1. LOGO
ШИНЖЛЭХ УХААН,
ТЕХНОЛОГИЙН ИХ
СУРГУУЛЬ
БАРИЛГЫН МЕХАНИК II
Шилжилтийн аргаар статик тодорхой бус рамыг тооцох
БАГШ
М.ОЮУНЧИМЭГ
www.must.edu.mn
ОЮУТАН
Д.НИНЖБАДАМ
2011 он

2. ШИЛЖИЛТИЙН АРГААР СТАТИК ТОДОРХОЙ БУС РАМЫГ ТООЦОХ ДАРААЛАЛ
0. Эхлэх.
1. Кинематик тодорхой бусын зэргийг тодорхойлох.
nк = nөнц + nшуг
nк – Кинематик тодорхой бусын зэрэг
nөнц – Тулгуурын бус хөшүүн зангилааны тоо буюу өнцгийн шилжилтийн тоо
nшуг – Шугаман шилжилтийн тоо. Энэ нь нугасан схемийн чөлөөний зэргийн тоогоор тодорхойлогдоно. nшуг = W0
W0 =2У-Ш-Шт
W0 – Нугасан схемийн чөлөөний зэргийн тоо
У – Нугасан схемийн үзел буюу зангилааны тоо
Ш – Тулгуурын бус шилбэний тоо
Шт – Тулгуурын шилбэний тоо
2. Үндсэн систем сонгох. nк тооны нэмэлт холбоос хийх ба
a. nөнц тооны өнцгөн шилжилтийг хорьсон тулгуурын хөшүүн бэхэлгээ
b. nшуг тооны шугаман шилжилтийг хорьсон шилбэ хийнэ.
Үндсэн систем нь дээд зэргийн статик тодорхой бус бөгөөд зангилааны өнцгөн ба шугаман шилжилтгүй байх ѐстой.
3. Шилбэнүүдийн нэгж уртын хөшүүнийг тодорхойлох.
Багана ба ригелийн нэгж уртын хөшүүнийг iб=EJб/h
iр=EJр/l томъѐогоор олно.
4. Үндсэн системд гадаад хүчнээс үүсэх МF-ийн эпюр байгуулах. Мөн 𝑴′ 𝑭 -ийн эпюрийг байгуулах.
5. Үндсэн системд нэг хүч Zi = 1 (i=1..n) -ээс үүсэх Мi моментын эпюрийг байгуулах.
6. Каноник тэгшитгэл rZ+RF=0 бичих.
7. Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг дараах томъёог ашиглаж, кинематик аргаар тодорхойлох.
- Хуудас 1 -

3. 𝑴𝒊 𝑴 𝒌
rik=
𝒅𝒔
𝑬𝑱
𝑴 𝒊 𝑴′ 𝑭
𝑬𝑱
𝑹 𝒊𝑭 =
𝒅𝒔
Эсвэл зангилааны тэнцвэрийн нөхцөлөөс статик аргаар тодорхойлж болно.
8. Нэгж шилжилтээс үүсэх моментийн нийлбэр эпюр Ms-ыг байгуулах.
9. Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг зөв тодорхойлсон эсэхийг дараах томъёо ашиглан шалгах.
𝒓 𝒊𝒌 =
𝑴𝒊 𝑴 𝒔
𝑬𝑱
𝒅𝒔
𝑹 𝒊𝒑 =
𝑴 𝑺 𝑴′ 𝑭
𝑬𝑱
𝒅𝒔
10. Каноник тэгшитгэлийг бодож, Zi (i=1..n) үл мэдэгдэгчийг олох.
11. Үндсэн системд Zi (i=1..n) хүчнээс үүссэн эпюр буюу МiZi (i=1..n) засварласан эпюр байгуулах.
12. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийг тодорхойлох.
𝑴=
𝑴𝒊 𝒁𝒊 + 𝑴 𝒑
13. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийн зөв байгуулсан эсэхийг шалгах.
a. Статик шалгалт: Зангилаа бүрд моментын нийлбэр 0 байх.
b. Кинематик шалгалт: Мi (статик тодорхой системийн i цэгт нэгж хүчнээс үүсэх моментын эпюр) ба М эпюрүүдийн үржвэр
тухайн зангилааны шилжилттэй тэнцүү байх.
14. М–ийн эпюрээс хөндлөн хүч Q-ийн эпюрийг дараахь томъёо ашиглаж байгуулах.
зүүн
𝑸зүүн = 𝑸 𝟎
Q
зүүн
,Q
бар
+
𝑴бар −𝑴зүүн
𝒍
–Гадаад ачаанаас энгийн дамнуурын зүүн баруун талд үүсэх хөндлөн хүч
15. Зангилааны тэнцвэрийн нөхцлөөс N-ийн эпюрийг байгуулах.
16. Тулгуурын реакциудыг олж, статикийн тэнцвэрийн нөхцөл шалгах.
17. Төгсөх.
- Хуудас 2 -
бар
𝑸бар = 𝑸 𝟎 +
𝑴бар −𝑴зүүн
𝒍

