Makalah ini membahas tentang aljabar linear khususnya materi matriks dan operasi matriks. Secara singkat, makalah ini menjelaskan tentang notasi dan terminologi matriks, berbagai operasi pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian dua matriks, serta konsep matriks terpartisi.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi-operasi aljabar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks, serta penyelesaian persamaan linier menggunakan matriks dan determinan matriks.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Bab 5 dokumen tersebut membahas program linear yang merupakan metode untuk menyelesaikan masalah optimasi seperti memaksimalkan keuntungan perusahaan. Terdapat penjelasan tentang grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear satu dan dua variabel serta cara menentukan nilai optimum menggunakan metode uji titik pojok dan garis selidik.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Secara umum dibahas tentang definisi fungsi, domain dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti fungsi polinomial, rasional, genap, ganjil dan periodik, serta operasi-operasi pada fungsi seperti operasi aljabar dan komposisi fungsi.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi-operasi aljabar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks, serta penyelesaian persamaan linier menggunakan matriks dan determinan matriks.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Bab 5 dokumen tersebut membahas program linear yang merupakan metode untuk menyelesaikan masalah optimasi seperti memaksimalkan keuntungan perusahaan. Terdapat penjelasan tentang grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear satu dan dua variabel serta cara menentukan nilai optimum menggunakan metode uji titik pojok dan garis selidik.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Secara umum dibahas tentang definisi fungsi, domain dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti fungsi polinomial, rasional, genap, ganjil dan periodik, serta operasi-operasi pada fungsi seperti operasi aljabar dan komposisi fungsi.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
ANALISIS REAL 2
Ringkasan: Tulisan ini merangkum materi Analisis Real 2 yang meliputi konsep limit fungsi, fungsi kontinu, kombinasi fungsi kontinu, kekontinuan seragum, teorema nilai rata-rata, dan fungsi monoton. Tulisan ini bermanfaat untuk mempelajari konsep-konsep dasar analisis matematika.
1. Materi ini membahas sistem koordinat polar dan kurva polar dalam kalkulus peubah banyak.
2. Sistem koordinat polar menggunakan jarak (r) dan sudut (θ) untuk merepresentasikan posisi suatu titik dalam bidang dua dimensi.
3. Kurva polar didefinisikan oleh persamaan r = f(θ) yang menggambarkan hubungan antara jarak dan sudut.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep matriks, operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian antar matriks, menentukan determinan matriks, menentukan invers matriks, dan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan konsep-konsep tersebut.
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan-persamaan trigonometri, termasuk definisi persamaan trigonometri, bentuk dasar persamaan trigonometri, penyelesaian persamaan trigonometri sederhana, persamaan yang mengandung fungsi trigonometri, rumus jumlah dan selisih trigonometri, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks, dimulai dari pengertian matriks, kamus data matriks, pemrosesan matriks seperti pengisian elemen, penjumlahan, dan perkalian matriks, serta pendekatan penyimpanan matriks jarang menggunakan array tunggal.
Dokumen ini membahas tentang array dan matriks dalam VB.Net. Array adalah variabel yang menyimpan beberapa data dengan tipe data yang sama sementara matriks adalah array dua dimensi. Dokumen ini menjelaskan deklarasi array dan matriks, mengisi elemen matriks, serta operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks. Pembaca diminta untuk membuat program yang melakukan ketiga operasi matriks tersebut.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
ANALISIS REAL 2
Ringkasan: Tulisan ini merangkum materi Analisis Real 2 yang meliputi konsep limit fungsi, fungsi kontinu, kombinasi fungsi kontinu, kekontinuan seragum, teorema nilai rata-rata, dan fungsi monoton. Tulisan ini bermanfaat untuk mempelajari konsep-konsep dasar analisis matematika.
1. Materi ini membahas sistem koordinat polar dan kurva polar dalam kalkulus peubah banyak.
2. Sistem koordinat polar menggunakan jarak (r) dan sudut (θ) untuk merepresentasikan posisi suatu titik dalam bidang dua dimensi.
