Downloaded 14 times
![7
Gambar 1.2: Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Dengan
variasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan parameter lompat-
an atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom terdekat selanjutnya(Neto
dkk,2009)
(∆=0)dan dengan assymetri gap (∆=1,5γ) untuk nilai rapat muatan pada tum-
pukan AB dan rapat spin ganda untuk tumpukan AA pada units 2γ/π( vf )2
.
Li dkk (2009), juga mengkaji nilai DOS secara eksperimen dengan meng-
gunakan STM (scanning tunneling microscopy) dan dan STS (scanniing tunneling
spectroscopy) yang didasarkan pada pola moire (moire pattern), menemukan
nilai DOS untuk sudut untiran θ = 1, 79o
(Gambar 1.9) (Li dkk,2009).
Gambar (1.4 c) memperlihatkan pola SVH untuk TBG yang memiliki
kemiripan dengan energi pada kondisi saddle point (Pola Pelana Kuda) untuk
θ = 1, 79o
,dan t⊥ = 0, 24 eV (Guohong Li dkk,2009).
Manaf (2014) dalam publikasinya juga menghitung nilai DOS pada TBG
secara analitik berdasarkan nilai eksperimen yang telah dikaji sebelumnya (Li
dkk,2009) dengan menggunakan persamaan :
D(E) =
1
16απ3
N[ln|
βα2
+ E2
f
βα2 + E2
|]. (1.3)
Gambar (1.4 ) menunjukan nilai DOS dari graphene layer untiran untuk
variasi 3 sudut yakni1, 16o
,1, 79o
,dan 3, 48o
. dari ketiga tersebut memperlihatkan](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-25-320.jpg)
![22
operator kreasi elektron pada lembaran i di dekat atom B pada posisi n + δ
dengan δ merupakan vektor posisi atom terdekat.Vektor posisinya dapat ditu-
liskan:
δ1 = −(a1 + a2)/3, δ2 = (2a1 − a2)/3, dan δ3 = −(a1 − 2a2)/3. (2.15)
Vektor kisi primitif dari subkisi triangular adalah : aa = (a
√
3/2, a/2)
dan aa = (a
√
3/2, −a/2) dengan |a1| = |a1| =
√
3aC−C dimana aC−C merupakan
jarak terdekat dari ikatan karbon (Tabert dan Nicol,2012)
Suku ketiga dari persamaan (2.21) terkait dengan parameter energi lom-
patan antar lembaran graphene. Dimana parameter lompatan antara antara
atom A(B) pada lembaran pertama menuju atom A(B) yang terdekat pada lem-
baran kedua dituliskan dalam bentuk γ ≈ 0.2 eV.Pada tumpukan AA, elektron
juga dapat melompat dari atom A(B) pada lembaran pertama menuju atom
B(A) yang terdekat pada lembaran kedua. Tetapi energi lompatannya sangat
kecil sehingga suku lompatan tersebut dapat diabaikan (Tabert dan Nicol,2012).
Bentuk hamiltonan pada persamaan (2.15) dapat ditransformasikan ke
ruang k sehingga dapat dituliskan (Tabert dan Nicol,2012)
H =
0 0 γ f(k)
0 0 f ∗ (k) γ
γ f(k) 0 0
f ∗ (k) γ 0 0
(2.16)
Dimana f(k) = −t σ eik.σ
dan digunakan vektor eigen ψ = (a1k, b2k, a2k, b1k)
(Manaf:2014).Penyelesaian untuk nilai eigen dari H diperoleh nilai energi dis-
persi (Tabert dan Nicol,2012)
εα(k) = ±[|f(k)| + (−1)α
γ], (2.17)
dengan α=1 dan 2 sedangkan f(k) merupakan dispersi energi untuk lem-
baran tunggal. Untuk energi rendah maka nilai f(k) dapat diekspansikan di
sekitar titik K pada ZB dan diperoleh f(k) = vf keiθ
dengan vf =
√
3ta/2
dan θ merupakan sudut ruang k disekitar titik K. Dari gambar (2.9) dapat dida-
patkan dua pita energi yang identik dengan lembaran tunggal grpahene (Tabert](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-40-320.jpg)
![26
2.3.2 Model Hamiltonan dan Energi Dispersi Twisted Bilayer Gra-
pene
Model Hamiltonan pada daerah disekitar K dan Kθ diformulasikan (Ta-
bert dan Nicol,2009):
H(k) =
H0(k + ∆K/2) H⊥
H†
⊥ H0(k − ∆K/2)
(2.25)
dengan
H0(k) =
0 f ∗ (k)
f(k) 0
(2.26)
dimana f = vf (kk + iky) dan
H0
⊥(k) = ˜t⊥
1 1
1 1
(2.27)
H±
⊥ (k) = ˜t⊥
e iφ
1
e±iφ
e iφ
(2.28)
Parameter lompatan energi disimbolkan dengan ˜t⊥ (berkisar antara 100 meV
sampai dengan 150 meV), φ = 2π/3, merupakan tetapan planck sedangkan vf
merupakan kecepatan fermi. Dari persamaan (2.25) sampai persamaan (2.28)
diatas diperoleh bentuk analitik dari persamaan dispersi energi (saat tidak ada
magnet luar)(Tabert dan Nicol,2009)
E2
α(k) =
1
2
[˜t2
⊥ + ε+2
G + ε−2
G + (−)ξ
Γ],
dimana
Γ = (˜t2
⊥ + ε+2
G + ε−2
G )2 + 4ε+2
G ε−2
G . (2.29)
ξ bernilai 1 dan 2 serta ε±
G = |f(k ± ∆K)|. dispersi ini hanya berlaku
pada sudut untiran 3o
≤ θ ≤ 10o
(Manaf : 2014).
Sedangkan untuk sudut untiran θ ≤ 3o
tidak berlaku persamaan (2.29).](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-44-320.jpg)
![62
1.2 Syntac Menggunakan Matlab
1.2.1 Turunan Energi Dispersi (Ek) Graphene layer tunggal Menggunakan Perintah Diff
(f(x),x) pada Matlab
%Mendefinisikan nilai variabel
syms x0
syms t1
syms t2
syms a
syms b
syms c
syms d
syms y
%Mendefienisikan fungsi
f=2.*cos(b.*x0.*a)+4.*cos(c.*x0.*a).*cos(1.5.*d.*a);}
E1=t1.*sqrt(3+f)-t2.*f-y;}
%Menurunkan fungsi terhadap variabel x0
z=diff(E1,x0)
z=t2*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2))
- (t1*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)))/
(2*(2*cos(a*b*x0) + 4*cos((3*a*d)/2)*cos(a*c*x0) + 3)^(1/2))}
1.2.2 Turunan Energi Dispersi (Ek) Graphene layer Ganda dengan
Untiran θ =1.16o
Menggunakan Perintah Diff (f(x),x) pada Matlab
%Mendefenisikan variabel
a=1.42;
b=sqrt(3);
c=0.5*b;
t1=2.8;
%Menentukan input variabel
[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);
%Mendefenisikan fungsi
f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a);
E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
%Plot kedalam grafik
figure(1)
hold on;
plot(y,E1);
plot(y,E2);
ylabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')
xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-80-320.jpg)
![63
1.2.3 Energi Dispersi (Ek) pada Lembaran Tunggal Graphene
Plot Grafik
%Mendefenisikan variabel
a=1.42;
b=sqrt(3);
c=0.5*b;
t1=2.8;
%Menentukan input variabel
[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);
%Mendefenisikan fungsi
f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a);
E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
%Plot kedalam grafik
figure(1)
hold on;
plot(y,E1);
plot(y,E2);
ylabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')
xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')
Plot Grafik pada saat Kx=0
%Mendefenesikan variabel tetapan
a=1.42;
b=sqrt(3);
c=0.5*b;
t1=2.8;
%Menentukan input masukan variabel
y=(-4:0.01:4);
x=0;
%Mendefenisikan fungsi
f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a);
E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
%Plot ke dalam grafik
figure(2)
hold on;
plot(y,E1);
plot(y,E2);
ylabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')
xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-81-320.jpg)
![64
1.2.4 Energi Dispersi Ek pada Graphene Layer Ganda (TBG) dengan Untiran θ =1.16o
Plot Grafik
%Mendefenisikan variabel tetapan
h=6.58;
v=0.87;
dkx=3.49.*10.^-4;
dky=3.45.*10.^-2;
%Menentukan input variabel
[x,y]=meshgrid (-0.04:0.0001:0.04);
%Mendefenisikan fungsi
alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
%Mendefenisikan fungsi
A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);
B=abs(2.*x.*y-0.5.*dkx.*dky);
E0=sqrt(A.^2+B.^2);
E0=abs (E0);
E1=alpha1.*E0;
E2=alpha2.*E0;
%Plot ke grafik
figure(3)
hold on
mesh (x,y,E1);
mesh (x,y,E2);
title ('Kurva Energi Dispersi Twisted Bilayer');
xlabel('Kx');ylabel('Ky');zlabel('Ek');
hold off}
axis tight
colorbar
view(60,10)
zlabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')
ylabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')
xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')
Plot Grafik pada saat Kx=0
h=6.58;
v=0.87;
dkx=3.49.*10.^-4;
dky=3.45.*10.^-2;
%Menentukan input variabel
y=(-0.04:0.0001:0.04);
x=0;
%Mendefenisikan fungsi
alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
%Mendefenisikan fungsi](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-82-320.jpg)
![65
A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);
B=abs(2.*x.*y-0.5.*dkx.*dky);
E0=sqrt(A.^2+B.^2);
E0=abs (E0);
E1=alpha1.*E0;
E2=alpha2.*E0;
%Plot ke grafik
figure(3)
hold on
plot (y,E1);
plot (y,E2);
title ('Kurva Energi Dispersi Twisted Bilayer');
xlabel('Kx');ylabel('Ky');zlabel('Ek');
hold off}
axis tight
colorbar
view(60,10)
zlabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial')
ylabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')
xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')
1.2.5 Posisi Saddle Point graphene layer tunggal
%Mendefenisikan variabel tetapan
a=1.42;
b=sqrt(3);
c=0.5*b;
t1=2.8;
t2=0;
%Menentukan input variabel
[x,y]=meshgrid(-2:0.01:2);
%Mendefenisikan fungsi
f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a);
E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f;
%Plot grafik
figure(1)
mesh(x,y,E1);
box off
axis tight
colorbar
view (0,90)
xlabel('Kx (10^-^2 A)','fontsize',16)
ylabel('Ky (10^-^2 A)','fontsize',16)
1.2.6 Posisi Saddle Point TBG dengan sudut untiran θ =1.16o
%Mendefenisikan variabel tetapan
h=6.58;](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-83-320.jpg)
![66
v=0.87;
dkx=3.49.*10.^-4;
dky=3.45.*10.^-2;
%Menentukan input variabel
[x,y]=meshgrid (-0.01:0.00001:0.01);
%Mendefenisikan fungsi
alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);
B=abs(2.*x.*y-0.5.*dkx.*dky);
E0=sqrt(A.^2+B.^2);
E0=abs (E0);
E1=alpha1.*E0;
E2=alpha2.*E0;
%Plot ke grafik
figure(6)
mesh(x*1000,y*1000,E1*1000);
box off
axis tight
colorbar
view (0,90)
xlabel('Kx (10^-^2 A)','fontsize',16)
ylabel('Ky (10^-^2 A)','fontsize',16)
zlabel('E(meV)','fontsize',16)
1.2.7 DOS Graphene Layer tunggal
%Menentukan nilai konstanta
err=0.005;
eps=1;
a=1.42;
b=sqrt(3);
c=0.5*b;
t1=2.8;
t2=0;
no=0;
% Menentukan nilai array
xout=[];
xout1=[];
Beda_out=1;
Beda_out1=1;
Beda=1;
Beda1=1;
iterasi=0;
xplot=[];
xplot1=[];
% Menentukan nilai variabel-variabel untuk nilai parameter
nd=0;](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-84-320.jpg)
![67
nd1=0;
y1=0:0.01:6;
y3=-6:0.01:0;
%Perhitungan Newton-Raphson nilai positif
for d=(-2.5:0.01:2.5);
nd=nd+1;
ny=0;
for y=y1;
ny=ny+1;
for x0=(-4:0.1:4);
while eps>err
iterasi=iterasi+1;
f=2.*cos(b.*x0.*a)+4.*cos(c.*x0.*a).*cos(1.5.*d.*a);
E1=t1.*sqrt(3+f)-t2.*f-y;
E2=t2*(2*a*b*sin(a*b*x0) +
4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)) - (t1*(2*a*b*sin(a*b*x0) +
4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)))/(2*(2*cos(a*b*x0) +
4*cos((3*a*d)/2)*cos(a*c*x0) + 3)^(1/2));
x1=x0-(E1/E2);
%xgalat=[xgalat;x1];
eps=abs(x1-x0);
x0=x1;
if iterasi>50;
eps=0;
end;
end;
if iterasi<50;
iterasi=0;
x0=round(10000*x0); %pembulatan 5 angka dibelakang
koma
x0=x0/10000;
eps=1; %reset epsilon
if x0<=4 && x0>=-4
if isempty (xout)
xout=[xout;x0];
end
for i=1:length(xout)
if xout(i)~=x0
Beda=1;
elseif xout(i)==x0
Beda=0;
end
Beda_out=Beda_out*Beda;
end
if Beda_out==1
xout=[xout;x0];
no=no+1;
end
end
end](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-85-320.jpg)
![68
iterasi=0;
eps=1;
Beda_out=1;
Beda=1;
end
fprintf('nilai d : %5.1fn',d);
fprintf('nilai y : %5.2fn',y);
fprintf('------------------------------------------------
/n');
fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err);
fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout);
fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn',
length(xout));
xplot=[xplot;length(xout)];
xout=[];
end
end
for d1=(-2.5:0.01:2.5);
nd1=nd1+1;
ny2=0;
for y2=y3;
ny2=ny2+1;
for x01=(-4:0.1:4);
while eps>err
iterasi=iterasi+1;
f1=2.*cos(b.*x01.*a)+4.*cos(c.*x01.*a).*cos(1.5.*d1.*a);
E11=-t1.*sqrt(3+f1)-t2.*f1-y2;
E21=t2*(2*a*b*sin(a*b*x01) +
4*a*c*sin(a*c*x01)*cos((3*a*d1)/2)) + (t1*(2*a*b*sin(a*b*x01) +
4*a*c*sin(a*c*x01)*cos((3*a*d1)/2)))/(2*(2*cos(a*b*x01) +
4*cos((3*a*d1)/2)*cos(a*c*x01) + 3)^(1/2));
x2=x01-(E11/E21);
eps=abs(x2-x01);
%xgalat1=[xgalat1;x2];
x01=x2;
%Penentuan jumlah iterasi
%nilai = 0 jika tidak ditemukan akar pada iterasi
lebih dari 50
if iterasi>50;
eps=0;
end;
end;
%nilai akar akan diidentifikasikan = 1 jika tidak
ditemukan akar pada iterasi kecil dari 50
if iterasi<50;
iterasi=0;
x01=round(10000*x01); %pembulatan 5 angka dibelakang
koma
x01=x01/10000;](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-86-320.jpg)
![69
eps=1; %reset epsilon
if x01<=4 && x01>=-4
if isempty (xout1)
xout1=[xout1;x01];
end
for j=1:length(xout1)
if xout1(j)~=x01
Beda1=1;
elseif xout1(j)==x01
Beda1=0;
end
Beda_out1=Beda_out1*Beda1;
end
if Beda_out1==1
xout1=[xout1;x01];
no=no+1;
end
end
end
iterasi=0;
eps=1;
Beda_out1=1;
Beda1=1;
end
fprintf('nilai d : %5.1fn',d1);
fprintf('nilai y : %5.2fn',y2);
fprintf('------------------------------------------------
/n');
fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err);
fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout1);
fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn',
length(xout1));
xplot1=[xplot1;length(xout1)];
xout1=[];
end
end
%Menjumlahkan nilai-nilai akar yang tlah diidentifikasi berdasarkan
nilai
% Level energi (E) dan Kx
z=reshape(xplot,ny,nd);
z1=(sum(z'))';
z2=reshape(xplot1,ny2,nd1);
z11=(sum(z2'))';
figure (1)
hold on
plot(y1/2.8,z1/(length(z1)));
plot(y3/2.8,z11/(length(z11)));
ylabel('D(E)','fontsize',12,'fontname','Arial')
xlabel('E/t','fontsize',12,'fontname','Arial')](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-87-320.jpg)
![70
1.2.8 (DOS Graphene Layer Ganda dengan Untiran Menggunakan
Metode Newton raphson untuk sudut untiran θ = 1.16o
%Menentukan nilai konstanta
err=0.005; % nilai batas iterasi
eps=1; % nilai variabel iterasi mulai berjalan
h=6.58; % Tetapan Planck
v=0.87; % Kecepatan group
dkx=3.49.*10.^-4;
dky=3.45.*10.^-2;
no=0;
% Menentukan nilai array
xout=[];
xout1=[];
Beda_out=1;
Beda_out1=1;
Beda=1;
Beda1=1;
iterasi=0;
xplot=[];
xplot1=[];
% Menentukan nilai variabel-variabel untuk nilai parameter
nd=0;
nd1=0;
y1=0:0.00005:0.009; % nilai level energi (E) positif
y3=-0.009:0.00005:0; % nilai level energi (E) negatif
d2=-0.04:0.0005:0.04; % nilai Kx
%Perhitungan Newton-Raphson nilai positif
for d=d2
nd=nd+1;
ny=0;
for y=y1;
ny=ny+1;
for x0=(-0.04:0.001:0.04);
while eps>err
iterasi=iterasi+1;
alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
A=(d.^2-x0.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2);
B=abs(2.*d.*x0-0.5.*dkx.*dky);
E0=sqrt(A.^2+B.^2);
E0=abs (E0);
E1=alpha1.*E0-y;
E2=-(76911*h^2*v^2*sign(abs((dkx*dky)/2 -
2*d*x0)^2 + (d^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x0^2)^2)*(4*x0*(d^2 - dkx^2/4 +
dky^2/4 - x0^2) + 4*d*abs((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)*sign((dkx*dky)/2 -
2*d*x0)))/(250000*abs(abs((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)^2 + (d^2 - dkx^2/4 +
dky^2/4 - x0^2)^2)^(1/2));](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-88-320.jpg)
![71
x1=x0-(E1/E2);
eps=abs(x1-x0);
x0=x1;
%Penentuan jumlah iterasi
%nilai = 0 jika tidak ditemukan akar pada iterasi
lebih dari 50
if iterasi>50;
eps=0;
end;
end;
%nilai akar akan diidentifikasikan = 1 jika tidak
ditemukan akar pada iterasi kecil dari 50
if iterasi<50;
iterasi=0;
x0=round(10000*x0); %pembulatan 5 angka dibelakang
koma
x0=x0/10000;
eps=1;
%Memasukan nilai ke array
if x0<=0.04 && x0>=-0.04
if isempty (xout)
xout=[xout;x0];
end
for i=1:length(xout)
if xout(i)~=x0
Beda=1;
elseif xout(i)==x0
Beda=0;
end
Beda_out=Beda_out*Beda;
end
if Beda_out==1
xout=[xout;x0];
no=no+1;
end
end
end
iterasi=0;
eps=1;
Beda_out=1;
Beda=1;
end
fprintf('nilai d : %5.1fn',d);
fprintf('nilai y : %5.2fn',y);
fprintf('------------------------------------------------
/n');
fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err);
fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout);
fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn',
length(xout));
%memasukan nilai-nilai akar yang telah diidentifikasi ke
dalam array yang telah dibuat](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-89-320.jpg)
![72
xplot=[xplot;length(xout)];
xout=[];
end
end
% Perhitungan Newton-Raphson nilai positif
for d1=d3
nd1=nd1+1;
ny2=0;
for y2=y3;
ny2=ny2+1;
for x01=(-0.04:0.001:0.04);
while eps>err
iterasi=iterasi+1;
alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093);
A=(d1.^2-x01.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky^2);
B=abs(2.*d1.*x01-0.5.*dkx.*dky);
E01=sqrt(A.^2+B.^2);
E01=abs (E01);
E11=alpha2.*E01-y2;
E21=(76911*h^2*v^2*sign(abs((dkx*dky)/2 -
2*d1*x01)^2 + (d1^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2)^2)*(4*x01*(d1^2 -
dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2) + 4*d1*abs((dkx*dky)/2 -
2*d1*x01)*sign((dkx*dky)/2 - 2*d1*x01)))/(250000*abs(abs((dkx*dky)/2 -
2*d1*x01)^2 + (d1^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2)^2)^(1/2));
x2=x01-(E11/E21);
eps=abs(x2-x01);
x01=x2;
if iterasi>50;
eps=0;
end;
end;
if iterasi<50;
iterasi=0;
x01=round(10000*x01); %pembulatan 5 angka dibelakang
koma
x01=x01/10000;
eps=1; %reset epsilon
if x01<=0.04 && x01>=-0.04
if isempty (xout1)
xout1=[xout1;x01];
end
for j=1:length(xout1)
if xout1(j)~=x01
Beda1=1;
elseif xout1(j)==x01
Beda1=0;
end
Beda_out1=Beda_out1*Beda1;
end
if Beda_out1==1
xout1=[xout1;x01];](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-90-320.jpg)
![73
no=no+1;
end
end
end
iterasi=0;
eps=1;
Beda_out1=1;
Beda1=1;
end
fprintf('nilai d : %5.1fn',d1);
fprintf('nilai y : %5.2fn',y2);
fprintf('------------------------------------------------
/n');
fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err);
fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout1);
fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn',
length(xout1));
xplot1=[xplot1;length(xout1)];
xout1=[];
end
end
%Menjumlahkan nilai-nilai akar yang tlah diidentifikasi berdasarkan
nilai
% Level energi (E) dan Kx
z=reshape(xplot,ny,nd);
z1=(sum(z'))';
z2=reshape(xplot1,ny2,nd1);
z11=(sum(z2'))';
%Plot ke grafik DOS
figure (1)
hold on
plot(y1,z1/(length(z1)));
plot(y3,z11/(length(z11)));
axis ([-0.008 0.008 0 9]);
title ('Kurva DOS');
xlabel('E(k)');
ylabel('DOS');](https://image.slidesharecdn.com/tinjauannumerikrapatkeadaangraphenelayer-150323230045-conversion-gate01/85/Tinjauan-numerik-rapat-keadaan-graphene-layer-91-320.jpg)
Uploaded byUniversitas Gadjah Mada
Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer
Skripsi ini membahas tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer ganda dengan untiran pada energi rendah menggunakan metode Newton Raphson. Metode ini digunakan untuk menghitung nilai akar persamaan energi dispersi sehingga didapatkan kurva rapat keadaan. Skripsi ini bertujuan menganalisis perbedaan rapat keadaan pada variasi sudut untiran graphene layer ganda.
