Dokumen ini membahas konsep ruang hasil kali dalam (RKHD), termasuk ortogonal, ortonormal, dan komplemen ortogonal, serta metode ortogonalisasi Gram-Schmidt. Terdapat definisi, teorema, dan contoh untuk memperjelas pengertian dan penerapan dalam aljabar linear. Materi disusun oleh kelompok mahasiswa pendidikan matematika di Universitas PGRI Yogyakarta sebagai tugas kuliah.

1. i
RUANG HASIL KALI DALAM (RKHD)
ORTOGONAL DAN ORTONORMAL, KOMPLEMEN ORTOGONAL,
PROSES ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT
Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear
Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun oleh :
Kelompok 10/ Kelas VI A3
Nikmah Wulandari 13144100090
Isti Yuliani 13144100095
Yunika Noviyanti 13144100115
PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2016

2. ii
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI..............................................................................................................................ii
A. Ortogonal dan otonormal ....................................................................................................1
1. Ortogonal.........................................................................................................................1
2. Ortonormal ......................................................................................................................2
3. Komplemen Ortogonal....................................................................................................3
B. Pengantar Metode Gram-Schmidt.......................................................................................5
C. Basis Ortonormal dan Ortogonal ........................................................................................6
D. Proses Ortogonalisasi Gram–Schmidt ..............................................................................10
SOAL LATIHAN.....................................................................................................................19
PEMBAHASAN ......................................................................................................................22
DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................31

3. 1
RUANG HASIL KALI DALAM (RKHD)
A. Ortogonal dan otonormal
1. Ortogonal
Sebuah himpunan vektor-vektor di dalam sebuah ruang perkalian dalam
dinamakan himpunan ortogonal (ortogonal set) jika semua pasangan
vektor-vektor yang beda di dalam himpunan tersebut ortogonal.
Definisi :
Dua vektor u dan v di dalam sebuah ruang Hasil kali dalam V di katakan
ortogonal jika ( , ) 0u v 
Vektor u dan v yang ortogonal dinyatakan dengan u v dan
dibaca u ortogonal pada v , atau v ortogonal pada u . Menurut definisi
tersebut, vektor nol ortogonal pada setiap vektor di V , subhimpunan
1 2{u , ,..., }nS u u dari V , dikatakan ortogonal jika setiap dua vektor di S
yang berbeda senantiasa ortogonal. Himpunan ortogonal mungkin memuat
vektor nol, khususnya akan dipandang himpunan ortogonal yang hanya
memuat vektor tak nol.
Ortogonal 1 2, 0u u   untuk i j
Contoh :
Diketahui: 1 2 3( 2,0,2), (0,3,0), (1,0,1)u u u    pada 3
R . Apakah
himpunan vektor S = {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3} merupakan himpunan ortogonal?
Penyelesaian :
1 2,u u  = ( 2,0,2) (0,3,0) 
= 0
1 3,u u  = ( 2,0,2) (1,0,1) 
= 2 2 
= 0
2 3,u u  =(0,3,0) (1,0,1)

4. 2
= 0
1 2,u u  = 1 3,u u  = 2 3,u u  = 0
Jadi, himpunan vektor 1 2 3{u , , }S u u adalah ortogonal.
2. Ortonormal
Sebuah himpunan ortogonal yang mana setiap vektornya mempunyai norm
1 dinamakan himpunan ortonormal (ortonormal set)
Definisi :
Subhimpunan 1 2{u , ,..., }nS u u dari ruang hasil kali dalam V dikatakan
ortonormal jika S ortogonal dan tiap vektor pada S mempunyai panjang
11( 1)u 
Ortonormal: 1 2, 0u u   untuk i j
, 1i ju u   untuk i j
Contoh :
Diketahui:
1 1
( , )
2 2
u   dan
1 1
v ( , )
2 2
 pada 3
R .
Apakah himpunan vektor { , }S u v merupakan himpunan ortonormal?
Penyelesaian :
u,v  =
1 1 1 1
( , ) ( , )
2 2 2 2
 
