Математик Програмчлал хичээлийн бие даалт - 1.

1. 1
Бие даах ажлын даалгавар
Оюутан бие даах ажлын 3 даалгавар гүйцэтгэж 3 ൈ 10 ൌ 30 хүртэл оноо авна.
Бие даалт 1. Хамгаалах эцсийн хугацаа 7-р долоо хоног
Бодлого 1. ሺܽ, ܾሻ்
градиент бүхий ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ ሺܽ, ܾሻ்ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ гэсэн шугаман функц зохио.
a. ‫݂׏‬ሺ0,0ሻ, ‫݂׏‬ሺ1,1ሻ, ‫݂׏‬ሺെ1, െ1ሻ, ‫݂׏‬ሺെ3,0ሻ, ‫݂׏‬ሺ0, െ2ሻ градиентуудыг бодсон цэгээс нь эхлүүлэн
зур.
b. ݂-ийн түвшний шугамыг ߙ ൌ 0 ба ߙ ൌ ܾܽ үед тус тус олж зур.
с. Градиентийн орон дотор ‫,ܣ‬ ‫,ܤ‬ ‫ܥ‬ орой бүхий гурвалжин муж зурж, өгөгдсөн функцийн
хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол. Эдгээрт харгалзах шийдүүдийг бич.
Градиентийн вектор ሺܽ, ܾሻ்
-ийн хүснэгт
Вариант ܽ ба b Вариант ܽ ба b Вариант ܽ ба b
1 −3; 2 13 2; −3 25 −4; 2
2 2; −4 14 −3; 4 26 −5; 2
3 −4; 1 15 3; −4 27 5; −4
4 3; −5 16 1; −3 28 −5; 4
5 4; −3 17 1; −4 29 −5; 1
6 −5; 3 18 1; −2 30 1; −3
7 1; −5 19 −1; 2 31 −1; 3
8 −1; 4 20 −1; 5 32 −2; 1
9 −2; 3 21 −2; 4 33 −2; 5
10 −2; −1 22 −2; −3 34 −2; −4
11 −2; −5 23 −3; −1 35 −3; −2
12 −3; −4 24 −3; −5 36 −4; −2
A, B, C оройн цэгийн хүснэгт
Ва. Гурвалжны оройн цэгүүд Ва. Гурвалжны оройн цэгүүд
1
3
5
7
A(1,2)
A(3,1)
A(2,2)
A(6,1)
B(−3,4)
B(−2,5)
B(4,−3)
B(−2,2)
C(5,−3)
C(4,−4)
C(−3,5)
C(4,−4)
2
4
6
8
A(5,5)
A(6,4)
A(1,2)
A(1,4)
B(2,−4)
B(−5,2)
B(4,−3)
B(−2,5)
C(−4,3)
C(3,−3)
C(−3,5)
C(4,−2)
9
11
13
15
17
19
A(4,1)
A(1,2)
A(2,5)
A(2,1)
A(1,3)
A(1,2)
B(5,−5)
B(−5,4)
B(2,−4)
B(−1,4)
B(3,−5)
B(−3,4)
C(−2,3)
C(3,−1)
C(−4,1)
C(4,−3)
C(−5,1)
C(5,−1)
10
12
14
16
18
20
A(4,2)
A(5,4)
A(4,5)
A(5,1)
A(4,3)
A(1,5)
B(5,−3)
B(−4,2)
B(1,−3)
B(−4,2)
B(1,−4)
B(−5,3)
C(−1,5)
C(2,−4)
C(−2,2)
C(1,−4)
C(−3,1)
C(2,−2)
21
23
25
27
29
A(2,1)
A(4,4)
A(2,1)
A(4,4)
A(5,1)
B(5,−4)
B(−4,2)
B(4,−2)
B(−4,3)
B(2,−5)
C(−1,2)
C(2,−1)
C(−3,4)
C(5,−4)
C(−2,4)
22
24