Tinjauan numerik rapat keadaan graphene layer
- 1. SKRIPSI TINJAUAN NUMERIK RAPATKEADAAN GRAPHENE LAYER GANDA DENGAN UNTIRAN PADA ENERGI RENDAH MENGGUNAKAN METODE NEWTON RAPHSON NUMERICAL CONSIDERATION OF DENSITY OF STATE OF TWISTED BILAYER GRAPHENE AT LOW ENERGY USING NEWTON RAPHSON METHOD Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajat Sarjana Sains Fisika Ilham Pebrika 10/305455/PA/13520 PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2015
- 2. HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI TINJAUAN NUMERIKRAPAT KEADAAN GRAPHENE LAYER GANDA DENGAN UNTIRAN PADA ENERGI RENDAH MENGGUNAKAN METODE NEWTON RAPHSON Telah dipersiapkan dan disusun oleh Ilham Pebrika 10/305455/PA/13520 Telah dipertahankan di depan Tim Penguji pada tanggal 20 Februari 2015 Susunan Tim Penguji Dr. Iman Santosa, M.Sc Dr. Edi Suharyadi, M.Eng Pembimbing Penguji Drs. Eko Sulistya, M.Si Penguji
- 3. PERNYATAAN Dengan ini sayamenyatakan bahwa dalam Skripsi ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Ting- gi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka. Yogyakarta, 20 Februari 2015 Ilham Pebrika iii
- 4. Karya sederhana inikupersembahkan untuk kebermanfaatan terutama untuk Ilmu Pengetahuan, semoga bisa menjadi sedikit kontribusi dari penulis, untuk orang tua tercinta semoga senantiasa dirahmati dan dilindungi oleh Allah, Kakak dan adikku yang kusayangi dan untuk semua keluargaku di Pariaman iv
- 5. Sesungguhnya dalam penciptaanlangit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu) orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadaan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata) : Ya Tuhan kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka. (Q.S. Ali Imran : 190 - 191) Harga diri seseorang itu adalah berdasarkan apa yang ia lakukan untuk memperbaiki dirinya (Ali Bin Abu Thalib ra) v
- 6. PRAKATA Segala puji dansyukur kepada Allah SWT atas kemudahan dan izinNya, akhirnya Skripsi dengan judul "Tinjauan Rapat Keadaan Pada Graphene La- yer Ganda Energi Rendah Menggunakan Metode Newton Raphson" telah selesai penulis susun. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kesegenap pihak te- lah membantu penulis baik secara moril maupun materil.Di antara pihak-pihak tersebut adalah 1. Ibuk dan Ayah yang selama ini telah sabar membimbing dan mendoakan penulis tanpa kenal lelah dan mendukung penulis baik spiritual maupun materil, semangat dan cinta kasih mulia yang penulis tidak akan pernah mampu membalasnya 2. Dr. Iman Santoso, sebagai dosen Pembimbing yang telah ikhlas dan sabar memberikan ilmunya kepada penulis, memberikan inspirasi dan semangat Jazzakumullahu khairan atas kesabaran bapak selama ini yang telah mem- bimbing kami. 3. Dr. Edi Suharyadi M.Eng dan Drs. Eko Sulistya M.si, Yang membantu penulis menyempurnakan karya ini dengan masukan dan saran yang telah diberikan 4. Qosim dan Lisa sebagai rekan satu bimbingan terima kasih atas diskusinya selama ini serta Eksperian, mas Sidiq dan mas Anas atas bantuannya menjadi guru pemrograman Matlab yang harus penulis pelajari dari nol serta kelompok penelitian KAM Laboratorium Fisika Atom Inti yang telah diizinkan menggunakan komputer untuk running program 5. Keluarga MLU-01 Halsel 2013. Rahmat,Miski, Eli, Alifah, Fatma, Nana, Wiji, Saftyan, Arman, Ivan, Dani, Arya,Ghoffur, Hamdy, mbk Iffa, mbk Yana, mas Sahar, mbak Eni, mas Alif dan mbk Elsa, terima kasih atas motivasi, kerjasamanya,pengertiannya, kisah,dan ceritanya selama ini 6. Rekan-rekan Fisika Angkatan 2010, Rekan rekan BEM KM FMIPA UGM khususnya kabinet cerdas melayani dan pinisi, rekan rekan kfgama, dan jamaah Shalahudin (JS) UGM, terima kasih atas ilmu dan pengalamannya yang tidak akan mungkin penulis dapatkan di bangku perkuliahan vi
- 7. vii 7. Keluarga PesantrenMahasiswa LPI khususnya LPI angkatan IV dan wabilkhusus Jazakallah atas bimbingannya untuk ust. Arif Rif’an yang telah menjadi Bapak, kakak serta musyrif bagi penulis, uda zakwan dan para asatidz yang telah ihklas memberikan ilmunya 8. Asrama Pesantren Fisika, Ibu Zahra yang telah menjadi ibu bagi penulis selama dijogja, mas Chalis, mas Akrom, mas Arista, mas Mujrin, Roni dan Faiq, terima kasih atas kebaikan dan pengertiannya terhadap penulis 9. Seluruh keluarga besar Fakultas FMIPA UGM, Jurusan dan Prodi Fisika yang telah membantu penulis selama melaksanakan studi dan 10. Segenap pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu Skripsi ini tentunya tidak lepas dari segala kekurangan dan kelemahan, untuk itu segala kritikan dan saran yang bersifat membangun guna kesempur- naan Skripsi ini sangat diharapkan. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua dan lebih khusus lagi bagi pengembagan ilmu fisika. Yogyakarta, 13 Februari 2015 Penulis
- 8. DAFTAR ISI Halaman Juduli Halaman Pengesahan ii Halaman Pernyataan iii Halaman Persembahan iv Halaman Motto v PRAKATA vi INTISARI xvii ABSTRACT xviii I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II Landasan Teori 14 2.1 Struktur Kristal dan sifat elektronik Graphene Monolayer . . . . 14 2.1.1 Struktur Ruang Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Kisi Balik (Reciprocal Lattice) Graphene . . . . . . . . 15 2.1.3 Metode ikatan kuat (Tight Binding) Monolayer Graphene 15 2.2 Struktur Kristal dan sifat elektronik Bilayer Graphene . . . . . 18 2.2.1 Tumpukan AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Tumpukan AA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Struktur Kristal dan sifat elektronik Twisted Bilayer Graphene 23 2.3.1 Struktur Kristal pada Twisted bilayer Graphene . . . . 23 viii
- 9. ix 2.3.2 Model Hamiltonandan Energi Dispersi Twisted Bilayer Grapene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 Rapat Keadaan (Density of State) Graphene Layer Tung- gal (Graphene Monolayer) . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4 Rapat Keadaan (DOS) Twisted Bilayer Grapene . . . . . 29 2.4 Low − Energy SVH dan renormalisasi Kecepatan fermi (vf ) . . 30 2.5 Metode penentuan nilai akar-akar Newton-Raphson (NR) . . . . 32 2.5.1 Perhitungan nilai ralat pada metode Newton-Raphson . 33 III Hasil dan Pembahasan 36 3.1 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS) untuk graphene Monolayer Menggunakan metode Newto Raphson . . . 36 3.2 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene) Untuk Sudut Untiran θ = 1, 16o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene) Untuk Sudut Untiran θ = 1, 79o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene) Untuk Sudut Untiran θ = 3, 48o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5 Analisa nilai SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi dari nilai DOS pada TBG pada Sudut Untiran θ = 1.16o , θ = 1.79o , dan θ = 3.48o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 IV PENUTUP 53 4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A Lampiran Perhitungan dan Syntac Menggunakan Matlab 58 1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β),Vektor Pergeseran ∆K, Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG, dan faktor lom- patan energi tθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β) antara nilai gra- dien pada grafik energi dispersi (md) dan gradien pada DOS (mD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
- 10. x 1.1.2 Perhitungan nilaiVektor Pergeseran ∆K untuk sudut un- tiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o . . . . . . . . . . 59 1.1.3 Perhitungan nilai Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG sudut untiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o . . 60 1.1.4 Perhitungan nilai faktor lompatan energi tθ untuk sudut untiran sudut untiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o 60
- 11. DAFTAR GAMBAR 1.1 StrukturKisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011) . . . . . . . 2 1.2 Rapat muatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Dengan variasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan para- meter lompatan atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom terdekat selanjutnya(Neto dkk,2009) . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 (atas)Dos untuk graphene monolayer mengguanakan metode me- tode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(ba- wah)(a)Rapat muatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Gra- phene layer Ganda tumpukan AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)Dengan Symmetri(Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 (a)DOS Graphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012) (b)DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1.79o , t⊥ = 0.24 eV(Li dkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran pada bilayer graphene 1, 16o ,1, 79o ,dan 3, 48o (Manaf,2014) . . . . . . 9 1.5 Bagan alir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghi- tung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) . . . . . 11 1.6 Diagram alir penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Struktur kristal sarang Lebah pada monolayer Graphene yang atom atomnya dilabeli dengan atom A(Warna Putih) dan B (war- na Hitam)(Raza ,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Kisi Balik Pada Graphene (atas)Zona Brilloun pada Graphene (bawah)(Raza,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Energi dispersi dengan nilai t = 3, 033 dan t = 0, 29 dilihat dari penampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011) . . . . . . . . . . 17 2.4 Energi dispersi dengan t = 0 dilihat dari penampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Tumpukan AB Graphene (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene tanpa gap dan dengan gap (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.7 Tumpukan AA Graphene (Tabert,2012) . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene(Tabert,2012) 23 xi
- 12. xii 2.9 (2.1(a))Struktur atompada TBG dengan sudut untiran θ = 21.8o .(2.1(b))ZB pada TBG (Cocemasov, dkk,2013) . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.10 (Visualisasi luasan dari sel satuan (unit sel) pada TBG pada beragam sudut untiran (Moon dan Koshino,2012) . . . . . . . . 25 2.11 Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 10o diperoleh menggu- nakan persamaan(2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.12 Dispersi Energi dengan sudut untiran θ = 1.16o (Manaf :2014) . 28 2.13 Tunneling spectra untuk berbagai sudut untiran(Raza,2012) . . 31 2.14 Skema ilustrasi tahap untuk menemukan akar persamaan meng- gunakan methode Newton raphson (Pang, 2006) . . . . . . . . . 32 3.1 (a)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk nilai harap t = 2, 8 dan t = 0.(b)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk parameter lompatan t = 2, 8 dan t = 0 pada saat nilai Kx=0 diperoleh dari persamaan energi dispersi(2,8). . 36 3.2 Posisi saddle point (SP) pada energi dispersi untuk graphene mo- nolayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Variasi grafik DOS untuk graphene monolayer (c) ∆Kx=0.05 E=0.05 ∆Ky=0.1 Dengan variasi nilai parameter iterasi (n) 50,100,300, dan 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0.05 ∆E=0.1 ∆Ky=0.1(b)∆Kx=0.1 ∆E=0.05 ∆Ky=0.1 (c) ∆Kx=0.05 ∆E=0.05 ∆Ky=0.1 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengan nilai ralat dan aproksimasi pola linear pada grafik DOS . . . . . . . . 39 3.5 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 16o (b) grafik energi dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 1, 16o berda- sarkan persamaan 2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6 Posisi Saddle Point (SP) pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 1.16o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7 Beberapa grafik DOS TBG untuk sududt untiran θ = 1, 16o (a) ∆Kx=0,0001 ∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (b) ∆Kx=0,00005 ∆E=0,00001 ∆Ky=0,01 (c) ∆Kx=0,00005,∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (d)Grafik DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 16o dengan nilai ralat . . 43 3.8 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 79o grafik energi dis- persi dengan sudut untiran θ = 1, 79o pada saat ∆Kx=0 . . . . 44
- 13. xiii 3.9 Posisi SaddlePoint pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.10 Beberapa grafik DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o (a) ∆Kx=0,001 ∆E=0,001 ∆Ky=0,001 (b) ∆Kx=0,0005 ∆E=0,0005 ∆Ky=0,001 (c) ∆Kx=0,0001,∆E=0,0005 ∆Ky=0,001 (d)Grafik DOS Monolayer dengan nilai ralat . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.11 (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1.79o grafik 3 Dimensi dan grafik 2 Dimensi (b)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 3.48o (b) grafik energi dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 3.48o (c)Posisi Saddle Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 3.48o . . . . . . . . . . . . . 47 3.12 Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0.05, ∆Ky=0.05,∆E(k)=0.1(b) ∆Kx=0.01, ∆Kx=0.1,∆E(k)=0.01 dan (c) ∆Kx=0.01,∆Ky=0.01,∆E(k)=0.01 dan (d) Grafik DOS Mo- nolayer dengan nilai galat 0.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.13 (a,b, dan c) Perbandingan grafik DOS untuk masing masing un- tiran yang diplot pada nilai energi dan DOS yang sama (bawah) Grafik DOS dari variasi ketiga sudut untiran θ 1.16o , 1.79o , dan 3.48o yang diplot dalam satu grafik . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.14 Gambaran nilai kearapatan tiap layernya yang menyebabkan nilai kecepatan fermi semakin besar untuk nilai kerapatan yang sema- kin besar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.1 Aproksimasi pola linear pada energi dispersi TBG untuk sudut untiran 1.16o ,1.79o , dan 3.48o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
- 14. xiv DAFTAR SINGKATAN TBG TwistedBilayer Graphene SVH Singular V an Hove DOS Rapat Keadaan/Density Of States ZB Zona Brilloun(Brilloun Zone) STM Scanning Tunnelling Microscopy STS Scanning Tunnelling Spectroscopy NR Newton Raphson FLG Few Layer Graphene
- 15. xv DAFTAR LAMBANG θ SudutUntiran Antar lembaran Graphene E(k) Energi Dispersi s,p,px, py, pz Konfigurasi Elektron pada Atom σ Ikatan sigma (Sigma Bonds) π,π∗ ikatan konduksi dan ikatan valensi (pi Bonds) h 2π ,h tetapan Planck h = 6.62x10−34 Js, = 1.054x10−34 vf Kecepatan Fermi D(E) Rapat Keadaan γ Parameter energi lompatan antara atom A(B) pada lembar- an pertama menuju atom A(B) yang terdekat pada lembaran kedua(Pada tumpukan AA) γ0 Parameter energi lompatan pada bidang yang sama (Pada tumpukan AB) γ1 Parameter energi lompatan antara atom A1 dan atom A2 (Pa- da tumpukan AB) γ2 Parameter energi lompatan antara atom A1(A2) dan atom B1(B2) (Pada tumpukan AB) t⊥ Coupling antara lembaran Graphene
- 16. xvi δ1,δ2, dan δ3Vektor Posisi Atom Terdekat (nearest − neighbor) δ1, δ2, dan δ3 Vektor posisi atom terdekat berikutnya (second − nearest neighbor) aσi(a† σi) Operator penghancur(Kreasi) Elektron aσi(a† σi) Indeks spin t Energi Lompatan ke atom terdekat t Energi Lompatan ke atom terdekat berikutnya m Massa Elektron H Hamiltonan ψk Vektor Eigen φ Perubahan ElectrochemicalPotential antar dua lem- baran graphene L Konstatnta kisi pada TBG S Luasan dari sel satuan TBG H⊥ 0 Model hamiltonan antar lembaran graphene (pada lem- baran ganda graphene dengan untiran) K Posisi titik braggg (titik Dirac) sebelum mengalami ro- tasi Kθ Posisi titik braggg (titik Dirac) yang baru ketika telah mengalami rotasi ∆K Vektor Pergeseran titik Bragg (titik Dirac)(pada lem- baran ganda graphene dengan untiran) ∆ESV H Jarak antar SVH tθ ⊥ Coupling antar lembaran graphene
- 17. INTISARI Tinjauan Numerik RapatKeadaan Graphene Layer Ganda dengan Untiran pada Energi Rendah Menggunakan Metode Newton Raphson Oleh Ilham Pebrika 10/305455/PA/13520 Telah dilakukan perhitungan secara numerik terhadap rapat keadaan pada graphene Layer ganda dengan untiran, dimana pada kajian ini salah satu lembaran mengalami beberapa variasi sudut untiran (θ) yakni sebesar 1, 160,1, 790, dan 3, 480. Rapat keadaan dihitung berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) pada energi ren- dah. Pada umumnya rapat keadaan dihitung secara numerik menggunakan persamaan N(E) = Nf k δ(E − E(k)), yakni ketika posisi ε = E(k) dengan Nf merupakan fak- tor degenerasi. Nilai N(E) dikelompokan berdasarkan nilai-nilai yang hampir sama yang kemudian dijumlahkan menjadi nilai rapat keadaan. Hanya saja metode ini me- miliki ralat yang lebih besar karena nilai N(ε) yang diperoleh dianggap sama dengan nilai yang terdekat. Pada kajian ini nilai rapat keadaan dihitung dengan metode yang berbeda yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k) tetapi dengan pendekatan nilai yang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilai tersebut direpresentasikan dengan nilai akar-akar dari persamaan energi dispersi dikurangi nilai level energi E sebegai fungsi pembuat nol (E(k) − E). Nilainya dapat dihitung dengan metode Newton-Raphson. Nilai akar ini kemudian diidentifikasikan dengan nilai 1 dan dijumlahkan per level energi E sehingga setiap levelnya memiliki nilai rapat keadaan yang telah dijumlahkan berdasarkan banyak akar yang ada. Dari grafik rapat keadaan, diperoleh informasi nilai rapat keadaan pada posisi SVH untuk tiap untiran, yakni iga sudut untiran, di- peroleh nilai DOS pada SVH yakni 1,5 1025 eV−1 m−2, 2,8 1025 eV−1 m−2, dan 11 1025 eV−1 m−2, Energi pada Singularitas Van-Hove (SVH), ±6 meV, ±41 meV, ±215 meV dari titik Dirac. Nilai kecepatan Fermi( vf ) yang direpresentasikaan dengan nilai gradien (m) pada pola linear dari grafik DOS, yakni 0,21 1025 eV−2 m−2, 0,8 1025 eV−2 m−2 dan 4,3 1025 eV−2 m−2, menggambarkan renormalisasi kecepatan fer- mi yang terkait dengan adanya interaksi yang berhubungan dengan parameter energi lompatan. Nilai parameter ini merupakan nilai faktor energi yang dibutuhkan bagi elektron untuk berpindah antar layer dimana besar nilainya 5,38 meV, 39,93 meV, dan 209,35 meV Kata-kata kunci :Graphene, Energi Dispersi, Rapat Keadaan. xvii
