materi kuliah fisika

1. Kinematika Partikel di dalam Ruang Tiga Dimensi
1. Gerak Linier
Kinematika membicarakan cara gerak suatu sistem, tanpa memperhatikan hukum-
hukum yang mengaturnya dan faktor-faktor yang menentukannya. Gerak adalah proses
perubahan vektor posisi terhadap perubahan waktu, yang secara matematis dinyatakan sebagai
( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆr r x t i y t j z t k= = + +
r r
(1)
Ditinjau gerak suatu partikel P sepanjang trayektori lengkung l dalam ruang tiga dimensi
(Gambar 1). Pada saat t partikel berada di titik A dengan vektor posisi ( )r r t=
r r
, kemudian
pada saat t t+ ∆ partikel P telah bergeser seajauh r∆
r
dan mencapai titik B dengan vektor
posisi ( )'r r r r t t= + ∆ = + ∆
r r r r
.
Kecepatan rata-rata partikel setelah mengalami pergeseran r∆
r
selama selang waktu t∆
didefinisikan sebagai
( ) ( )
rt
r t t r t r
v
t t
+ ∆ − ∆
= =
∆ ∆
r r r
r
, (2)
yang sekaligus memperlihatkan bahwa arah rtv
r
selalu sama dengan arah vektor pergeseran r∆
r
.
Bila digunakan sistem koordinat kartesis dengan ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆr r x t i y t j z t k= = + +
r r
, maka
kecepatan rerata dapat ditulisan sebagai
A
B
rtv
rsstv
r
Z
Y
X
r
r
r∆
r
r r+ ∆
r r
s∆
P
l
Gambar 1 Arti Geometri Gerak dalam Ruang Tiga Dimensi

2. rt
ˆˆ ˆx x z
v i j k
t t t
∆ ∆ ∆
= + +
∆ ∆ ∆
r
(3)
dengan ( ) ( )x x t t x t∆ = + ∆ − , ( ) ( )y y t t y t∆ = + ∆ − , dan ( ) ( )z z t t z t∆ = + ∆ − .
Kecepatan (biasa dinamakan kecepatan sesaat) partikel di titik A didefinisikan sebagai
. . .
sst
0 0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim lim
t t
r x y z dx dy dz
v i j k i j k xi y j z k
t t t t dt dt dt∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆ ∆ 
= = + + = + + = + + ∆ ∆ ∆ ∆ 
r
r
(4)
Dari persamaan (4) dapat disimpulkan bahwa vektor v
r
memiliki 3 buah komponen, yaitu
x
dx
v
dt
= , y
dy
v
dt
= , z
dz
v
dt
= (5)
Besarnya vektor kecepatan dinamakan kelajuan partikel, yang diberikan oleh
2 2 2
sst x y zv v v v v= = + +
r
(6)
Selanjutnya, bila vektor kecepatan partikel v
r
berubah terhadap waktu maka patikel
dikatakan mengalami percepatan. Percepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t∆
didefinisikan sebagai
( ) ( )
rt
v t t v t v
a
t t
+ ∆ − ∆
= =
∆ ∆
r r r
r
, (7)
yang sekaligus menyatakan bahwa arah rta
r
selalu sama dengan arah perubahan kecepatan v∆
r
.
Percepatan (biasa dinamakan percepatan sesaat) partikel di titik A didefinisikan sebagai
sst
0 0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim lim y yx z x z
x y z
t t
v dvv v v dv dv
a i j k i j k a i a j a k
t t t t dt dt dt∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆ ∆
= = + + = + + = + + ∆ ∆ ∆ ∆ 
r
r
. (8)
Karena xdv d dx
dt dt dt
 
=  ÷
 
,
ydv d dy
dt dt dt
 
=  ÷
 
, dan zdv d dz
dt dt dt
 
=  ÷
 
, maka percepatan dapat juga
dituliskan sebagai
2 2 2 .. .. ..
sst 2 2 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆd x d y d z
a i j k xi y j z k
dt dt dt
= + + = + +
r
. (9)
Secara umum, arah vektor percepataan sesaat ssta
r
tidak segaris/sejajar dengan vektor v
r
tetapi
selalu menuju daerah pusat kelengkungan trayektori partikel. Selanjutnya, besar vektor
percepatan dinyatakan sebagai
2 2 2
sst x y za a a a a= = + +
r
. (10)
Dengan demikian, jika persamaan trayektori partikel ( )r r t=
r r
diketahui maka
kecepatan ( )v v t=
r r
dan percepatan ( )a a t=
r r
partikel dapat dengan mudah diturunkan dengan
2
1