3. Kurva polar didefinisikan oleh persamaan r = f(θ) yang menggambarkan hubungan antara jarak dan sudut.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep matriks, operasi-operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian antar matriks, menentukan determinan matriks, menentukan invers matriks, dan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan konsep-konsep tersebut.
Assalamualaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih.
Muhamad Husni Mubaraq
@ID_baraq
Mohon tinggalkan komentar atau pesan
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan-persamaan trigonometri, termasuk definisi persamaan trigonometri, bentuk dasar persamaan trigonometri, penyelesaian persamaan trigonometri sederhana, persamaan yang mengandung fungsi trigonometri, rumus jumlah dan selisih trigonometri, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut membahas tentang matriks, dimulai dari pengertian matriks, kamus data matriks, pemrosesan matriks seperti pengisian elemen, penjumlahan, dan perkalian matriks, serta pendekatan penyimpanan matriks jarang menggunakan array tunggal.
Dokumen ini membahas tentang array dan matriks dalam VB.Net. Array adalah variabel yang menyimpan beberapa data dengan tipe data yang sama sementara matriks adalah array dua dimensi. Dokumen ini menjelaskan deklarasi array dan matriks, mengisi elemen matriks, serta operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks. Pembaca diminta untuk membuat program yang melakukan ketiga operasi matriks tersebut.
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom.
Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks.
Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.
Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Dokumen ini menjelaskan algoritma input dan output data matriks. Matriks didefinisikan sebagai array 2 dimensi dengan indeks baris dan kolom. Algoritma input melibatkan perulangan untuk memasukkan data ke setiap elemen matriks, sedangkan algoritma output melibatkan perulangan untuk mencetak isi matriks. Kedua algoritma diimplementasikan dalam program Pascal lengkap dengan flowchartnya.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas konsep dasar ilmu ekonomi untuk siswa kelas X SMA Al Muslim. Pembelajaran dilaksanakan selama 2 pertemuan dengan berbagai kegiatan seperti diskusi kelompok, presentasi, dan games untuk menjelaskan pengertian, pembagian, dan prinsip ilmu ekonomi.
Sejarah perekonomian Indonesia dibagi menjadi empat masa yaitu Orde Lama, Orde Baru, Transisi, dan Reformasi. Masa Orde Lama mengalami pertumbuhan ekonomi rendah akibat gejolak politik. Masa Orde Baru mengalami pertumbuhan tinggi melalui stabilisasi ekonomi dan terbukanya sistem pasar. Krisis keuangan 1997 memasuki masa Transisi dimana Indonesia meminta bantuan IMF. Presiden Soeharto mundur dan diganti oleh Habibie.
Rpp ekonomi x kurikulum 2013 KD 2 MAsalah EKonomiSiti Mugi Rahayu
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas tentang pelajaran Ekonomi kelas X semester 1. Materi pokoknya adalah Masalah Ekonomi dan Cara Mengatasinya. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar, indikator, tujuan pembelajaran, metode, media dan alat pembelajaran, serta kegiatan pembelajaran untuk 4 pertemuan. Kegiatannya meliputi diskusi kelompok, presentasi, dan penugasan mengenai masalah ekon
Dokumen tersebut membahas sejarah perekonomian Indonesia pada berbagai masa pemerintahan, yaitu:
1. Orde Lama di bawah Soekarno mengalami stagnasi ekonomi akibat kebijakan nasionalisasi dan anti-Barat
2. Orde Baru di bawah Soeharto mengalami pertumbuhan ekonomi tinggi melalui program pembangunan REPELITA
3. Masa transisi di bawah Habibie, Gus Dur, dan Megawati mulai memulihkan
Buku ini membahas hakekat, nilai, dan peranan matematika di sekolah dasar. Matematika adalah ilmu penting yang membentuk dasar untuk mempelajari ilmu lain. Konsep-konsep matematika dasar harus dipahami dengan benar sejak dini karena salah pemahaman dapat berdampak pada pemahaman selanjutnya. Buku ini menjelaskan pentingnya menyajikan konsep matematika SD dengan tepat agar siswa memahaminya dengan benar.
