1. Ä
ÙÒ
Ø Ò Õ Ò ÖÙÙ ¸ ÙÒ
Ò ÜòÞ Ö
•Ì
×ÓÒ Ó ÙÒ
• × Ü
ÙÙÖ Ü ÙÒ
• Ø ÙÒ
•Æ
ÓÐÓÒ ÙØ Ø ÙÒ
• ÍÖÛÙÙ ÙÒ
• ÛÜ Ö ÙÒ
• Ð ÙÒ
• ÙÒ
Ò ÜòÞ Ö
• ÙÒ
Ò Ö × Ð ÜòÞ Ö
½

2. ÙÒ
Ø Ò Õ Ò ÖÙÙ
x ∈ X, y ∈ Y
× Ò ÜÙÛð× Ü Ü Ñ
Ü Ò Û òº
ÜÙÛð× Ü Ü Ñ
Ü Ò ØÓ ÓÖÜÓ Ò ÙØ Ò y × Ò ÜÙÛð× Ü
ÜÑ
Ü Ò ØÓ ÓÖÜÓ Ò ÙØ Ý Ü Ö ÐÞÙÙÐ
Û Ð x, y ÜÙÛð× Ü
ÜÑ
Ü Ò
ÙÒ
Ò Ü Ñ Ö ÐØ ÜÙÛð× Ü Ü Ñ
Ü Ò
Òº
x
ÛØ
Ö ÓÖ Ü ÓÓÖ Ò ØÙÙ Òð y = f (x),
M (x, f (x))
Ò ÓÐÓÒÐÓ
ÙÒ
Ò Ö
¾
x∈X
Ø Ò
Ð Ö ÜÓÐ Ó ÓÜ
Òº

3. Ì
Ì
Â
ËÓÒ Ó
Â
ÙÒ
ÙÒ
×ÓÒ Ó
f (−x) = f (x)
y = x2
⇒ f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)
f (−x) = −f (x)
y = x3 ⇒ f (−x) = (−x)3 = −x3 = f (−x).
¿
ÙÒ

4. ×Ü
× Ü ÙÒ
x 1 < x2
ÙÙÖ Ü ÙÒ
f (x1) < f (x2)
x 1 < x2
Ð ÙÙÖ Ü ÙÒ
Ð × Ü ÙÒ
´Ü
ÑØ Òð ÑÓÒÓØÓÒ ÙÒ
Ò µ
(f (x1) > f (x2))
f (x1) ≤ f (x2)
(f (x1) ≥ f (x2))
ÙÙÖ Ü ÙÒ

5. Ø ÙÒ
ÙÒ
Ò Ö ÙÑ ÒØÝÒ ÙÖÝÒ ÜÓÐ Ó ÓÐ Ö Ò Ñ Ü ÙÒ
Ò ÙØ
ÖÕÐ Ü
Ü Ø × òÐ Ø ØÓ ØÑÓÐ ØÓÓ ÓÐ Ó
Û Ð Ù ÙÒ
Ø ÙÒ
Ò º
f (x + l) = f (x)
f (x + 2l) = f ((x + l) + l) = f (x + l) = f (x)
f (x + 3l) = f ((x + 2l) + l) = f (x + l) = f (x)
º
º
º
f (x + kl) = f (x)
Ö ØÓÓÒÙÙ ÝÒ Ü Ñ
Ø ÙÒ
Ò òÑ Ö Ò
Ü ÖÕÑ Ò Þ Ö Ò
¹
¹
Ò
k = ±1, ±2, ±3, . . .
Ý ÙÒ
Ò
x = x0
ÖÜ ÙØ
Ö Ü Ò ÛØ Ò
Òº
f (x0)
º
Òð
x0¹ÓÓ× kl
ÙÖØØ

6. Æ
ÓÐÓÒ ÙØ Ø ÙÒ
Ö ÙÑ ÒØÝÒ ÙÖÝÒ ÙØ Ò ÙÒ
Ò ÜÓ Ö ñÑÙÙ Ø Ò × ÓÐÓÒ ÙØ Ü Ö ÐÞ
Û Ð y = f (x) ÙÒ
ÓÐÓÒ ÙØ Ø ÙÒ
Ò º
√
y=± x
x = 4 ⇒ y = ±2

7. ÍÖÛÙÙ ÙÒ
X ¹ÑÙ
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ y = f (x) ÙÒ
ÛÕ Ø Ò ÙØ ÝÒ ÑÙ
Y
Y ÑÙ
× Û× Ò y0 ∈ Y ÙØ
Ü Ò y0 = f (x0) Ø Ò
Ø Ð Ü Ò × Ò ò
Ò x0
X ÑÙ × Þ Û Ð ÓÐ ÓÒÓº
ÁÑ
Ö
∀y ∈ Y
Ü Ò X ÑÙ Ò Ò ÙñÙ Ü
x = ϕ(y) × Ò Ò ñÑÙÙ ÓÐÓÒ ÙØ Ø
y = f (x) ÙÒ
Ò ÙÖÛÙÙ ÙÒ
Ò º
y = f (x) ,
Ò × ÙÖÛÙÙ ÙÒ
I, III
y = f −1(x) = ϕ(x)
Ñ Õ Ò Ò
Ü Ò ÙØ Ü Ö ÐÞ Ü ØÙÐ Y ÑÙ
ÙÒ
ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ÓÜ Ø Ò
x∈X ,
x = f −1(y) = ϕ(y) ,
º
y ∈Y;
y∈Y ,
ÓÐ ÓÒÓº
x∈X
Ò ×× ØÖ × Ò ÜÙÛð Ù ÙÒ
Ø
Ü ÑØ
Ò
º