=
1 1
2 2
 
= 0
u = 2 2
1 2u u
=
2 2
1 1
2 2
 

5. 3
=
1 1
2 2

= 1
= 1
v = 2 2
1 2v v
=
2 2
1 1
2 2

=
1 1
2 2

= 1
= 1
u,v 0   dan 1u v 
Jadi, himpunan vektor { , }S u v adalah ortonormal.
3. Komplemen Ortogonal
Definisi :
Misalkan W adalah sebuah subruang dari sebuah ruang hasil kali
dalam V . Sebuah vektor u pada V dikatakan ortogonal terhadap W
jika vektor tersebut ortogonal terhadap setiap vektor pada W , dan
himpunan semua vektor di dalam V yang ortogonal terhadap W
disebut sebagai komplemen ortogonal dari W .
Komplemen ortogonal sebuah subruang W dinotasikan dengan W
(dibaca “W tegak lurus”).
Teorema:
Sifat-Sifat Komplemen Ortogonal

6. 4
Jika W adalah sebuah subruang daru suatu ruang hasil kali dalam
berdimensi terhingga V , maka:
a. W 
adalah subruang dari V
b. Satu-satunya vektor yang merupakan milik bersama W dan W 
adalah 0 .
c. Komplemen ortogonal dari W 
adalahW , yaitu ( )W W 
 .
Bukti :
a. Pertama-tama perhatikan bahwa (0, ) 0w  untuk setiap vektor w
di dalam W , sehingga W 
mengandung setidaknya vektor nol. Kita
hendak menunjukkan bahwa W 
bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian skalar, yaitu, kita hendak menunjukkan
bahwa jumlahan dua vektor di dalam W 
adalah ortogonal dengan
setiap vektor pada W dan kelipatan skalar sehingga dari sebuah
vektor di dalam W 
jiga ortogonal dengan setiap vektor pada W .
Misalkan u dan v adalah vektor-vektor sebalarang dalam W 
, k
adalah sebuah skalar sebarang, dan W adalah sebuah vektor
sebarang pada W . Maka dari definisi tentang W 
kita akan
memperoleh , 0u w   dan , 0v w   . Dengan menggunakan sifat-
sifat dasar hasil kali dalam kita akan memperoleh
, , , 0 0 0u v w u w v w          
, , (0) 0ku w k u w k      
Yang membuktikan bahwa u v dan ku keduanya berada di
dalam W 
b. Jika v adalah vektor yang menjadi milik bersama W dan W 
,
maka( ) 0v v  , yang mengimplikasikan bahwa v 0
berdasarkan aksioma 4 untuk hasil kali dalam.
Contoh :

7. 5
3
{(a,b,c) | a,b,c R}W R  
{(a,b,0) | a,b R}S  
{(0,0,C) | c R}S
 
Catatan. Karena W dan W 
adalah komplemen ortogonal satu
dengan lainya dengan merujuk pada bagian (c) dari teorema di
atas, kita dapat mengatakan bahwa W dan W 
adalah komplemen
ortogonal.
Secara grafik:
Gambar 1 Ortogonal dan komplemen ortogonal
B. Pengantar Metode Gram-Schmidt
1. Pengertian Metode Gram-Schmidt
Jika kita mempunyai sebuah basis dari ruang vektor V , tetapi basis tersebut
bukan basis ortogonal. Ada suatu algoritma atau prosedur yang dapat kita gunakan
untuk mengubah sebarang basis tersebut menjadi basis ortogonal dan ortonormal.
Algoritma ini disebut Algoritma Gram-Scmidt.

8. 6
2. Pengertian ortogonalisasi dan ortonormalisasi
Proses mengubah sebarang basis menjadi basis ortogonal disebut
ortogonalisasi. Sedangkan proses mengubah sebarang basis menjadi basis
ortonormal disebut ortonormalisasi.
C. Basis Ortonormal dan Ortogonal
Definisi
Misalkan ruang vektor U dilengkapi hasil kali dalam. Basis 1 2{u , ,..., }nu u
disebut basis ortogonal bagi U jika semua komponennya saling ortogonal,
yaitu memenuhi syarat :
Jika basis tersebut memenuhi:
, 0i ju u  
, 1i ju u  
Untuk setiap 1,2,3,....i n maka basis tersebut disebut basis ortonormal
Contoh:
Diketahui: diberikan himpunan 1 2 3{v ,v ,v }V  pada 3
R dengan
1 2 3
1 1 1 1
v {0,1,0},v { ,0, },v { ,0, }
2 2 2 2
   
Apakah himpunan tersebut ortogonal dan normal?