Makalah ini membahas tentang matriks dan operasi-operasi matriks, meliputi definisi matriks, notasi dan terminologi matriks, operasi penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian dua matriks, matriks-matriks terpartisi, perkalian matriks dengan kolom dan baris, serta transpose dan trace matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, istilah-istilah yang terkait dengan matriks seperti baris, kolom, elemen, ordo, dan jenis-jenis matriks seperti matriks baris, kolom, persegi, nol, dan segitiga.
Makalah ini membahas tentang determinan dan cara menghitung determinan dengan menggunakan beberapa metode seperti perkalian elementer, operasi baris elementer, ekspansi kofaktor, dan aturan Cramer. Determinan merupakan nilai penting dalam perhitungan matriks."
Bahan Ajar Inovasi Matriks Lusi Irawati, S.Pd.pdfLusiIrawati1
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai pengertian matriks, notasi matriks, jenis-jenis matriks, operasi dasar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, dan transposisi matriks. Terdapat contoh soal untuk menerangkan konsep-konsep tersebut.
Modul ini membahas sistem persamaan linear (SPL) dan penyelesaiannya. SPL adalah himpunan dua atau lebih persamaan linear dengan variabel yang sama. Terdapat tiga kemungkinan penyelesaian SPL, yaitu satu penyelesaian, banyak penyelesaian, atau tidak memiliki penyelesaian. SPL dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks.
Determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkarBAIDILAH Baidilah
Tesis ini membahas tentang determinan matriks hasil dekomposisi dengan metode Crout pada matriks bujur sangkar. Metode ini merupakan cara yang mudah untuk menentukan nilai determinan suatu matriks karena dapat mengurai matriks menjadi dua matriks segitiga atas dan bawah. Penentuan nilai determinan didapat dari hasil kali elemen diagonal matriks hasil dekomposisi.
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabarAZLAN ANDARU
RPP ini merencanakan pembelajaran tentang konsep matriks dan operasi aljabar pada matriks untuk siswa kelas XI selama 3 pertemuan. Materi yang diajarkan meliputi pengertian matriks, transpose, kesamaan dua matriks, penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar pada matriks. Tujuan pembelajaran adalah agar siswa dapat memahami konsep-konsep tersebut dan menyelesaikan masalah matematika berkaitan den
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Terdapat beberapa jenis matriks seperti matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas. Operasi yang dapat dilakukan pada matriks antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, notasi matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan dua matriks dan transpose matriks. Matriks adalah himpunan bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom. Matriks dapat berupa nol, baris, kolom, bujur sangkar, diagonal, satuan, skalar, segitiga atas dan bawah. Dua matriks dikatakan sama jika memiliki ordo dan elemen yang sama pada letak
Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari elemen-elemen yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bab ini membahas pengertian matriks, operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks, serta konsep determinan dan invers matriks. Sistem persamaan linier dapat didefinisikan menggunakan notasi matriks.
BAB 3 PROFESI, PELUANG KERJA, DAN PELUANG USAHA BIDANG AKL.pptxanselmusl280
Jurusan akuntansi merupakan salah satu jurusan yang cukup populer di Indonesia. Banyak mahasiswa yang memilih jurusan ini karena prospek kerja yang menjanjikan. Namun, sebelum memilih jurusan ini, sebaiknya Anda mengetahui terlebih dahulu apa itu jurusan akuntansi.
Akuntansi adalah suatu bidang ilmu yang mempelajari tentang pencatatan, pengukuran, pengklasifikasian, dan pelaporan transaksi keuangan. Jurusan akuntansi sendiri merupakan suatu program studi yang mengajarkan ilmu akuntansi, mulai dari dasar-dasar akuntansi hingga akuntansi lanjutan.
Dalam jurusan akuntansi, Anda akan mempelajari berbagai materi, seperti dasar-dasar akuntansi, teori akuntansi, analisis laporan keuangan, audit, pajak, hingga manajemen keuangan. Selain itu, Anda juga akan belajar menggunakan software akuntansi, seperti Microsoft Excel dan SAP.
Gelar akademik yang akan didapatkan oleh para lulusan S-1 jurusan akuntansi adalah Sarjana Akuntansi (S.Ak.). Memiliki gelar sarjana akuntansi merupakan salah satu syarat penting untuk menjadi seorang akuntan profesional.
