya belajar psikologi
• peluang dia belajar sejarah dan psikologi tapi tidak belajar matematika.
• peluang bahwa bila dia belajar sejarah, dia belajar ketiga mata pelajaran.

Semoga Bermanfaat!!!!
Terima kasih

6. Probabilitas.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 6. Probabilitas.pdf

Similar to 6. Probabilitas.pdf (20)

More from Jurnal IT

More from Jurnal IT (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

6. Probabilitas.pdf