9. 7
Penyelesaian:
Adalah vektor-vektor di
3
R yang dilengkapi hasil kali dalam Euclid
diperoleh
1 2
1 1
v ,v 0 1 0 0. 0
2 2
       
1 3
1 1
v ,v 0 1 0 0. 0
2 2
       
2 3
1 1 1 1
v ,v 0 0 0
2 2 2 2
        
Jadi, himpunan tersebut merupakan basis ortogonal karena memenugi syarat.
Selanjutnya untuk menentukan normalnya maka dihitung norm dari setiap
vektor di V sebagai berikut :
2 2 2
2 0 1 0 1v    
2 2
2
2
2 2
2
2
1 1
0 1
2 2
1 1
1 1
2 2
v
v
   
       
   
   
       
   
Karena setiap vektor di V adalah ortogonal dan bernorm 1 maka V adalah
ortonormal. Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang kali dalam
maka vektor
1
v
v
mempunyau norm 1 karena
1 1
1v v
v v
 
Definisi
Proses perkalian suatu vektor tak nol v dengan kebalikan panjangnya
(norm) untuk memperoleh suatu vektor dengan norm 1 disebut dengan
penormalan atau normalisasi (normalizing) v

10. 8
Teorema
Jika  1 2 3, ,v v v adalah ortonormal, maka
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2n n nk v k v k v k k k      L L
Untuk 1 2, ,v v L , nv v dan 1 2, ,k k L , nk F
Akibatnya setiap vektor dihimpunan ortonormal adalah bebas linear.
Suatu basis dari ruang hasil kali dalam V yang ortonormal disebut basis
ortonormal atau basis satuan dari V. jika basisnya hanya ortogonal maka
disebut basis ortogonal. Teorema berikut memperlihatkan bahwa
sederhana sekali untuk menyatakan suatu vektor dalam suku – suku dari
suatu absis ortonormal.
Teorema
Jika  1 2, , , nv v vL adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil
kali dalam V dan u adalah sebarang vektor di V, maka
1 1 2 2, , , n nu u v v u v v u v v   L dan
2 2 22
1 2, , , nv u v u v u v   L

11. 9
Contoh :
Diberikan vektor – vektor
 1
2
0,1,0
4 3
,0,
5 5
v
v

 
  
 
3
3 4
,0,
5 5
v
 
  
 
Mudah diperiksa bahwa himpunan  1 2 3, ,S v v v adalah basis ortonormal
untuk 3
R dengan hasil kali dalam Euclid. Selanjutnya diambil suatu vektor
 1,1,1u  dan akan dicari kombinasi linearnya dari vektor – vektor di S.
1
2
3
, 1.0 1.1 1.0 1
4 3 1
, 1. 1.0 1.
5 5 5
3 4 7
, 1. 1.0 1.
5 5 5
u v
u v
u v
   
   
        
   
   
      
   
Berdasarkan teorema di atas diperoleh :
1
1 7
5 5
u v  
Teorema
Diberikan himpunan ortonormal  1 2, , , nv v vL diruang hasil kali dalam
V. jika W adalah ruang yang direntang oleh 1 2, , , nv v vL maka setiap
vektor u V bisa dinyatakan dalam bentuk :
1 2u w w 
Dengan 1w V dan 2w ortogonal terhadap W yang dirumuskan :
1 1 1 2 2
2 1 1 1 2 2
, , ,
, , ,
n n
n n
w u v v u v v u v v
w u w u u v v u v v u v v
   
      
L
L
Berikut ilustrasi dari Torema di atas ruang 3
R

12. 10
Berdasarkan gambar diatas, vektor 1w disebut proyeksi ortogonal dari u
dan 1w disingkat wproy u , sedangkan vektor 2w disebut komponen dari u
yang ortogonal terhadap W.
Contoh :
Diberikan ruang vektor 3
R dengan hasil kali dalam Euclid dan ruang
vektor W yang direntang oleh vektor–vektor ortonormal.
 1
2
0,1,0
4 3
,0,
5 5
v
v

 
  
 
Proyeksi ortogonal dari vektor  1,1,1u  pada W adalah:
1wproy u w 1 1 2 2, ,u v v u v v 
  
  
4 3 4 3
1.0 1.1 1.0 0,1,0 1. 1.0 1. ,0,
5 5 5 5
1 4 3
1 0,1,0 ,0,
5 5 5
4 3
,1,
25 5
      
             
      
  
     
  
 
  
 