Dengan memperoleh gelar sarjana akuntansi, seseorang dianggap memiliki pengetahuan yang mendalam mengenai akuntansi, audit, pajak, dan manajemen keuangan.
Setelah lulus dari jurusan akuntansi, Anda memiliki peluang kerja yang sangat luas. Anda bisa bekerja di berbagai bidang, seperti akuntan publik, auditor, konsultan pajak, pegawai bank, pegawai asuransi, broker saham, hingga dosen akuntansi. Bahkan, jika Anda memiliki kemampuan untuk memulai bisnis, Anda juga bisa membuka usaha konsultan akuntansi.
Anda juga bisa memperoleh gaji yang cukup tinggi jika bekerja di bidang akuntansi. Gaji rata-rata untuk lulusan akuntansi di Indonesia bervariasi, tergantung dari posisi dan pengalaman kerja. Namun, umumnya gaji untuk lulusan akuntansi di Indonesia berkisar antara 4 hingga 10 juta rupiah per bulan.
Secara keseluruhan, jurusan akuntansi memiliki prospek kerja yang menjanjikan dan peluang karier yang luas. Namun, sebelum memilih jurusan ini, pastikan Anda memiliki minat dan bakat dalam bidang akuntansi. Selain itu, perlu juga memiliki kemampuan analisis yang baik, teliti, dan detail-oriented.
Salah satu prospek kerja yang menarik bagi lulusan akuntansi adalah menjadi broker saham.
Sebagai broker saham, tugas utama adalah membantu investor dalam membeli dan menjual saham di pasar saham. Selain itu, seorang broker saham juga harus memiliki pengetahuan dan kemampuan dalam menganalisis data dan memprediksi pergerakan harga saham.
Meskipun menjadi broker saham terdengar menarik dan menjanjikan, tetapi tidak semua lulusan akuntansi bisa menjadi broker saham dengan mudah. Ada beberapa persyaratan yang harus dipenuhi untuk menjadi broker saham, antara lain harus memiliki sertifikasi yang dikeluarkan oleh Bursa Efek Indonesia (BEI) dan harus memiliki lisensi dari Otoritas Jasa Keuangan (OJK).
Namun, bagi lulusan akuntansi yang memiliki sertifikasi dan lisensi tersebut, prospek kerja sebagai broker saham di Indonesia
MATERI AKUNTANSI IJARAH POWER POINT (PPT)ritaseptia16
Ijarah adalah akad sewa-menyewa antara pemilik ma’jur (obyek
sewa) dan musta’jir (penyewa) untuk mendapatkan imbalan atas obyek
sewa yang di sewakannya.
1. ALJABAR LINEAR
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Dosen Pengampu : Fitriana Rahmawati, S. Si., M. Pd.
Disusun Oleh :
KELOMPOK 3
Kelas IV D
Nama anggota
1. Diana Puspita Sari (10130068)
2. Febriyanti Fathonah (10130103)
3. Maulina Sari (10130190)
4. Nurul Komariah (10130231)
5. Siska Oktarina (10130306)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP-PGRI) BANDAR LAMPUNG
TA 2011/2012
2. KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena kami telah menyelesaikan makalah
Aljabar Linear dengan materi Matriks dan Operasi Matriks pada semester genap tahun kedua
dengan empat satuan kredit semester.
Tak ada gading yang tak retak. Begitu pula dengan makalah ini. Mungkin banyak kekeliruan
dalam makalah ini baik dari segi penulisan maupun dalam penyusunan makalah ini.
Kesempurnaan hanyalah milik Tuhan Yang Maha Esa. Oleh karena itu, dengan rendah hati
kami mohon maaf apabila kurang sesuai dengan apa yang diharapkan oleh pembaca.
Kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan dari para pembaca agar makalah ini
dapat lebih baik dan menjadi sempurna.
