Dokumen tersebut membahas tentang matriks, relasi, dan fungsi. Secara singkat, dibahas definisi matriks dan jenis-jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Kemudian dibahas operasi-operasi pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan matriks, serta determinan matriks.

1. MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI
Disusun Oleh:
Nama : Aisyah Turidho
NIM : 06022681923015
Mata Kuliah : Matematika Diskrit
DosenPengampuh : Cecil Hiltrimartin, M.Si, Ph.D
Dr. Hapizah, S.Pd, M.T
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
PALEMBANG
2019

2. MATRIKS
Definisi 1. Matriks adalah susunan skalar elemen – elemen dalam bentuk baris dan kolom yang
ditempatkan pada kurung siku atau kurung biasa. Misal matriks 𝐴 dengan baris 𝑚 dan kolom 𝑛
(ordo: 𝑚 × 𝑛) dapat ditulis:
𝐴 =
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
. . . .
. . . .
. . . .
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛 ]
𝑎𝑖𝑗 adalah elemen matriks 𝐴 pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗
Jenis – Jenis Matriks
Nama Pengertian Contoh
Matriks Baris Matriks yang hanya terdiri dari satu baris. 𝐵 = [1 3 5]
Matriks Kolom Matriks yang hanya memiliki satu kolom
𝐾 = [
4
2
7
]
Matriks Persegi Matriks yang memiliki banyak baris dan
kolom yang sama 𝑃 = [
2 −9 1
2 5 3
9 7 −4
]
Matriks Segitiga Atas Matriks persegi yang mana semua elemen
di bawah diagonal utamanya adalah nol
(0) 𝐴 = [
4 1 3
0 −9 1
0 0 3
0 0 0
]
Matriks Segitiga Bawah Matriks persegi yang mana semua elemen
di atas diagonal utamanya adalah nol (0)
𝐵 = [
0 0 0
3 0 0
−9 2 0
6 1 7
]
Matriks Diagonal Matriks persegi yang semua elemennya
nol, kecuali pada diagonal utama 𝐷 = [
3 0 0
0 1 0
0 0 4
]
Matriks Skalar Matriks diagonal yang semua elemen
penyusun diagonal utamanya adalah
bilangan yang sama
𝑆 = [
2 0 0
0 2 0
0 0 2
]
Matriks Identitas Matriks skalar yang semua elemen pada
diagonal utamanya adalah 1 𝐼 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
Matriks Nol Matriks yang semua elemenya adalah nol
𝑂 = [
0 0
0 0
]

3. Matriks Transpose Matriks yang diperoleh dengan menukar
elemen pada baris menjadi elemen pada
kolom.
Sifat – sifat matriks transpose:
a. ( 𝐴 + 𝐵) 𝑇 = 𝐴 𝑇 + 𝐵 𝑇
b. ( 𝐴𝐵) 𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴 𝑇
c. ( 𝐴 𝑇) 𝑇 = 𝐴
𝐴 = [
2 3 1
3 2 5
1 5 8
6 11 9
]maka
𝐴 𝑇
= [
2 3 1 6
3 2 5 11
1 5 8 9
]
Matriks Simetri Definisi:
Matriks persegi 𝐴 dikatakan simetri jika
𝐴 𝑇 = 𝐴
𝐴 = [
3 4 6 1
4 2 3 2
6 3 2 5
1 2 5 4
] maka
𝐴 𝑇
= [
3 4 6 1
4 2 3 2
6 3 2 5
1 2 5 4
]
𝐴 adalah matriks simetri
Matriks Skew-metri Definisi:
Matriks persegi 𝐴 dikatakan skew-metri
jika 𝐴 𝑇 = −𝐴
𝐴 = [
0 −2 3
2 0 4
−3 −4 0
] maka
𝐴 𝑇
= [
0 2 −3
−2 0 −4
3 4 0
]
𝐴 adalah matriks skew-metri
Matriks Kompleks
Sekawan
Definisi:
Jika semua unsur 𝑎 𝑖𝑗 dari suatu matriks 𝐴
diganti dengan kompleks sekawannya 𝑎 𝑖𝑗̅̅̅̅,
maka matriks yang diperoleh dinamakan
kompleks sekawan dari 𝐴 dan dinyatakan
dengan 𝐴̅
𝐴 = [
1 + 2𝑗 𝑗
3 2 − 3𝑗
] maka
𝐴̅ = [
1 − 2𝑗 −𝑗
3 2 + 3𝑗
]
Matriks Invers Definisi:
𝐴 adalah suatu matriks persegi. B adalah
invers dari matriks (𝐵 = 𝐴−1). Jika
𝐴𝐵 = 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼
Dengan 𝐼 adalah matriks identitas.
Cara mendapatkan invers matriks:
 Untuk ordo 2 × 2
Jika