Sedangkan komponen u yang orthogonal terhadap W adalah
 1
4 3
1,1,1 ,1,
25 5
u w
 
    
 
21 28
,0,
25 25
 
  
 
Teorema
Setiap ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga
mempunyai suatu basis ortonormal.
D. Proses Ortogonalisasi Gram–Schmidt
Proses ortogonalisasi Gram–Schmidt adalah proses mengkonversikan
suatu basis sebarang di V (V adalau suatu ruang hasil kali dalam) menjadi
basis ortogonal. Diambil ruang hasil kali dalam tak nol V yang berdimensi

13. 11
n, dan suatu himpunan  1 2, , , nu v v v L sebagai basis untuk V . Langkah–
langkah berikut, dikenal dengan nama ortogonalisasi Gram–Schmidt,
akan menghasilkan suatu basis
ortogonal  1 2, , , nu v v v L untuk V .
Langkah 1 : Mengambil 1 1v u
Langkah 2 : Membentuk vektor 2v yang ortogonal terhadap 1v dengan
cara menghitung komponen dari 2v yang ortogonal
terhadap ruang 1w yang direntang oleh 1v , yaitu
1
2 1
2 2 2 2 1 2 12
1
,
.w
u v
v u proy u u kv u v
v
     
Langkah 3 : Membentuk vektor 3v
yang ortogonal terhadap 1v
dan 2v
dengan cara menghitung komponen dari 3u
yang ortogonal
terhadap ruang 2w
yang direntang oleh 1v
dan 1v
, yaitu
2
3 1 3 2
3 3 3 3 1 1 22 2
1 2
, ,
. .w
u v u v
v u proy u u v u v
v v
     
Langkah 4 : Membentuk vektor 4v yang ortogonal terhadap 1v , 2v dan
2v dengan cara menghitung komponen dari 4u yang
ortogonal terhadap ruang 3w yang direntang oleh 1v , 2v
dan 2v
3
4 1 3 2 4 3
4 4 4 4 1 1 2 32 2 2
1 2 3
, , ,
. . .w
u v u v u v
v u proy u u v u v v
v v v
      
Apabila kita melakukan hal ini, setelah langkah ke-n memperoleh
himpunan vektor – vektor ortogonal  1 2, , , nv v vL yang terdiri dari n
vektor bebas linear di V dan merupakan suatu basis ortogonal untuk V.
penormalan vektor – vektor di basis ortogonal akan menghasilkan basis
ortonormal.

14. 12
Rumus Gram–Schmidt dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut :
1
2
1
,
.
k
k j
k k j
j
j
u v
v u v
v


  1, ,k n L
Contoh :
Diberikan 3
V R dengan hasil kali dalam Euclid. Terapkan algoritma
Gram – Schmidt untuk mengubah vektor – vektor basis  1 1, 1,1u   ,
 2 1,0,1u  ,  3 1,1,2u  menjadi sebuah basis ortogonal  1 2 3, ,v v v
kemudian normalisasikan vektor basis ortogonal untuk memperoleh
sebuah basis ortonormal  1 2 3, ,q q q
Penyelesaian :
Cek ortogonal dari setiap vektor :
    1 2, 1, 1,1 1,0,1 2u u   
    1 3, 1, 1,1 1,1,2 2u u   
    2 3, 1,0,1 1,1,2 3u u  
Himpunan vektor tersebut tidak ortogonal sehingga merupakan basis
sebarang. Menerapkan proses ortogonalisasi Gram – Schmidt :
Langkah 1 :
1 (1, 1,1)v  
Langkah 2 :
2 1
2 2 1 2 2 1 2 12
1
,
.w
u v
v u proj u u kv u v
v
      2 2 1 2 2 1wv u proj u u kv   
2 1
2 12
1
,
.
u v
u v
v
 
= 2
(1,0,1)(1, 1,1)
(1,0,1) .(1, 1,1)
(1, 1,1)

 


15. 13
=
2
(1,0,1) (1, 1,1)
3
 
=
1 2 1
( , , )
3 3 3
Langkah 3:
3 3 2 3wv u proj u  3 1 3 2
3 1 22 2
1 2
, ,
. .
u v u v
u v v
v v
  
2 2
1 2 1
(1,1,2)( , , )
(1,1,2)(1, 1,1) 1 2 13 3 3(1,1,2) .(1, 1,1) .( , , )
3 3 3(1, 1,1) 1 2 1
( , , )
3 3 3