Demikian makalah yang dapat kami buat. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para
pembaca. Atas perhatian para pembaca, kami ucapkan terima kasih.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Bandarlampung, 2 Maret 2012
Penyusun
3. DAFTAR ISI
Kata Pengantar ………………………………………………………………............ i
Daftar isi ……………………………………………………………………….......... ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang ……………………………………………….......... 1
BAB II PEMBAHASAN
2.1. Notasi dan Terminologi Matriks……….............................................. 2
2.2. Operasi-Operasi Matriks……………….............................................. 3
2.3. Matriks-Matriks Terpartisi………………………………………….. 8
2.4 Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan Baris…....................... 8
2.5. Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear……………………... 10
2.6. Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear…………………………... 11
2.7 Transpose Suatu Matriks ………………………………………….... 12
2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar ................................................... 13
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan …………………………………………………............... 14
DAFTAR PUSTAKA
4. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak dalam permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
penerapan matriks. Seperti halnya masalah transportasi dalam bidang industri yang
meletakkan hasil produksi industri tersebut di tempat yang terpisah. Namun, bagaimanakah
cara mendistribusikan hasil produksi dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang
dengan biaya tranportasi yang dikeluarkan seminimal mungkin. Nah, permasalahan ini dapat
diselesaikan dengan matriks.
Susunan bilangan real berbentuk segi empat muncul dalam banyak konteks, selain sebagai
matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linear. Pada subbab ini kita akan meninjau
susunan-susunan seperti itu dengan susunan bilangan itu sendiri sebagai objeknya dan
mengembangkan beberapa sifat-sifat susunan bilangan tersebut
.
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk
suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut entri dalam
matriks.
Pembahasan pada makalah ini dimulai pada Notasi dan Terminologi Matriks, Operasi-
Operasai Matriks, Matriks-Matriks Terpartisi, Perkalian Matriks dengan Kolom dan dengan
Baris, Hasil Kali Matriks sebagai Kombinasi Linear, Bentuk Matriks dari Suatu Sistem
Linear, Transpose Suatu Matriks, dan Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar.
5. BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Notasi dan Terminologi Matriks
a. Pengertian matriks
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut disebut
entri dalam matriks.
Contoh:
2 0 3
baris 1 2 4
3 2 1
kolom
Ukuran matriks, diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertical)
yang dikandungnya.
Contoh:
2 4 1
ini adalah matriks yang berukuran 2 × 3
3 0 2
Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom (atau vector kolom), dan
sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris (atau vector baris).
1
2
2 1 3
3
vektor baris
vektor kolom
6. Untuk menghilangkan tanda kurung pada matriks 1 × 1 merupakan hal umum dilakukan.
Jadi, kita boleh menuliskan 4 bukan [4]. Kita akan menggukan huruf besar untuk
menyatakan matriks dan huruf kecil untuk mewakili bilangan.
Contoh:
2 0 3
1 2 4 atau B = a b c
A=
3 2 1 d e f
Entri pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai aij.
Jadi, sebuah matriks umum 3 × 4 dapat di tulis sebagai:
a11 a12 a13 a14
A a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
Dan sebuah matriks umum mxn sebagai
2.2 Operasi-Operasi Matriks
Sejauh ini, kita telah menggunakan matriks untuk mempersingkat pekerjaan dalam
menyelesaikan sistem persamaan linear. Akan tetapi, untuk penerapan lainnya kita ingin
mengembangkan suatu “aritmetika matriks” dimana matriks-matriks dapat ditambahkan,
dikurangkan, dan dikalikan dengan cara yang berguna.
Definisi Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan
entri-entri yang berpadanan sama.
Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka
A = B jika dan hanya jika (Aij)=(Bij), atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j.
Contoh 2 Tinjau matriks-matriks
7. Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B tidak sama,karena
tidak semua entri-entrinya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai x yang membuat A=C
karena A dan C mempunyai ukuran yang berbeda.
Definisi Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlahA+B adalah
matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri B dengan entri-entri A yang
berpadanan, dan selisihA-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri
A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak dapat
ditambahkan atau dikurangkan.
Dalam notasi matriks, jika A= [aij] dan B= [bij] mempunyai ukuran yang sama, maka
(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij
Contoh 3 Tinjau matriks-matriks
Maka
Ekspresi A + C, B + C, B - C tidak terdefinisi.
Definisi Jika A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar, maka hasil
kalicA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri A dengan c.
Dalam notasi Matriks, jika A = [aij], maka
(cA)ij = c(A)ij = caij
8. Contoh 4 Untuk matriks-matriks
Kita dapatkan
Adalah umum menyatakan (-1)B dengan –B.