dc
ba
A
, maka









ac
bd
A
A
det
11
Contoh:
𝐴 = [
1 3 3
1 4 3
1 3 4
]
𝐴−1
= [
7 −3 −3
−1 1 0
−1 0 1
]

4.  Untuk ordo 𝑛 × 𝑛
𝐴−1 =
1
det( 𝐴)
𝐴𝑑𝑗(𝐴)
𝐴𝑑𝑗( 𝐴)adalah adjoin darimatriks A, yang
elemen – elemennya berupa kofaktor –
kofaktor.
Operasi Matriks
Nama Keterangan Contoh
Kesamaan
Matriks
Definisi:
Dua buah matriks 𝐴 dan 𝐵 disebut sama jika
:
a. 𝐴 dan 𝐵 sejenis (memiliki ukuran yang
sama)
b. Setiap unsur yang seletak bernilai sama
𝐴 = [
1 3
6 4
] dan 𝐵 = [
1 3
6 4
]
Penjumlahan
Matriks
Definisi:
Jumlah dua matriks 𝐴 dan 𝐵 yang sejenis
adalah 𝐶 yang sejenis pula dimana 𝑐𝑖𝑗 =
𝑎 𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
Sifat – sifatnya:
𝐴, 𝐵, 𝐶 matriks dengan ordo yang sama dan
𝑂 matriks nol dengan ordo yang sama
dengan matriks 𝐴, 𝐵, 𝐶.
1. Komutatif
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
2. Asosiatif
𝐴 + ( 𝐵 + 𝐶) = ( 𝐴 + 𝐵) + 𝐶
3. Identitas
𝐴 + 𝑂 = 𝑂 + 𝐴 = 𝐴
4. Lawan atau Invers
𝐴 + (−𝐴) = −𝐴 + 𝐴 = 𝑂
𝐴 = [
1 5 7
6 10 11
] ; 𝐵 = [
2 3 4
6 5 6
]
𝐴 + 𝐵 = [
1 + 2 5 + 3 7 + 4
6 + 6 10 + 5 11 + 6
]
= [
3 8 11
12 15 17
]
Pengurangan
Matriks
Definisi:
Pengurangan dua matriks 𝐴 dan 𝐵 yang
sejenis adalah 𝐶 yang sejenis pula dimana
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗
𝐴 = [
6 10 12
3 4 8
1 6 5
]
𝐵 = [
2 3 4
1 6 8
7 8 1
]

5. 𝐴 − 𝐵 = [
6 − 2 10 − 3 12 − 4
3 − 1 4 − 6 8 − 8
1 − 7 6 − 8 5 − 1
]
= [
4 7 8
4 −2 0
−6 −2 4
]
Perkalian
Matriks
dengan
Skalar
Definisi:
Jika 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗] dan 𝑘 adalah suatu bilangan
(skalar) hasil kali 𝐴 dan 𝑘 sebagai 𝑘𝐴 =
𝐴𝑘 = [𝑘𝑎 𝑖 𝑗]
Sifat – Sifatnya
Misalkan 𝑘 dan 𝑙 bilamgan realsedangkan 𝐴
dan 𝐵 matriks dengan ordo 𝑚 × 𝑛
1. ( 𝑘 + 𝑙) 𝐴 = 𝑘𝐴 + 𝑙𝐴
2. 𝑘( 𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
3. ( 𝑘𝑙) 𝐴 = 𝑘(𝑙𝐴)
𝐵 = [
2 3 4
1 6 8
7 8 1
]
2𝐵 = 2 [
2 3 4
1 6 8
7 8 1
] = [
4 6 8
2 12 16
14 16 2
]
Perkalian
Matriks
Definisi:
Jika 𝐴 = [ 𝑎 𝑖𝑗] berordo 𝑚 × 𝑛 dan 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]
berordo 𝑛 × 𝑝 maka hasil kali dari 𝐴 dan 𝐵
adalah 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] dengan ordo 𝑚 × 𝑝
dimana:
𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗
𝑛
𝑘=1
𝐴 = [
6 10 12
3 4 8
1 6 5
]
𝐵 = [
2 3 4
1 6 8
7 8 1
]
𝐴 × 𝐵 = [
6 10 12
3 4 8
1 6 5
] × [
2 3 4
1 6 8
7 8 1
]
= [
12 + 10 + 84 18 + 60 + 96 24 + 80 + 12
6 + 4 + 56 9 + 24 + 64 12 + 32 + 8
2 + 6 + 35 3 + 36 + 40 4 + 48 + 5
]
= [
106 174 116
66 97 52
43 79 57
]
Determinan
Matriks
Determinan matriks adalah sebuah angka atau skalar dari matriks persegi yang diperoleh dari
elemen-elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu.. Jika 𝐴 sebuah matriks maka
determinannya ditulis det(𝐴) atau |𝐴|