26
28
30
A(3,5)
A(3,3)
A(1,1)
A(4,3)
A(5,3)
B(3,−5)
B(−4,1)
B(2,−4)
B(−2,2)
B(6,−2)
C(−3,2)
C(1,−4)
C(−3,5)
C(2,−5)
C(−2,1)
31
33
35
A(2,4)
A(3,2)
A(4,1)
B(−3,3)
B(2,−4)
B(−1,5)
C(1,−1)
C(−1,5)
C(5,−4)
32
34
36
A(4,3)
A(5,3)
A(3,4)
B(−2,2)
B(3,−5)
B(−4,5)
C(5,−5)
C(−1,2)
C(1,−5)
Бодлого 2. ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ ሺܽ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ ൅ ܾ‫ݕ‬ଶ
функцийн хувьд
ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ሺ0,0ሻ ሺ0, െ1ሻ ሺ1,1ሻ ሺെ1,1ሻ ሺ1, െ2ሻ
‫݂׏‬ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ
ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ்
൅ ‫݂׏‬ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ

2. 2
хүснэгтийг бөглөж, тэгээс ялгаатай хамгийн урт ба богино градиентийн уртыг ол. Хамгийн
богино ба урт градиент орших цэгүүд дээрх ݂-ийн утгыг харьцуул. Дараахь хүснэгтэд ܽ ба
b-ийн утгыг өгөв.
Вариант ܽ ба b Вариант ܽ ба b Вариант ܽ ба b
1 −1; 2 13 1; −2 25 −1; 0.5
2 2; −1 14 −2; 0.5 26 −0.5; 2
3 −1; 1 15 0.5; −1 27 1; −1
4 1; −0.5 16 0.5; −2 28 −0.5; 1
5 1; −0.5 17 0.5; −0.5 29 −1; 0.5
6 −2; 1 18 2; −2 30 −2; 2
7 −1; −2 19 −1; −2 31 −1; −0.5
8 −2; −1 20 −2; −0.5 32 −0.5; −2
9 −1; −1 21 −0.5; −1 33 −1; −1
10 −1; −0.5 22 −0.5; −2 34 −0.5; −1
11 −1; −0.5 23 −0.5;−0.5 35 −1; −0.5
12 −2; −1 24 −2; −2 36 −2; −2
Бодлого 3. ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܽ‫ݔ‬ ൅ ܾ‫ݕ‬ ൅ ܿ шугаман функцийн экстремумыг ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ цэгт төвтэй нэгж
радиустай тойргоор зааглагдсан дугуй дээр олох шугаман бус программчлалын бодлого зохиож
график аргаар бод (Лагранжийн функц зохиох шаардлагагүй).
a. Градиентийн нөхцөлийг хангах цэг бүр дээр ‫݂׏‬ ба ‫݃׏‬ векторыг олж, тэдгээрийг уг цэгээс
эхэлсэн байдлаар зур.
b. Зааглал идэвхитэй байх цэгийн олонлогийг томъёогоор илэрхийл.
c. Зааглал идэвхгүй байх цэгийн олонлогийг томъёогоор илэрхийл.