3. persamaan (4) dan (9). Sebaliknya, jika percepatan ( )a a t=
r r
diketahui maka vektor kecepatan
( )v v t=
r r
dapat diperoleh dari integrasi persamaan (8) dan vektor posisi ( )r r t=
r r
selanjutnya
dapat diperoleh dengan integrasi persamaan (4).
2. Gerak Melingkar (Rotasi)
Sebuah benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut
bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus yang disebut sumbu rotasi.
Tinjau partikel P bergerak sepanjang trayektori berupa lingkaran pada bidang XOY dengan
jejari R konstan (Gambar 2). Pada saat t partikel berada pada titik A dengan vektor posisi
( ) ˆNr t R= −
r
yang membentuk sudut θ terhadap sumbu OX+
. Besaran θ dinamakan pergeseran
sudut (anguler) yang disapu oleh vektor posisi r
r
pada saat partikel bergerak dari C ke A. Pada
saat t t+ ∆ partikel sampai pada titik B, yaitu pada posisi θ θ+ ∆ dengan panjang lintasan
adalah busur AB = ∆s = R ∆θ.
Besar kecepatan sudut rata-rata partikel selama selang waktu ∆t didefinisikan sebagai
( ) ( ) ˆ
ˆ
t t t e
e
t t
θ
θ
θ θ θ
ω
+ ∆ −  ∆ = =
∆ ∆
r
, (11)
3
A
B
C
θ
∆θ
X
O
Y
R
Gambar 2 Gerak melingkar dengan jejari R konstan
P
ˆRe
ˆeθ

4. Dan bila 0t∆ → didapatkan kecepatan sudut ω
r
(atau dinamakan sebagai kecepatan sudut
sesaat) yang merupakan besaran vektor sebagai ungkapan:
( ) 0
ˆ ˆlim
t
d
t e e
t dt
θ θ
θ θ
ω
∆ →
∆ 
= = ÷
∆ 
r
. (12)
Oleh karena ada dua arah rotasi yang mungkin (searah atau berlawanan jarum jam), maka
diperjanjikan bahwa ω
r
positif untuk arah putar searah jarum jam dan ω
r
negatif untuk arah
putar berlawanan jarum jam.
Bila kecepatan sudut ω
r
tergantung pada waktu t maka partikel akan mengalami
percepatan sudut yang besarnya disefinisikan sebagai
( )
( ) ( ) 2
20 0
ˆlim lim
t t
t t t d d
t e
t t dt dt
θ
ω ω ω ω θ
α
∆ → ∆ →
+ ∆ − ∆
= = = =
∆ ∆
r r r r
r
(13)
Satuan dari ω
r
dan α
r
masing-masing adalah rad/s dan rad/s2
dengan dimensi masing-masing
[T]-1
dan [T]-2
. Untuk rotasi dengan sumbu tetap, setiap partikel pada benda pejal tersebut
mempunyai kecepatan sudut yang sama dan percepatan sudut yang sama. Jadi ω
r
dan α
r
merupakan karakteristik keseluruhan benda pejal tersebut.
Hubungan Kinematika Linear dengan Kinematika Rotasi
Panjang lintasan yang telah ditempuh partikel adalah s dan sudut yang telah disapu
sebesar θ. Jari-jari lintasan partikel adalah R yang berharga konstan. Dengan demikian besar
lintasan linear dapat dinyatakan sebagai
s Rθ= (14)
Deferensial satu kali lintasan terhadap waktu diperoleh kecepatan linear, yaitu
( )
ds d d
v R R R
dt dt dt
θ
θ ω= = = = (15)
Besar percepatan linear partikel dapat diuraikan menjadi percepatan tangensial dan percepatan
sentripetal menurut
4
R
θ
s

5. 2 2
T Na a a= + (16)
dengan
( )
2
2
T
N
dv d d
a R R R
dt dt dt
v
a R
R
ω
ω α
ω
= = = =
= =
(17)
Pada gerak melingkar beraturan, α = 0, sehingga ω dan v tetap. Meskipun lajunya tetap,
partikel tetap bergerak dipercepat karena arah vektor v
r
setiap saat berubah. Percepatan yang
dirasakan partikel ini adalah percepatan normal (sentripetal) yang arahnya selalu menuju pusat
lintasan, sedangkan besarnya tetap.
Persamaan (15) yang menghubungkan ω dan v secara skalar dapat dituliskan dalam
vektor dari geometri Gambar 3 berikut.
Dari Gambar 3 tampak bahwa panjang PA adalah R sin α. Dengan demikian, kecepatan linear
persamaan (15) menjadi sinv Rω α= atau bisa ditulis sebagai
v Rω= ×
rrr
. (18)
dengan ω
r
adalah vektor yang tegak lurus bidang lingkaran dan arahnya sesuai arah putaran
sekrup yang diputar mengikuti arah melingkarnya partikel. Sementara itu, percepatan
linearnya adalah
dv dR d
a R v R
dt dt dt
ω
ω ω α= = × + × = × + ×
r rr r rr r rr r
(19)
Gaya yang berasal dari percepatan sentripetal tersebut dinamakan gaya sentripetal, yaitu gaya
yang diperlukan untuk mempertahankan partikel tersebut bergerak melingkar dengan kelajuan
tetap.
5
Gambar 3 Kecepatan sudut sebagai besaran vektor
Z
Y
X
ˆNaP
α
R
A
ω
r