6.  Untuk ordo 2 × 2
Jika A = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) maka determinan matriks A adalah
Det(A) = | 𝐴| = 𝑎11. 𝑎22 − 𝑎12. 𝑎21
Contoh:
A = [
3 4
3 6
]. Tentukan determinan dari A!
Penyelesaian:
det( 𝐴) = (3 × 6) − (4 × 3) = 6
 Untuk ordo 3 × 3
Bisa menggunakan aturan sarrus sebagai berikut
A = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
]
| 𝐴| = (𝑎12 𝑎21 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32) – (𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎11 𝑎23 𝑎32 + 𝑎13 𝑎22 𝑎31)
Contoh:
Tentukan determinan dari matriks B = [
−3 4 2
2 1 3
1 0 −1
]
Penyelesaian:
Untuk menentukan determinan dari B digunakan kaidah sarrus.
| 𝐵| = (𝑎12 𝑎21 𝑎33+ 𝑎12 𝑎23 𝑎31+ 𝑎13 𝑎21 𝑎32) – (𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎11 𝑎23 𝑎32+𝑎13 𝑎22 𝑎31) = (3 + 12
+ 0) – (-8 + 0 + 2)= 21

7.  Untuk ordo 𝑛 × 𝑛
Perhatikan matriks persegi berikut:
Untuk mencari determinan 𝐴 dapat digunakan metode uraian laplace, dalam metode ini
terdapat 2 macam yaitu:
a. Menguraikan determinan menurut baris ke-𝑖
| 𝐴| = det( 𝐴) = ∑(−1) 𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑀𝑖 𝑗
𝑛
𝑗=1
b. Menguraikan determinan menurut kolom ke-𝑗
| 𝐴| = det( 𝐴) = ∑(−1) 𝑖+𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑀𝑖 𝑗
𝑛
𝑖=1
Catatan:
1. 𝑎 𝑖𝑗 adalah komponen determinan pada baris ke-𝑖 kolom ke-𝑗
2. 𝑀𝑖𝑗 adalah minor dari 𝑎 𝑖𝑗 (determinan yang dibentuk dengan menghapus baris dan
kolom yang memuat 𝑎 𝑖𝑗)
3. (−1) 𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗 adalah kofaktor dari 𝑎 𝑖𝑗
4. Dalam menentukan baris atau kolom yang akan dipakai sebagai dasar dalam penjabaran,
dilihat elemen-elemen yang menyusunnya. Dipilih baris atau kolom yang elemennya
menyederhanakan perhitungan. Kalau ada baris atau kolom yang memuat nol paling
banyak, baris atau kolom itulah yang dipilih. Jika elemen-elemnnya tidak ada yang nol
maka pemilihan baris/kolom bebas.
Contoh:
Tentukan determinan dari:

8. Penyelesaian:

9. RELASI DAN FUNGSI
RELASI
Relasi adalah himpunan pasangan berurutan. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian
kartesian antara dua himpunan. Misal terdapat himpunan 𝐴 dan 𝐵, relasi antara kedua himpunan
tersebut disebut relasi biner.
Definisi 2. Relasi biner 𝑅 antara himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan bagian dari 𝐴 × 𝐵. Ditulis:
𝑅 ⊆ (𝐴 × 𝐵)
Daerah asal dan daerah hasil relasi bisa saja berasal dari himpunan yang sama.
Definisi 3. Relasi pada himpunan 𝐴 adalah relasi dari 𝐴 × 𝐴
Contoh 1:
Misalkan 𝑃 = {2, 3, 4} dan 𝑄 = {2, 4, 8,9, 15}. Jika kita definisikan relasi 𝑅 dari 𝑃 ke 𝑄 dengan
(𝑝, 𝑞) ∈ 𝑅 jika 𝑝 habis dibagi 𝑞
Maka kita peroleh:
𝑅 = {(2,2), (2,4),(2,8),(3,9),(3,15), (4,4),(4,8)}
1. Dapat direpresentasikan dalam diagram panah

10. 2. Dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel
𝑃 𝑄
2 2
2 4
2 8
3 9
3 15
4 4
4 8
3. Dapat direpresentasikan dalam Matriks
Ingat cara merepresentasikan suatu relasi ke dalam matriks yaitu:
Misalkan 𝑅 adalah relasi dari 𝐴 = { 𝑎1, 𝑎2, … . , 𝑎 𝑚} dan 𝐵 = { 𝑏1, 𝑏2 , …. , 𝑏 𝑛}. Relasi 𝑅
dapat disajikan dengan matriks 𝑀 = [𝑚 𝑖𝑗]
Yang dalam hal ini:
𝑚 𝑖𝑗 = {
1,( 𝑎𝑖, 𝑏𝑗) ∈ 𝑅
0, ( 𝑎𝑖, 𝑏𝑗) ∉ 𝑅
Berarti, pada contoh 1 tersebut 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 3, 𝑎3 = 4 dan 𝑏1 = 2, 𝑏2 = 4, 𝑏3 = 8, 𝑏4 =
9, 𝑏5 = 15
𝑀 = [
1 1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 1 1 0 0
]

11. 4. Dapat direpresentasikan dalam graf berarah
Graf berarah adalah Representasi secara grafis dari relasi suatu himpunan.Tiap elemen
himpunan dinyatakan dalam titik (simpul atau vertex)dan tiap pasangan terurut dinyatakan
dalam busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
Jika (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, maka sebuah busur dibuat dari simpul 𝑎 ke simpul 𝑏. Simpul 𝑎 adalah
simpul asal (initial vertex) dan simpul 𝑏 adalah simpul tujuan (terminal vertex).
Berarti, pada contoh 1 tersebut:
Busur yang memiliki simpul asal sama dengan simpul tujuan dinamakan kalang (loop).
Relasi Inversi
Definisi 4. Misalkan 𝑅 adalah relasi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵. Inversi dari relasi 𝑅,
dilambangkan dengan 𝑅−1
, adalah relasi dari 𝐵 ke 𝐴 yang didefinisikan oleh:
𝑅−1
= {(𝑏, 𝑎)|(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}
Contoh 2:
Inversi dari contoh 1 yaitu:
𝑅−1
= {(𝑞, 𝑝)|(𝑝, 𝑞) ∈ 𝑅}
Jadi, 𝑅−1
= {(2,2), (4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4), (8,4)}
Matriks yang merepresentasikan 𝑅−1
adalah transpose dari matriks yang merepresentasi kan 𝑅.
Berarti dari contoh 1 dan 2, misal 𝑀 merepresentasikan 𝑅 dan 𝑁 merepresentasikan 𝑅−1
maka:

12. Sifat – Sifat Relasi
Nama Definisi Contoh
Refleksif Relasi 𝑅 pada himpunan 𝐴
disebut refleksif jika (𝑎, 𝑎) ∈
𝑅 untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴
Misalkan 𝐴 = {1,2,3,4} dan misalkan relasi pada
himpunan 𝐴 maka
a. 𝑅 =
{(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}
bersifat refleksif karena (1,1), (2,2), (3,3),(4,4) ∈
𝑅
b. 𝑅 = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2), (4,3), (4,4)} tidak
refleksif karena (3,3) ∉ 𝑅
Simetrik
dan Anti-
simetrik
Relasi 𝑅 pada himpunan 𝐴
disebut simetrik jika (𝑎, 𝑏) ∈
𝑅 maka ( 𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅 untuk
semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴
Sedangkan
Relasi 𝑅 pada himpunan 𝐴
disebut anti-simetrik jika
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 dan ( 𝑏, 𝑎) ∈
𝑅 maka 𝑎 = 𝑏, untuk semua
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴
Misalkan 𝐴 = {1,2,3,4} dan misalkan relasi pada
himpunan 𝐴 maka
a. 𝑅 = {(1,1),(1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
bersifat simetrik karena (1,2), (2,1) ∈ 𝑅 dan (1 =
2,4), (4,2) ∈ 𝑅
b. 𝑅 = {(1,1),(2,2),(3,3)} bersifat anti-simetrik
karena (1,1) ∈ 𝑅 dan 1 = 1 , (2,2) ∈ 𝑅 dan 2 = 2,
serta (3,3) ∈ 𝑅 dan 3 = 3. Lihatlah bahwa 𝑅 juga
simetrik
Transitif Relasi 𝑅 pada himpunan 𝐴
disebut transitif jika (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅
dan ( 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅 maka ( 𝑎, 𝑐) ∈
𝑅, untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴
Misalkan 𝐴 = {1,2,3,4} dan misalkan relasi pada
himpunan 𝐴 maka
a. 𝑅 = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2), (4,3)}
bersifat transitif karena
(𝑎, 𝑏) (𝑏, 𝑐) (𝑎, 𝑐)
(3,2) (2,1) (3,1)
(4,2) (2,1) (4,1)
(4,3) (3,1) (4,1)
(4,3) (3,2) (4,2)
Semua pasangan dalam tabel tersebut merupakan ∈
𝑅
b. 𝑅 = {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} tidak transitif
karena (2,4) dan (4,2) ∈ 𝑅 tetapi (2,2) ∉ 𝑅 serta
(4,2) dan (2,3) ∈ 𝑅 tetapi (4,3) ∉ 𝑅
Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan,
gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.

13. Contoh 3:
Misalkan 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
Relasi 𝑅1 = {( 𝑎, 𝑎), ( 𝑏, 𝑏), ( 𝑐, 𝑐)}
Relasi 𝑅2 = {( 𝑎, 𝑎), ( 𝑎, 𝑏),( 𝑎, 𝑐), ( 𝑎, 𝑑)}
a. 𝑅1⋂𝑅2 = {( 𝑎, 𝑎)}
b. 𝑅1 ∪ 𝑅2 = {( 𝑎, 𝑎), ( 𝑏, 𝑏), ( 𝑐, 𝑐), ( 𝑎, 𝑏),( 𝑎, 𝑐), ( 𝑎, 𝑑)}
c. 𝑅1 − 𝑅2 = {( 𝑏, 𝑏),( 𝑐, 𝑐)}
d. 𝑅2 − 𝑅1 = {( 𝑎, 𝑏),( 𝑎, 𝑐), (𝑎, 𝑑)}
e. 𝑅1 ⊕ 𝑅2 = {( 𝑏, 𝑏),( 𝑐, 𝑐), ( 𝑎, 𝑏),( 𝑎, 𝑐),(𝑎, 𝑑)}
Komposisi Relasi
Misalkan 𝑅 adalah relasi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵, dan 𝑆 adalah relasi dari himpunan 𝐵
ke himpunan 𝐶. Komposisi 𝑅 dan 𝑆, dinotasikan dengan 𝑆𝑜𝑅, adalah relasi dari 𝐴 ke 𝐶 yang
didefinisikan oleh:
𝑆𝑜𝑅 = {(𝑎, 𝑐)|𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐶 dan ∃𝑏 ∈ 𝐵, ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅𝑑𝑎𝑛 (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆}