Вариант ܽ; b; c ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ Вариант ܽ; b; c ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ
1 2; 2; −5 (1, 1) 2 −2; 2; −3 (1, 1)
3 2; −2; 4 (1, 1) 4 −2; −2; 4 (1, 1)
5 −3; −3; 2 (1, −1) 6 3; −3; 3 (1, −1)
7 −3; 3; −3 (1, −1) 8 3; 3; −6 (1, −1)
9 −4; −4; 2 (−1, 1) 10 4; −4; 3 (−1, 1)
11 −4; 4; −3 (−1, 1) 12 4; 4; −6 (−1, 1)
13 5; −5; 3 (−1, −1) 14 −5; −5; 2 (−1, −1)
15 5; 5; −6 (−1, −1) 16 −5; 5; −3 (−1, −1)
17 −2; 2; −3 (2, 2) 18 2; 2; −5 (2, 2)
19 −2; −2; 4 (2, 2) 20 2; −2; 4 (2, 2)
21 3; −3; 3 (2, −2) 22 −3; −3; 2 (2, −2)
23 3; 3; −6 (2, −2) 24 −3; 3; −3 (2, −2)
25 4; −4; 3 (−2, 2) 26 −4; −4; 2 (−2, 2)
27 4; 4; −6 (−2, 2) 28 −4; 4; −3 (−2, 2)
29 −5; −5; 2 (−2, −2) 30 5; −5; 3 (−2, −2)
31 −5; 5; −3 (−2, −2) 32 5; 5; −6 (−2, −2)
33 −4; −4; 2 (−3, −3) 34 3; −3; 3 (5, −5)
35 2; −2; 4 (−4, 4) 36 −4; 4; −3 (−4, −4)
Бодлого 4. ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ െ 4ሻଶ
൅ ሺ‫ݕ‬ െ 4ሻଶ
функцийн минимумыг ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ цэгт төвтэй нэгж
радиустай дугуй дээр олох тэнцэтгэл биш нөхцөлтэй бодлого зохио.
a. График зурж шийдийг тэмдэглэ.
b. Лагранжийн функц ашиглахгүйгээр ККТ-ийн цэгийг тодорхойл.
c. ККТ-ийн цэгээр тодорхойлогдох ሺ‫ݔ‬‫כ‬
, ‫ݕ‬‫כ‬
ሻ цэг дээрх
‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬‫כ‬
, ‫ݕ‬‫כ‬ሻ ൌ ‫׏‬ଶ
݂ሺ‫ݔ‬‫כ‬
, ‫ݕ‬‫כ‬ሻ െ ෍ ߣ௜‫׏‬ଶ
݃௜
௜
ሺ‫ݔ‬‫כ‬
, ‫ݕ‬‫כ‬ሻ
матрицын тэмдгийг тодорхойл.

3. 3
Вариант ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ Вариант ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ Вариант ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ
1 (−1, −1) 2 (1, −1) 3 (−1, 1)
4 (−2, −2) 5 (2, −2) 6 (−2, 2)
7 (−3, −3) 8 (−3, 4) 9 (−3, −4)
10 (3, −4) 11 (3, 4) 12 (4, −3)
13 (−4, 3) 14 (−4, −3) 15 (−3, 3)
16 (3, −3) 17 (1, 1) 18 (2, 2)
19 (3, 3) 20 (4, 4) 21 (−4, −4)
22 (−4, 4) 23 (4, −4) 24 (−5, −5)
25 (5, 5) 26 (−5, 5) 27 (5, −5)
28 (6, 6) 29 (−6, −6) 30 (−6, 6)
31 (6, −2) 32 (−7, −7) 33 (7, −7)
34 (−7, 7) 35 (−8, 8 ) 36 (8, −8)
Бодлого 5. Бодлого 3-ын зааглалыг ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ цэгт төвтэй нэгж радиустай тойрог гэж өөрчлөөд
Лагранжийн үржигдэхүүний аргаар бод. Экстремумыг Гессийн эмжээрт матрицын аргаар
шинжил.