4. ӨГӨГДӨЛ
Рамын дугаар 7
Ө.С
B
Өгөгдлийн хүснэгт 9
F
D
l
ригелийн урт
5м
4EJ
h
баганы өндөр
q
тархмал хүч
1
2EJ
2
F
3
төвлөрсөн хүч
Jр:Jб
Хэвтээ ба босоо шилбэнүүдийн
хөшүүний харьцаа
5м
F=10кН
A
C
E
q=6кН/м
4м
4м
J :J
р
б
 2:4
- Хуудас 3 -
4м
5м
6 кН/м
10 кН
2:4

5. БОДОЛТ
1. Кинематик тодорхой бусын зэргийг тодорхойлох.
Тулгуурын бус хөшүүн
шилжилтийн тоо nөнц =3
зангилааны
тоо буюу өнцгийн
Н.С
Шугаман шилжилтийн тоо. Энэ нь нугасан схемийн чөлөөний
зэргийн тоогоор тодорхойлогдоно.
nшуг = W0
Нугасан схемийн үзел буюу зангилааны тоо У =9
Тулгуурын бус шилбэний тоо Ш =8
Тулгуурын шилбэний тоо Шт =9
Нугасан схемийн чөлөөний зэргийн тоо нь
W0 =2У-Ш-Шт=2*9-8-9=1
nшуг = W0=1 шугаман шилжилттэй.
Кинематик тодорхой бусын зэрэг
nк = nөнц + nшуг =3+1=4 байна.
- Хуудас 4 -

6. 2. Үндсэн систем сонгох.
a. nөнц =3 ширхэг өнцгөн шилжилтийг хорьсон тулгуурын хөшүүн бэхэлгээ хийв.
b. nшуг =1 тул шугаман шилжилтийг хорьсон 1 шилбэ төсөллөв.
Ү.С
Ө.С
F
D
4EJ
5м
4EJ
Z1
2EJ
2
A
C
C
E
q=6кН/м
4м
4м
р
Z4
A
E
q=6кН/м
J :J
Z3
F=10кН
5м
F=10кН
Z2
2EJ
3
5м
1
F
D
5м
B
B
б
4м
 2:4
4м
J :J
р
б
 2:4
3. Шилбэнүүдийн нэгж уртын хөшүүнийг тодорхойлох.
Баганы нэгж уртын хөшүүн iб=EJб/h =4EJ/5
Ригелийн нэгж уртын хөшүүн iр=EJр/l=2EJ/4=EJ/2
- Хуудас 5 -

7. 4. Үндсэн системд гадаад хүчнээс үүсэх МF-ийн эпюр байгуулах. Мөн 𝑴′ 𝑭 -ийн эпюрийг байгуулах.
MF’
СТС
MF
HB
B
50
9.375
12.5
125
75
75
6.25
7.8125
F=10кН
75
HA
A
12.5
C
q=6кН/м
VA
MA = −НB ∙ 2h + F ∙ h/2 + q ∙ h ∙ h/2=0
HB=10кН
X = −НA −НB + F + q ∙ h =0
HA=30кН
- Хуудас 6 -

8. 5. Үндсэн системд нэг хүч Zi = 1 (i=1..n) -ээс үүсэх Мi моментын эпюрийг байгуулах.
M1
M2
2iб
4iр
4iб
3iб
Z1=1
3iб
Z2=1
2iр
2iр
2iр
4iб
4iр
4iр
2iб
2iр=EJ
2iр=EJ
4iр=2EJ
4iр=2EJ
2iб=8EJ/5=1.6EJ
3iб=12EJ/5=2.4EJ
4iб=16EJ/5=3.2EJ
- Хуудас 7 -

9. M3
M4
4iр
Z3=1
3iб
Z4=1
2iр
3iб
6iб
h
3i б
h
6iб
h
2iр=EJ
4iр=2EJ
3iб/h=12EJ/5*5=0.48EJ
3iб=12EJ/5=2.4EJ
6iб/h=0.96EJ
- Хуудас 8 -
3i б
h

