makalah aritmatika pangkat dan akar

1. KATA PENGANTAR
Rasa syukur yang dalam kami sampaikan ke hadiran Tuhan Yang Maha
Pemurah, karena berkat kemurahanNya makalah ini dapat kami selesaikan sesuai
yang diharapkan.Dalam makalah ini kami membahas “pangkat dan akar
sederhana”Makalah ini dibuat dalam rangka memperdalam pemahaman materi
mengenai konsep dasar dan pemecahan masalah mengenai akar dan pangkat
sederhana . ”Dalam proses pendalaman materi ini, tentunya kami mendapatkan
bimbingan, arahan, koreksi dan saran, untuk itu rasa terima kasih yang kami
sampaikan :
Bpk.Zunidi, selaku dosen mata kuliah “Aritmatika”.
Rekan-rekan mahasiwa yang telah banyak memberikan masukan untuk makalah
ini.
Demikian makalah ini kami buat semoga bermanfaat,
Bogor, 24 Oktober 2017
i

2. Penyusun
ii

3. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR........................................................................................ i
DAFTAR ISI....................................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah...................................................................................... 1
Rumusan masalah................................................................................................ 2
Tujuan Penulisan................................................................................................. 3
BAB II PEMBAHASAN
Pengertian Pangkat.............................................................................................. 6
Pengertian Akar................................................................................................... 4
BAB III PENUTUP
Kesimpulan......................................................................................................... 12
Saran.................................................................................................................... 12
iii

4. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Latar Belakang Bilangan berpangkat sangatlah membantu kita dalam
mempersingkat bilangan yang relatif besar atau kecil sekali. semisal 0,00000099
ditulis dalam bilangan berbangkat menjadi 9,9 x 10−7.. John Napier merupakan
seorang bangsawan dari merchiston, skotlandia. Dia juga merupakan penemu
bilangan logaritma, yang memang ada hubungannya dengan bilangan eksponen.
Napier menyadari bahwa setiap bilangan bisa diubah dalam bentuk eksponen
maupun logaritma, agar bilangan tersebut bisa dirubah dalam bentuk yang lebih
sederhana. Menentukan akar dari suatu bilangan mungkin bukanlah hal sulit bagi
kita. Materi tersebut telah kita pelajari sejak di bangku sekolah dasar hingga saat
ini. Ada banyak cara yang dapat kita gunakan untuk menentukannya antara lain
dengan mengunakan pemfaktoran dan juga perkiraan. Mereka menghafalkan
kuadrat dari suatu bilangan yang kemudian digunakan untuk menentukan akar
dari bilangan kudrat tersebut. Begitupun dengan akar pangkat tiga dari suatu
bilangan. Hal ini membatasi permasalahan-permasalahan terkait akar bilangan
yang dapat diselesaikan oleh siswa. Beberapa siswa kesulitan menetukan bentuk
sederhana dari akar suatu bilangan terlebih ketika bilangan tersebut merupakan
perkalian dari suatu bilangan yang berpangkat lebih dari akarnya. Dalam makalah
ini akan diuaraikan terkait permasalahan tersebut yang disertai dengan kesulitan
yang dialami siswa dalam menentukan akar suatu bilangan berdasarkan
pengalaman penulis. Makalah ini merupakan pengalaman penulis yang coba untuk
dibagikan agar dapat menjadi sebuah pengalaman sekaligus menjadi bahan
diskusi untuk dipecahkan bersama. Dengan demikian kedepannya pembaca dapat
lebih cermat dalam memahami materi tersebut.
3

5. B. Rumusan Masalah
1. Apa itu bilangan pangkat ?
2. Apa itu bilangan akar ?
3. Bagaimana contoh soal dan jawaban bilangan pangkat ?
4. Bagaimana contoh soal dan jawaban bilangan akar ?
C. Tujuan Penulisan
1. Memahami bilangan pangkat
2. Memahami bilangan akar
3. Mengetahui contoh soal dan jawaban bilangan pangkat
4. Mengetahui contoh soal dan jawaban bilangan akar
4