   

2 5 1 2 1
(1,0,1) (1, 1,1) ( , , )
3 2 3 3 3
   
=
1 1
( ,0, )
2 2

Jadi,
 1 1, 1,1v  
2
2 1
, ,
1
(
3
)
3 3
v 
3
1
,0,
2
1
( )
2
v  

16. 14
Cek ortogonnalitasnya :
1 2,v v = 1, 1,1
2 1
, ,
3
(
3 3
1
) =0
1 3,v v = (1,-1,1)
1
,0,
1
( )
2 2
 = 0
2 3,v v =
2 1
, ,
3
(
3 3
1
)
1
,0,
1
( )
2 2
 = 0
Terbukti  1 2 3
1 2 1 1 1
, , (1, 1,1),( , , ),( ,0, )
3 3 3 2 2
v v v
 
   
 
membentuk sebuah
basis orthogonal untuk
3
R
Norma vektor-vektor ini adalah :
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2 2
3
1 ( 1) 1 3
1 2 1 6
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
1 1 2
( ) (0) ( )
2 2 2
v
v
v
    
   
   
Jadi , basis ortonormal untuk
3
R adalah  1 2 3, ,q q q
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1 1 1 3 3 3
( , , ) ( , , )
3 3 33 3 3
1 2 1
( ) ( ) ( )
6 6 63 3 3( , , ) ( , , )
6 3 66 6 6
3 3 3
2 11
( ) ( )( )
2 23 32( , , ) ( ,0, )
1 2 22 2
2 2 2
v
q
v
v
q
v
v
q
v
    
    

   
3
V R

17. 15
Contoh : diberikan 3
V R dengan hasil kali dalam Euclid. Terapkan
algoritma Gram- Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis
1 2 3(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)u u u   menjadi sebuah basis orthogonal
 1 2 3, ,v v v kemudian normalisasikan vektor basis orthogonal untuk
memperoleh sebuah basis ortonormal  1 2 3, ,q q q
1 2 3(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)u u u  
Penyelesaian :
Cek orthogonal dari setiap vektor:
1 2
1 3
2 3
, (1,1,1)(0,1,1) 2
, (1,1,1)(0,0,1) 1
, (0,1,1)(0,0,1) 1
u u
u u
u u
 
 
 
Himpunan vektor tersebut tidak orthogonal sehingga merupakan basis
sebarang. Menerapkan proses ortogonalisasi Gram – Schmidt:

18. 16
Langkah 1:
1 (1,1,1)v 
Langkah 2 :
2 2 1 2wv u proj u  2 1
2 1 2 12
1
,
.
u v
u kv u v
v
   
2
(0,1,1)(1,1,1)
(0,1,1) .(1,1,1)
(1,1,1)
2
(0,1,1) (1,1,1)
3
2 1 1
, ,
3 3 3
 
 
 
  
 
Langkah 3 :
3 3 2 3wv u proj u  3 1 3 2
3 1 22 2
1 2
, ,
. .
u v u v
u v v
v v
  
2 2
2 1 1
(0,0,1) , ,
(0,1,1)(1,1,1) 3 3 3
(0,1,1) .(1, 1,1)
(1,1,1) 2 1 1
, ,
3 3 3
 
 
    
 
 
 
2 1 1
. , ,
3 3 3
 
 
 
2 1/ 3 2 1 1
(0,1,1) (1,1,1) , ,
3 2 / 3 3 3 3
1 1
0, ,
2 2
 
    
 
 
  
 
Jadi,

19. 17
1
2
3
(1,1,1)
2 1 1
, ,
3 3 3
1 1
0, ,
2 2
v
v
v

 
  
 
 
  
 
Cek ortogonalittasnya:
1 2
2 1 1
, (1,1,1) , ,
3 3 3
v v
 
  
 
0
1 3
1 1
, (1,1,1) 0, ,
2 2
v v
 
  
 
0
2 3
2 1 1 1 1
, , , 0, ,
3 3 3 2 2
v v
   
   
  
0
Terbukti  1 2 3
2 1 1 1 1
, , (1,1,1), , , , 0, ,
3 3 3 2 2
v v v
     
     
    
membentuk sebuah
basis ortogonal untuk 𝑅3
.
Norma vektor-vektor ini adalah :
 