- 18. ABSTRACT Numerical Consideration ofDensity of state Of Twisted Bilayer Graphene at Low Energy Using Newton Raphson method By Ilham Pebrika 10/305455/PA/13520 The Numerical Computation of Density Of States of Twisted Bilayer Graphehe (TBG) has been carried out. TBG that consist of two layer graphene with one layer is twisted with respect to other layer. In this study the twisted angles (θ) are chosen to be 1.160, 1.790, and 3.480. Calculation of Density of States (DOS) based on energy dispersion (E(k)) at low energy. Generally calculation of DOS using numerically methods using N(E) = Nf k δ(E − E(k)) equation, that at ε = E(k) with Nf is factor of degeneration. The values of N(E) has been included in nearly equall values and has been summed be a DOS. This method be possessed of large errors because the values of N(E) acquired same with closest values. In this study the values of DOS is calculated using different method that is implementation of true values. it can be represented using the values ot root from energy dispersion minus values of level energy be a zero maker equation (E(k) − E). it can be calculated using Newton- Raphson method. Next the values of root is identified by one unit and summed per level energy E, with the result that every level be possessed of DOS based by summing all roots. From graphics of DOS we can get information about values of DOS, at SVH for each twisted angle are 1.5 1025 eV−1 m−2, 2.8 1025 eV−1 m−2, and 11 1025 eV−1 m−2, Energy at Singularitas Van-Hove points are ±6 meV, ±41 meV, and ±215 meV, from the Dirac point. The results of the values of fermy velocity whose values has been represented by gradien (m) of linearity pattern at DOS graphics are 0.21 1025 eV−2 m−2, 0.8 1025 eV−2 m−2, and 4.3 1025 eV−2 m−2, for each each twisted angle respectively. it described renormalisation of Fermy velocity is concerned with interaction that related with flying jump of energy. This parameters is factor energy is needed to electron to migratory inter layer. Thats value are 5.38 meV, 39.93 meV, and 209.35 meV. Keywords:Graphene, Dispersion Energy, Density Of States. xviii
- 19. BAB I PENDAHULUAN 1.1 LatarBelakang Setelah berhasil diisolasi oleh Konstantin Novoselov dan Andre Geim pa- da tahun 2004, yang kemudian dikenal dengan "Scotch − tape method" (Tabert dan Nicol, 2012) yang berhasil mengantarkan mereka meraih penghargaan nobel pada tahun 2010, Graphene yang merupakan kristal atom karbon dua dimensi yang terdiri atas susunan atom karbon pada kisi hexagonal (Novoselov,2011), telah menarik banyak ilmuan untuk menelitinya. Hal ini disebabkan karena adanya sifat-sifat unik pada material graphene yang dahulunya mustahil di- temukan dalam kajian fisika material, diantaranya Massless Dirac Fermions, Balistic Electron Transport Efek Hall Quantum, dan Chiral Tunneling(Neto dkk, 2009). Graphene tersusun pada kisi kisi seperti sarang lebah Honeycomb Lattice(Gambar 1.1)dimana kisi-kisinya terdiri dari dua atom A dan B per unit sel dan invarian terhadap rotasi 120o pada kisinya (Geim,2011). Graphene tersusun atas atom-atom karbon dengan konfigurasi 1s2 2s2 2p2 , dimana terdapat 4 elektron bebas pada orbital 2s dan orbital 2p. Pada orbi- tal p, kemudian bisa dipecah menjadi orbital px,py,dan pz (Tabert,2012). Pada graphene 2s, 2px dan 2py, orbital dari atom karbon berkombinasi (hybridize un- tuk membentuk tiga orbital baru yang disebut SP2 yang menghasilkan ikatan σ bonds). Orbital pz(satu elektron) tegak lurus pada bidang yang dibentuk atom karbon orbital 2pz dari kombinasi atom-atom yang berbeda untuk membentuk ikatan π(valensi) dan ikatan π*(konduksi). Masing-masing pz menyumbangkan satu elektron. Ikatan π juga bertindak sebagai muatan pembawa pada sistem (Tabert,2012), dimana orbital π berpengaruh terhadap sifat elektronik dari gra- phene (Perez : 2009) dan hibridisasi dari SP2 yang merupakan ciri simetri hexagonal pada Graphite, Graphene dan Carbon Nanotubes (CNTs) (Dasmukh dan Singh,2013). Pada sudut-sudut Zona Brilloun (Brilloun Zone) yang berbentuk hek- sagonal, terdapat dua titik yang saling berhimpit antara pita konduksi dan pita valensi yakni pada K dan K yang disebut sebagai titik Dirac (Dirac Points). Struktur pita yang terletak dekat dengan salah satu titik Dirac ini memiliki 1
- 20. 2 dispersi energi yangmenyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelativis- tik. Partikel-partikel ini dapat dideskripsikan dalam mekanika kuantum melalui persamaan Dirac tak bermassa (Dirac Massless)(Castro Neto, 2009). Pada lembaran graphene netral, ikatan valensi dan konduksi bertemu pada fermi energi yang menyebabkan graphene menjadi semi-metal atau semi- konduktor dengan gap bernilai nol. Band-nya berbentuk lembah kerucut yang bersentuhan pada dua simetri tinggi yang ditandai dengan K dan K pada Zona Brilloun (ZB) dekat titik ini dengan variasi energi linear dengan jumlah momen- tum. (Peres,2009). Gambar 1.1: Struktur Kisi Hexagonal Graphene (Novoselov,2011) Selain layer tunggal (Monolayer) kajian terhadap graphene juga dila- kukan pada pada layer ganda (bilayer) atau banyak layer (multilayer) atau yang dikenal dengan istilah Few Layer Graphene (FLG). Salah satu model graphene layer ganda adalah graphene layer ganda dengan untiran Twisted Bilayer Graphene (TBG). Model ini sebenarnya berasal dari model tumpuk- an AA (AA Stack) atau tumpukan AB (AB Stack) pada graphene layer gan- da tetapi diantara lembaran adanya sudut rotasi (θ)(Morel dan Pacheo, 2013). Model TBG ini cukup menarik untuk dikaji karena menghasilkan sifat sifat fi- sis yang tidak ditemukan pada model graphene monolayer seperti pola super struktur(superstructure) yang dikenal dengan pola moire (Moire Pattern), Low − Energy SVH (Singularitas V an Hove), massless, Dirac fermions dan renormalisasi kecepatan fermi(Raza,2012). Selain itu model TBG juga dija- dikan gagasan untuk merekayasa graphene murni menjadi superkonduktor yakni dengan cara mendekatkan nilai SVH dengan aras-Fermi. SVH atau juga dikenal
- 21. 3 dengan titik kritis(Critical Point) pada ZB, merupakan nilai singularitas DOS pada kristal zat padat. Singularitas ini terjadi berkaitan dengan distribusi elek- tron pada level states energi. Informasi nilai SVH dapat diamati dari nilai rapat keadaan, sehingga nilai rapat keadaan menarik untuk dikaji. Rapat Keadaan atau Density Of State (DOS) merupakan gambaran tentang keadaan(States) pada tiap level energi (Yuan dkk, 2010). Tabert dalam publikasinya mendefe- nisikan dengan "gambaran tentang keadaan (States)yang bebas ditempati elek- tron". Dengan kata lain dari informasi nilai DOS,bisa diperoleh informasi nilai elektron di setiap states pada tiap level energi. Nilai SVH bisa diprediksi pa- da grafik energi dispersi yakni pada saat nilai gradien garis bernilai minimum. Pada grafik tiga dimensi nilai SVH ini bisa diprediski dari posisi saddle Point, yakni pada titik pertemuan pada saat nilai valensi dan konduksi bernilai mini- mum dan bernilai maksimum yang dalam graphene netral berada pada titik M. Dari Informasi DOS juga bisa diperoleh informasi tentang kecepatan fermi vf dimana nilainya bisa diperoleh dari nilai gradien (m) pada pola linearitas yang dibentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang terdapat pada grafik DOS. Perubahan kecepatan fermi vf pada tiap variasi sudut untiran akibat perubahan gradien (m) yang dibentuk dari pola linear pada nilai DOS bisa diperoleh infor- masi perubahan kecepatan fermi atau disebut Renormalisasi Kecepatan Fermi (vf ). Kajian terhadap nilai DOS sendiri juga telah banyak dilakukan baik seca- ra analitik maupun numerik. Castro Neto, dkk(2009) misalnya menghitung nilai DOS secara analitik pada graphene monolayer dengan memvariasikan parameter lompatan atom (Hopping Parameter) t dan t dimana nilai t merupakan nilai lompatan untuk atom terdekat dan t adalah nilai lompatan atom terdekat selan- jutnya. Pada perhitungan tersebut diperoleh nilai SVH yang berada pada nilai ±1eV (Neto dkk,2009). Nilai DOS yang sama juga didapatkan oleh Yuan, dkk (2010) dengan menggunakan pengembangan metode numerik dari model TDSE (Time − Dependent Schrodinger Equation). Selain monolayer, Tabert(2012) juga Menghitung nilai DOS secara analitik untuk model Graphene Bilayer, ba- ik untuk tumpukan AA maupun tumpukan AB. Sedangkan perhitungan DOS untuk nilai TBG juga dilakukan oleh Li dkk (2009) secara eksperimen menggu- nakan STM dan STS untuk melihat nilai SVH pada nilai DOS yang diperoleh. Hasil inilah yang menjadi acuan bagi Manaf (2014) untuk menghitung nilai DOS secara analitik dengan sudut untiran θ = 1, 16o ,θ = 1, 79o ,dan θ = 3, 48o . Ma-
- 22. 4 naf(2014) mengkaji nilaiDOS untuk TBG secara analitik, untuk melihat variasi nilai SVH dan jaraknya terhadap aras-Fermi terhadap variasi nilai sudut untir- an θ (Sudut untiran/rotasi antar layer graphene). Li dkk, dalam publikasinya (2009) melakukan pengamatan nilai energi rendah SVH pada nilai DOS seca- ra eksperimen. Pengukuran menggunakan Scanning Tunnelling Spectroscopy (STS) ini dilakukan menggunakan graphene TBG. Mereka menemukan bahwa posisi dari singularitas dapat diatur dengan memvariasikan sudut relatif pada sudut diantara layer (Morell dkk, 2010). Perhitungan untuk menghitung nilai DOS pada skripsi ini berdasarkan nilai DOS yang telah diteliti sebelumnya dengan sudut untiran θ = 1, 16o ,θ = 1, 79o ,dan θ = 3, 48o (Manaf, 2014). Pada umumnya rapat keadaan dihitung secara numerik menggunakan persamaan N(E) = Nf k δ(E − E(k)), yakni ketika posisi E = E(k) dimana nilai selisihnya sama dengan nol. Nf meru- pakan faktor degenerasi kemudian nilai-nilai N(E) dikelompokan berdasarkan nilai-nilai yang memiliki nilai-nilai yang hampir sama, misal nilai akar-akar yang diperoleh adalah 1.85, 1.9, 2, 2,1 dan 2.15. Nilai-nilai ini dikelompokan kedalam nilai 2 sehingga berjumlah lima untuk menjadi jumlah nilai rapat keadaan pada level energi (E) tersebut. Dari metode yang digunakan akan terlihat bahwa nilai yang dihasilkan akan memilki nilai ralat yang cukup besar dikarenakan nilai-nilai yang ada dianggap sama dengan nilai yang terdekat sehingga memiliki selisih berdasarkan nilai rentang pengelompokan nilai-nilai tersebut, misal untuk ka- sus diatas nilai dua berkisar antara nilai 1,8-2,15 sahingga nilai ralat memiliki rentang sebesar ±0, 35. Atas dasar inilah untuk tinjauan pada skripsi ini di- gunakan metode yang lebih akurat yakni mengimplementasikan nilai ε = E(k) tetapi dengan pendekatan nilai yang mendekati nilai yang sebenarnya. Nilai tersebut dapat direpresentasikan dengan nilai akar-akar dari persamaan energi dispersi dikurangi dengan nilai level energi E. Salah satu metode yang bisa digunakan adalah metode Newton-Raphson(NR). Penggunaan metode pencari- an nilai akar, Newton-Raphson. dikarenakan untuk menghitung nilai akar-akar pada netode NR hanya membutuhkan satu nilai tebakan awal, sehingga nilai tebakan awal bisa dibuat pada rentang nilai tertentu karena setiap nilai akan dianggap sebagai nilai tebakan awal. Selain karena yang akan menjadi nilai ra- pat keadaan adalah jumlah dari nilai-nilai yang ada, misal seperti contoh diatas untuk nilai N(k) pada level energi (E) yakni 1,85, 1,9, 2, 2,1 dan 2,15 sehingga nilainya berjumlah lima untuk nilai N(k)=2. Pada persamaan energi dispersi ti-
- 23. 5 dak semua nilaitebakan awal akan memiliki nilai akar-akar sehingga setiap nilai akar-akar yang ada akan didefenisikan sebagai nilai 1 jika memilki nilai akar dan bernilai 0 jika tidak memilki nilai akar. Penjumlahan nilai akar yang telah dide- fenisikan inilah yang kemudian dijumlahkan pada tiap level energi yang menjadi nilai rapat keadaan. Karena perhitungan nilai rapat keadaan berdasarkan ener- gi dispersi pada dengan dua variabel x dan y selain penjumlahan berdasarkan nilai level energi misal variabel y, nilai-nilai rapat keadaan yang diperoleh juga dijumlahkan pada pada variabel y sehingga jika divisualisasikan akan berupa penjumlahan slices. sejauh ini penulis belum menemukan metode perhitung- an rapat-keadaan mengimplementasikan metode NR. Oleh karena itulah penulis tertarik untuk mencoba mengkaji metode ini. 1.2 Batasan Masalah Batasan masalah dalam penelitian ini adalah: Material Graphene layer ganda (Bilayer Graphene) ditinjau secara puntiran TBG dimana sudut untiran divariasi sebesar 1, 16o 1, 79o dan 3, 84o . Penelitian ini dilakukan dengan mela- kukan perhitungan secara numerik untuk membandingkannya dengan hasil yang didapatkan secara analitik maupun eksperimen dari acuan nilai yang telah ada. Nilai yang dihitung ialah Rapat keadaan atau Density of State (DOS) menggu- nakan metode Newton-Raphson (NR) dan menganalisa nilai SVH,renormalisasi dari kecepatan fermi vf , dan faktor lompatan energi (tθ ) yang didapatkan dari nilai DOS untuk variasi sudut untiran (θ). 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah : 1. Memahami struktur elektronik dari Sistem TBG. 2. Membuat program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson (NR) untuk menghitung nilai DOS pada graphene layer tunggal dan gra- phene layer ganda. 3. Menghitung dan membandingkan dengan nilai DOS dan SVH pada per- hitungan yang diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson dengan hasil yang telah diperoleh sebelumnya baik analitik maupun eksperimen
- 24. 6 serta mengkaji nilairenormalisasi kecepatan fermi vf dan parameter faktor energi lompatan (tθ ) pada TBG. 1.4 Tinjauan Pustaka Kajian terhadap terhadap nilai DOS dari graphene juga telah banyak dikaji, baik secara teoretik maupun numerik, Castro Neto, dkk (2009) dalam publikasinnya melakukan kajian analitik untuk nilai DOS pada Monolayer Gra- phene dimana diperoleh nilai persamaan DOS per unit sel: ρ(E) = 2Ac π |E| v2 f (1.1) Ac adalah area unit sel dengan nilai Ac = 3 √ 3a2 /2. Nilai DOS tersebut merupakan nilai graphene yang berbeda dari nilai DOS pada Carbon Nanotubes (Neto dkk,2009). Yuan, dkk (2010), menghitung nilai DOS secara numerik dengan algori- tma yang merupakan pengembangan dari model TDSE untuk menemukan distri- busi nilai eigen (Eigen V alue) dalam area matriks yang sangat luas. Ide utama yang digunakan ialah superposisi acak dari semua basis states sebagai inisial state |ϕ(0) = i ai|i , dimana |i merupakan basis states dan ai merupakan bi- langan kompleks. Solusi numerik dari TDSE (Time Dependent Schrodinger Equation) menggunakan persamaan alghoritma Chebyshev polynomial yang berdasarkan pada representasi dari polinomial dari operator U(t) = eitH . Dari gambar (1.2) dan (1.3) yang merupakan hasil dari perhitungan DOS secara analitik pada graphene monolayer, diperoleh nilai DOS terhadap variasi nilai Energi dispersi (E(k))/Nilai harap (t). Hasil dengan pola yang sama, dengan faktor SVH berkisar pada rentang pada rentang nilai ±1eV, Tabert (2012) dalam publikasinya menghitung nilai DOS untuk graphene layer ganda untuk tumpukan AA dan tumpukan AB. Berdasarkan nilai persamaan DOS (Tabert,2012): N(ε) = 2γ π ( υf )2 ε γ − 1 + ε γ + 1 . (1.2) Gambar (1.3(atas)) dan (1.4(a)) memperlihatkan perbedaan nilai DOS antara lembaran tumpukan AA dan tumpukan AB. Untuk nilai DOS pada AA stack (gambar 1.5)ada dua variasi nilai yakni tanpa nilai assymmetri gap
- 25. 7 Gambar 1.2: Rapatmuatan (DOS) yang dihitung dari energi dispersi Dengan variasi nilai t’=0 (atas) dan t’=0.2 (bawah)(t merupakan parameter lompat- an atom terdekat dan t’ parameter lompatan atom terdekat selanjutnya(Neto dkk,2009) (∆=0)dan dengan assymetri gap (∆=1,5γ) untuk nilai rapat muatan pada tum- pukan AB dan rapat spin ganda untuk tumpukan AA pada units 2γ/π( vf )2 . Li dkk (2009), juga mengkaji nilai DOS secara eksperimen dengan meng- gunakan STM (scanning tunneling microscopy) dan dan STS (scanniing tunneling spectroscopy) yang didasarkan pada pola moire (moire pattern), menemukan nilai DOS untuk sudut untiran θ = 1, 79o (Gambar 1.9) (Li dkk,2009). Gambar (1.4 c) memperlihatkan pola SVH untuk TBG yang memiliki kemiripan dengan energi pada kondisi saddle point (Pola Pelana Kuda) untuk θ = 1, 79o ,dan t⊥ = 0, 24 eV (Guohong Li dkk,2009). Manaf (2014) dalam publikasinya juga menghitung nilai DOS pada TBG secara analitik berdasarkan nilai eksperimen yang telah dikaji sebelumnya (Li dkk,2009) dengan menggunakan persamaan : D(E) = 1 16απ3 N[ln| βα2 + E2 f βα2 + E2 |]. (1.3) Gambar (1.4 ) menunjukan nilai DOS dari graphene layer untiran untuk variasi 3 sudut yakni1, 16o ,1, 79o ,dan 3, 48o . dari ketiga tersebut memperlihatkan
- 26. 8 Gambar 1.3: (atas)Dosuntuk graphene monolayer mengguanakan metode me- tode numerik pengembangan dari model TDSE (Yuan, 2010)(bawah)(a)Rapat muatan (DOS) Graphene layer tunggal(b)DOS Graphene layer Ganda tumpuk- an AA (b.1)Tanpa Symmetri dan (b.2)Dengan Symmetri(Tabert,2012) grafik DOS pola yang sama. Perbedaannya terdapat pada nilai SVH (Menjadi puncak pada grafik) yang berbeda pada masing masing grafik. Semakin besar sudut untirannya maka besar nilai SVH bergeser ke nilai yang lebih besar yakni dari Dirac Point. Nilai DOS yang di plot pada sumbu-y pada grafik yang diperoleh juga memperlihatkan nilai yang lebih besar untuk nilai untiran yang lebih besar. Dari hasil kajian pustaka yang telah dilakukan menunjukan bahwa perhi- tungan nilai DOS menggunakan Metode NR khususnya untuk perhitungan nilai DOS graphene monolayer maupun graphene TBG, belum pernah ada sebelum- nya sehingga penulis tertarik untuk mencoba melakukan perhitungan nilai DOS menggunakan metode NR ini.