6. BAB II
PEMBAHASAN
A.Pangkat
Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukan
banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun. Notasi xa berarti bahwa
x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali. Notasi
pemangkatan sangat berfaedah untuk merumuskan penulisan bentuk perkalian
secara ringkas. Sebagai contoh: perkalian bilangan 7 sebanyak 5 kali tak perlu
dituliskan dengan lengkap 7 x 7 x 7 x 7 x 7, melainkan cukup diringkas menjadi
75. Jadi, 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 75 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 57 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 x
0,3 x 0,3 = 0,36 Notasi pemangkatan berfaedah pula untuk meringkas bilangan-
bilangan kelipatan perkalian-sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil.
Sebagai contoh : bilangan 100.000 dapat diringkas menjadi 10-5. Begitu pula,
1.000.000.000 = 〖10〗^9 5.000.000.000 = 5 . 〖10〗^(9 ) 7.500.000.000 = 7,5 .
〖10〗^9= 75 . 〖10〗^8 0,000.000.001 = 〖10〗^(-9) 0,000.000.034 = 34 .
〖 10 〗 ^9 atau 3,4 . 〖 10 〗 ^(-8) Pemangkatan sebuah bilangan dan
pengaoperasian bilangan-bilangan berpangkat mematuhi kaidah-kaidah tertentu.
Berdasarkan kaidah-kaidah yang segera akan dipaparkan berikut ini, kita dapat
pula memetik berbagai faedah lain dari notasi pemangkatan.
1. Kaidah Pemangkatan Bilangan. a. Bilangan bukan-nol berpangkat nol
adalah satu. X 0 = 1 ( x ≠ 0 ) Contoh : 30 = 1 b. Bilangan berpangkat satu adalah
bilangan itu sendiri. X 1 = x) 3 1 = 3 c. Nol berpangkat sebuah bilangan adalah
tetap nol. 0 x = 0 0 3 = 0 d. Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali
(multiplicative inverse) dari bilangan itu sendiri. x^(-a) = 1/x^a 3^(-2) = 1/3^2 =
1/9 ( 1/9 = 9^(-1) ) e. Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu
sendiri, dengan suku pembagi dalam pecahan menjadi pangkat bilangan yang
5

7. bersangkutan. x^(a/b) = √(b&x^a ) 3^(2/5) = √(5&3^2 ) =√( 5&9) = 1,55 f.
Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi suku-suku berpangkatnya. ( x/y )a
= x^a/y^a ( 3/5 ) 2 = 3^2/5^2 = 9/25 g. Bilangan-bilangan dipangkatkan lagi
adalah bilangan berpangkat hasil kali pangkat-pangkatnya. ( xa ) b = xab ( 32)4 =
324 = 38 = 6561 h. Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah
1
bilangan
berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya. x^ab = x^c 3^24 = 3^16 = 43.046.721
Dimana c = a^b
2. Kaidah Perkalian Bilangan Berpangkat Hasilkali bilangan-bilangan
berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat jumlah pangkat-
pangkatnya. xa . xb = xa+b 32 . 34 = 32+4 = 36 = 729 Hasilkali bilangan-bilangan
berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda, adalah perkalian
basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan. Xa . ya = ( x y)a 32 . 52 = (3 .
5)2 = 152 = 225
3. Kaidah Pembagian Bilangan Berpangkat A. Hasilbagi bilangan-
bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis berpangkat selisih
pangkat-pangkatnya. x^a : x^b = x^(a-b) 3^(2 ): 3^4 = 3^(2-4) = 1/9 Hasilbagi
bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda,
adlah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan. x^a : y^a =
( x/y )a 3^2 : 5^2 = ( 3/5 )2 = 9/25 Bandingkan kaidah ke-12 ini dengan kaidah
ke-6 di muka.
B. Akar
Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar
dari sebuah bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan
dengan pangkat akarnya. Berdasarkan konsep pemangkatan kita mengetahui,
bahwa jika bilangan-bilangan yang sama (misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu
sebanyak (katakanla) a kali, maka kita dapat menuliskannya menjadi xa ; x
1
http://www.belajarmatematikaku.com/2016/08/contoh-soal-dan-pembahasan-bentuk-
pangkat-dan-akar-untuk-sd.html
6