14. Contoh 4:
Misalkan: 𝑅 = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4), (3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2,3} ke
himpunan {2, 4, 6, 8} dan 𝑆 = {(2, 𝑢), (4, 𝑠), (4, 𝑡), (6, 𝑡), (8, 𝑢)} adalah relasi dari himpunan
{2, 4, 6, 8}ke himpunan {𝑠, 𝑡, 𝑢}
Maka komposisi relasi R dan S: 𝑆𝑜𝑅 = {(1, 𝑢), (1, 𝑡), (2, 𝑠), (2, 𝑡), (3, 𝑠), (3, 𝑡), (3, 𝑢)}
Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah:
Relasi Kesetaraan dan Relasi Pengurutan Parsial
Definisi 5. Relasi 𝑅 pada himpunan 𝐴 disebut relasi kesetaraan jika ia refleksif, simetrik dan
transitif.
Definisi 6. Relasi 𝑅 pada himpunan 𝑆 disebut relasi pengurutan parsial jika ia refleksif, anti-
simetrik dan transitif. Himpunan 𝑆 bersama – sama dengan relasi 𝑅 disebut himpunan terurut
secara parsial dan dilambangkan (𝑆, 𝑅)
FUNGSI
Definisi 7. Misalkan 𝐴 dan 𝐵 himpunan. Relasi biner 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 merupakan suatu fungsi jika
setiap elemen didalam 𝐴 dihubungkan dengan tepat satu elemen didalam 𝐵. Jika 𝑓 adalah fungsi
dari 𝐴 ke 𝐵 kita menuliskan:
𝑓: 𝐴 → 𝐵
Yang artinya 𝑓 memetakan 𝐴 ke 𝐵

15. Macam – Macam Fungsi
Nama Definisi Ilustrasi
Fungsi satu – satu
(injektif)
Fungsi 𝑓 dikatakan satu –
satu (𝑜𝑛𝑒 𝑡𝑜 𝑜𝑛𝑒) atau
injektif jika ada dua
elemen himpunan 𝐴 yang
memiliki bayangan yang
sama. Dengan kata lain,
jika 𝑎 dan 𝑏 adalah
anggota himpunan 𝐴,
maka 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏)
bilaman 𝑎 ≠ 𝑏 d. Jika
𝑓( 𝑎) = 𝑓(𝑏) maka
implikasinya adalah 𝑎 =
𝑏
Fungsi pada atau
surjektif
Fungsi 𝑓 dikatakan pada
(onto) atau surjektif jika
setiap elemen himpunan 𝐵
merupakan bayangan dari
satu atau lebih elemen
himpunan 𝐴. Dengan kata
lain, seluruh 𝐵merupakan
jelajah dari 𝑓. Fungsi 𝑓
disebut pada himpunan 𝐵
Koresponden Satu – Satu
atau bijektif
Fungsi 𝑓 dikatakan
berkoresponden satu –
satu atau bijektif jika ia
fungsi satu – satu dan
fungsi pada
Fungsi Inversi
Jika 𝑓 berkoresponden satu – satu maka 𝑓 memiliki invers atau balikan. Fungsi inversi
dilambangkan: 𝑓−1
. Misalkan 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑏 ∈ 𝐵, maka 𝑓−1( 𝑏) = 𝑎 jika 𝑓( 𝑎) = 𝑏. Perhatikan
ilustrasi berikut:

16. Fungsi Komposisi
Misalkan 𝑔 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵, dan 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐵
ke himpunan 𝐶. Komposisi 𝑓 dan 𝑔, dinotasikan dengan 𝑓𝑜𝑔, adalah fungsi dari 𝐴 ke 𝐶 yang
didefinisikan oleh:
( 𝑓𝑜𝑔)( 𝑎) = 𝑓(𝑔( 𝑎))
Perhatikan ilustrasi berikut:
Contoh 5:
Diberikan fungsi: 𝑔 = {(1, 𝑢), (2, 𝑢), (3, 𝑣)} yang memetakan 𝐴 = {1,2,3} ke 𝐵 = {𝑢, 𝑣, 𝑤} dan
fungsi 𝑓 = {( 𝑢, 𝑦), ( 𝑣, 𝑥), ( 𝑤, 𝑧)} yang memetakan 𝐵 = { 𝑢, 𝑣, 𝑤} ke 𝐶 = {𝑥, 𝑦𝑧, }
Fungsi komposisi dari 𝐴 ke 𝐶 adalah:
𝑓𝑜𝑔 = {(1, 𝑦), (2, 𝑦), (3, 𝑥)}