Jika A1, A2, …, An adalah matriks-matriks berukuran sama dan c1, c2, …, cn adalah skalar,
maka sebuah ekspresi berbentuk
c1A1 + c2A2 + … + cnAn
disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien-koefisien c1, c2, …, cn.
Misalnya, jika A, B, dan C adalah matriks-matriks dalam contoh 4, maka
2A – B + C = 2A + (-1)B + C
=
=
adalah kombinasi linear dari A, B,dan C dengan koefisien skalar 2,-1, dan .
Sejauh ini kita telah mendefinisikan perkalian matriks dengan skalar,tetapi bukan perkalian
dua matriks. Karena matriks-matriks ditambahkan dengan menambahkan entri-entrinya yang
berpadanan dan dikurangkan dengan mengurangkan entri-entrinya yang berpadanan, maka
akan tampak masuk akal jika kitamendefinisikan perkalian matriks dengan mengalikan entri-
entrinya yang berpadanan. Akan tetapi, ternyata definisi yang demikian tidak akan sangat
berguna untuk kebanyakan masalah. Pengalaman telah membawa para matematikawan
kepada definisi perkalian matriks berikut ini yang kurang alami, tetapi lebih berguna.
9. Definisi. Jika A adalah sebuah matriks m x r dan B adalah sebuah matriks r x n, maka hasil
kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya didiefinisikan sebagai berikut. Untuk
mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j pada
matriks B. kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan
kemudian jumlahkan hasil kalinya.
Contoh 5 Tinjau matriks-matriks
Karena A adalah matriks 2x3 dan B adalah matriks 3x4, maka hasil kali AB adalah
sebuah matriks 2x4. Misalnya, untuk menentukan entri pada baris 2 dan kolom 3 dari AB, kita
memilih baris 2 dari A dan kolom 3 dari B. Selanjutnya, sebagaimana yang diilustrasikan
dibawah ini, kita mengalikan entri-entri yang berpadanan secara bersama-sama dan
menjumlahkan hasil kali-hasil kali ini.
26
(2.4) + (6.3) + (0.5) = 26
Entri pada baris 1 dan kolom 4 dari AB dihitung sebagai berikut.
(1.3) + (2.1) + (4.2) = 13
Perhitungan untuk hasil kali-hasil kali lainnya adalah:
27
AB =
10. Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan
jumlah baris faktor kedua B untuk membentuk hasil kali AB. Jika syarat ini tidak terpenuhi,
hasil kalinya tidak terdefinisi. Suatu cara yang mudah untuk menentukan apakah hasil kali
dua matriks terdefinisi atau tidak adalah dengan menuliskan ukuran faktor pertama, dan
disebelah kanannya tuliskan ukuran faktor kedua. Jika sebagaimana dalam gambar2,
bilangan-bilangan yang di dalam sama, maka hasil kalinya terdefinisi. Selanjutnya, bilangan-
bilangan di luar memberikan ukuran hasil kali.
A B = AB
m x r r x n m x n
Didalam
Diluar
Contoh 6 Anggap bahwa A,B, dan C adalah matriks-matriks dengan ukuran-ukuran berikut
ini:
A B C
3 x 4 4 x 7 7 x 3
Maka AB terdefinisi dan merupaka suatu matriks 3x7; CA terdefinisi dan merupaka suatu
matriks 7x4; dan BC terdefinisi dan merupakan suatu matriks 4x3. Hasil kali AC, CB, dan BA
tak terdefinisi.
Jika A =[aij] adalah suatu matriks umum mxr dan B = [bij] adalah suatu matriks umum rxn,
maka sebagaimana yang diilustrasikan oleh bagian yang terarsir pada Gambar 3, entri (AB)ij
pada baris i dan kolom j dari AB diberikan oleh:
(AB)ij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + airbrj
a11 a12 a1r
b11 b12 b1 j b1n
a 21 a 22 a2r
b21 b22 b2 j b2 n
AB
a i1 ai 2 a ir
br1 br 2 brj brn
a m1 am2 a mr
11. 2.3 Matriks-matriks Terpartisi
Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan
menyelipkan garis horizontal dan vertical di antara baris dan kolom yang ditentukan.