8. disebut basis dan a disebut pangkat. Andaikan xa = m, maka x dapat juga disebut
sebagai akar pangkat a dari m, yang jika ditulis dalam bentuk akar menjadi x =
Jadi, = x sebab xa =m ; atau dengan perkataan lain =x jika xa = m. √(2&9 )= 3
sebab 32 = 9 ∛64= 4 sebab 43 = 64 Secara umum : √(a&m) = x jika x^a = m
Dalam notasi , √(a&m) disebut pangkat dari akar sedangkan m disebut radikan.
Pangkat 2 dari akar biasanya tidak dicantumkan dalam penulisan, sehingga tanda
akar yang tidak mencantumkan pangkat dengan sendirinya harus dibaca dan
ditafsirkan sebagai akar berpangkat 2. Jadi, √(2&9) = √9, √(2&25) = √25 Apabila
pangkat akarnya berupa bilangan genap, maka radikan positif akan menghasilkan
dua macam akar : yang satu positif dan satunya lagi negatif. Hal ini selaras dengan
kaidah perkalian dalam operasi tanda, bahwa baik bilangan positif maupun
bilangan negatif jika berpangkat genap akan menghasilkan bilangan positif. Jadi,
sesungguhnya √9 = ± 3 (baca : + 3), bukan hanya + 3 ; sebab ( + 3 )2 = 9 dan ( -
3)2 = 9 juga. Sama halnya√25, = ± 5 dan bukan hanya + 5, ∜(16 )= ± 2 dan bukan
hanya + 2. Apabila pangkat akarnya genap dan radikannya negatif, hasilnya
adalah berupa bilangan khayal (lihat kembali Bab 2). Sebagai contoh adalah
bilangan khayal, sebab baik + 3 maupun – 3 jika dipangkatkan 2 tidak ada yang
menghasilkan – 9. Apabila pangkat akranya berupa bilangan ganjil, baik radikan
positif maupun radikan negatif hanya akan menghasilkan satu macam akar ;
radikan positif menghasilkan akar positif, radikan negatif menghasilkan akar
negatif. ∛64 = + 4 sebab hanya ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4 ) = 64 ∛64= - 4 sebab hanya ( -
7

9. 4 ) ( - 4 ) ( - 4 ) = - 64 Seperti halnya dalam hal pemangkatan, pengakaran
bilangan pun mematuhi sejumlah kaidah. Kaidah-kaidah tersebut dirinci di bawah
ini.
1. Kaidah Pengakaran Bilangan
A. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan
tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Berdasarkan √(a&m) = x jika xa = m
(x adalah basis) Maka: Sebab ( x 1/b)b = x b/b = x1 = x dalam hal ini x 1/b adalah
basis Contoh : ∛64 = 〖64〗^(1/3) = 4
B. Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri
berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku
terbagi sedangkan dari akar menjadi suku pembagi. √(5&3^2 ) = 3^(2/5) = 1,55
Kaidah ke-2 ini sesungguhnya merupakan pengembangan atau analogi dari kaidah
8

10. Table perpangkatan
Bilangan Pangkat
Dua
Bilangan Kuadrat
12
1
22
4
32
9
42
16
52
25
62
36
72
49
9

11. ke-1 sebelumnya. (Bandingkan pula kaidah ke-2 ini dengan kaidah ke-5 mengenai pemangkatan bilangan pecahan, dalam Seksi 3 di
muka).
C. Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya. √(b&xy) = √(b&x) . √y ∛8,64 = ∛8 . ∛(64 )= 2.4 = 8
( lihat juga kaidah ke-6 dibawah nanti )
D. Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya. Contoh : √(3&8/64) = √(3&8)/√(3&64) = 2/4 =
0,5 ( Bandingkan kaidah ini dengan kaidah ke-8 nanti ).
2. Kaidah Penjumlahan (Pengurangan) Bilangan Terakar Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila
akar-akarnya sejenis. Yang dimaksud dengan akar-akar yang sejenis ialah akar-akar yang pangkat dan radikannya sama. 2
A. Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-keofisiennya terakar. m √(b&x^a ) ± n √(b&x^a ) = (m ± n)
2
https://duniamatematika.com/matematika-sd/materi-matematika-sd-kelas-v-bilangan-kuadrat-dan-bentuk-akar-pangkat-dua/
3 https://www.scribd.com/doc/194957592/Pangkat-Dan-Akar
9

12. √(b&x^a ) Contoh : 5√3 + 2√3 = 7 √3 = ( 1,73 ) = 12,11 3. Kaidah Perkalian Bilangan Terakar A. Hasilkali bilangan-bilangan terakar
adalah akar dari hasilkali bilangan-bilangannya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. √(b&x ) . √(b&y)
= √(b&xy) Contoh : ∛8 . ∛64 = ∛8.64 = ∛512 = 8 (Identik dengan kadiah ke-3 sebelumnya). B. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah
akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya. √(b& ) = √(c&x^a )
= √(bc&x^a ) √ ∛(15 625) = √(2.3&15 625) = 5 4. Kaidah Pembagian Bilangan Terakar
A. Hasilbagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilbagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila
10