10. 6. Каноник тэгшитгэл rZ+RF=0 бичих.
Шилжилтийн аргын каноник тэгшитгэлийг бичвэл,
r11 Z1 + r12 Z2 + r13 Z3 + r14 Z4 + R1F
r21 Z1 + r22 Z2 + r23 Z3 + r24 Z4 + R 2F
r31 Z1 + r32 Z2 + r33 Z3 + r34 Z4 + R 3F
r41 Z1 + r42 Z2 + r43 Z3 + r44 Z4 + R 4F
=0
=0
=0
=0
7. Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг тодорхойлох.
Зангилааны тэнцвэрийн нөхцөлөөс статик аргаар тодорхойлъѐ.
А. Z1 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.
Z1
Z2
Z3
r11
r21
r31
2.4EJ
0
0
0.48EJ
r41
1
2EJ
1EJ
0
0
3
2
2.4EJ
r11 = 2.4EJ + 2.4EJ + 2EJ = 6.8EJ
0.48EJ
0
0
r21 = 1EJ
r31 = 0
- Хуудас 9 -
r41 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0

11. B. Z2 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.
Z1
Z2
Z3
r12
r22
r32
0
0
3.2EJ
0.96EJ
r42
1EJ
1
2EJ
1EJ
0.96EJ
3
2
3.2EJ
0
r12 = 1EJ
0
r22 = 3.2EJ + 2EJ + 3.2EJ + 2EJ
r32 = 1EJ
r42 = 0.96EJ − 0.96EJ = 0
= 10.4EJ
C. Z3 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.
Z1
Z2
Z3
r13
r23
r33
0
0
2.4EJ
0.48EJ
r43
0
1
2EJ
1EJ
3
2
0
r13 = 0
0.48EJ
0
2.4EJ
r23 = 1EJ
r33 = 2.4EJ + 2EJ + 2.4EJ
- Хуудас 10 -
r43 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0

12. D. Z4 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.
Z1
Z2
Z3
r14
r24
r34
0.48EJ
0.48EJ
0.96EJ
0.096EJ
0.384EJ
0.096EJ
r44
0
1
0
0
0
2
0.96EJ
0.48EJ
r14 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0
3
0.48EJ
r24 = 0.96EJ − 0.96EJ = 0
r34 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0
0.096EJ
0.384EJ
0.096EJ
r44 = 4 ∗ 0.096EJ + 2 ∗ 0.384EJ
= 1.152EJ
E. Гадаад хүчнээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.
Z1
Z2
Z3
R1F
R2F
R3F
0
0
0
R4F
1
0
0
R1F = 9.375кН
15.000
3
2
9.375
6.875
0
0
12.5
0
R 2F = 12.5кН
R 3F = 0
- Хуудас 11 -
R 4F = −6.875 − 15 = −21.875кН

13. Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг дараах томъѐог ашиглаж, кинематик аргаар тодорхойлоход:
rik=
𝑴𝒊 𝑴 𝒌
𝑬𝑱
𝒅𝒔
𝑹 𝒊𝑭 =
𝑴𝒊 𝑴 𝑭
𝑬𝑱
𝒅𝒔
r11 =6.80 EJ
r12 =1.00 EJ
r13 =0.00 EJ
r14 =0.00 EJ
R1f =9.38 кН
r12 =1.00 EJ
r22 =10.40 EJ
r23 =1.00 EJ
r24 =0.00 EJ
R2f =12.50 кН
r31 =0.00 EJ
r32 =1.00 EJ
r33 =6.80 EJ
r34 =0.00 EJ
R3f =0.00 кН
r41 =0.00 EJ
r42 =0.00 EJ
r43 =0.00 EJ
r44 =1.15 EJ
R4f =-21.88 кН
байлаа. Эдгээр хариу нь Статик аргаар олсонтой тохирч байна. /Эпюрүүдийн үржвэрийг хавсралтаас үзнэ үү./
- Хуудас 12 -