Misalnya, di bawah ini terdapat tiga partisi yang mungkin dari sebuah matriks umum A, 3 x
4, -pertama adalah sebuah partisi A menjadi empat submatriks A11, A12, A21 dan A22; kedua
adalah sebuah partisi A menjadi matriks-matriks baris r1, r2, dan r3; ketiga adalah partisi A
menjadi matriks –matriks kolom c1, c2, c3, dan c4;
a11 a12 a13 a14
A11 A12
A= a 21 a 22 a 23 a 24 =
A21 A22
a 31 a 32 a 33 a 34
a11 a12 a13 a14 r1
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = r2
a 31 a 32 a 33 a 34 r3
a11 a12 a13 a14
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = c1 c2 c3 c4
a 31 a 32 a 33 a 34
2.4 Perkalian matriks dengan kolom dan dengan baris
Kadang-kadang kita mungkin ingin mendapatkan baris atau kolom tertentu dari suatu hasil
kali matriks AB tanpa menghitung keseluruhan hasil kalinya. Hasil-hasil berikut ini, yang
buktinya ditinggalkan sebagai latihan, berguna untuk maksud tersebut:
Matriks kolom ke-j dari AB = A[matriks kolom ke-j dari B] …...(3)
Matriks baris ke-i dari AB = [matriks baris ke-i dari A]B ……(4)
12. Contoh :
Jika A dan B adalah matriks-matriks dalam contoh 5, maka matriks kolom kedua dari AB
dapat diperoleh dari (3) dengan perhitungan
=
Kolom kedua Kolom kedua
B AB
B
Dan dari (4) matriks barispertama dari AB dapat diperoleh dengan perhitungan
4 1 4 3
1 2 4 0 1 3 1 = 12 27 30 13
2 7 5 2
Baris pertama A Baris pertama AB
Jika a1, a2, …, ammenyatakan matriks-matriks baris dari A dan b1, b2, …, bn menyatakan
matriks-matriks kolom dari B, maka dari rumus (3), dan (4) kita dapat memperoleh
AB A b1 b2 b n Ab1 Ab2 Abn
(AB dihitung kolom per kolom)
a1 a1 B
a2 a2 B
AB = B=
am am B
(AB dihitung baris per baris)
13. 2.4 Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear
Matriks-matriks baris dan kolom memberikan suatu cara berfikir alternatif mengenai
perkalian matriks.
Misalnya :
dan
Maka,
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn a11 a12 a1n
a 21 x1 a 22 x2 .... a 2 n xn a 21 a 22 a2n
Ax x 1 x2 ...
a m1 x1 am 2 x2 .... a mn xn a m1 am2 a mn
Dari hasil kali Ax dari sebuah matriks A dengan sebuah matriks kolom x adalah sebuah
kombinasi linier dari matriks-matriks kolom dari A koefisien-koefisien yang berasal dari
matriks x. dan menunjukkan hasil kali yA dari sebuah matriks y ukuran 1 × m dengan sebuah
matriks A berukuran m × n merupakan sebuah kombinasi linier dari matriks-matriks baris A
dengan koefisien scalar yang berasal dari y.
Contoh:
Dapat ditulis sebagai kombinasi linier
Dan hasil kali matriks
14. Dan kombinasi liniernya
2.6 Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear
Perkalian matriks mempuyai suatu penerapan yang penting pada persamaan linear. Tinjau
sembarang sistem persamaan linear dalam n peubah.
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 .... a2 n xn b2
am1 x1 am 2 x2 .... amn xn bm
Selanjutnya, persamaan dari sitem linear ini dapat digantikan dengan persamaan matriks
tunggal, seperti yang dapat kita lihat di bawah ini.
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 .... a2 n xn b2
am1 x1 am 2 x2 .... amn xn bm
Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat ditulis sebagai suatu hasil kali untuk
menghasilkan :
a11 a12 a1n x1 b1
a21 a22 a2 n x2 b2
am1 am 2 amn xn bm
Jika kita misalkan matriks-matriks di atas masing-masing dengan A, x, dan b, maka yang
didapat adalah matriks tunggal seperti berikut.