- 27. 9 Gambar 1.4: (a)DOSGraphene layer ganda tumpukan AB (Tabert,2012) (b)DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1.79o , t⊥ = 0.24 eV(Li dkk,2009)(bawah)DOS untuk variasi nilai sudut puntiran pada bilayer graphene 1, 16o ,1, 79o ,dan 3, 48o (Manaf,2014)
- 28. 10 1.5 Metode Penelitian Metodepenelitian yang digunakan dalam skripsi adalah studi/kajian li- teratur dan perhitungan secara numerik menggunakan program Matlab.Secara umum tahap tahapnya adalah : 1. Mempelajari Struktur elektronik dari sistem graphene baik Monolayer, Bilayer, dan TBG sampai dengan persamaan energi dispersi. 2. Membuat program perhitungan untuk menentukan nilai DOS pada graphe- ne dan TBG untuk variasi θ 1, 16o ,1, 79o ,dan 3, 48o menggunakan metode Newton-Raphson. 3. Menganalisa nilai DOS yang telah diperoleh yakni perbandingan nilai DOS tiap untiran, posisi SVH/sudut kritis, renormalisasi kecepatan fer- mi (Fermy V elocity,vf ) akibat variasi sudut untiran dan faktor energi lompatan (to ) untuk TBG. Nilai DOS yang dihitung pada model graphene monolayer dan model TBG. Model graphene monolayer bertujuan untuk melihat apakah program per- hitungan yang dibuat hasilnya sama dengan nilai perhitungan DOS pada model graphene monolayer yang telah ada sebelumnya. Kemudian jika hasilnya sesu- ai modal perhitungan tersebut digunakan untuk perhitungan DOS pada model graphene TBG dengan variasi variasi θ 116o ,1, 79o ,dan 3, 48o . Alur perhitungan persamaan energi dispersi untuk menghasilkan nilai DOS menggunakan metode Newton Raphson berdasarkan persamaan energi dis- persi dijelaskan pada bagan alir pada gambar (1.5). Sedangkan bagan alir penelitian dan bagan algoritma perhitungan DOS dari persamaan energi dispersi menggunakan metode NR dengan parameter- parameter numerik yang ada, dijelaskan pada gambar (1.6) dan gambar (1.7)
- 29. 11 Gambar 1.5: Baganalir penggunaan metode Newton Raphson untuk menghi- tung DOS berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) Gambar 1.6: Diagram alir penelitian
- 30. 12 Mulai Energi dispersi E(k),E’(k) Parameter, E, Ky, Kx,n )(xE E)E(x -= xx i i ii ' 1 Iterasi > n Iterasi < n )(xE E)E(x -xx i i ii ' 1 )(xE E)E(x -= xx i i ii ' 1 Xi+1 = 0 Xi+1 = 1 i ni iyiy x=x 11 i ni iy i ni ixix x=x )( 11 Selesai Gambar 1.7 Algoritma menghitung DOS menggunakan metode Newton-Raphson
- 31. 13 Perhitungan secara numerikmenggunakan metode Newton Raphson (NR) berdasarkan energi dispersi. Persamaan ini dimasukan kedalam program per- hitungan dengan berbagai variasi parameter numerik yang telah dibuat meng- gunakan program Matlab dengan spesifikasi komputer yang digunakan yakni OS processor intel(R) Core(TM)i3-3217U CPU @1.8 GHz RAM 4 GB 64 Bit Operating. Sedangkan untuk nilai turunan dari energi dispersi (E (x)) yang dipakai pada persamaan NR dihitung secara numerik menggunakan fungsi diff(E(x),Ky) yang telah tersedia pada program Matlab (Lampiran A 1.2). 1.6 Sistematika Penulisan Skripsi ini terdiri dari beberapa bab dan masing-masing terdiri dari bebe- rapa sub-bab dengan merinci pokok-pokok permasalahan sehingga penulisannya dapat dilakukan secara sistematis. 1. Bab I. Pendahuluan berisi uraian latar belakang masalah, batasan ma- salah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, sistematika penelitian dan keaslian skripsi. 2. Bab II.Landasan Teori ; berisi tentang konsep -konsep dasar dari beberapa sifat graphene meliputi, Sifat Geometri, Nilai Halmitonan, Energi disper- si,dan Density Of State (DOS) SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi (vf ) untuk lembaran tunggal (Monolayer) graphene,lembaran ganda (Bila- yer) dan lembaran ganda dengan untiran atau Twisted Bilayer Graphene (TBG). 3. Bab III.Hasil dan Pembahasan; berisi hasil dari peritungan numerik serta pembahasan tentang hasil perhitungan numerik dan perbandingan dengan nilai yang telah diteliti sebelumnya baik secara teoritik maupun eksperi- men. 4. Bab IV.Kesimpulan dan saran.
- 32. BAB II Landasan Teori 2.1Struktur Kristal dan sifat elektronik Graphene Monolayer 2.1.1 Struktur Ruang Real Lembaran tunggal Graphene monolayer merupakan atom karbon yang tersusun dari struktur kristal Sarang Lebah (Honeycomb Lattice) yang meru- pakan kisi hexagonal bravais dengan basis terdiri dari dua atom yang ditandai dengan A dan B pada masing masing kisi. Gambar 2.1: Struktur kristal sarang Lebah pada monolayer Graphene yang atom atomnya dilabeli dengan atom A(Warna Putih) dan B (warna Hitam)(Raza ,2012) . Jika menggunakan sistem koordinat kartesian dengan sumbu x dan y pada bidang kristal graphene dan tegak lurus terhadap sumbu z untuk bidang pada graphene. vektor dua dimensi dalam bidang yang sama pada graphene digambarkan sendiri dalam koordinat x dan y. Vektor kisi primitif dari kisi Bravais Hexagonal (gambar 2.1) ditandai dengan a1 dan a2. a1 = a 2 , √ 3a 2 , a2 = a 2 , − √ 3a 2 , (2.1) dimana a=|a1|=|a1| adalah kisi konstan. Pada graphene a= 2.46 Å Lattice konstan adalah jarak antara unit sel yang merupakan jarak atom kar- 14
- 33. 15 bon. Ikatan lengan-lengankarbon yang panjangnya acc= a/ √ 3 Å (Raza:2012). Vektor posisi dari atom terdekat nearest − neighboor disimbolkan dengan δi (Ta- bert,2012), yakni δ1,δ2, dan δ3. ketiganya dapat dituliskan sebagai : δ1 = a 2 (1, √ 3), δ2 = a 2 (1, − √ 3), δ1 = −1(a, 0). (2.2) Sedangkan untuk vektor posisi dari atom terdekat berikutnya (Second Nearest Neighbour) adalah (Neto dkk,2009): δ1 = ±a1, δ2 = ±a1, δ3 = ±(a2 − a1). (2.3) 2.1.2 Kisi Balik (Reciprocal Lattice) Graphene Kisi balik merupakan kisi yang dibentuk oleh vektor translasi dari kisi primitif (Quinn dan Yi, 2009) .Kisi balik pada graphene memiliki simetri yang identik yakni hexagonal, akan tetapi kisi baliknya berotasi 90o bila dibandingkan dengan kisi sesungguhnya (Wong dan Akinwende ,2011).Dengan penyelesaian kisi balik digambarkan pada gambar (2.2) ,dimana kisi hexagonal bravais. ZB adalah wilayah hexagonal yang ditandai (Raza,2012). Zona Brilloun (ZB) atau (Brilloun Zone) merupakan sel Wigner−Seitz pada kisi balik. dimana sifat simetrinya memuat banyak informasi yang mewa- kili sistem material yang dikaji(Manaf,2014). Vektor kisi balik pada ZB dapat ditulis: b1 = 2π 3a (1, √ 3), b2 = 2π 3a (1, − √ 3). (2.4) Dimana terdapat beberapa titik yang menjadi pusat yang berkaitan de- ngan energi dispersi E(k)(Manaf,2014). titik titik tersebut adalah K dan K dimana masing masing memiliki posisi di ruang momentum (Neto dkk,2009) K = ( 2π 3a , 2π 3 √ 3a ), K = ( 2π 3a , − 2π 3 √ 3a ). (2.5) 2.1.3 Metode ikatan kuat (Tight Binding) Monolayer Graphene Model ikatan kuat (Tight Binding) adalah model pendekatan untuk menghitung struktur pita elektronik pada sistem yang digunakan dengan mem- perkirakan kumpulan pita berdasarkan fungsi gelombang sebagai superposi-
- 34. 16 Gambar 2.2: KisiBalik Pada Graphene (atas)Zona Brilloun pada Graphene (bawah)(Raza,2012) . si fungsi gelombang atom yang terisolasi pada kisi kisi gelombang (Tabert : 2012).Dengan mempertimbangkan elektron yang berpindah ke atom terdekat maupun ke atom terdekat berikutnya dapat dituliskan (dengan =1)(Neto dkk, 2009) H = −t <i,j>,σ (a† σib† σj + H.c) − t <i,j>,σ (a† σia† σjb† σia† σj + H.c), (2.6) dimana aσi(a† σi) merupakan operator penghancur (kreasi)elektron dengan spin σ(σ = ↑, ↓) di titik Ri pada sub kisi A (defenisi yang sama untuk kisi B).Notasi diatas ditulis dalam bentuk kuantisasi kedua (Second Quantization) (Tabert,2012) dengan parameter t(≈ 2, 8eV ) yang merupakan energi lompatan
- 35. 17 ke atom terdekatdan t merupakan energi lompatan ke atom berikutnya (Neto dkk,2009). E± = ±t (3 + f(k)) + t f(k), (2.7) dengan nilai fk f(k) = 2cos √ 3kya + 4cos √ 3 2 kya cos 3 2 kxa , (2.8) dimana tanda ± merupakan tanda untuk menunjukan pita atas (bawah) π∗ (π)(Neto dkk,2009). Gambar 2.3: Energi dispersi dengan nilai t = 3, 033 dan t = 0, 29 dilihat dari penampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011)
- 36. 18 Gambar 2.4: Energidispersi dengan t = 0 dilihat dari penampang tiga dan dua dimensi (Raza,2011) 2.2 Struktur Kristal dan sifat elektronik Bilayer Graphene Lembaran ganda graphene ( Graphene Bilayer) tersusun atas dua lem- baran tunggal graphene yang keduanya terikat melalui gaya V an Der Waals. Dimana lembaran ini diklasifikasikan dalam dua tipe tumpukan yakni tumpukan AB (AB Stacked Bilayer) dan tumpukan AA (AA Stacked Bilayer)(Manaf, 2014). 2.2.1 Tumpukan AB Tumpukan AB atau dikenal dengan Bernal Stacking merupakan susunan alami lembaran lembaran tunggal graphene membentuk graphite (Neto, dkk : 2009). Tumpukan ini memiliki empat atom untuk tiap sel satuan yakni A1 dan B1 pada lembaran bawah dan A2 dan B2 pada lembaran atas atau sebaliknya. Sehingga dalam tumpukan AB, pada atom B1(lembaran bawah) berpasangan dengan atom A2 pada lembaran atas. Vektor kisi primitif pada tumpukan AB yakni a1 = (1/2, √ 3/2)a0 dan a1 = (−1/2, √ 3/2)a0. Nilai a0 sama dengan lembaran tunggal yakni a ≈ 2, 46 angstrom. Sel satuan dari tumpukan AB sama dengan nilai pada graphene lembaran tunggal begitu juga dengan nilai kisi balik dan ZB, sama dengan lembaran tunggal graphene (Raza,2012). Model Hamiltonan tight binding pada tumpukan AB adalah (Neto dkk, 2009)
- 37. 19 Gambar 2.5: TumpukanAB Graphene (Tabert,2012) H = −γ0 <i,j>m,σ (a† 1,i,σb† m,j,σ + H.c) − γ1 j,σ (a† 1,j,σa† 2,j,σ + H.c) − γ4 j,σ (a† 1,j,σb† 2,j,σ + (a† 2,j,σb† 1,j,σH.c) − γ3 <i,j>m,σσ (b† 2,i,σb† 2,j,σ + H.c), (2.9) dimana am,i,σ(am,i,σ) merupakan operator penghancur elektron dengan spin σ pada sub kisi A(B) untuk bidang m=1,2 di Ri. Sedangkan a† m,i,σ(b† m,i,σ) merupakan operator kreasi elektron dengan spin σ pada subkisi A(B) untuk bidang m=1,2 di Ri. Nilai γ0,γ1,γ3, dan γ4 merupakan parameter lompatan energi (energi yang dibutuhkan untuk melompat dari satu atom ke atom yang lain)yang nilainya sama dengan nilai pada graphite. Nilai γ0=t merupakan pa- rameter energi lompatan pada bidang yang sama γ1(γ1 = t⊥ ≈ 0, 4) eV meru- pakan parameter lompatan energi antara atom A1 dan atom A1. γ4(γ4 = 0, 04) eV merupakan parameter energi lompatan antara atom A1(A2) dan B1(B2). Se- dangkan γ3 merupakan parameter energi lompatan antara atom B1 dan B2 (Neto dkk,2009). Pembahasan tentang Hamiltonan (Persamaan 2.10) dapat difokuskan pa- da daerah titik K pada ZB, dengan cara mengekspansikan momentum dekat titik K. Nilai Hamiltonannya dapat ditulis (Neto dkk,2009): H = k ψ† k.Hk.ψk, (2.10)
- 38. 20 dimana nilai parameterγ4 dapat diabaikan maka: H = −φ vf k 0 3γ3ak vf k∗ −φ γ1 0 0 γ1 φ vf k 3γ3ak 0 vf k∗ φ (2.11) k = kx + iky merupakan bilangan kompleks, φ merupakan perubahan electrochemical potential antar dua lembaran φ yang akan muncul ketika poten- sial bias diberikan pada dua lembaran tersebut. ψ† k dengan nilai ψ† k = (b† 1a† 1a† 2b† 2) merupakan eigen vektor. Jika φ = 0 dan γ3, vf k γ1 maka model hamiltonan pada persamaan (2.12) dapat dituliskan dalam bentuk Hamiltonan efektif (Neto dkk,2009) Hk = 0 v2k2 γ1 + 3γ3ak∗ v2k∗2 γ1 + 3γ3ak 0 (2.12) untuk γ = 0 maka persamaan diatas menghasilkan dua pita berbentuk parabolik εk,± = ±v2 f k2/t⊥ yang keduanya saling bersentuhan di ε = 0 (gambar 2.7). Dari sana juga bisa diketahui bahwa adanya simetri elektron-holes. De- ngan pendekatan yang sama diperoleh juga dua pita tambahan yakni masing masing satu pada pita valensi dan pita konduksi yaitu γ1(γ1 = tt ≈ 0.04).(Neto dkk,2009). Pada persamaan (2.11) apabila φ = 0 hal ini akan merusak ekuivalen- si dari dua lembaran graphene (tumpukan AB)tersebut atau dengan kata lain merusak simetri inversi. Energi dispersi dapat dituliskan (Neto dkk,2009): ε±,k = φ2 + v2 f k2 + t2 ⊥ ± 4φ2v2 f k2 + t2v2 f k2 + t2 ⊥/4. (2.13) 2.2.2 Tumpukan AA Seperti pada tumpukan AB (Bernal Stacking), tumpukan AA tersusun juga atas dua lembaran graphene yang terikat melalui gaya Van Der Walls. Pada tumpukan AA atom A(B) pada lembaran atas ditumpuk berpasangan dengan atom A(B) pada lembaran bawah (gambar 2.8). Model hamiltonan spin tunggal
- 39. 21 Gambar 2.6: StrukturPita Energi pada tumpukan AB Graphene tanpa gap dan dengan gap (Tabert,2012) pada tumpukan AA adalah (Tabert dan Nicol,2012). Gambar 2.7: Tumpukan AA Graphene (Tabert,2012) H = −t n,σ (b† ln+σaln+H.c)−t n,σ (b† 2n+σa2n+H.c)+γ n (a† 2na1n+(b† 2nb1n+H.c), (2.14) dimana dua suku pertama pada persamaan (2.15) merupakan bentuk pa- rameter lompatan elektron ke atom terdekat pada bidang atau lembaran yang sama dengan energi lompatan yakni t ∼ 3 eV.Dua bidang penyusun tumpuk- an AA ditandai dengan i dengan i = 1.2.ai,n merupakan operator penghancur elektron pada atom A di titik n pada lembaran Graphene i.Label n merupakan indeks dari posisi pada kisi Bravais triangular. Sebaliknya b† i,n+δ merupakan
- 40. 22 operator kreasi elektronpada lembaran i di dekat atom B pada posisi n + δ dengan δ merupakan vektor posisi atom terdekat.Vektor posisinya dapat ditu- liskan: δ1 = −(a1 + a2)/3, δ2 = (2a1 − a2)/3, dan δ3 = −(a1 − 2a2)/3. (2.15) Vektor kisi primitif dari subkisi triangular adalah : aa = (a √ 3/2, a/2) dan aa = (a √ 3/2, −a/2) dengan |a1| = |a1| = √ 3aC−C dimana aC−C merupakan jarak terdekat dari ikatan karbon (Tabert dan Nicol,2012) Suku ketiga dari persamaan (2.21) terkait dengan parameter energi lom- patan antar lembaran graphene. Dimana parameter lompatan antara antara atom A(B) pada lembaran pertama menuju atom A(B) yang terdekat pada lem- baran kedua dituliskan dalam bentuk γ ≈ 0.2 eV.Pada tumpukan AA, elektron juga dapat melompat dari atom A(B) pada lembaran pertama menuju atom B(A) yang terdekat pada lembaran kedua. Tetapi energi lompatannya sangat kecil sehingga suku lompatan tersebut dapat diabaikan (Tabert dan Nicol,2012). Bentuk hamiltonan pada persamaan (2.15) dapat ditransformasikan ke ruang k sehingga dapat dituliskan (Tabert dan Nicol,2012) H = 0 0 γ f(k) 0 0 f ∗ (k) γ γ f(k) 0 0 f ∗ (k) γ 0 0 (2.16) Dimana f(k) = −t σ eik.σ dan digunakan vektor eigen ψ = (a1k, b2k, a2k, b1k) (Manaf:2014).Penyelesaian untuk nilai eigen dari H diperoleh nilai energi dis- persi (Tabert dan Nicol,2012) εα(k) = ±[|f(k)| + (−1)α γ], (2.17) dengan α=1 dan 2 sedangkan f(k) merupakan dispersi energi untuk lem- baran tunggal. Untuk energi rendah maka nilai f(k) dapat diekspansikan di sekitar titik K pada ZB dan diperoleh f(k) = vf keiθ dengan vf = √ 3ta/2 dan θ merupakan sudut ruang k disekitar titik K. Dari gambar (2.9) dapat dida- patkan dua pita energi yang identik dengan lembaran tunggal grpahene (Tabert
- 41. 23 dan Nicol,2012). Gambar 2.8:Struktur Pita Energi pada tumpukan AB Graphene(Tabert,2012) 2.3 Struktur Kristal dan sifat elektronik Twisted Bilayer Graphene 2.3.1 Struktur Kristal pada Twisted bilayer Graphene Untiran pada permukaan Graphite yang sebelumnya telah diteliti meng- gunakan Scanning Tunnelling Microscope (STM)(Li,dkk : 2010) dijadikan da- sar dalam kajian terhadap untiran antar lembaran Graphene (Twisted Bilayer Graphene Layers)yang kemudian dikembangkan menjadi model Twisted Bilayer Graphene (TBG)(Santos dkk,2007). Model TBG dikarakterisasi melalui keberadaan sudut rotasi dan vektor translasi relatif antara dua lembaran graphene. Apabila kedua struktur kisi ter- sebut sepadan, maka diperolah vektor kisi primitif L1 dan L2 yang diperoleh dari hasil perkalian bilangan bulat dengan vektor-vektor kisi masing-masing lembar- an.Nilai L1 dapat dituliskan dalam bentuk bilangan bulat m,n,m’,n’.Persamaaanya adalah: L1 = ma (1) 1 + na (1) 2 = m a (2) 1 + n a (2) 2 , (2.18) dengan a (1) 1 dan a (2) 1 merupakan vektor kisi dari lembaran Graphene l = 1.2. Sedangkan L2 diperoleh dengan cara merotasikan L1 sebesar 60o . indeks
- 42. 24 (m, n) dapatdibuat sama dengan indeks (n , m ) dengan cara memilih vektor posisi sehingga TBG dapat dimodelkan melalui sepasang bilangan bulat (m, n). Nilainya dapat dituliskan(Moon dan Koshino,2012) : cosθ = 1 2 m2 + n2 + 4mn m2 + n2 + mn , (2.19) dimana konstanta kisi pada TBG L = |L1| = |L2| bernilai: L = a0 √ m2 + n2 + mn = |m − n| 2sin(θ/2) a0, (2.20) dengan a0 = |a1| = |a2| ≈ 0.246 merupakan konstanta kisi pada graphene (Moon dan Koshino,2012). Gambar 2.9: (2.1(a))Struktur atom pada TBG dengan sudut untiran θ = 21.8o .(2.1(b))ZB pada TBG (Cocemasov, dkk,2013) Luasan dari sel satuan (Unit cell) pada model TBG adalah S = |L1 × L2| = ( √ 3/2)L2 . (2.21) Bentuk ZB pada TBG ditunjukan pada gambar 2.10(b). Terdapat dua titik Dirac K dan Kθ pada Zona Brilloun dari TBG dikarenakan adanya untiran antara satu lembaran relatif terhadap lembaran yang lain dimana jarak antara titik Dirac K(Kθ) dengan pusat Zona Brilloun Γ bernilai 2π/ao. Besar Vektor pergeseran dari K menuju Kθ (Luican dkk,2011).