14. 8. Нэгж шилжилтээс үүсэх моментийн нийлбэр эпюр Ms-ыг байгуулах.
Ms
9.Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг зөв
тодорхойлсон эсэхийг шалгах.
Дараах томъѐо ашиглаж, каноник тэгшитгэлийн коэффициент болон
сул гишүүдийг зөв тодорхойлсон эсэхийг шалгана.
2.56
𝒓 𝒊𝒌 =
𝑀1 𝑀 𝑠
4.16
2.88
𝒅𝒔
𝑹 𝒊𝒑 =
𝑴 𝒔 𝑴′ 𝒇
𝑬𝑱
𝒅𝒔
𝑑𝑠 =7.80EJ
𝑟1𝑘 =6.80EJ+1EJ+0+0=7.80EJ тул тэнцэв.
𝑀2 𝑀 𝑠
𝐸𝐽
𝑑𝑠 =12.40EJ
𝑟2𝑘 =1.00EJ+10.40EJ+1.00EJ+0=12.40EJ
𝑀3 𝑀 𝑠
𝑑𝑠 =7.80EJ
𝑟3𝑘 =6.80EJ+1EJ+0+0=7.80EJ тул тэнцэв.
𝑑𝑠 =1.15EJ
𝑟4 𝑘 =0+0+0+1,15EJ=1.15EJ тул тэнцэв.
𝐸𝐽
3.00
𝑴𝒊 𝑴 𝒔
𝑬𝑱
3.00
тул тэнцэв.
1.92
2.88
1.92
3.00
2.24
3.00
𝐸𝐽
𝑀4 𝑀 𝑠
𝐸𝐽
𝑀𝑖 𝑀𝑠
𝐸𝐽
𝑑𝑠 = 29.15𝐸𝐽
𝑟𝑖𝑘 = 7.80𝐸𝐽 + 12.40𝐸𝐽 + 7.80𝐸𝐽 +
1.15𝐸𝐽 = 29.15𝐸𝐽 тул Каноник тэгшитгэлийн коэффициентүүд зөв
олджээ.
0.64
𝑀 𝑠 𝑀 ′𝑓
𝐸𝐽
𝑑𝑠 = 0
𝑅 𝑖𝑝 = 9.38𝐸𝐽 + 12.50𝐸𝐽 − 21.88𝐸𝐽 =
0 тул Каноник тэгшитгэлийн сул гишүүд зөв олджээ.
- Хуудас 13 -

15. 10. Каноник тэгшитгэлийг бодож, Zi (i=1..n) үл мэдэгдэгчийг олох.
6.80Z1 + 1.00Z2 + 9.38 = 0
1.00Z1 + 10.40Z2 + 1.00Z3 + 12.50 = 0
1.00Z2 + 6.80Z3 = 0
1.15Z4 − 21.88 = 0
δ2= 1/(24EJ)
163.20
24.00
0.00
0.00
-225.00
-300.00
0.00
525.00
0.00
24.00
163.20
0.00
0.00
0.00
0.00
27.65
Каноник тэгшитгэлийн системийг Карамерийн дүрмээр олъё.
Z2= -1.10048
d2= -196549411
163.20
24.00
0.00
24.00
249.60
24.00
0.00
24.00
163.20
0.00
δ= 1/(24EJ)
0.00
0.00
0.00
0.00
δ=
0.00
27.65
-225.00
-300.00
0.00
δ3= 1/(24EJ)
525.00
δ1= 1/(24EJ)
24.00
249.60
24.00
0.00
-225.00
-300.00
0.00
525.00
24.00
249.60
24.00
0.00
0.00
24.00
163.20
0.00
d1= -217331859
0.00
0.00
0.00
27.65
δ4= 1/(24EJ)
Z2=-1.100рад
24.00
249.60
24.00
0.00
0.00
24.00
163.20
0.00
Z3=0.162рад
- Хуудас 14 -
-225.00
-300.00
0.00
525.00
Z4= 18.98872
d4= 3391447450
Z1= -1.21684
Z1=-1.217рад
163.20
24.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
27.65
Z3= 0.161835
d3= 28904325.1
D= 178603313
-225.00
-300.00
0.00
525.00
163.20
24.00
0.00
0.00
Z4=18.989м

16. 11. Үндсэн системд Zi (i=1..n) хүчнээс үүссэн эпюр буюу МiZi (i=1..n) засварласан эпюр байгуулах/EJ/.
M1Z1
Z1=1.217EJ
Z2=1.100EJ
M2Z2
1.76
2.20
2.43
3.52
1.10
2.92
1.10
1.22
3.52
2.92
2.20
1.76
- Хуудас 15 -