Бодлого 6. ABCD тэгш өнцөгт муж дээр ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
максимумыг олох оновчлолын
бодлого томъёол. Бодлогыг томъёолохдоо CD-д харгалзах зааглалыг (1), BC-д харгалзах
зааглалыг (2), AB-д харгалзах зааглалыг (3), AD-д харгалзах зааглалыг (4) гэж үз. Өөрөөр хэлбэл
бодлого
݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ՜ ݉ܽ‫ݔ‬
ሺ1ሻ
ሺ2ሻ
ሺ3ሻ
ሺ4ሻ
хэлбэртэй байна. Өгөгдлийн хүснэгт:
Вариант A B C D
1 (2, 1) (2, 3) (5, 3) (5, 1)
2 (2, 1) (2, 4) (5, 4) (5, 1)
3 (2, 1) (2, 5) (5, 5) (5, 1)
4 (2, 1) (2, 6) (5, 6) (5, 1)
5 (1, 1) (1, 3) (3, 3) (3, 1)
6 (1, 1) (1, 4) (3, 4) (3, 1)
7 (1, 1) (1, 5) (3, 5) (3, 1)
8 (1, 1) (1, 6) (3, 6) (3, 1)
9 (1, 1) (1, 3) (4, 3) (4, 1)
10 (1, 1) (1, 3) (5, 3) (5, 1)
11 (1, 1) (1, 3) (6, 3) (6, 1)
12 (2, 1) (2, 3) (4, 3) (4, 1)
13 (2, 1) (2, 3) (6, 3) (6, 1)
14 (2, 1) (2, 3) (5, 3) (5, 1)
15 (1, 2) (1, 4) (3, 4) (3, 2)
16 (1, 2) (1, 5) (3, 5) (3, 2)
17 (1, 2) (1, 5) (4, 5) (4, 2)
18 (1, 2) (1, 6) (4, 6) (4, 2)
19 (1, 2) (1, 6) (3, 6) (3, 2)
20 (1, 2) (1, 4) (4, 4) (4, 2)
21 (1, 2) (1, 4) (5, 4) (5, 2)
22 (3, 1) (3, 2) (5, 2) (5, 1)
23 (3, 1) (3, 3) (5, 3) (5, 1)
24 (3, 1) (3, 3) (6, 3) (6, 1)

4. 4
25 (3, 1) (3, 4) (4, 4) (4, 1)
26 (3, 1) (3, 4) (5, 4) (5, 1)
27 (3, 1) (3, 5) (4, 5) (4, 1)
28 (3, 1) (3, 4) (6, 4) (6, 1)
29 (3, 1) (3, 6) (4, 6) (4, 1)
30 (3, 1) (3, 6) (5, 6) (5, 1)
31 (3, 1) (3, 6) (6, 6) (6, 1)
32 (3, 1) (3, 2) (4, 2) (4, 1)
33 (3, 1) (3, 2) (5, 2) (5, 1)
34 (3, 1) (3, 2) (6, 2) (6, 1)
35 (3, 2) (3, 4) (5, 4) (5, 2)
36 (3, 2) (3, 4) (6, 4) (6, 2)
a) Зохиосон бодлогоо график аргаар шийд:
ሺ‫ݔ‬‫כ‬
, ‫ݕ‬‫כ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬௠௔௫, ‫ݕ‬௠௔௫ሻ ൌ? ݂௠௔௫ ൌ?
b) Зааглалын функцүүдийг бич.
c) Оновчтой шийд дээр зааглалын тодотголыг шалга.
d) Оновчтой шийд дээр зааглал бүрийн төрлийг тогтоо.
e) Оновчтой шийд дээр градиентийн нөхцөлийг бичиж, харгалзах Лагранжийн
үржигдэхүүнүүдийн утгыг ол.
Бодлого 7. Бодлого6-ийн өгөгдлийг ашиглан ABCD тэгш өнцөгт муж дээр ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଶ
൅ ‫ݕ‬ଶ
минимумыг олох оновчлолын бодлого томъёол.
a) Зохиосон бодлогоо график аргаар шийд:
ሺ‫ݔ‬‫כ‬
, ‫ݕ‬‫כ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬௠௜௡, ‫ݕ‬௠௜௡ሻ ൌ? ݂௠௜௡ ൌ?
b) Зааглалын функцүүдийг бич.
c) Оновчтой шийд дээр зааглалын тодотголыг шалга.
d) Оновчтой шийд дээр зааглал бүрийн төрлийг тогтоо.
e) Оновчтой шийд дээр градиентийн нөхцөлийг бичиж, харгалзах Лагранжийн
үржигдэхүүнүүдийн утгыг ол.