2 2 2
1
2 2 2
2
2 2
2
3
1 (1) 1 3
2 1 1 6
3 3 3 3
1 1
0
2 2
v
v
v
   
     
        
     
   
      
   
Jadi , basis ortonormal untuk R3 adalah {𝑞1, 𝑞2, 𝑞3}

20. 18
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1 1 1 3 3 3
, , , ,
3 3 33 3 3
2 1 1
2 1 13 3 3
, , , ,
6 6 6 6 6 6
3 3 3
1 1
0 1 12 2
, , 0, ,
1 1 1 2 2
2 2 2
v
q
v
v
q
v
v
q
v
  
          
      
                   
   
 
 
    
              
   
 
 

21. 19
SOAL LATIHAN
1. Tentukan apakah himpunan S=  1, 2, 3v v v
ur uur uur
di bawah ini merupakan himpunan
ortogonal dalam R3
S =
2 0 1
1 , 1 , 1
1 1 1
      
            
            
2. Tentukan apakah himpunan A=  1, 2, 3v v v
ur uur uur
di bawah ini merupakan
himpunan ortogonal dalam R3
A =
3 1 2
1 , 2 , 2
1 1 4
      
            
            
3. Tunjukkan bahwa himpunan S=  1, 2v v
ur uur
adalah himpunan yang oronormal
dalam R3 dengan 1v
ur
=
1/ 3
1/ 3
1/ 3
 
 
 
 
  
dan 2v
uur
=
1/ 6
2 / 6
1/ 6
 
 
 
 
  
4. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
A=
0 1 0
0 0 1
1 0 0
 
 
 
  
5. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
B=
cos sin
sin cos
 
 
 
 
 

22. 20
6. Diberikan W adalah bidang di 3
R dengan persamaan 2 0x y z   dan
3
1
2
v
 
   
  
, tentukan proyeksi ortogonal v pada w dan komponen v yang
ortogonal kepada W .
7. tentukan basis ortogonal untuk ruang bagian(subruang) W dari 3
R bila:
{ : 2 0}
x
W y x y z
z
 
     
  
8. Diberikan 3
R beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan proses
ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis
1 2(1,1,1), (0,1,1)u u  dan 3 (0,0,1)u  menjadi basis yang ortonormal.
9. Tentukan basis ortogonal untuk 3
R yang memuat vektor 1
1
2
3
v
 
   
  
.
10. Terapkan proses ortogonalsasi Gram-Schmidt untuk menentukan basis
ortogonal dan kemudian basis ortonormal untuk subruang U dari 3
R yang
direntang oleh 1 2 3(1,1,1,1),v (1,2,4,5),v (1, 3, 4, 2)v       .

23. 21

24. 22
PEMBAHASAN
1. Tentukan apakah himpunan S=  1, 2, 3v v v
ur uur uur
di bawah ini merupakan
himpunan ortogonal dalam R3
S =
2 0 1
1 , 1 , 1
1 1 1
      
            
            
Jawab :
Karena ada tiga vektor dalam himpunan A, maka terdapat tiga pasang
yang berbeda dari himpunan tersebut. Kita dapat mengeceknya sebagai
berikut.
1 2 1 2
2 0
. . 1 . 1
1 1
v v v v
   
          
      
2(0) 1(1) ( 1)(1)   
0 1 1  
0
2 3 2 3
0 1
. . 1 . 1
1 1
v v v v
   
          
      
0(1) 1( 1) (1)(1)   
0 ( 1) 1
1 1
0
   
  

1 3 1 3
2 1
. . 1 . 1
1 1
v v v v
   
          
      
2(1) 1( 1) ( 1)(1)    
0

25. 23
Jadi,S adalah himpunan ortogonal.
2. Tentukan apakah himpunan A=  1, 2, 3v v v
ur uur uur
di bawah ini merupakan
himpunan ortogonal dalam R3
A =
3 1 2
1 , 2 , 2
1 1 4
      
            
            
Jawab:
1 2 1 2
3 1
. . 1 . 2
1 1
v v v v
   
          
      
3( 1) 1(2) ( 1)(1)    
3 2 1
2
   
 
2 3 2 3
1 2
. . 2 . 2
1 4
v v v v
   
          
      
1(2) 2( 2) (1)(4)    
2 ( 4) 4
6 4
2
    
  
 
1 3 1 3
3 2
. . 1 . 2
1 4
v v v v
   
          
      
3(2) 1( 2) ( 1)(4)    
6 2 4
0
  

Jadi, A bukan termasuk himpunan oerogonal.