8. ÛÜ Ö ÙÒ
Y
ÑÙ
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ z = F (y) ÙÒ
X
ÑÙ
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ¸ ÙØ ÝÒ ÑÙ Òð
Ì ÛÐ
ÙÒ
Ò
Â
X
y ¹Þ
ÑÙ
z = F [f (x)]
Ü
y = f (x)
Ö ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓ ×ÓÒ ÛÜ Ö ÙÒ
Ò º
Û×ÖÝÒ Ö ÙÑ Òظ
z = cos
Y
3
z = u3, u = cos v, v =
√
x¹
Ò × Ò Ö ÙÑ ÒØ
1 + sin2 x
⇐⇒
√
y, y = 1 + t2, t = sin x
ÙÒ
ÛÕ Þð º

9. Ð
Â
´
ÙÒ
´½µ
F (x, y) = 0
µ
òÑ Ö Õ ÙÒ
xy − ln(x + y) = 0.
Ð ÖÜ Ð Ü
ÓÐ Ó
º
x2 + y 2 + 1 = 0
ÙÒ
Ü Ò Ü Ó Ø ØÓÓ ÓÐ ÓÜ
´Ò
ÓÐÓÒ ÙØ Øµ
ØÙÐ òÑ Ö Ò Ò ÑÙÖÙ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓÜ
º

10. ÙÒ
Ò ÜòÞ
Ö Û a
Ò ÙÖÝÒ
Ò
ÓÐ Ó
Û Ð a¹
X
ÓÖÕ Ò
ÓÐÓÒÐÓ
ØÓÓÒ ÓÐÓÒÐÓ ÓÓ× a
Ò ÜòÞ ÖÝÒ
Ò º
X
Ö
× òÐ Ø
Ö Û X ÑÙ × a ØÓÓÖÙÙ Ø Ñ Ð Ù òÑ Ö Õ {xn} Ö ÐÐÝ Û Ü Ø Ò
Ü Ö ÐÞ Ü ÙÒ
Ò ÙØ ÙÙ ÝÒ Ö ÐÐ Ð {yn} = {f (xn)} Òð Ò
Ð A ØÓÓÖÙÙ
ØÑ Ð
Û Ð A ØÓÓ y = f (x) ÙÒ
Ò x → a
Ò ÜòÞ Ö
Ò ÖÐ
lim f (x) = A
ØÑ ÐÒº
x→a
ÖÛ
∀ε > 0 , |x − a| < δ
|f (x) − A| < ε Ø Ò
Ø Ð
f (x) ÙÒ
Ò x → a
Ø Ò
Ø Ð
Ü Ò × Ò Ü x¹
Ò ÜÙÛð
Ð
Ü Ö δ(ε) ØÓÓ ÓÐ ÓÜ ÓÐ A ØÓÓ
Ò ÜòÞ Ö Ò º
½¼

11. ÖÛ
∀ε > 0 , |x| > M
|f (x) − A| < ε Ø Ò
Ð
f (x)¹ Ò x → ∞
Ò
Ø Ò
Ð
Ü Ò × Ò Ü x Ò ÜÙÛð
Ð
Ü Ö M ØÓÓ ÓÐ ÓÜ ÓÐ A ØÓÓ
ÜòÞ Ö Ò º
Ö Û |f (x)| > E
Ü ∀E > 0 ¹ Û Ü |x − a| < δ¹
Ö x→a
f (x) → ∞
Ò º x→a f (x) = ∞º
lim
Ö Û ∀E > 0 ¹ Û Ü
ÓÐ ÓÜ ÓÐ x → ∞
|x| > M
f (x) → ∞
ÜÒ Ü Ü
Ü Ü x¹
Ö |f (x)| > E
Ò º x→∞ f (x) = ∞º
lim
½½
x¹
Ü
M
ØÓÓ

12. ÙÒ
Ò Ö × Ð ÜòÞ
Ö
Ö Û y = f (x) ÙÒ
x Òð a (∞) ØÓÓÖÙÙ Þ ÛÜ Ò ÖÙÙÒ Ø Ð × Òð
Ø Ñ Ð Ü b1 × Ò ÜòÞ ÖØ
Û Ð b1 ¹
y = f (x)¹ Ò a (∞)
ÖÜ ÖÙÙÒ Ö × Ð ÜòÞ Ö
Ò ÖÐ
lim f (x) = b1 = f (a + 0)
ØÑ ÐÒº
Ð
ÒØ
Ò
x→a+0
lim f (x) = b2 = f (a − 0)
x→a−0
º
y = f (x)
ÙÒ
x→a
Ø × Ð
A
× Ò ÜòÞ ÖØ
f (a − 0) = f (a + 0) = A.
ÍÖÛÙÙ ØÓ ÓÖÜÓ ÐÓÐØ Òð Ñ Ò Ü Õ ÒØ
º
½¾
ÓÐ