13. akar-akarnya berpangkat sama. √(b&x)/√(b&y) = √(b&x/y) ∛8/∛64 = ∛(8/64) =∛(1/8) = 0,5 (Identik dengan kaidah-kaidah ke-4
sebelumnya).
2.3.1 SOAL & JAWABAN
Soal & Jawaban Pangkat
1.Sederhanakan dan tentukan nilai dari ( 3^2 )3 ( 3^2 )3 = 3^2x3 = 36 = 729 2.Sederhanakan bentuk berikut ( 1/2 a2 )5 ( 1/2 a2 )5 = ( 1/5 )
5. a5 = 1/32 a5 3.Sederhanakan bentuk berikut ( 2n/3 )3 ( 2n/3 )3 = 〖(2n)〗^3/3^3 = 〖8n〗^3/27 4.Sederhanakan bentuk berikut tanpa
pangkat negatif 3-2a4b-5 x 18a-2bb = 3^(-2) a4 b-5 x 32 a-2b 6 = 2 x 3-2+2 a4-2 b-5+6 = 2 x 30 a2 b = 2a2b 5. Nyatakan
ke dalam pangkat positif , kemudian hitung nilai dari 2-5 2-5 = 1/2^5 = 1/32
2.3.2 Soal & Jawaban Akar
Sederhanakan bentuk bentuk berikut : √(27 ) = √9x3 = √9 x √3 = 3√3 Sederhanakan bentuk bentuk berikut : 4√3 + √27 - √12 = 4√3 + 3√3 -
2√3 = 5√3 Sederhanakan bentuk bentuk berikut : 2√3 x 4√6 = 2√3 x 4√6 = 8√18 = 8 x 3√2 = 24√2 Sederhanakan bentuk bentuk berikut :
√10 : √2 = √10/√2 = √(10/2) = √5 Sederhanakan bentuk bentuk berikut : √(5/4) = √(1/4 x 5) = √(1/4 x) √5 = 1/2 √5
11

14. BAB III
PENUTUP
A.Kesimpulan
Berdasarkan uraian diatas, maka kesimpulan dari makalah yang berjudul ”
Pangkat dan Akar” adalah Pangkat dan Akar merupakan salah satu metode
yang dapat meningkatkan kemampuan anda sehingga matematika dapat
dianggap sebagai pelajaran yang menyenangkan, dan mudah dipahami. Materi
ini nantinya akan lebih dilanjutkan dalam materi-materi lainnya yang
tingkatannya lebih tinggi. Dengan ditanamkannya konsep pengerjaan
perpangkatan dan akar bilangan ini dapat mempermudah mahasiswa dalam
menangkap suatu materi yang akan disajikan sehingga mahasiswa dapat
termotivasi untuk mengerjakan materi-materi selanjutnya. Dari sinilah
sehingga terbentuk suatu interaksi suatu proses belajar mengajar yang
diharapkan
B. Saran
Untuk lebih mempermudah daya tangkap mahasiswa tentang pengerjaan
perpangkatan dan akar bilangan sebelum dosen harus memberikan kode-kode atau
simbol-simbol untuk mengingat kepada mahasiswa mana yang lebih dahulu harus
dikerjakan seperti contoh dalam makalah ini.
11

15. BAB III
PENUTUP
A.Kesimpulan
Berdasarkan uraian diatas, maka kesimpulan dari makalah yang berjudul ”
Pangkat dan Akar” adalah Pangkat dan Akar merupakan salah satu metode
yang dapat meningkatkan kemampuan anda sehingga matematika dapat
dianggap sebagai pelajaran yang menyenangkan, dan mudah dipahami. Materi
ini nantinya akan lebih dilanjutkan dalam materi-materi lainnya yang
tingkatannya lebih tinggi. Dengan ditanamkannya konsep pengerjaan
perpangkatan dan akar bilangan ini dapat mempermudah mahasiswa dalam
menangkap suatu materi yang akan disajikan sehingga mahasiswa dapat
termotivasi untuk mengerjakan materi-materi selanjutnya. Dari sinilah
sehingga terbentuk suatu interaksi suatu proses belajar mengajar yang
diharapkan
B. Saran
Untuk lebih mempermudah daya tangkap mahasiswa tentang pengerjaan
perpangkatan dan akar bilangan sebelum dosen harus memberikan kode-kode atau
simbol-simbol untuk mengingat kepada mahasiswa mana yang lebih dahulu harus
dikerjakan seperti contoh dalam makalah ini.
11