26. 24
3. Tunjukkan bahwa himpunan S=  1, 2v v
ur uur
adalah himpunan yang oronormal
dalam R3 dengan 1v
ur
=
1/ 3
1/ 3
1/ 3
 
 
 
 
  
dan 2v
uur
=
1/ 6
2 / 6
1/ 6
 
 
 
 
  
Jawab :
1 2
1 1
2 2
. 1/ 18 2 / 18 1/ 18 0
. 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1
. 1/ 6 4 / 6 1/ 6 1
v v
v v
v v
   
   
   
Jadi, terbukti S merupakan himpunan ortonormal.
4. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
A=
0 1 0
0 0 1
1 0 0
 
 
 
  
Jawab :
Jelas bahwa 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
T
A A
 
 
   
 
 
5. Apakah matriks berikut merupakan matriks ortogonal
B=
cos sin
sin cos
 
 
 
 
 
Jawab:

27. 25
2 2
2 2
2
1
cos sin cos sin
sin cos sin cos
cos sin cos sin cos sin
sin cos cos sin cos sin
1 0
0 1
cos sin
,
sin cos
T
T
B B
I
Jadi B B
   
   
     
     
 
 

   
       
   
  
   
 
  
 
 
    
cos sin cos sin
sin cos sin cos
T
B B
   
   
   
       
2 2
2 2
cos sin cos sin cos sin
sin cos cos sin cos sin
     
     
   
  
   
2
1 0
0 1
I
 
  
 
1 cos sin
,
sin cos
T
Jadi B B
 
 
  
    
6. Diberikan W adalah bidang di 3
R dengan persamaan 2 0x y z   dan
3
1
2
v
 
   
  
, tentukan proyeksi ortogonal v pada w dan komponen v yang
ortogonal kepadaW .
Jawab:
Basis ortogonal untuk W adalah 1
1
1
0
u
 
   
  
dan 2
1
1
1
u
 
   
  
.
Maka : 1. 2u v  2. 2u v  
1 1. 2u u  2 2. 3u u 
Sehingga :

28. 26
1 2
1 2
1 1 2 2
. .
( )
. .
1 1 5 / 3
2 2
( ) 1 1 1/ 3
2 3
0 1 2 / 3
3 5 / 3 4 / 3
( ) ( ) 1 1/ 3 4 / 3
2 2 / 3 8 / 3
u v u v
proyw v u u
u u u u
proyw v dan
perpw v v proyw v
   
    
   
     
            
          
     
                
          
Dapat anda buktikan bahwa wproy (v ) diw , serta dapat pula anda
tunjukkan bahwa ( )perpw v tegak lurus w .
7. tentukan basis ortogonal untuk ruang bagian(subruang) W dari 3
R bila:
{ : 2 0}
x
W y x y z
z
 
     
  
Jawab :
Kita mempunyai persamaan :
2 0x y z    2x y z  sehingga
2 2
0
0 2
x y z y z
y y y
z z
        
                
              
atau
2 1 2
1 0
0 2
y z
y y z
z
      
           
          
sehingga
1
1
0
u
 
   
  
dan
2
0
2
v
 
   
  
adalah basis untuk w , tetapi mereka tidak
ortogonal karena
, (1)( 2) (1)(0) (0)(1) 2u v        , sehingga kita akan mencari vektor
tak nol yang lain, yang ortogonal dengan salah satu vektor u danv .

29. 27
Andai
x
w y
z
 
   
  
adalah sebuah vektor di w yang ortogonal dengan u maka
2 0x y z   karena w di W dan karena . 0u w  sehingga 0x y 
Sehingga kita akan menyelesaikan SPL :
2x y z  dan 0x y  dan didapat penyelesaikannya adalah
x z  dan y z dengan z adalah sembarang bilangan real. Dengan
demikian,
z
w z
z
 
   
  
atau lebih khususnya diambil
1
1
1
w
 
   
  
