Dokumen ini menjelaskan rumus umum persamaan Lagrange untuk medan elektromagnet dan bagaimana energi kinetik dan potensial partikel dapat ditulis menggunakan potensial skalar dan vektor medan listrik dan magnetik. Persamaan umum Lagrange medan elektromagnet kemudian ditulis sebagai fungsi dari energi kinetik, potensial skalar, dan dot produk potensial vektor dan kecepatan partikel.

1. 𝑷𝒆𝒓𝒔𝒂𝒎𝒂𝒂𝒏 𝑳𝒂𝒈𝒓𝒂𝒏𝒈𝒆 𝑴𝒆𝒅𝒂𝒏 𝑬𝒍𝒆𝒌𝒕𝒓𝒐𝒎𝒂𝒈𝒏𝒆𝒕
Rumus Umum Persamaan Lagrange
𝐿 = 𝑇 − 𝑉
Energi Kinetik Partikel
𝑇 =
1
2
𝑀𝒗 ∙ 𝒗
Energi Potensial Partikel
𝑉 = − ∫ 𝑭 ∙ 𝑑𝒓
Gaya Elektromagnet yang dialami Partikel
𝑭 = 𝑞𝑬 + 𝑞𝒗× 𝑩
Sehingga energi potensial partikel dapat ditulis,
𝑉 = − ∫( 𝑞𝑬 + 𝑞𝒗 × 𝑩) ∙ 𝑑𝒓 = −𝑞(∫ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 + ∫ 𝒗 × 𝑩 ∙ 𝑑𝒓)
Medan Listrik dari Partikel Bermuatan Q
𝑬 =
𝑘𝑄
𝑟2
𝒓̂
Posisi Partikel terhadap Sumber Medan Listrik
𝒓 = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 + 𝑧 𝒌
𝒓 = ( 𝑥 𝑦 𝑧)(
𝒊
𝒋
𝒌
) = 𝑟 𝒓̂
Sehingga perubahan yang sangat kecil dari posisi partikel tersebut,
𝑑𝒓 = 𝑑𝑥 𝒊 + 𝑑𝑦 𝒋 + 𝑑𝑧 𝒌
𝑑𝒓 = (𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧) (
𝒊
𝒋
𝒌
) = 𝑑𝑟 𝒓̂
Kecepatan Partikel
𝒗 = 𝝎 × 𝒓

2. Karena partikel berada dalam pengaruh medan magnetik (B) arah geraknya
terotasi, sehingga :
𝒗 × 𝑩 = 𝝎 × 𝒓 × 𝑩 = 𝜔𝑟𝐵 𝒓̂
Bentuk integral pada persamaan energi potensialnya dapat diselesaikan, yaitu
sebagai berikut :
∫ 𝑬 ∙ 𝑑𝒓 = ∫
𝑘𝑄
𝑟2
𝒓̂ ∙ 𝑑𝑟 𝒓̂ = ∫
𝑘𝑄
𝑟2
𝑑𝑟 𝒓̂ ∙ 𝒓̂ = ∫
𝑘𝑄
𝑟2
𝑑𝑟 = −
𝑘𝑄
𝑟
∫ 𝒗 × 𝑩 ∙ 𝑑𝒓 = ∫ 𝜔𝑟𝐵 𝒓̂ ∙ 𝑑𝑟 𝒓̂ =∫ 𝜔𝑟𝐵 𝑑𝑟 𝒓̂ ∙ 𝒓̂ = ∫ 𝜔𝑟𝐵 𝑑𝑟 =
1
2
𝜔𝐵𝑟2
Sehingga persamaan energi potensialnya, yaitu :
𝑉 = −𝑞 (−
𝑘𝑄
𝑟
+
1
2
𝜔𝐵𝑟2
) = 𝑞
𝑘𝑄
𝑟
− 𝑞
1
2
𝜔𝐵𝑟2
Agar persamaan menjadi lebih umum bentuknya dirubah,yaitu sebagai berikut :
𝑬 ∙ 𝒓 =
𝑘𝑄
𝑟2
𝒓̂ ∙ 𝑟 𝒓̂ =
𝑘𝑄
𝑟2
𝑟 𝒓̂ ∙ 𝒓̂ =
𝑘𝑄
𝑟
= 𝜙( 𝒓,𝑡)
𝒗 ∙
1
2
𝑩 × 𝒓 = 𝝎 × 𝒓 ∙
1
2
𝑩 × 𝒓 = 𝜔𝑟 𝒆̂ ∙
1
2
𝐵𝑟 𝒆̂
𝒗 ∙
1
2
𝑩 × 𝒓 = 𝜔𝑟
1
2
𝐵𝑟 𝒆̂ ∙ 𝒆̂ =
1
2
𝜔𝐵𝑟2
= 𝒗 ∙ 𝑨(𝒓,𝑡)
Sehingga bentuk umum persamaan energi potensial elektromagnetnya,
𝑉 = 𝑞𝜙( 𝒓,𝑡) − 𝑞𝒗 ∙ 𝑨(𝒓,𝑡) ,dengan
Potensial Skalar Medan Listrik
𝜙( 𝒓,𝑡) = 𝑬 ∙ 𝒓
Potensial Vektor Medan Magnetik
𝑨(𝒓,𝑡) =
1
2
𝑩 × 𝒓
Persamaan Umum Lagrange Medan Elektromagnet
𝐿 = 𝑇 − 𝑉
𝐿 =
1
2
𝑀𝒗 ∙ 𝒗 − 𝑞𝜙( 𝒓,𝑡) + 𝑞𝒗 ∙ 𝑨(𝒓,𝑡)