- 43. 25 Gambar 2.10: (Visualisasiluasan dari sel satuan (unit sel) pada TBG pada beragam sudut untiran (Moon dan Koshino,2012) ∆K = 8π 3ao sin(θ/2), (2.22) dengan θ merupakan sudut untiran dan ao merupakan konstanta kisi pada lembaran tunggal graphene. Vektor pergeseran ∆K memiliki komponen ∆Kx dan ∆Ky dimana sudut yang dibentuuk antara ∆Kx dan ∆K adalah θ/2 se- hingga untuk nilai ∆Kx dan ∆Ky diperoleh nilai (Manaf,2014). ∆Kx = ∆Ksin(θ/2). (2.23) ∆Ky = ∆Kcos(θ/2). (2.24)
- 44. 26 2.3.2 Model Hamiltonandan Energi Dispersi Twisted Bilayer Gra- pene Model Hamiltonan pada daerah disekitar K dan Kθ diformulasikan (Ta- bert dan Nicol,2009): H(k) = H0(k + ∆K/2) H⊥ H† ⊥ H0(k − ∆K/2) (2.25) dengan H0(k) = 0 f ∗ (k) f(k) 0 (2.26) dimana f = vf (kk + iky) dan H0 ⊥(k) = ˜t⊥ 1 1 1 1 (2.27) H± ⊥ (k) = ˜t⊥ e iφ 1 e±iφ e iφ (2.28) Parameter lompatan energi disimbolkan dengan ˜t⊥ (berkisar antara 100 meV sampai dengan 150 meV), φ = 2π/3, merupakan tetapan planck sedangkan vf merupakan kecepatan fermi. Dari persamaan (2.25) sampai persamaan (2.28) diatas diperoleh bentuk analitik dari persamaan dispersi energi (saat tidak ada magnet luar)(Tabert dan Nicol,2009) E2 α(k) = 1 2 [˜t2 ⊥ + ε+2 G + ε−2 G + (−)ξ Γ], dimana Γ = (˜t2 ⊥ + ε+2 G + ε−2 G )2 + 4ε+2 G ε−2 G . (2.29) ξ bernilai 1 dan 2 serta ε± G = |f(k ± ∆K)|. dispersi ini hanya berlaku pada sudut untiran 3o ≤ θ ≤ 10o (Manaf : 2014). Sedangkan untuk sudut untiran θ ≤ 3o tidak berlaku persamaan (2.29).
- 45. 27 Gambar 2.11: DispersiEnergi dengan sudut untiran θ = 10o diperoleh menggu- nakan persamaan(2.3) Oleh karena itu dikembangkan model hamiltonan yang sesuai untuk sudut un- tiran yang relatif lebih kecil. Model hamiltonan tersebut dapat dituliskan (Ma- naf,2014): Heff = 2 2 v2 f 15˜t2 ⊥ 0 (k∗)2 − (1 2 ∆K)2 k2 − (1 2 ∆K)2 0 (2.30) dengan bilangan kompleks k didefinisikan sebagai k = kx +iky dan ∆K = ∆Kx + ∆Ky. (kx, ky) merupakan komponen vektor dari k relatif terhadap titik tengah (mid point) dari titik Dirac (Dirac Points). Dari persamaan (2.30) diperoleh persamaan (He dkk : 2013): E(kx, ky) = α (k2 x − k2 y − 1 4 ∆K2 x + 1 4 ∆K2 y )2 + (2k2x − k2 y − 1 2 ∆Kx∆Ky)2, (2.31) dengan α = ±2 2 v2 f /15˜t⊥. Dispersi energi (persamaan 2.31) diatas dikhu- suskan untuk tinjauan pada daerah energi dekat aras fermi dan terkait dengan SVH. keberadaan SVH sendiri mulai teramati saat θ ≤ 10o , oleh karena itu dispersi energi diatas ahanya valid pada sudut untiran θ ≤ 10o (He, dkk,2013).
- 46. 28 Gambar 2.12: DispersiEnergi dengan sudut untiran θ = 1.16o (Manaf :2014) 2.3.3 Rapat Keadaan (Density of State) Graphene Layer Tunggal (Graphene Monolayer) Rapat Keadaan (DOS)merupakan gambaran tentang kondisi energi pa- da tiap keadaan (States) yang bebas ditempati elektron (Tabert, 2012).Rapat keadaan (DOS) per unit area dapat dituliskan : N(ε) = Nf k δ(ε − E(k)), (2.32) dimana Nf adalah faktor degenerasi. jumlah k dapat diganti dengan integral dua dimensi k → 1 (2π)2 d2 k, (2.33) Persamaan diatas bisa dihitung secara numerik menggunakan represen- tasi lorentzian pada delta fungsi δ(x) = lim 1 π η η2 + x2 , (2.34) dengan perluasan penyebaran nilai dari η. Untuk rapat muatan penuh digunakan persamaan (2.8)untuk E(k). Untuk Rapat Muatan Penuh
- 47. 29 N(ε) = Nf 1 (2π)2 1stB.Z dkxdkyδ(ε− E(k)), (2.35) Untuk Nf = gx = 2 diperoleh (Neto,2009): N(ε) = 1 (2π) 1stB.Z dkxdkyδ(ε − E(k)), (2.36) Nilai DOS juga dapat diperoleh dengan penjumlahan kecepatan group (group velocity)dari Dirac Fermion. Kecepatan group bisa diperoleh dengan Divergence dari energi dispersi E(k)(Manaf,2014): v = 1 E(k), (2.37) dengan nilai DOS: D(E) = 1 4π3N dl |v| , (2.38) Sehingga nilai DOS bisa dituliskan : D(E) = 1 4π3N dl E(k) . (2.39) 2.3.4 Rapat Keadaan (DOS) Twisted Bilayer Grapene Bentuk Rapat Keadaan pada model Twisted Bilayer Graphene (TBG) diperoleh dari nilai E(k) berdasarkan persamaan (He dkk 2013) : E(kx, ky) = α(A2 + B2 )1/2 , (2.40) dimana untuk nilai α = ± 2 2v2 f 15t , A= k2 x − k2 y − 1 4 ∆K2 x + 1 4 ∆K2 x dan nilai B= 2k2 xk2 y − 1 2 ∆kxky dimana t adalah coupling antar layer dan (kx, ky) vek- tor gelombang dua dimensi relatif terhadap titik tengah titik Dirac. Vektor ∆K(∆Kx, ∆Ky) adalah pergeseran relatif dari Dirac Point pada ZB(Gambar 2.10(b)). Untuk nilai ∆K: ∆K = 8π 3ao sin( θ 2 ). (2.41)
- 48. 30 Untuk nilai aoadalah kisi konstan dari graphene layer tunggal. dan θ ada- lah sudut dari rotasi setara yakni ∆Kx = ∆Ksin(θ/2) dan ∆Ky = ∆Kcos(θ/2) (Manaf dkk, 2014) Untuk nilai DOS dirumuskan (Manaf,2014) : D(E) = 1 16απ3N ln βα2 + E2 f βα2 + E2 , (2.42) dengan β = −2(A1(k2 x − k2 y) + B1(k2 xk2 y)) − 1 16 |∆K|4 . (2.43) Pada persamaan (2.33) efek dopingnya diabaikan, sehingga posisi aras Fermi Ef diasumsikan bernilai 0 meV (berada pada titik Dirac)atau identik dengan Graphene murni (Manaf,2014) Pendekatan ini dilakukan berdasarkan model TBG yang menunjukan bahwa Dirac Cones masih terlihat pad susut untiran θ > 1o sehingga sifat graphene murni masih dimiliki Dirac Cones akan mulai tidak terlihat pad susut untiran θ < 1o , sehingga sifat graphene murni akan menghilang pada sudut untiran tersebut (Santos, dkk ,2012). Posisi aras fermi yang berada pada titik Dirac maka persamaan (2.33) dapat dituliskan (Manaf,2014): D(E) = N0 ln βα2 + E2 D βα2 + E2 , (2.44) dengan ED merupakan energi pada titik Dirac dan N0 = 1/16απ3 N (Ma- naf ,2014). 2.4 Low − Energy SVH dan renormalisasi Kecepatan fermi (vf ) Berdasarkan data eksperimen menggunakan STS dengan sudut untiran θ = 1, 16o didapatkan nilai beda jarak antara satu SVH dengan SVH satunya (jarak antar SVH) adalah ∆ESV H=12 meV (Li dkk, 2009). Aras Fermi berada pada energi nol (Zero−Energy States) dan tepat berada ditengah-tengah SVH, sehingga jarak SVH dan aras Fermi adalah 6 meV (Manaf, 2014). Jarak antar SVH yang diperoleh dari model tersebut untuk sudut untiran 2o < θ < 5o dapat diformulasikan dengan :(Santos dkk,2007; Raza,2012)
- 49. 31 ∆ESV H ≈vf ∆K − 2tθ , (2.45) dimana tθ merupakan faktor energi lompatan antar bidang yang gayut dengan sudut untiran ditambahkan dengan potensial bias (gate voltagge). Beda jarak SVH lainnya yang berhasil dikaji secara eksperimen pada sudut untiran θ = 1, 79o dengan beda nilai SVH ∆ESV H=82 meV dan pada sudut untiran θ = 3, 48o dengan beda nilai SVH ∆ESV H=430 meV (Li dkk,2009; Raza,2012; Manaf,2014). Gambar 2.13: Tunneling spectra untuk berbagai sudut untiran(Raza,2012) Selain SVH yang dekat dengan aras fermi, pada kajian graphene dengan sudut untiran muncul sifat-sifat yang identik dengan lembaran tunggal graphe- ne, yakni partikel yang terlibat merupakan massless Dirac Fermions dan re- normalisasi kecepatan Fermi (vf ). Kedua hal ini berkaitan dengan pergeseran Dirac Cones seperti pada perubahan nilai SVH pada variasi sudut untiran. Semakin bertambahnya pergeseran ke Dirac Cones akan membuat dispersi ener- gi terlihat semakin linear. Dimana akan diperoleh keberadaan dua Dirac Cones yang semakin jelas (Manaf, 2014) Bentuk dispersi energi berbentuk Dirac Cones identik pada lembaran tunggal graphene yang menggambarkan bahwa partikel merupakan massless Dirac Fermions (Raza,2012). Berdasarkan fakta teori dan eksperimen kecepatan fermi (vf ) akan ber- tambah seiring dengan bertambahnya sududt untiran hingga mencapai sudut untiran maksimum yakni θ = 30o , dimana nilai ini teramati pada Chemical V apour Deposition (CVD) graphene films. Pada CVD terlihat keberadaan massless Dirac Fermions baik untuk sudut untiran kecil θ < 10o dan sudut un-
- 50. 32 tiran lebih besar10o < θ < 30o . sedangkan untuk nilai kecepatan fermi vf terjadi perbedaan untuk perbedaan sudut untiran yakni 0.87 × 106 m/s dan 1.10 × 106 m/s.perubahan ini disebut dengan renormalisasi kecepatan fermi vf yang secara teori dapat dimodelkan dengan persamaan(Sanos dkk,2007;Raza,2012): vf (θ) vθf = 1 − 9 tθ± vf ∆K 2 . (2.46) vf (θ) vθf adalah kecepatan fermi pada lembaran-lembaran graphene yang mengalami untiran (Kecepatan fermi vf pada lembaran tunggal graphene). 2.5 Metode penentuan nilai akar-akar Newton-Raphson (NR) Metode NR merupakan salah satu metode untuk menentukan akar akar suatu persamaan.Metode NR menggunakan satu nilai tebakan awal yakni nilai perkiraan awal dari akar akar persamaan yang ingin dihitung xi. Suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi,f(xi), dimana garis singgung tersebut me- motong sumbu x yang biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dengan nilai akar.Dasar dari persamaan ini adalah Aproksimasi linear dari fungsi di- sekitar nilai akar. nilainya bisa diperoleh dengan memperluas fungsi f(xr = 0 disekitar nilai akar xr melalui ekspansi Taylor (Pang, 2006). Gambar 2.14: Skema ilustrasi tahap untuk menemukan akar persamaan meng- gunakan methode Newton raphson (Pang, 2006) . Penurunan rumus Newton-Raphson(NR) menggunakan deret Taylor
- 51. 33 f(xi+1) f(x −i) + (xi+1 − xi)f (xi) + frac(xi+1 − xi)2 2f (xi), xi < t < xi+1. (2.47) Nilai dipotong sampai orde suku satu menjadi f(xr+1) f(x − r) + (xr+1 − xr)f (xr) karena nilai suku orde dua bernilai sangat kecil dan dapat diabaikan. Dimana nilai x dianggap sebagai nilai coba untuk nilai akar xr pada ting- kat tertentu misal i dan aproksimasi untuk tahap setelah i yakni i + 1 diperoleh dari : f(xi+1) = f(xi) + (xi+1 − xi)f (x) 0, (2.48) Sehingga xi+1 = xi + ∆xi = xi − fi fi , (2.49) dan jika ditentukan berdasarkan grafik suatu persamaan melewati pada nilai y=0 : xi+1 = xi − f(xi − 0) f (xi) . (2.50) Nilai 0 pada f(xi − 0) merupakan nilai pembuat nol pada Metode NR sehingga persamaannya menjadi : xi+1 = xi − f(xi) f (xi) . (2.51) Pada metode NR yang dipakai pada perhitungan di skripsi ini nilai pem- buat nol diberikan oleh nilai E(k) (sb-y) sebagai level energi pada grafik Energi dispersi terhadap nilai Kx dan Ky sehingga persamaannya menjadi xi+1 = xi − E(xi) − E E (xi) . (2.52) 2.5.1 Perhitungan nilai ralat pada metode Newton-Raphson Perhitungan numerik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai sebenarnya sehingga terdapat nilai kesalahan atau ralat terhadap nilai yang sebenarnya. Ralat berkaitan dengan seberapa dekat solusi hampiran dengan
- 52. 34 solusi yang sebenarnya.Misalkan ˜a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka nilai selisih ε = a−˜a disebut ralat, dimana nilai positif maupun negatifnya tidak berpengaruh sehingga dapat didefenisikan (Tresnaningsih, 2010) : |ε| = |a − ˜a|. (2.53) Ukuran ralat ini tidak terlalu bermakna karena tidak menjelaskan sebe- rapa besar ralat tersebut dari nilai sejatinya. Sehingga diperlukan interpretasi ralat tersebut yang dinormalkan terhadap nilai sejatinya. ralat ini dikenal de- ngan istilah ralat relatif (ε|R). ralat ini didefenisikan sebagai εR = ε a atau jika ditulsi dalam persentase εR = ε a × 100%¸, untuk ralat relatif hampiran εR = ε a . Nilai ralat ini juga disebut nilai ralat relatif sejati karena dinormalkan terha- dap nilai sebenarnya (Tresnaningsih, 2010). Sedangkan untuk sumber utama ralat dalam perhitungan numerik secara umum ada dua yakni(Tresnaningsih, 2010) : 1. Ralat Pemotongan Ralat pemotongan mengacu pada ralat yang disebabkan karena penggan- tian ekspresi matematika yakni pemotongan suatu deret(Tresnaningsih, 2010). Contoh : Hampiran deret taylor 1 − x2 2! + x4 4! + x6 6! x8 8! + x10 10! + ......, (2.54) Pada deret diatas nilai deret dipotong pada pada suku x6 6! . Nilai ralat dapat dihitung melalui hampiran ralat pemotongan menggunakan rumus suku sisa(Tresnaningsih, 2010) : Rx(x) = n k=1 (x − x0)(n+1) (n + 1)! fn+1 (c), x0 < c < x. (2.55) Untuk nilai c pada batasan selang tertentu, maka nilai mungkin dari Rn untuk c dalam selang tersebut(Tresnaningsih, 2010): |Rx(x)| < max x0<c<x |fn+1 (c)|x (x − x0)(n+1) (n + 1) . (2.56) 2.Ralat Pembulatan Ralat Pembulatan merupakan pengurangan cacah digit pada suatu nilai hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir. Penjelasan tentang
- 53. 35 ralat pembulatan telahdijelaskan diatas dan terjadi karena adanya pembulatan dalam komputasi numerik.