.dan dapat
dilihat bahwa { , }u w adalah himpunan ortogonal diw . Sehingga { , }u w
merupakan basis yang ortogonal untuk w dan dim( ) 2w  .
8. Diberikan
3
R beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan
proses ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis
1 2(1,1,1), (0,1,1)u u 
dan 3 (0,0,1)u 
menjadi basis yang ortonormal.
Jawab :
2 1 2 2 2
2 1 2
2
2 1 2
(1,1,1) 1 1 1
, ,
3 3 3 3
( ) ,v v
2 1 1 1 2 1 1
(0,1,1) , , , ,
3 3 33 3 3 3
2 2 1 1 2 1 1
, , , ,
3 3 36 6 6 6
I
I
w I I
w
w
u
u
u proy u u u
maka
u proy u
v
u proy u
 
    
 
    
   
     
  
   
            
3 2 3 3 3 1 1 3 2 2
3 2 3
, ,
1 1 1 1 1 2 1 1
(0,0,1) , , , ,
3 3 3 3 6 6 6 6
1 1
0, ,
2 2
w
w
u proy u u u v v u v v
u proy u
      
   
      
   
 
   
 

30. 28
3 2 3
3
3 2 3
1 2 3
1 1 1 1
2 0, , 0, ,
2 2 2 2
1 1 1 2 1 1 1 1
, , , , , , 0, ,
3 3 3 6 6 6 2 2
w
w
u proy u
v
u proy u
jadi
v v v
   
           
     
         
    
Membentuk basis ortonormal untuk
3
R
9. Tentukan basis ortogonal untuk
3
R yang memuat vektor
1
1
2
3
v
 
   
   .
Jawab :
Dapat diambil dua vektor sembarang yang lain. Misal 2
0
1
0
x
 
   
  
dan , sehingga
1 2 3{ , , }v x x adalah basis untuk
3
R (dapat anda buktikan sendri).
Sekarang digunakan proses Gramm-Schimidt untuk mendapatkan basis baru
yang ortogonal sebagai berikut.
Langkah 1 :
1
1
v 2
3
 
   
  
Langkah 2:
2 2
2 2 1 2
1 1
0 1 1/ 7 1
. 2
1 2 5/ 7 , 3
. 14
0 3 3/ 7 3
v x
v x v v
v v
        
                                           
Langkah 3:

31. 29
1 3 2 3
3 3 1 2
1 1 2 2
. .
. .
v x v x
v x v v
v v v v
   
     
   
3 2
0 1 1 3/10 3
3 3
0 2 5 0 , 0
14 35
1 3 3 1/10 1
v v
           
                               
                  
Jadi, 1 2 3{v ,v ,v } adalah basis ortogonal untuk 3
R yang memuat 1v
10. Terapkan proses ortogonalsasi Gram-Schmidt untuk menentukan basis
ortogonal dan kemudian basis ortonormal untuk subruang U dari 3
R
yang direntang oleh 1 2 3(1,1,1,1),v (1,2,4,5),v (1, 3, 4, 2)v      
.
Jawab :
1. Pertama-tama tetapkan
1 1 (1,1,1,1)w v 
2. Hitunglah
2 1
2 1 2 1
1 1
, 12
( 2, 1,1,2)
, 4
v w
v w v w
w w
 
     
 
Terapkan 2 ( 2, 1,1,2)w   
3. Hitungllah
3 1 3 2
3 1 2 3 1 2
1 1 2 2
, , ( 8) ( 7) 8 17 13 7
, , ,
, , 4 10 5 10 10 5
v w v w
v w w v w w
w w w w
       
        
     
Hilangkan pecahan-pecahan yang ada sehingga diperoleh
3 (16, 17, 13,14)w   

32. 30
Jadi 1 2 3, ,w w w membentuk basis ortogonal untukU . Normalisasikan
vektor-vektor ini sehingga diperoleh basis ortonormal 1 2 3{ , , }u u u dari
U . Kita memperoleh
2 2 2
1 2 34, 10, 910w w w   , maka
1
1
(1,1,1,1),
2
u  2
1
( 2, 1,1,2)
10
u   
3
1
(16, 17, 13,14)
910
u   

33. 31
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin. 2015. Modul Aljabar Linear. Yogyakarta: Universitas PGRI
Yogyakarta.
Andrilli, Stephen and David Hecke. 2010. Elementary Linear Algebra Fourth
Edition.Canada: Elsevier.
Anton, Howard and Chris Rores. 2004. Elementary Linear Algebra Applications
version. Jakarta: Erlangga.
Santosa Gunawan R. 2009. Aljabar Linear Dasar. Yogyakarta: Andi Offset.