Бодлого 8. Хүснэгтийн өгөгдөл ашиглан дараахь даалгаврыг гүйцэтгэ.
a. ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ
ଵ
ଶ
்࢞
ܳ࢞ ൅ ࢉ்
࢞ нөхцөлт бус квадратлаг программчлалын бодлогыг бод.
b. ݂ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ ൌ
ଵ
ଶ
்࢞
ܳ࢞ ൅ ࢉ்
࢞ функцийн экстремумыг BC шулуун дээр олох тэнцэтгэл нөхцөлтэй
КПБ зохиож бод.
Ва-
риант
Гурвалжны оройн цэгүүд
ܳ (матриц мөрийн дарааллаар) ࢉ்
вектор
I
бодлого
II
бодлого
I
бод.
II
бод.
1
2
3
4
5
A(1, 2)
A(3, 1)
A(2, 2)
A(6, 1)
A(4, 1)
B(3, 5)
B(2, 6)
B(4, 3)
B(2, 2)
B(5, 6)
C(5, 3)
C(4, 4)
C(3, 6)
C(4, 5)
C(2, 3)
2, 1, 1, 3
2, 2, 2, 3
2,−1,−1, 3
2,−2,−2,3
4, 1, 1, 3
−1,1,1,−4
−4,−2,−2,−2
−9,−3,−3,−2
−9, 3, 3,−2
−2,−3,−3,−9
−1, 2
1, −2
−1, 2
3, −2
−3, 2
4, −2
−3, 2
4, −2
−3, 4
−4, 2
6
7
8
9
10
A(1, 2)
A(6, 5)
A(2, 1)
A(1, 3)
A(1, 2)
B(5, 5)
B(2, 4)
B(1, 5)
B(3, 6)
B(3, 5)
C(3, 1)
C(4, 0)
C(4, 3)
C(5, 1)
C(5, 1)
4, 2, 2, 3
4, 3, 3, 3
4,−2,−2, 3
4,−3,−3, 3
4, 2, 2, 5
−1, 2, 2,−6
−4, 2, 2,−2
−2, 3, 3,−5
−2,−4,−4,−8
−2, 4, 4,−8
−5, 2
6, −2
−1, 2
3, −2
−3, 4
4, −2
−3, 2
4, −6
−3, 4
−4, 2
11
12
13
14
15
A(6, 1)
A(4, 6)
A(2, 1)
A(4, 5)
A(5, 0)
B(5, 6)
B(6, 2)
B(4, 2)
B(6, 3)
B(6, 6)
C(1, 2)
C(2, 1)
C(3, 6)
C(5, 1)
C(2, 4)
4, −2,−2, 5
4, 1, 1, 5
4, −1,−1, 5
4, 3, 3, 5
4, −3,−3, 5
−8,−4,−4,−3
−8, 4, 4,−3
−2,−4,−4,−1−2, 3,
3,−9
−9,−2,−2,−1
−5, 4
6, −2
−4, 2
3, −5
−6, 4
4, −3
−3, 6
4, −6
−3, 4
−4, 3

5. 5
16
17
18
19
20
A(2, 6)
A(3, 2)
A(4, 1)
A(5, 5)
A(6, 4)
B(3, 3)
B(2, 1)
B(1, 6)
B(2, 4)
B(5, 2)
C(1, 1)
C(5, 5)
C(5, 4)
C(4, 6)
C(3, 0)
4, −4,−4, 5
4, 4, 4, 5
5, −4,−4, 4
5, 4, 4, 4
5, 1, 1, 2
−10, 3, 3,−1
−4,−4,−4,−9
−4, 4, 4,−9
−9,−4,−4,−4
−9, 3, 3, −4
−5, 2
6, −1
−2, 4
−5, 2
5, −2
4, −6
−3, 4
−4, 3
4, −3
−4, 6
21
22
23
24
25
A(1, 2)
A(1, 4)
A(4, 1)
A(5, 4)
A(4, 6)
B(4, 3)
B(2, 6)
B(5, 3)
B(4, 1)