- 54. BAB III Hasil danPembahasan 3.1 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS) un- tuk graphene Monolayer Menggunakan metode Newto Raphson Gambar 3.1: (a)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk nilai harap t = 2, 8 dan t = 0.(b)Grafik Energi Dispersi Graphene Layer Tunggal untuk parameter lompatan t = 2, 8 dan t = 0 pada saat nilai Kx=0 diperoleh dari persamaan energi dispersi(2,8). Gambar 3.1a dan 3.1b merupakan grafik dari energi dispersi untuk gra- phene monolayer dengan nilai parameter lompatan t = 2.8 dan t = 0 yang dipe- roleh dari perhitungan menggunakan persamaan energi dispersi E(k)(Persamaan 2.8). Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa grafik energi dispersi bi- sa memberikan informasi distribusi elektron pada setiap level E sehingga dari sini bisa diprediksi grafik DOS yang akan dihasilkan. Atas dasar inilah pada perhitungan DOS kali ini hanya diambil rentang nilai E dari -2 eV sampai 2 eV dikarenakan pada rentang energi tersebutlah elektron terdistribusi lebih banyak sehingga kemungkinan posisi SVH pada DOS akan berada pada rentang energi tersebut(Lihat gambar 3.1b grafik DOS pada saat Kx=0). Selain dari energi dispersi E(k), nilai SVH juga bisa diprediksi dari posisi titik pelana Saddle Point (SP) pada grafik energi dispersi. Posisi titik pelana menunjukan posisi flat (seperti bentuk pelana) pada energi dispersi dimana energi (E) energi bernilai konstan. Gambar 3.2 menunjukan posisi SP pada 36
- 55. 37 grafik monolayer dimananilainya berkisar pada nilai E/t= 1 eV Gambar 3.2: Posisi saddle point (SP) pada energi dispersi untuk graphene mo- nolayer Perhitungan numerik untuk menghitung nilai DOS pada graphene mono- layer didasarkan pada persamaan energi dispersi E(k)(Persamaan 2.9), meng- gunakan metode Newton Raphson yang menghasilkan beberapa grafik DOS de- ngan beberapa variasi parameter numerik. Parameter-parameter tersebut yak- ni,parameter level energi(E) parameter K(x), parameter tebakan awal (K(y)) dan iterasi (n). Untuk variasi parameter tebakan awal K(y) dan nilai itera- si (n) tidak memberikan pengaruh yang terlalu berarti terhadap nilai bentuk grafik yang dihasilkan. Untuk variasi parameter tebakan awal K(y) juga tidak memberikan perubahan pada hasil grafik hal ini karena nilai tebakan awal yang merupakan nilai predisksi akar-akar yang sebenarnya sehingga nilai tersebut ak- an mengacu pada nilai-nilai akar sebenarnya dari persamaan. Jika nilainya tidak ada atau jauh dari nilai akar-akar yang ada maka nilai prediksi akar dari tebakan awal dianggap nol. Sedangkan untuk parameter iterasi (n) juga diperoleh hasil grafik yang sama untuk beberapa variasi parameter iterasi (n). Hal ini dikare- nakan faktor kekonvergenan dari fungsi yang digunakan (energi dispersi E(k). Dimana nilai akan mencapai nilai konvergen untuk pengulangan iterasi yang tidak terlalu lama. Nilai iterasi (n) yang diberikan dengan jumlah 50, 100, 300, 500 dan 1000, menghasilkan grafik yang sama. Walaupun tidak memeberikan pengaruh pada hasil grafik DOS, parameter tebakan awal K(y) maupun para-
- 56. 38 meter iterasi (n)tetap memberikan pengaruh pada proses lamanya perhitungan yakni jika nilai iterasi (n) dan parameter tebakan awal K(y) yang diberikan semakin besar maka waktu untuk proses perhitungan akan bertambah karena setiap proses perhitungan program akan menghitung nilai yeng lebih banyak sehingga membutuhkan waktu yang lebih lama untuk masuk ke perhitungan selanjutnya. Gambar 3.3: Variasi grafik DOS untuk graphene monolayer (c) ∆Kx=0.05 E=0.05 ∆Ky=0.1 Dengan variasi nilai parameter iterasi (n) 50,100,300, dan 500 Sedangkan untuk variasi parameter level energi E dan parameter K(x) akan memeberikan pengaruh terhadap bentuk grafik DOS yang dihasilkan. Jika nilai parameter yang diberikan baik parameter E dan K(x) semakin besar (Ni- lai rentang (∆E dan ∆K(x) semakin kecil) maka grafik yang dihasilkan akan semakin baik(halus). Pada gambar (3.2) memperlihatkan hasil perhitungan DOS berupa grafik. Dari beberapa grafik yang dihasilkan, grafik pada gambar (3.2(c)) merupakan grafik yang paling baik dibadingkan grafik (3.2(a)) dan (3.2(b)). Sehingga da- pat disimpulkan bahwa pada perhitungan DOS menggunakan metode Newton-
- 57. 39 Raphson, parameter Edan K(x) merupakan parameter yang paling berpenga- ruh terhadap nilai grafik DOS yang dihasilkan. Nilai ralat yang digunakan pada metode NR ini yaitu menggunakan sum- ber ralat pembulatan. Nilai ini diambil dari nilai selisih antara nilai tebakan awal dengan nilai akar sebenaarnya. Untuk perhitungan monolayer graphene diperoleh nilai ralat ±0.002 atau 0.2%¸. Nilai ralat yang diperoleh menunjukan nilai ralat yang cukup kecil sehingga dapat disimpulkan nilai perhitungan pa- da graphene monolayer menghasilkan nilai yang tidak terlalu jauh dengan nilai sebenarnya (gambar 3.1(d)). Gambar 3.4: Beberapa bentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0.05 ∆E=0.1 ∆Ky=0.1(b)∆Kx=0.1 ∆E=0.05 ∆Ky=0.1 (c) ∆Kx=0.05 ∆E=0.05 ∆Ky=0.1 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengan nilai ralat dan aproksimasi pola linear pada grafik DOS Gambar 3.2 merupakan hasil perhitungan DOS dari graphene layer tung- gal untuk nilai t = 2.8 dan t = 0. Grafik DOS yang diperoleh memperlihatkan bentuk yang simetri antara nilai DOS positif dan nilai DOS negatif, dengan ni- lai SVH/titik kritis berkisar pada nilai ±1eV . Nilai ini sesuai dengan prediksi posisi SVH pada grafik DOS pada posisi Saddle Point pada energi dispersi.
- 58. 40 Nilai ini jugasesuai dengan nilai yang telah diteliti sebelumnya untuk graphene layer tunggal baik secara analitik maupun numerik seperti yang telah diteliti oleh Nicol dkk(2009) dan Yuan dkk(2010). Dari grafik DOS yang diperoleh terlihat pola linear untuk rentang energi -0,6 - 0,6 (dekat titik dirac (zero point)) dan pola logaritmik untuk rentang energi > -0,6 eV dan < 0,6 eV sampai titik kritis(SVH). Pola linear yang terben- tuk pada DOS bisa dijelaskan dari persamaan energi dispersi dimana terbentuk garis linear disekitar tenaga nol. Nilai ini terbentuk karena adanya keterlibatan Dirac Fermions yang memiliki dispersi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelativistik sehingga membentuk pola linear. Pola linear ini juga bisa dijelaskan dari persamaan Dirac untuk Dirac Fermions, dima- na m=0, dengan persamaan Ef = hvf k, memperlihatkan pola linear dimana terlihat nilai energi akan sebanding dengan nilai (k). Sedangkan untuk pola logaritmik bisa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita dispersi atau pada posisi saddle Point dimana jika mengacu pada persamaan D(E) = 1 4π3N dl E(k) , dimana nilai ∆E(k)=0 maka nilai D(E) dengan faktor 1 E(k akan menghasilkan tak berhingga sehingga nilainya akan direpresentasikan dengan pola logaritmik pada grafik DOS. Pola logaritmik ini yang juga merupakan nilai pada posisi SVH juga merepresentasikan nilai elektron yang terdapat pada daerah terse- but keadaan elektron pada level energi tertentu yang terdistribusi lebih banyak pada titik tersebut (Pada posisi flat atau posisi Saddle Point). Pola linear yang terbentuk pada energi rendah (Low − Energy) yang bisa dijelaskan de- ngan persamaan energi fermi sehingga dari grafik DOS juga bisa jelaskan faktor kecepatan elektron sebagai Dirac Fermion pada energi rendah atau disebut juga dengan Kecepatan Fermi vf (Fermi V elocity). Nilai vf ini bisa didekati dengan pendekatan nilai gradien(m) pada pola linear yang terbentuk dimana untuk graphene monolayer pada rentang energi -0,6 eV sampai 0,6 eV dekat ti- tik Dirac, diperoleh nilai m = 0,33 DOS eV −1 , besarnya dipengaruhi oleh faktor energi dan faktor rapat keadaan (DOS).
- 59. 41 3.2 Analisa HasilPerhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene) Untuk Sudut Untiran θ = 1, 16o Untuk perhitungan nilai DOS pada graphene TBG secara numerik meng- gunakan metode Newton Raphson sama dengan perhitungan untuk DOS untuk graphene monolayer yakni berdasarkan persamaan energi dispersi E(k) (2.32), yakni Persamaan energi dispersi untuk TBG yang dihitung pada rentang energi rendah. Sama dengan perhitungan DOS pada graphene monolayer perhitungan DOS pada graphene TBG untuk sudut untiran θ ≤ 10o yakni θ = 1, 16o , juga dihitung pada beberapa variasi parameter yakni parameter level energi E, nilai tebakan awal K(y), nilai K(x), dan nilai iterasi(n). Untuk persamaan energi dispersi pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 16o digunakan nilai tetapan yak- ni h dan v yang merupakan nilai tetapan planck dan kecepatan group dengan nilai masing-masing 6,58 dan 0,87 (Manaf, 2014). Hanya saja pada perhitung- an DOS untuk TBG pada energi rendah ini, digunakan faktor pengali yakni α dimana α = ±99, 24 2v2 f /˜t⊥. Nilai ini merupakan faktor kesetaraan, agar nilai yang diperoleh mendekati nilai yang diperoleh sama dengan nilai yang diperoleh pada nilai eksperimen(Manaf,2014)(untuk untiran θ = 1, 16o SVH berada pada nilai 6 meV (Li dkk,2009)). Gambar 3.5: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 16o (b) grafik energi dis- persi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 1, 16o berdasarkan persamaan 2.32 Sama seperti pada graphene monolayer, nilai DOS pada TBG bisa diper- kirakan nilainya dari grafik energi dispersi (3.5 (a) dan (b)). Nilai pada grafik energi dispersi bisa dijadikan acuan untuk mengambil rentang nilai E sebagai
- 60. 42 Gambar 3.6: PosisiSaddle Point (SP) pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 1.16o nilai pembuat nol yang akan digunakan pada perhitungan (nilai -0.008 eV sam- pai 0.008 eV untuk sudut untiran θ = 1, 16o ). Selain itu dari nilai energi dispersi juga bisa diprediksi posisi titik kritis(SVH) pada grafik DOS. Posisi SVH ju- ga bisa diprediksi pada posisi saddle Point (gambar 3.6) dimana posisi saddle Point merupakan posisi yang akan menjadi nilai puncak SVH pada grafik DOS (gambar 3.7). Untuk variasi parameter numerik dalam menghitung DOS diperoleh nilai grafik terbaik untuk nilai Kx dan E yang paling besar (nilai partisi∆E dan ∆Kx yang paling kecil)(Gambar 3.7). Untuk nilai ralat juga diperoleh dengan cara yang sama dengan nilai ralat pada graphene monolayer yakni sumber ralat pembulatan, dimana nilainya berkisar ±0, 001. Grafik DOS yang dihasilkan untuk TBG pada sudut untiran θ = 1, 16o membentuk pola linear, yakni pada rentang -0,0022 eV sampai 0,0022 eV da- ri titik Dirac (Dirac Point). Pola linear ini dapat dijelaskan karena adanya keterlibatan Dirac Fermions yang sifat-sifat ini identik dengan graphene de- ngan lembaran graphene. Pola linear ini juga bisa dijelaskan dengan persamaan Ef = hvf k, memperlihatkan pola linear dimana terlihat nilai energi akan seban- ding dengan nilai (k).Dibandingkan dengan pola linear pada grafik DOS graphe- ne monolayer yang berada pada rentang energi eV, pola linear yang terbentuk pada grafik DOS TBG terbentuk pola linear yang lebih rendah karena berada pada rentang energi meV. Sedangkan pola logaritmik berada pada rentang nilai > 0,005 eV dan > 0,005 eV sampai titik kritis(SVH). Pola logaritmik ini bi-
- 61. 43 Gambar 3.7: Beberapagrafik DOS TBG untuk sududt untiran θ = 1, 16o (a) ∆Kx=0,0001 ∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (b) ∆Kx=0,00005 ∆E=0,00001 ∆Ky=0,01 (c) ∆Kx=0,00005,∆E=0,00005 ∆Ky=0,01 (d)Grafik DOS TBG un- tuk sudut untiran θ = 1, 16o dengan nilai ralat sa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita dispersi atau pada posisi saddle Point dimana jika mengacu pada persamaan D(E) = 1 4π3N dl E(k) , dimana nilai ∆E(k)=0 maka nilai D(E) dengan faktor 1 E(k akan menghasilkan tak berhing- ga sehingga nilainya akan direpresentasikan dengan pola logaritmik pada grafik DOS. Pola logaritmik ini yang juga merupakan nilai pada posisi SVH/titik kritis yang menggambarkan keadaan elektron yang terdapat pada level energi tersebut (Pada posisi flat atau posisi Saddle Point) pada energi dispersi. untuk nilai SVH/titik kritis pada grafik DOS pada TBG, untuk sudut untiran θ = 1.16o berada pada nilai 6 meV dan −6 meV dari titik dirac, dengan nilai DOS 1.5 1025 eV−1 m−2 . Nilai ini sama dengan nilai yang telah diteliti sebelumnya baik secara analitik oleh Manaf(2014), dengan dimensi berorde 1025 , dan secara eksperimen oleh Li dkk(2009). Sedangkan untuk nilai kecepatan fermi (vf ) yang merupakan kecepatan elektron pada tiap level pada energi dispersi, nilainya bisa direpresentasikan dengan nilai gradien (m), diperoleh nilai m =
- 62. 44 0,21 1025 eV−2 m−2 . 3.3 AnalisaHasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene) Untuk Sudut Untiran θ = 1, 79o Untuk perhitungan DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 1, 79o digunakan faktor faktor kesetaraan α = ±119, 6 2v2 f /˜t⊥. Untuk grafik DOS pa- ling baik diperoleh pada variasi paramater nilai ∆Kx=0,001, ∆E=0,001, dan ∆Ky=0,001(Gambar 3.8(c)). Nilai ini sesuai dengan nilai perhitungan sebe- lumnya dimana grafik yang dihasilkan akan semakin baik (halus) untuk variasi parameter Kx dan E yang semakin besar (nilai partisi ∆Kx dan ∆E semakin kecil). Sedangkan untuk Untuk nilai ralat juga digunakan sumber ralat pe- motongan dimana nilai untuk ralat pada TBG pada sudut untiran θ = 1, 79o diperoleh nilai ± 0, 002. Gambar 3.8: (a)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 1, 79o grafik energi dispersi dengan sudut untiran θ = 1, 79o pada saat ∆Kx=0 Pada grafik DOS yang diperoleh(gambar 3.10) diperoleh pola linear pada rentang energi E>-3,6(10−2 )eV dan E>3,6(10−2 )eV, dari point dirac dan pola logaritmik pada nilai rentang energi E<-3,6(10−2 )eV dan E>3.6(10−2 )eV sam- pai nilai SVH/titik kritis. Pola linear ini juga bisa diprediksi dari persamaan energi dispersi (gambar 3.8) dan terjadi akibat adanya keterlibatan dari massles Dirac Fermion pada TBG yang identik dengan lembaran tunggal graphene se- perti pada TBG untuk sudut untiran θ = 1, 16o . pola linear juga bisa dijelaskan dari persamaan Dirac untuk Dirac Fermions, dimana m=0, dengan persama- an Ef = hvf k, memperlihatkan pola linear dimana terlihat nilai energi akan
- 63. 45 Gambar 3.9: PosisiSaddle Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o sebanding dengan nilai (k). Sementara untuk pola logaritmik juga bisa dije- laskan pada posisi flat atau posisi Saddle Poin pada energi dispersi(Gambar 3.8 dan 3.9) yang menggambarkan kondisi elektron pada level energi tersebut. Untuk Posisi SVH pada grafik DOS untuk TBG pada sudut untiran θ = 1, 79o berada pada nilai -41 meV dan 41 meV dari point dirac dengan nilai DOS 2,8 1025 eV−1 m−2 , yang nilai ini juga bisa diprediksi grafik energi dan pada posisi Saddle point(gambar 3.9). Nilai ini sama dengan nilai yang telah diteliti sebe- lumnya oleh Manaf (2014), dengan dimensi berorde 1025 , dan secara eksperimen oleh Guohong Li dkk (2009). Sedangkan untuk pola kecepatan fermi (vf ) yang nilainya bisa direpresentasikan dengan nilai gradien (m) diperoleh nilai m= 0,8 1025 eV−1 m−2 . 3.4 Analisa Hasil Perhitungan Numerik Rapat Keadaan (DOS)untuk graphene Layer Ganda dengan untiran (Twisted Bilayer Graphene) Untuk Sudut Untiran θ = 3, 48o Sama seperti perhitungan DOS TBG untuk sududt untiran θ = 1, 16o dan θ = 1, 79o , perhitungan DOS pada TBG dengan sudut untiran θ = 3, 48o berdasarkan pada energi dispersi dispsersi (E(k)) dimana untuk sudut untiran θ = 1, 79o digunakan nilai faktor kesetaraan α = ±218, 3 2v2 f /˜t⊥ (Manaf,2014). Dari variasi variasi parameter numerik yang diberikan memberikan hasil gra- fik yang terbaik untuk parameter Kx dan E yang semakin besar (nilai partisi
- 64. 46 Gambar 3.10: Beberapagrafik DOS TBG untuk sudut untiran θ = 1, 79o (a) ∆Kx=0,001 ∆E=0,001 ∆Ky=0,001 (b) ∆Kx=0,0005 ∆E=0,0005 ∆Ky=0,001 (c) ∆Kx=0,0001,∆E=0,0005 ∆Ky=0,001 (d)Grafik DOS Monolayer dengan ni- lai ralat ∆Kx dan ∆E semakin kecil) yakni ∆Kx=0,0005, ∆E=0,0005, dan ∆Ky=0,001 (Gambar 3.11(c)). Sedangkan untuk nilai ralat menggunakan sumber ralat pem- bulatan diperoleh nilai ralat ±0, 003. Dari grafik DOS yang diperoleh terbentuk pola linear pada pola linear pada rentang energi E>-0,19 eV dan E>0,19 eV, dari point dirac, yang bisa di- jelaskan dari energi dispersi akibat keterlibatan Massless Dirac fermion yang identik dengan graphene monolayer dan persamaan persamaan Dirac untuk Dirac Fermion dimana massa = 0. Sedangkan untuk pola logaritmik yang ber- ada pada nilai rentang energi E<-0,19 eV dan E>0,19 eV sampai nilai SVH/titik kritis Untuk nilai SVH dari poin dirac yang bisa dijelaskan pada posisi flat atau posisi Saddle Poin pada energi dispersi(Gambar 3.11) sama seperti TBG untuk sudut untiran θ = 1, 16o dan θ = 1, 79o . Untuk posisi SVH untuk sudut untiran θ = 3, 48o pada grafik DOS juga bisa diprediksi dari grafik energi dan pada posisi Saddle Point pada energi
- 65. 47 Gambar 3.11: (a)Grafikenergi dispersi untuk nilai θ = 1.79o grafik 3 Dimensi dan grafik 2 Dimensi (b)Grafik energi dispersi untuk nilai θ = 3.48o (b) grafik energi dispersi untuk nilai ∆Kx=0 pada sudut untiran θ = 3.48o (c)Posisi Saddle Point pada energi dispersi pada TBG untuk sudut untiran θ = 3.48o dispersi(Gambar 3.11), yakni pada pada nilai -215 meV dan 215 meV dengan nilai DOS 11 1025 eV−1 m−2 . Posisi SVH pada DOS ini sama dengan posisi DOS yang telah diteliti sebelumnya oleh (Li dkk,2009) dan Manaf (2014). Sedangkan untuk kecepatan fermi (vf ) pada grafik DOS yang direpresentasikan dengan nilai gradien (m) diperoleh nilai m= 4,3 1025 eV−2 m−2 .