17. M3Z3
M4Z4
Z3=0.162EJ
Z4=18.989EJ
18.23
0.32
0.39
0.16
0.39
18.23
9.11
18.23
- Хуудас 16 -
9.11

18. 12. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийг байгуулах.
𝑴=
𝑴𝒊 𝒁𝒊 + 𝑴 𝒑
13. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийн зөв байгуулсан эсэхийг
шалгах.
а.Статик шалгалт: Зангилаа бүрд моментын нийлбэр 0 байх.
6.19
14.71
9.50
M
16.47
1
3.53
3.42
2.04
2
2.66
0.78
3
9.25
8.73
Зангилаанууд статик тэнцвэрийн нөхцөлд оршиж байна. Иймд
кинематик шалгалтыг хийе.
ME
14.71
3.53
6.19
B. Кинематик шалгалт: Мi
(статик тодорхой системийн
i цэгт нэгж хүчнээс үүсэх
моментын эпюр) ба М
эпюрүүдийн үржвэр тухайн
зангилааны
шилжилттэй
тэнцүү байх
HB
2.04
3.42
2.66
9.50
9.25
0.78
8.73
5
13.83
5
5
HA
5
A
32.49
VA
FE=1
Бид E зангилааг сонгон
авч,нэгж
хүч
үйлчлүүлэн
моментын эпюр байгуулъя.
HB=0
HA=1
𝑴𝒊 𝑴
𝑬𝑱
- Хуудас 17 -
𝒅𝒔 = 𝟎 тул зөв олджээ.

19. 14. М–ийн эпюрээс хөндлөн хүч Q-ийн эпюрийг дараахь томъёо ашиглаж байгуулах.
Дараах томъѐог ашиглаж, моментын эпюрээс хөндлөн хүчний утгыг
|
олъѐ.
Q
B
зүүн
𝑸зүүн = 𝑸 𝟎
Q
зүүн
,Q
бар
+
𝑴бар −𝑴зүүн
𝒍
бар
𝑸бар = 𝑸 𝟎 +
F
D
𝑴бар −𝑴зүүн
𝒍
–Гадаад ачаанаас энгийн дамнуурын зүүн баруун талд үүсэх
хөндлөн хүч
1.24
6.24
1.90
QAP = 5.53EJ
QPA = 5.53EJ
QP1 = -4.47EJ
Q1P = -4.47EJ
Q1B = -1.24EJ
QB1 = -1.24EJ
QC2 = 23.35EJ
Q2C = -6.65EJ
Q2D = -6.24EJ
QD2 = -6.24EJ
QE3 = 1.75EJ
Q3E = 1.75EJ
Q3F = -1.90EJ
QF3 = -1.90EJ
Q12 = 1.74EJ
Q21 = 1.74EJ
Q23 = 0.70EJ
Q32 = 0.70EJ

-
1.74
1
2
0.70
3
6.65
4.47
P
1.75
5.53
A
C
23.35
- Хуудас 18 -
E

20. 15. Зангилааны тэнцвэрийн нөхцлөөс N-ийн эпюрийг байгуулах.
N3F
N2D
N1B
Q2D
Q1B
Q3F
N
B
F
D
Q23
Q12
1
|
N12
N21
2
Q21
N23
N32
Q32
3
Q2C
Q1A
N2C
N1A
В зангилааны хувьд
босоо реакци
үүсэхгүй тул
NB1= N13=0
N1A=- Q12= -1.74EJ
Q3E
D зангилааны хувьд босоо
реакци үүсэхгүй тул
ND2= N2D=0
N21=N12-3.23 кH
N12= Q1B -Q1A=-3.23 N2C= Q21 –Q23=1.04 EJ
EJ
N23= Q2D + N21 –Q2C=
NA1= N1A=-1.74EJ
=-3.64 EJ
N3E
F зангилааны хувьд
босоо реакци
үүсэхгүй тул

-
2
1
3
3.23
NF3= N3F=0
3.64
N32=N23=-3.64 EJ
1.74
N3E= Q32=0.70EJ
1.04
0.70
NE3=N3E= 0.70EJ
A
NC2=N2C= 1.04 EJ
- Хуудас 19 -
C
E

21. 16. Тулгуурын реакциудыг олж, статикийн тэнцвэрийн нөхцөл шалгах.
1)
MD=16.47кНм
HB=1.24кН
B
VA-VC- VE= 1.74-1.04-0.70=0
HF=1.90кН
HD=6.24кН
F
D
𝒀= 𝟎
2)
𝑿= 𝟎
HA+HC+ HE+ HB + HD + HF - F - ql=
=5.53+23.35+1.75+1.24+6.24+1.90-10-6*5=0.01EJ≈0
3)
2
1
𝑴𝟏 = 𝟎
5(HA+HC+ HE)-5( HB + HD + HF) + 4VC+8VE+MD-MC-
3
-5F/2 – 5q*5/2=106.25+9.76-16.02-100 =-0.01EJм≈0
Статик тэнцвэрийн 3 нөхцлөөр шалтгалт хийхэд тэнцэж буй тул
F=10кН
тооцоог зөв хийжээ.
q=6кН/м
-ТөгсөвA
HA=5.53кН
VA=1.74кН
C
HC=23.35кН
Vс=1.04кН
E
HE=1.75кН
VE=0.70кН
MC=32.49кНм
- Хуудас 20 -