6. 3. Gerak Parabola (Gerak Peluru)
Gerak peluru merupakan salah satu contoh kinematika partikel dalam ruang tiga
dimensi dengan memandang dua sumbu pokok, yaitu sumbu vertikal dan horisontal. Secara
horisontal, gerak peluru ini merupakan gerak lurus beraturan dan secara vertikal merupakan
gerak lurus berubah beraturan. Ditinjau gerak peluru pada bidang XOZ (Gambar 4) dengan
percepatan 0 0
ˆ ˆza a g= = −z z
r
, yaitu dari pengaruh gravitasi bumi.
Peluru ditembakkan dari O dengan kecepatan awal 0v
r
membentuk sudut 0θ dari sumbu-X.
Posisi awal (x0,y0,z0) = (0,0,0) pada saat t = t0 = 0.
Persamaan gerak peluru dapat diuraikan sebagai berikut:
( ) 0 0 0cosx xv t v v θ= = (20.a)
( ) 0 0 0sinz zv t v gt v gtθ= − = − (20.b)
( ) ( ) ( ) ( )2 2
x zv t v t v t v t= = +
r
(20.c)
( ) ( )0 0 0cosxx t v t v tθ= = (20.d)
( ) ( )2 2
0 0 0
1 1
sin
2 2
zz t v t gt v t gtθ= − = − (20.e)
Peluru akan mencapai titik tertinggi (titik C) bila 0zv = , yaitu pada saat ht yang ditentukan
dari 0 0z hv gt− = , sehingga diperoleh
0 0
0sinz
h
v v
t
g g
θ= = . (21)
Tinggi maksimum yang dapat dicapai diperoleh dengan memasukkan nilai ht pada z(th)
sehingga diperoleh
2
2 20
0 0
1
sin
2 2
z h h
v
h v t gt
g
θ= − = (22)
6
Gambar 4 Gerak peluru pada bidang XOZ
v0
sin θ0
XO
Z
v0
v0
cos θ0
θ0
Cv
vx
vz
g

7. dan
2
0 0 0
0 0sin 2
2
x z
h x h
v v v
x v t
g g
θ= = = . (23)
Peluru akan jatuh ke tanah bila z = 0 setelah bergerak selama tk yaitu
0 0
0
2
2 sin 2z
k h
v v
t t
g g
θ
 
= = = ÷
 
(24)
dan jarak horisontal maksimum yang ditempuh adalah
2
0 0 0
0 0
2
sin 2 2x z
k x k h
v v v
x v t x
g g
θ= = = = . (25)
Hasil-hasil yang telah diperoleh di atas hanya berlaku bila:
(1) pengaruh gerak angin/gesekan diabaikan,
(2) variasi percepatan gravitasi bumi terhadap ketinggian diabaikan,
(3) nilai jarak maksimum xk tidak terlalu besar sehingga permukaan bumi dapat dianggap
datar.
7

8. Contoh-contoh Soal
1) Sebuah partikel bergerak pada bidang XOY dengan kelajuan vx = (4t3
+4t) m/s dan vy =
4t m/s. Pada saat t = 0 partikel berada pada posisi (1,2). Cari persamaan lintasan
(trayektori) partikel dalam koordinat kartesis!
2) Sebuah titik materi bergerak sepanjang keliling lingkaran dengan s = t3
+st2
(s dalam
meter, t dalam sekon). Pada saat t = 2 sekon besar percepatan total adalah 16 2 m/s2
.
Hitung jejari lingkaran!
Tugas di rumah
1) Vektor posisi suatu partikel pada saat t diberikan oleh ( ) ( )cos , sin ,0r t R t R tω ω=
r
dengan R dan ω konstan. Tentukan persamaan trayektori, kecepatan dan percepatan
partikel!
2) Partikel bergerak dalam melingkar pada bidang XY dengan kelajuan konstan v = 5 m/s.
Pada t = 0 partikel pada θ = 0. Jika jejari orbit adalah 2,5 m maka tentukan kecepatan
partikel saat t = 2 sekon!
3) Peluru ditembakkan dari sebuah puncak bidang miring O dengan kecepatan awal v0 dan
membentuk sudut θ dengan bidang miring. Bila dianggap peluru mengenai bidang miring
di A maka hitunglah besar jarak maksimum OA!
8
θ0
θ
v0
O
A