- 66. 48 Gambar 3.12: Beberapabentuk grafik DOS monolayer graphene (a)∆Kx=0,05, ∆Ky=0,05,∆E(k)=0,1(b) ∆Kx=0,01, ∆Kx=0,1,∆E(k)=0,01 dan (c) ∆Kx=0,01,∆Ky=0,01,∆E(k)=0,01 dan (d) Grafik DOS Monolayer dengan nilai galat 0,18 3.5 Analisa nilai SVH dan Renormalisasi Kecepatan Fermi dari nilai DOS pada TBG pada Sudut Untiran θ = 1, 16o , θ = 1, 79o , dan θ = 3, 48o Gambar 3.13 menunjukan perbandingan nilai DOS diantara ketiga variasi sudut untiran θ. Untuk perbandingan nilai DOS diantara ketiga sudut untiran, diperoleh nilai DOS pada SVH yakni 1,5 1025 eV−1 m−2 , 2,8 1025 eV−1 m−2 , dan 11 1025 eV−1 m−2 dimana nilai ini bernilai sama dengan nilai DOS untuk ketiga sudut untiran 1, 16o ,1, 79o , dan 3, 48o yang diteliti secara analitik oleh manaf(2014)dengan dimensi berorde 1025 . Sedangkan untuk nilai ralat yang menggunakan sumber ralat pembulatan (Selisih antara nilai tebakan awal dengan nilai-nilai akar sebenarnya) diperoleh nilai ralat ±0, 01, 0, 002 dan 0, 003(nilai pembulatan) untuk masing-masing su- dut untiran θ 1, 16o , 1, 79o , dan 3, 48o . Nilai ini menunjukan bahwa semakin
- 67. 49 Gambar 3.13: (a,b,dan c) Perbandingan grafik DOS untuk masing masing untiran yang diplot pada nilai energi dan DOS yang sama (bawah) Grafik DOS dari variasi ketiga sudut untiran θ 1, 16o , 1, 79o , dan 3, 48o yang diplot dalam satu grafik besar nilai sudut untiran maka nilai ralat juga akan semakin besar. Selain perbandingan sudut untiran θ, hal ini juga bisa dijelaskan dengan nilai fak- tor kesetaraan yang diberikan untuk masing masing sudut untiran α = ±99, 24, α = ±119, 6 2v2 f /˜t⊥, dan α = ±218, 3 2v2 f /˜t⊥. Jika mengacu pada penghitungan nilai ralat dengan pendekatan nilai turunan, faktor kesetaraan akan memberikan hasil turunan yang lebih besar sehingga akan memberikan nilai ralat yang lebih besar seperti nilai kesetaraan persamaan energi dispersi pada masing-masing sudut untiran Pada grafik DOS yang dihasilkan diperoleh nilai SVH/titik kritis untuk masing masing uniran θ yakni,± 6 meV, ±41 meV, dan ±215 meV dari titik
- 68. 50 dirac. Nilai inisesuai dengan fakta eksperimen yang ada, dimana semakin besar sudut untiran yang diberikan untuk TBG maka akan terjadi pergeseran Dirac Cones yang lebih besar dari titik dirac (Dirac point)(Li dkk,2009; Raza,2012; Manaf,2014). Selain itu dari grafik DOS yang dihasilkan bisa diperoleh informasi ten- tang renormaliasi kecepatan fermi(vf ). Dari pola linear yang terbentuk pada masing masing grafik DOS untuk masing masing untiran, bisa direpresentasikan dengan nilai gradien (m) dari persamaan linear yang dibentuk. Nilai renorma- lisasi kecepatan fermi ini bisa dijelaskan dengan hubungan antara nilai energi dispersi dan k, yakni pada persamaan persamaan Dirac untuk Dirac Fermions, dimana massa=0. Dari Persamaan Dirac diatas terlihat hubungan yang seban- ding antara nilai E dan nilai k dimana hal ini bisa menjelaskan pola linear pada grafik DOS yang diperoleh seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Untuk nilainya tergantung pada sudut untiran yang diberikan. Nilai gradien(m) un- tuk masing-masing sudut untiran yaitu 0,21 1025 eV−2 m−2 , 0,8 1025 eV−2 m−2 dan 4,3 1025 eV−2 m−2 . Nilai gradien (m) tersebut bisa merepresentasikan nilai kecepatan fermi vf . Dengan adanya perubahan gradien untuk masing masing sudut untiran yakni semakin besar nilai sudut untiran yang diberikan maka nilai kecepatan fermi (vf ) yang direpresentasikan dengan nilai gradien (m). perubah- an kecepatan tiap perubahan sudut untiran ini menjelaskan adanya perubahan kecepatan fermi per sudut untiran yang disebut dengan renormalisasi kecepatan fermi vf (Renormalisation Fermy V elocity).Nilai ini merupakan nilai represen- tasi dari nilai representasi perubahan kecepatan antar fermi vf pada graphene TBG yang menunjukan nilainya akan semakin besar jika sudut untiran (θ) se- makin besar. Nilai ini juga bisa dicari dengan mencari nilai kesetaraan antara gradien pada energi dispersi dengan gradien pada DOS. Nilai ini diausmsikan bahwa antara nilai gradien pada pola linear pada energi dispersi dan gradien pada pola linear pada DOS memuat informasi kecepatan fermi vf , hanya sa- ja pada gradien DOS nilai gradien merupkan nilai representasi dari kecepatan fermi dengan dimensi eV−2 m−2 sehingga dibutuhkan nilai kesetaraan dari gra- dien energi dispersi dengan dimensi eV10−10 m untuk nilai kesetaraan gradien (β) untuk masing masing sudut untiran 1, 16o ,1, 79o , dan 3, 48o diperoleh nilai 0,47 eV−3 m8 , 0,42 eV−3 m8 , dan 0,43 eV−3 m8 Nilai DOS pada posisi SVH, posisi SVH, dan nilai gradien pada pola linear grafik DOS sebagai nilai representasi dari kecepatan fermi (vf ), nilai vek-
- 69. 51 tor pergeseran ∆Kdan besar faktor lompatan energi (tθ ) untuk masing-masing sudut untiran 1, 16o ,1, 79o , dan 3, 48o diperlihatkan pada tabel 3.1. Tabel 3.1: Perbandingan nilai DOS, posisis SVH, dan nilai gradien(m)sebagai representasi nilai vf , nilai vektor pergeseran ∆K dan besar faktor lompatan energi (tθ ) untuk masing-masing sudut untiran 1, 16o ,1, 79o , dan 3, 48o . DOS Gradien Gradien Kece- faktor Sudut pada SVH/ (m)DOS (m)Energi -patan ∆K lompatan Untiran SVH titik (1025 eV−2 dispersi fermi (10−10 Energi (θ) (1025 kritis m−2 ) (eV (vf ) m) (to ) eV−1 (meV) 10−10 m m/s (meV) m−2 ) 1, 16o 1,5 ± 6 0,21 0,75 0, 114 × 106 1,13 5,38 1, 79o 2,8 ± 41 0,8 1,9 0, 29 × 106 1,61 39,93 3, 48o 11 ± 215 4,3 10 1, 52 × 106 2,03 209,35 Faktor energi lompatan (tθ ) merupakan suatu tetapan yang menunjukan besarnya energi yang dibutuhkan untuk elektron berpindah dari satu layer ke layer yang lain, nilainya berdasarkan persamaan (2.46). Untuk masing-masing sudut untiran 1, 16o ,1, 79o , dan 3, 48o diperoleh nilai parameter lompatan energi 5,38 meV, 39,93 meV, dan 209,35 meV. Gambar 3.14: Gambaran nilai kearapatan tiap layernya yang menyebabkan nilai kecepatan fermi semakin besar untuk nilai kerapatan yang semakin besar
- 70. 52 Nilai kecepatan fermi(vf ) akan berkaitan dengan nilai interaksi antar elektron pada tiap layer dimana semakin kecil sudut untiran (θ) maka nilai in- teraksinya akan semakin besar akibat nilai kerapatan yang semakin besar(Lihat gambar 3.14 dimana visualisasi nilai interaksi anatr elektron akibat nilai kerapat- an pada TBG dengan sudut untiran yang berbeada). Hal ini akan memberikan pengaruh pada besar kecepatan fermi (vf ) pada masing-masing layer, dimana pergerakan elektron akan lebih terbatas. Nilai ini bisa dilihat dari represen- tasi dari besar gradien pada grafik DOS dimana nilainya akan semakin besar sejalan dengan semakain besarnya sudut untiran. Perubahan nilai kecepatan fermi fermi ini disebut dengan renormalisasi kecepatan fermi dimana nilainya juga berkaitan dengan nilai faktor lompatan energi yakni semakin besar sudut untiran maka nilai faktor lompatan energi juga akan semakin besar. Hal ini bisa dikaitkan dengan dengan interaksi antar atom pada layer yang semakin jauh, akibatnya dibutuhkan energi yang semakin besar untuk berpindah yang nilai ini bisa dilihat pada perubahan nilai gradien (m), Kecepatan fermi (vf ), dan Faktor lompatan energi (tθ ) terhadap sudut untiran pada tabel (3.1).
- 71. BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan 1.Metode Newton Raphson bisa digunakan sebagai salah satu metode untuk menghitung nilai DOS berdasarkan persamaan Energi Dispersi E(k).Faktor yang paling berpengaruh terhadap hasil grafik yang dihasilkan adalah pa- rameter E dan K(x), dimana semakin besar nilainya (nilai partisi ∆E dan ∆K(x) semakin kecil) maka grafik yang dihasilkan akan semakin baik. 2. Pola linear yang terbentuk pada DOS bisa dijelaskan dari persamaan ener- gi dispersi dimana terbentuk garis linear disekitar tenaga nol. Nilai ini terbentuk karena adanya keterlibatan Dirac Fermions yang memiliki dis- persi energi yang menyerupai dispersi energi partikel-partikel ultrarelati- vistik sehingga membentuk pola linear. Pola linear ini juga bisa dijelaskan dari persamaan energi Fermi (Fermy Energy),dimana berdasarkan per- samaan persamaan Ef = hvf k dimana nilai energi akan sebanding dengan nilai (k) dan energi fermi sehingga bisa menjelaskan pola linear. Sedangk- an untuk pola logaritmik bisa dijelaskan dari posisi flat(datar) pada pita dispersi atau pada posisi saddle Point dimana jika mengacu pada per- samaan D(E) = 1 4π3N dl E(k) , dimana nilai ∆E(k)=0 maka nilai D(E) dengan faktor 1 E(k) akan menghasilkan tak berhingga sehingga nilainya akan direpresentasikan dengan pola logaritmik pada grafik DOS. 3. Nilai DOS pada posisi SVH yang diperoleh untuk masing masing untiran θ 1, 16o, 1, 79, dan 3, 48 yakni 1,5 1025 eV−1 m−2 ,2,8 1025 eV−1 m−2 ,dan 11 1025 eV−1 m−2 dengan nilai titik kritis/SVH 6 meV dan −6 meV untuk sudut untiran 41 meV dan −41 meV 215 meV dan −215 meV. Sedangkan nilai gradien yang diperoleh dari aproksimasi pola linear untuk tinjauan energi rendah (Low − Energy) sebagai representasi dari nilai kecepatan fermi diperoleh nilai untuk masing-masing untiran θ = 1, 16o ,θ = 1, 79o , dan θ = 3, 48o yakni, 0,21 1025 eV−2 m−2 , 0,8 1025 eV−1 m−2 , dan 4,3 1025 eV−1 m−2 serta nilai faktor lompatan (tθ ) untuk masing-masing untiran yakni 5,38 meV, 39,93 meV, dan 209,35 meV. Nilai ini berkaitan dengan 53
- 72. 54 renormalisasi kecepatan fermi(vf ) yang berkaitan dengan adanya interak- si antar elektron, dimana nilainya akan semakin besar untuk perubahan sudut untiran (θ) yang semakin besar. 4.2 Saran Pada Skripsi ini penulis menggunakan variabel bertingkat untuk nilai masukan E sebagai level energi dan Kx sebagai nilai penjumlah, dimana perhi- tungan yang dilakukan secara bertahap untuk tiap nilainya sehingga memerluk- an waktu yang lama pada proses perhitungan. Untuk selanjutnya bisa dibuat perhitungan yang lebih cepat yakni nilai E dan K(x) dibuat dalam bentuk perhi- tungan luasan yakni berbentuk matriks sehingga perhitungan akan lebih cepat. Kemudian untuk nilai turunan dari persamaan E(k) dilakukan pada worksheet lain pada program perhitungan. Penulis belum bisa menemukan formulasi tu- runan yang bisa diprogram langsung pada loop perhitungan. Sehingga untuk kedepan program perhitungan menggunakan metode Newton Raphson ini bi- sa terus dikembangkan untuk menghasilkan nilai yang lebih akurat serta cepat dalam proses perhitungannya.
- 73. DAFTAR PUSTAKA Cocemasov, A.I., Denis L. N., and Balandin A. A., 2013,Phonon in Twisted bilayer graphene, Rev. Phys. B., 88, 035428. Desmukh, M. M., and Singh, V., 2011,Graphene-An Exciting Two-Dimensional Material For Science and Technology, Resonance, 16, 238-253. Geim, A. K., 2011,Nobel Lecture:Random walk to graphene, Rev. Mod. Phys., 83, 851-852. He, W. ,Chu W. dan He, L. ,2013,Tunneling a Twisted Graphene Bilayer,Phys. Rev. Lett. 111, 066803. Luican, A. ,Li G., Reina, A., Kong, J., Nair, R.R., Novoselov, K. S., Geim, A. K., and Andrei, Y. E., 2011,Single-Layer Behavior and Its breakdown in Twisted Graphene layers, Phys. Rev. Lett., 106, 126802. Li, G. A., Lopez, D. S., J. M. B. Peres, Neto, Castro A. H., Reina, A. Kong J., and Andrei, Y. E., 2010,Observation of Van Hove Singularity in Twisted Graphene Layers, Nature phys. 6, 109-113. Manaf, M. N., Thesis S2, 2014,Kemungkinan Watak ketidakstabilan Superkon- diktivitas Antar Lembaran Graphene dengan Untiran, Jurusan Fisika UGM, Yogyakarta. Manaf, M. N., Santoso, I., and Hermanto, A., 2014,Density of states of Twis- ted bilayer graphene at Low Energy, Procedding of Confeerence on Phys(ICP 2014), 19-21. Moon, P. and Koshino, M., 2012,Energy Spectrum and Quantum Hall Effects in Twisted Bilayer Graphene, Phys. Rev. B. 85, 195458 Neto, Castro, A. H. Guinea, F., N. M. R. Novoselov, K.S. and Geim, A. K., 2009,The Electronic Properties of Graphene, Rev. Mod. Phys., 81, 109-162. Novoselov, K. S., 2011,Nobel Lecture:Graphene: Materials in the Flatland, Rev. Mod. Phys. 83, 837-838. 55
- 74. 56 Novoselov, K. S.,Jiang, D., Schedin, F., Booth, T. J., Khotkevich, V. V., Mo- rozov, S. V., and Geim, A. K., 2005,Two Dimensional Atomic Crystals, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 102, 10451-10453. Peres, N. M., 2009,Graphene: New Physics in Two Dimension, Europhysics News, 40/3, doi: 10. 1051/epn/2009501, 17-20. Raza, H., (Editor), 2012,Graphene Nanoelectronics ; Metrology, Synthe- sis,Properties and Applications, Springer-Verlag, New York. Santos, Lopes Dos, J. M. B. Peres, and Neto,Castro A. H. ,2007, Grapehene Bilayer with a twist:Electronic Structure, Phys. Rev. B. 99, 256802. Tabert, C. J., (Thesis), 2012,Optical Properties of AA-Stacked Bilayer Graphe- ne, University of Guelph, Ontorio, Canada. Tabert, C. J. and Nicol, E. J., 2012,Dynamical Conductivity of AA-Stacked Bilayer Graphene, Phys. Rev. B, 86, 075439. Tabert, C. J. and Nicol, E. J., 2012,Optical Conductivity of Twisted bilayer Graphene, Phys. Rev. B, 87, 121402. Tiryaki, A. A. S., (Thesis), 2013,The Electronic Band p Structure of Graphene and Carbon Nanotubes, An-Najjah National University, Nablus, Palestine. Tresnaningsih, Rizky, 2010,Modul Mata Kuliah Analisis Numerik, FMIPA, IKIP PGRI. Madiun. Pang, Tao, 2006,An Introduction Computational Physiscs, Second Edition, Cam- bridgr University Press, UK. Pujiyanta, Ardi, 2007 Komputasi Numerik dengan Matlab, Graha Ilmu, Yogya- karta Quinn, John. J. ,Kyung, Soo Yi, 2007,Solid State Physics, principle and Modern Applications, Springer, Berlin, Jerman. Wong, H. S. P., and Akinwande, D., 2011,Carbon Nanotube and Graphene Device Physics, Cambridge University Press, UK.
- 75. 57 Yan, Wei, MengxiL., Rui-Fen, D., Lan, Meng, Lei, Feng, Zhao-Dong, C., Yan- feng, Z., Zhongfan, Liu, ia-Cai, N., and Lin, He ,2011,Carbon Nanotube and Graphene Device Physics, Cambridge University Press, UK. Yuan, Shengjun ,Hans, De R. ,and Mikhail, I. K., 2011,Modeling electronic stru- cture and transport properties of graphene with resonant scattering centers, Phys. Rev. B, 82, 115448.