15. Ax b
Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan tersebut.
Matriks yang diperbesar untuk sistem ini diperoleh dengan menggandengkan b ke A sebagai
kolom terakhir, jadi matriks yang diperbesar adalah
a11 a12 a1n b1
a 21 a 22 a2 n b2
A b
a m1 am 2 a mn bm
2.7 Transpose Suatu Matriks
Jika A adalah sembarang matriks m × n, maka transpose A dinyatakan dengan AT,
didefinisikan sebagai matriks n × m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan
kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari ATadalah baris pertama dari A, kolom kedua dari
ATadalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
Contoh:
A B C D
↕ ↕ ↕ ↕
AT BT CT DT
Jika dari kolom ATmenjadi baris dari A, tetapi baris dari AT juga menjadi kolom A. Jadi, entri
dalam baris i dan kolom j dari AT adalah entri dalam baris j dan kolom i dari A: yaitu:
16. (AT)ij ij
Sifat-sifat transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A+B)’ = A’ + B’
3. k(A’) = kA’
4. (AB)’ = B’A’
5. Jika Aadalah matriks simetris, maka A’ = A
2.8 Trace Suatu Matriks Bujur Sangkar
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka traceA, dinyatakan dengan tr(A),
didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace Atidak terdefinisi jika
A bukan matriks bujur sangkar.
Contoh:
tr(A) tr(B)
BAB III
PENUTUP
17. 3.1 Kesimpulan
Matriks adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang
membentuk suatu susunan persegi atau persegi panjang. Bilangan – bilangan tersebut
disebut entri dalam matriks.
- Matriks kolom adalah sebuah matriks dengan hanya satu kolom.
1
A matriks kolom
4
- Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris.
B 2 1 5 matriks baris
- Matriks persegi atau matriks bujur sangkar adalah matriks yang berbentuk persegi.
2 3
C matriks bujursangkar
2 6
Penjumlahan dan Pengurangan :
(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij dan (A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bij
Perkalian matriks :
(cA)ij = c(A)ij = caij= c1A1 + c2A2 + … + cnAn
Perkalian matriks dengan scalar :
2A – B + C = 2A + (-1)B + C
Matriks-matriks terpartisi :
18. a11 a12 a13 a14
A11 A12
A= a 21 a 22 a 23 a 24 =
A21 A22
a 31 a 32 a 33 a 34
a11 a12 a13 a14 r1
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = r2
a 31 a 32 a 33 a 34 r3
a11 a12 a13 a14
A= a 21 a 22 a 23 a 24 = c1 c2 c3 c4
a 31 a 32 a 33 a 34
Perkalian matriks baris dan kolom :
AB A b1 b2 b n Ab1 Ab2 Abn
(AB dihitung kolom per kolom)
a1 a1 B
a2 a2 B
AB = B=
am am B
(AB dihitung baris per baris)
Hasil Kali Matriks Sebagai Kombinasi Linear :
a11 x1 a12 x2 .... a1n xn a11 a12 a1n
a 21 x1 a 22 x2 .... a 2 n xn a 21 a 22 a2n
Ax x 1 x2 ...
a m1 x1 am 2 x2 .... a mn xn a m1 am2 a mn
Bentuk Matriks dari Suatu Sistem Linear :
19. a11 x1 a12 x2 .... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 .... a2 n xn b2
am1 x1 a m 2 x2 .... amn xn bm
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2 n b2
A b
am1 am 2 amn bm
Transpose :
(AT)ij ij
Sifat-sifat transpose :
1. (A’)’ = A
2. (A+B)’ = A’ + B’
3. k(A’) = kA’
4. (AB)’ = B’A’
5. Jika A adalah matriks simetris, maka A’ = A
Trace Matriks Bujur Sangkar :
tr ( A) a11 a 22 a 33
Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar.
DAFTAR PUSTAKA
20. 1. Anton, Howard. 2000. Aljabar Linier. _ :Karisma Publishing Group
2. Johanes,dkk. 2006. Kompetensi Matematika 3A Program IPA. Jakarta : Yudhistira.
3. http://www.slideshare.net/AmriSandy/pertemuan12-10080718