B(6, 3)
C(3, 6)
C(4, 2)
C(1, 5)
C(2, 6)
C(2, 2)
5, 2, 2, 2
5,−1,−1, 2
5,−2,−2, 2
3, 1, 1, 2
3, 2, 2, 2
−4, 1, 1, −9
−9, 1, 1, −4
−4, 0, 0, −9
−9, 2, 2, −4
−4, 1, 1, −2
−4, 2
3, −5
−3, 4
−5, 4
5, −4
3, −6
−6, 4
−4, 5
4, −2
−4, 3
26
27
28
29
30
A(5, 0)
A(4, 3)
A(1, 5)
A(6, 5)
A(6, 3)
B(6, 2)
B(1, 6)
B(5, 3)
B(5, 1)
B(4, 0)
C(1, 4)
C(3, 1)
C(2, 1)
C(3, 1)
C(5, 4)
3,−1,−1, 2
3,−2,−2, 2
3, 1, 1, 2
3, 2, 2, 4
3, 3, 3, 4
−2, 2, 2, −4
−4, 2, 2, −2
−2, 2, 2, −4
−4, 2, 2, −3
−3, 2, 2, −4
−4, 3
4, −5
−5, 4
−5, 4
5, −3
4, −6
−6, 2
−2, 5
4, −4
−2, 6
31
32
33
34
A(1, 1)
A(4, 5)
A(5, 5)
A(6, 3)
B(6, 4)
B(6, 2)
B(6, 2)
B(2, 1)
C(3, 6)
C(2, 1)
C(2, 1)
C(5, 5)
3,−2,−2, 4
3,−3,−3, 4
4, 2, 2, 5
2, 1, 1, 5
−4, 1, 1, −3
−3, 1, 1, −4
−4, 3, 3, −5
−5, 2, 2, −4
−4, 3
3, −5
−5, 4
−3, 2
4, −6
−6, 2
−4, 5
4, −6
35
36
A(5, 3)
A(3, 4)
B(3, 5)
B(4, 6)
C(1, 2)
C(6, 2)
2, 2, 2, 5
2,−1,−1, 5
−4, 2, 2, −5
−5, 3, 3, −4
5, −3
−4, 6
−4, 2
2, −6
Бодлого 9. ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ସ
функцийн минимумыг ሾܽ, ܾሿ завсар дээр олох бодлогыг
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ସ
՜ ݉݅݊
െ‫ݔ‬ ൑ െܽ
‫ݔ‬ ൑ ܾ
гэж томъёолж болно. ‫݂׏‬ሺ‫ݔ‬ሻ-д харгалзах Лагранжийн функц ‫ܮ‬ሺ‫,ݔ‬ ߣଵ, ߣଶሻ-ыг бич. Мөн эсрэг
градиент െ‫݂׏‬ሺ‫ݔ‬ሻ-д харгалзах Лагранжийн функц ‫ܮ‬ିሺ‫,ݔ‬ ߣଵ, ߣଶሻ-ийг бич. Энэ гүдгэр
программчлалын бодлогыг эхлээд ГП-ын ККТ-ийн теоремоор, дараа нь ККТ-ийн орчны
нөхцөлүүд ашиглан бод. ‫ܮ‬ିሺ‫,ݔ‬ ߣଵ, ߣଶሻ-д харгалзах ККТ-ийн орчны нөхцөлүүдийг бич.
Вариант ܽ ба b Вариант ܽ ба b Вариант ܽ ба b
1 1; 2 13 2; 7 25 5; 9
2 2; 4 14 3; 8 26 6; 7
3 1; 3 15 2; 6 27 6; 8
4 3; 5 16 1; 9 28 6; 9
5 4; 6 17 4; 5 29 7; 8
6 5; 8 18 4; 6 30 7; 9
7 1; 4 19 4; 7 31 8; 9
8 1; 5 20 4; 8 32 1; 6
9 2; 3 21 4; 9 33 1; 7
10 2; 8 22 5; 6 34 1; 8
11 2; 9 23 5; 7 35 1; 9
12 3; 6 24 5; 8 36 2; 5