- 76. LAMPIRAN A Lampiran Perhitungandan Syntac Menggunakan Matlab 1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β),Vektor Pergeseran ∆K, Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG, dan faktor lom- patan energi tθ 1.1.1 Perhitungan nilai kesetaraan gradien (β) antara nilai gradien pada grafik energi dispersi (md) dan gradien pada DOS (mD) Faktor kesetaraan (β) untuk membandingkan gradien pada pola linear pada energi dispersi (md) dan pola linear pada DOS (mD). Gambar 1.1: Aproksimasi pola linear pada energi dispersi TBG untuk sudut untiran 1.16o ,1.79o , dan 3.48o mD = βmd, (1.1) dengan nilai md berdsarkan aprokmasi linear pada grafik energi dispersi untuk TBG (gambar 1.1) diperoleh nilai md: md = 0, 3 − 0 2, 1 − 1.7 = 0, 75eV 10−10 m (1.2) md = 1, 5 − 0 3, 3 − 2, 5 = 1, 9eV 10−10 m (1.3) md = 10 − 0 6, 5 − 5, 5 = 10eV 10−10 m. (1.4) 58
- 77. 59 Untuk nilai kesetaraan(β) diperoleh persamaan β = mD/md (1.5) jika nilai (md) dan (mD) untuk masing-masing masing sudut untiran θ = 1, 16o ,θ = 1, 79o , dan θ = 1, 48o , maka nilai kesetaraan gradien (β) untuk masing-masing sudut untiran : untuk sudut untiran θ = 1, 16o dengan mD = 0,21 1025 eV−1 m−2 dan md = 0,75 eV 10−10 , diperoleh nilai kesetaraan β : β = 0, 21 × 1025 eV −1 m−2 0, 75eV × 10−10 = 0, 47eV −3 m8 (1.6) Untuk sudut untiran θ = 1, 79o dengan mD = 0,8 1025 eV−1 m−2 dan md = 1,9 eV 10−10 , diperoleh nilai kesetaraan β : β = 0, 8 × 1025 eV −1 m−2 1, 9eV × 10−10 = 0, 47eV −3 m8 , dan (1.7) untuk sudut untiran θ = 3, 48o dengan mD = 4,3 1025 eV−1 m−2 dan md = 10 eV 10−10 , diperoleh nilai kesetaraan β : β = 4, 3 × 1025 eV −1 m−2 10eV × 10−10 = 0, 47eV −3 m8 (1.8) 1.1.2 Perhitungan nilai Vektor Pergeseran ∆K untuk sudut untiran θ = 1, 16o ,θ = 1, 79o , dan θ = 1, 48o Nilai vektor pergeseran ∆K didasarkan pada persamaan (2.23). Nilai vektor pergeseran ∆K untuk masing-masing sudut untiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o . ∆K = 8π 3.0.246nm sin(1.16o /2) = 1.13 (1.9) ∆K = 8π 3.0.246nm sin(1.79o /2) = 1.61 (1.10) ∆K = 8π 3.0.246nm sin(3.48o /2) = 2.03 (1.11)
- 78. 60 1.1.3 Perhitungan nilaiLuasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG sudut untiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o Perhitungan nilai Luasan dari sel satuan (Unit Cell) pada TBG sudut masing-masing untiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o , didasarkan pada persamaan (2.21) dan (2.22) diperoleh nilai : Untuk nilai a= 0.246 nm, besar nilai L pada sudut θ = 1.16 dengan nilai m=23 dan n=24 L = 0.246nm √ 232 + 242 + 23.24 = 10.01nm (1.12) sehingga S = |L1 × L2| = ( √ 3/2)10.01nm2 = 86.78 × 10−18 nm2 (1.13) Besar nilai L pada sudut θ = 1.79 dengan nilai m= 21 dan n= 22 L = 0.246nm √ 212 + 222 + 21.22 = 9.16nm (1.14) maka nilai luasan dari satuan sel S = |L1 × L2| = ( √ 3/2)9.16nm2 = 72.66 × 10−18 nm2 , dan (1.15) Besar nilai L pada sudut θ = 3.48 dengan nilai m=9 dan n=10 L = 0.246nm √ 92 + 102 + 9.10 = 4.05nm (1.16) maka nilai S S = |L1 × L2| = ( √ 3 2 )4.052 = 14.21 × 10−18 nm2 (1.17) 1.1.4 Perhitungan nilai faktor lompatan energi tθ untuk sudut untir- an sudut untiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o Nilai faktor lompatan energi tθ didasarkan pada persamaan (2.46), dima- na untuk nilai faktor lompatan energi tθ :
- 79. 61 tθ ≈ ∆ESV H −vf ∆K 2 . (1.18) dengan nilai vf berdasarkan nilai gradien pada energi dispersi, diperoleh persamaan : vf = m (1.19) Nilai kecepatan fermi vf untuk masing-masing sudut untiran diperoleh nilai : vf = 0.75eV × 10−10 6.5810−16 = 0.114 × 106 m/s (1.20) vf = 1.9eV × 10−10 6.5810−16 = 0.29 × 106 m/s, dan (1.21) vf = 0.75eV × 10−10 6.5810−16 = 1.52 × 106 m/s. (1.22) dan nilai tθ untuk masing-masing sudut untiran θ = 1.16o ,θ = 1.79o , dan θ = 1.48o tθ ≈ 12 − 6.58 × 10−16 0.114 × 106 1.13 × 10−10 2 = 5.38meV (1.23) tθ ≈ 82 − 6.58 × 10−16 0.29 × 106 1.61 × 10−10 2 = 39.93meV, dan (1.24) tθ ≈ 430 − 6.58 × 10−16 1.52 × 106 1.61 × 10−10 2 = 209.35meV. (1.25)
- 80. 62 1.2 Syntac MenggunakanMatlab 1.2.1 Turunan Energi Dispersi (Ek) Graphene layer tunggal Menggunakan Perintah Diff (f(x),x) pada Matlab %Mendefinisikan nilai variabel syms x0 syms t1 syms t2 syms a syms b syms c syms d syms y %Mendefienisikan fungsi f=2.*cos(b.*x0.*a)+4.*cos(c.*x0.*a).*cos(1.5.*d.*a);} E1=t1.*sqrt(3+f)-t2.*f-y;} %Menurunkan fungsi terhadap variabel x0 z=diff(E1,x0) z=t2*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)) - (t1*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)))/ (2*(2*cos(a*b*x0) + 4*cos((3*a*d)/2)*cos(a*c*x0) + 3)^(1/2))} 1.2.2 Turunan Energi Dispersi (Ek) Graphene layer Ganda dengan Untiran θ =1.16o Menggunakan Perintah Diff (f(x),x) pada Matlab %Mendefenisikan variabel a=1.42; b=sqrt(3); c=0.5*b; t1=2.8; %Menentukan input variabel [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); %Mendefenisikan fungsi f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a); E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; %Plot kedalam grafik figure(1) hold on; plot(y,E1); plot(y,E2); ylabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial') xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')
- 81. 63 1.2.3 Energi Dispersi(Ek) pada Lembaran Tunggal Graphene Plot Grafik %Mendefenisikan variabel a=1.42; b=sqrt(3); c=0.5*b; t1=2.8; %Menentukan input variabel [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); %Mendefenisikan fungsi f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a); E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; %Plot kedalam grafik figure(1) hold on; plot(y,E1); plot(y,E2); ylabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial') xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial') Plot Grafik pada saat Kx=0 %Mendefenesikan variabel tetapan a=1.42; b=sqrt(3); c=0.5*b; t1=2.8; %Menentukan input masukan variabel y=(-4:0.01:4); x=0; %Mendefenisikan fungsi f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a); E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; %Plot ke dalam grafik figure(2) hold on; plot(y,E1); plot(y,E2); ylabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial') xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial')
- 82. 64 1.2.4 Energi DispersiEk pada Graphene Layer Ganda (TBG) dengan Untiran θ =1.16o Plot Grafik %Mendefenisikan variabel tetapan h=6.58; v=0.87; dkx=3.49.*10.^-4; dky=3.45.*10.^-2; %Menentukan input variabel [x,y]=meshgrid (-0.04:0.0001:0.04); %Mendefenisikan fungsi alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); %Mendefenisikan fungsi A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2); B=abs(2.*x.*y-0.5.*dkx.*dky); E0=sqrt(A.^2+B.^2); E0=abs (E0); E1=alpha1.*E0; E2=alpha2.*E0; %Plot ke grafik figure(3) hold on mesh (x,y,E1); mesh (x,y,E2); title ('Kurva Energi Dispersi Twisted Bilayer'); xlabel('Kx');ylabel('Ky');zlabel('Ek'); hold off} axis tight colorbar view(60,10) zlabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial') ylabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial') xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial') Plot Grafik pada saat Kx=0 h=6.58; v=0.87; dkx=3.49.*10.^-4; dky=3.45.*10.^-2; %Menentukan input variabel y=(-0.04:0.0001:0.04); x=0; %Mendefenisikan fungsi alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); %Mendefenisikan fungsi
- 83. 65 A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2); B=abs(2.*x.*y-0.5.*dkx.*dky); E0=sqrt(A.^2+B.^2); E0=abs (E0); E1=alpha1.*E0; E2=alpha2.*E0; %Plot kegrafik figure(3) hold on plot (y,E1); plot (y,E2); title ('Kurva Energi Dispersi Twisted Bilayer'); xlabel('Kx');ylabel('Ky');zlabel('Ek'); hold off} axis tight colorbar view(60,10) zlabel('E(k)(10^-^2 eV)','fontsize',12,'fontname','Arial') ylabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial') xlabel('(Ky(10^-^2 A^-^1)','fontsize',12,'fontname','Arial') 1.2.5 Posisi Saddle Point graphene layer tunggal %Mendefenisikan variabel tetapan a=1.42; b=sqrt(3); c=0.5*b; t1=2.8; t2=0; %Menentukan input variabel [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); %Mendefenisikan fungsi f=2.*cos(b.*y.*a)+4.*cos(c.*y.*a).*cos(1.5.*x.*a); E1=+t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; E2=-t1.*sqrt(3+f)-t2.*f; %Plot grafik figure(1) mesh(x,y,E1); box off axis tight colorbar view (0,90) xlabel('Kx (10^-^2 A)','fontsize',16) ylabel('Ky (10^-^2 A)','fontsize',16) 1.2.6 Posisi Saddle Point TBG dengan sudut untiran θ =1.16o %Mendefenisikan variabel tetapan h=6.58;
- 84. 66 v=0.87; dkx=3.49.*10.^-4; dky=3.45.*10.^-2; %Menentukan input variabel [x,y]=meshgrid(-0.01:0.00001:0.01); %Mendefenisikan fungsi alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); A=(x.^2-y.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2); B=abs(2.*x.*y-0.5.*dkx.*dky); E0=sqrt(A.^2+B.^2); E0=abs (E0); E1=alpha1.*E0; E2=alpha2.*E0; %Plot ke grafik figure(6) mesh(x*1000,y*1000,E1*1000); box off axis tight colorbar view (0,90) xlabel('Kx (10^-^2 A)','fontsize',16) ylabel('Ky (10^-^2 A)','fontsize',16) zlabel('E(meV)','fontsize',16) 1.2.7 DOS Graphene Layer tunggal %Menentukan nilai konstanta err=0.005; eps=1; a=1.42; b=sqrt(3); c=0.5*b; t1=2.8; t2=0; no=0; % Menentukan nilai array xout=[]; xout1=[]; Beda_out=1; Beda_out1=1; Beda=1; Beda1=1; iterasi=0; xplot=[]; xplot1=[]; % Menentukan nilai variabel-variabel untuk nilai parameter nd=0;
- 85. 67 nd1=0; y1=0:0.01:6; y3=-6:0.01:0; %Perhitungan Newton-Raphson nilaipositif for d=(-2.5:0.01:2.5); nd=nd+1; ny=0; for y=y1; ny=ny+1; for x0=(-4:0.1:4); while eps>err iterasi=iterasi+1; f=2.*cos(b.*x0.*a)+4.*cos(c.*x0.*a).*cos(1.5.*d.*a); E1=t1.*sqrt(3+f)-t2.*f-y; E2=t2*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)) - (t1*(2*a*b*sin(a*b*x0) + 4*a*c*sin(a*c*x0)*cos((3*a*d)/2)))/(2*(2*cos(a*b*x0) + 4*cos((3*a*d)/2)*cos(a*c*x0) + 3)^(1/2)); x1=x0-(E1/E2); %xgalat=[xgalat;x1]; eps=abs(x1-x0); x0=x1; if iterasi>50; eps=0; end; end; if iterasi<50; iterasi=0; x0=round(10000*x0); %pembulatan 5 angka dibelakang koma x0=x0/10000; eps=1; %reset epsilon if x0<=4 && x0>=-4 if isempty (xout) xout=[xout;x0]; end for i=1:length(xout) if xout(i)~=x0 Beda=1; elseif xout(i)==x0 Beda=0; end Beda_out=Beda_out*Beda; end if Beda_out==1 xout=[xout;x0]; no=no+1; end end end
- 86. 68 iterasi=0; eps=1; Beda_out=1; Beda=1; end fprintf('nilai d :%5.1fn',d); fprintf('nilai y : %5.2fn',y); fprintf('------------------------------------------------ /n'); fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err); fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout); fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn', length(xout)); xplot=[xplot;length(xout)]; xout=[]; end end for d1=(-2.5:0.01:2.5); nd1=nd1+1; ny2=0; for y2=y3; ny2=ny2+1; for x01=(-4:0.1:4); while eps>err iterasi=iterasi+1; f1=2.*cos(b.*x01.*a)+4.*cos(c.*x01.*a).*cos(1.5.*d1.*a); E11=-t1.*sqrt(3+f1)-t2.*f1-y2; E21=t2*(2*a*b*sin(a*b*x01) + 4*a*c*sin(a*c*x01)*cos((3*a*d1)/2)) + (t1*(2*a*b*sin(a*b*x01) + 4*a*c*sin(a*c*x01)*cos((3*a*d1)/2)))/(2*(2*cos(a*b*x01) + 4*cos((3*a*d1)/2)*cos(a*c*x01) + 3)^(1/2)); x2=x01-(E11/E21); eps=abs(x2-x01); %xgalat1=[xgalat1;x2]; x01=x2; %Penentuan jumlah iterasi %nilai = 0 jika tidak ditemukan akar pada iterasi lebih dari 50 if iterasi>50; eps=0; end; end; %nilai akar akan diidentifikasikan = 1 jika tidak ditemukan akar pada iterasi kecil dari 50 if iterasi<50; iterasi=0; x01=round(10000*x01); %pembulatan 5 angka dibelakang koma x01=x01/10000;
- 87. 69 eps=1; %reset epsilon ifx01<=4 && x01>=-4 if isempty (xout1) xout1=[xout1;x01]; end for j=1:length(xout1) if xout1(j)~=x01 Beda1=1; elseif xout1(j)==x01 Beda1=0; end Beda_out1=Beda_out1*Beda1; end if Beda_out1==1 xout1=[xout1;x01]; no=no+1; end end end iterasi=0; eps=1; Beda_out1=1; Beda1=1; end fprintf('nilai d : %5.1fn',d1); fprintf('nilai y : %5.2fn',y2); fprintf('------------------------------------------------ /n'); fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err); fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout1); fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn', length(xout1)); xplot1=[xplot1;length(xout1)]; xout1=[]; end end %Menjumlahkan nilai-nilai akar yang tlah diidentifikasi berdasarkan nilai % Level energi (E) dan Kx z=reshape(xplot,ny,nd); z1=(sum(z'))'; z2=reshape(xplot1,ny2,nd1); z11=(sum(z2'))'; figure (1) hold on plot(y1/2.8,z1/(length(z1))); plot(y3/2.8,z11/(length(z11))); ylabel('D(E)','fontsize',12,'fontname','Arial') xlabel('E/t','fontsize',12,'fontname','Arial')
- 88. 70 1.2.8 (DOS GrapheneLayer Ganda dengan Untiran Menggunakan Metode Newton raphson untuk sudut untiran θ = 1.16o %Menentukan nilai konstanta err=0.005; % nilai batas iterasi eps=1; % nilai variabel iterasi mulai berjalan h=6.58; % Tetapan Planck v=0.87; % Kecepatan group dkx=3.49.*10.^-4; dky=3.45.*10.^-2; no=0; % Menentukan nilai array xout=[]; xout1=[]; Beda_out=1; Beda_out1=1; Beda=1; Beda1=1; iterasi=0; xplot=[]; xplot1=[]; % Menentukan nilai variabel-variabel untuk nilai parameter nd=0; nd1=0; y1=0:0.00005:0.009; % nilai level energi (E) positif y3=-0.009:0.00005:0; % nilai level energi (E) negatif d2=-0.04:0.0005:0.04; % nilai Kx %Perhitungan Newton-Raphson nilai positif for d=d2 nd=nd+1; ny=0; for y=y1; ny=ny+1; for x0=(-0.04:0.001:0.04); while eps>err iterasi=iterasi+1; alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); A=(d.^2-x0.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky.^2); B=abs(2.*d.*x0-0.5.*dkx.*dky); E0=sqrt(A.^2+B.^2); E0=abs (E0); E1=alpha1.*E0-y; E2=-(76911*h^2*v^2*sign(abs((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)^2 + (d^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x0^2)^2)*(4*x0*(d^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x0^2) + 4*d*abs((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)*sign((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)))/(250000*abs(abs((dkx*dky)/2 - 2*d*x0)^2 + (d^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x0^2)^2)^(1/2));
- 89. 71 x1=x0-(E1/E2); eps=abs(x1-x0); x0=x1; %Penentuan jumlah iterasi %nilai= 0 jika tidak ditemukan akar pada iterasi lebih dari 50 if iterasi>50; eps=0; end; end; %nilai akar akan diidentifikasikan = 1 jika tidak ditemukan akar pada iterasi kecil dari 50 if iterasi<50; iterasi=0; x0=round(10000*x0); %pembulatan 5 angka dibelakang koma x0=x0/10000; eps=1; %Memasukan nilai ke array if x0<=0.04 && x0>=-0.04 if isempty (xout) xout=[xout;x0]; end for i=1:length(xout) if xout(i)~=x0 Beda=1; elseif xout(i)==x0 Beda=0; end Beda_out=Beda_out*Beda; end if Beda_out==1 xout=[xout;x0]; no=no+1; end end end iterasi=0; eps=1; Beda_out=1; Beda=1; end fprintf('nilai d : %5.1fn',d); fprintf('nilai y : %5.2fn',y); fprintf('------------------------------------------------ /n'); fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err); fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout); fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn', length(xout)); %memasukan nilai-nilai akar yang telah diidentifikasi ke dalam array yang telah dibuat
- 90. 72 xplot=[xplot;length(xout)]; xout=[]; end end % Perhitungan Newton-Raphsonnilai positif for d1=d3 nd1=nd1+1; ny2=0; for y2=y3; ny2=ny2+1; for x01=(-0.04:0.001:0.04); while eps>err iterasi=iterasi+1; alpha1=+49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); alpha2=-49.62.*(2.*(h.^2).*(v.^2)./15.*0.093); A=(d1.^2-x01.^2-0.25.*dkx.^2+0.25.*dky^2); B=abs(2.*d1.*x01-0.5.*dkx.*dky); E01=sqrt(A.^2+B.^2); E01=abs (E01); E11=alpha2.*E01-y2; E21=(76911*h^2*v^2*sign(abs((dkx*dky)/2 - 2*d1*x01)^2 + (d1^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2)^2)*(4*x01*(d1^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2) + 4*d1*abs((dkx*dky)/2 - 2*d1*x01)*sign((dkx*dky)/2 - 2*d1*x01)))/(250000*abs(abs((dkx*dky)/2 - 2*d1*x01)^2 + (d1^2 - dkx^2/4 + dky^2/4 - x01^2)^2)^(1/2)); x2=x01-(E11/E21); eps=abs(x2-x01); x01=x2; if iterasi>50; eps=0; end; end; if iterasi<50; iterasi=0; x01=round(10000*x01); %pembulatan 5 angka dibelakang koma x01=x01/10000; eps=1; %reset epsilon if x01<=0.04 && x01>=-0.04 if isempty (xout1) xout1=[xout1;x01]; end for j=1:length(xout1) if xout1(j)~=x01 Beda1=1; elseif xout1(j)==x01 Beda1=0; end Beda_out1=Beda_out1*Beda1; end if Beda_out1==1 xout1=[xout1;x01];
- 91. 73 no=no+1; end end end iterasi=0; eps=1; Beda_out1=1; Beda1=1; end fprintf('nilai d :%5.1fn',d1); fprintf('nilai y : %5.2fn',y2); fprintf('------------------------------------------------ /n'); fprintf('Pada Iterasi ke-%1d, Selisih<%5.3fn',no,err); fprintf('Jadi, akar persamannya adalah %7.5f.n',xout1); fprintf('Jumlah titik yang dilewati : %3dn', length(xout1)); xplot1=[xplot1;length(xout1)]; xout1=[]; end end %Menjumlahkan nilai-nilai akar yang tlah diidentifikasi berdasarkan nilai % Level energi (E) dan Kx z=reshape(xplot,ny,nd); z1=(sum(z'))'; z2=reshape(xplot1,ny2,nd1); z11=(sum(z2'))'; %Plot ke grafik DOS figure (1) hold on plot(y1,z1/(length(z1))); plot(y3,z11/(length(z11))); axis ([-0.008 0.008 0 9]); title ('Kurva DOS'); xlabel('E(k)'); ylabel('DOS');