Progetto didattico "Matematica e Storia" della classe 2Bc coordinata dalla prof. Manuela Piraccini e dalla prof. Anna Ranieri. A.S. 2017/2018 - Liceo Statale Vincenzo Monti Cesena

1. LA MATEMATICA
IN GRECIA

2. PITAGORA
Matematico e filosofo greco,
fondatore della scuola
pitagorica
Anno di nascita
575 A.C.
Luogo di nascita
Samo, Grecia
Data di morte
495 A.C.
Luogo di morte
Metaponto, Italia

3. Alcune scoperte di Pitagora
• consonanza e dissonanza (correlate al
rapporto fisico tra il peso delle incudini)
• due nuovi solidi: il dodecaedro (dodici facce
pentagonali) e l’icosaedro (venti facce
triangolari)
• il teorema di Pitagora

4. Il teorema di Pitagora
Nel teorema di Pitagora si afferma che la
somma dei quadrati dei due lati perpendicolari tra
loro è uguale al quadrato dell'ipotenusa.
Inoltre si scoprì che l’area del quadrato costruito
sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei
quadrati costruiti sui cateti.
Quindi in un triangolo rettangolo di cateti a, b e
di ipotenusa c si ha: a² + b² = c².
Esistono infinite terne con numeri interi che
soddisfano a questa relazione. Una di queste è 3,
4 e 5. Infatti con questi tre numeri si ha:
3² + 4² = 5².

5. TALETE DI MILETO
● Chi? Un importante filosofo e matematico greco
● Dove? In grecia, più precisamente a Mileto, ricca città
greca dell’ Asia Minore
● Quando? Dal 624 a.C. al 547 d.C.
● Perché è importante per la matematica? E’
riconosciuto come il primo matematico della storia, a cui
vengono attribuiti alcuni risultati di geometria elementare
e che da nome all’omonimo teorema, che tuttavia è
stato dimostrato almeno un secolo dopo la sua morte

6. Il teorema di talete
E’ uno tra i teoremi più importanti della geometria. Questo è il suo enunciato :
“Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali formano due classi di segmenti
direttamente proporzionali.”
Il teorema afferma che il rapporto tra i segmenti omologhi di una e
dell’altra trasversale è costante. Possiamo scrivere dunque:
Inoltre godranno di questa proprietà anche i segmenti somma, quindi :

7. Dimostrazione del teorema
Possiamo dimostrare il tutto sfruttando il triangolo ABC
tagliato da una retta parallela al lato BC, il tutto si può
vedere come rette parallele tagliate da due trasversali.
BDE:ADE=CDE:ADE
BDE:ADE=BD:DA
CDE:ADE=CE:AE
BD:DA=CE:AE

8. Talete e la piramide di Cheope
Si appoggiò ad un bastone tenuto in posizione verticale e attese fino al momento in cui,
verso la metà della mattina, l’ombra del suo bastone fosse lunga quanto il bastone stesso (
ovvero quando i raggi del sole lo avessero colpito con un’inclinazione pari a 45 gradi ).
Quando ciò accadde, ordinò al messo di misurare l’ombra della piramide, perché in quel
momento, era lunga quanto la piramide stessa.

9. ARISTOTELE
● Chi? Importante filosofo greco e precettore di
Alessandro
● Dove? Egli nacque a Stagira, in grecia, per poi
spostarsi ad Atene, dove rimase fino alla morte del
maestro Platone, andò poi ad Asso e a Mitilene, e in
seguito alla corte di Pella. nel 335 tornò ad Atene,
ma morì a Calcide, dove fuggì dopo essere stato
accusato di empietà
● Quando? Dal 384 a.C. al 322 a.C.
● Perché è stato un uomo di spicco? Egli, oltre
ad importanti studi e teorie, svolti in numerosi campi,
fondò una scuola, il Liceo, presso Atene

10. Il sillogismo
Presenta la seguente struttura:
● Una premessa maggiore
● una premessa minore
● conclusione
Nel sillogismo ci sono tre termini che si trovano nelle premesse:
● termine maggiore ( predicato )
● termine minore ( soggetto )
● termine medio ( compare sia nella premessa maggiore
che in quella minore ma non nella conclusione)
Esempio:
● Ogni animale è mortale
● Ogni uomo è animale
● Ogni uomo è mortale

11. La teoria della quattro cause
Secondo Aristotele esistono quattro tipi di cause:
● materiale : indica ciò di cui una cosa è
fatta (nel caso di un tempio ad esempio di
mattoni)
● efficiente : indica ciò che mette in moto la
cosa (nel caso del tempio, un architetto)
● formale : indica la forma che acquisirà
(forma di un tempio)
● finale : indica lo scopo per cui è fatta (ad
esempio per venerare una divinità)

12. La cosmologia aristotelica
La cosmologia aristotelica concepiva l’Universo come:
● unico
● chiuso
● finito
● fatto di sfere concentriche
Il mondo era perciò pensato come differenziato in due zone
cosmiche ben distinte:
● zona cosmica perfetta, quella del mondo sopralunare,,
formata da un elemento divino, l’etere
● zona cosmica imperfetta, del mondo sublunare, formato
da quattro elementi: terra, acqua, fuoco e aria

13. IPPOCRATE
● Chi? Un matematico e astronomo greco
antico
● Quando? Dal 470 a.C. al 410 a.C
● Dove? Chio, isola dell’Egeo orientale
● Perchè è importante? Si dedicò della
quadratura del cerchio

14. La lunula è una parte di
piano delimitata da due
archi di raggio diverso
La relazione A = A'+ A'' è sempre valida il
semicerchio A costruito sull'ipotenusa è equivalente alla
somma dei semicerchi A' e A'' costruiti sui cateti
Ippocrate di Chio trovò la
quadratura della lunula
realizzando il primo caso di
quadratura di una figura
curvilinea

15. ABC è un triangolo rettangolo isoscele e H è il punto medio dell'ipotenusa
BC.
L'arco BMC è un quarto della circonferenza di centro A e raggio AB.
L'arco BNC è metà della circonferenza di centro H e raggio HB.
La figura delimitata dai due archi si chiama lunula o menisco.
Il pitagorico Ippocrate di Chio dimostrò che l'area della figura ABC è un
triangolo rettangolo isoscele e H è il punto medio dell'ipotenusa BC.
L'arco BMC è un quarto della circonferenza di centro A e raggio AB.
L'arco BNC è metà della circonferenza di centro H e raggio HB.

16. ARCHITA DI TARANTO
Filosofo pitagorico, politico e matematico, si
occupò di matematica, fisica, astronomia E
geometria.
Anno di nascita: 430 A.C.
Luogo di nascita: Taranto
Anno di morte: 360 A.C.
Luogo di morte: Mattinata
Alcune scoperte
● si dedica alla risoluzione di tre
problemi classici della geometria
● la curva di Archita

17. La curva di Archita generata
dall'intersezione della superficie di un
cilindro e di un semicerchio in
rotazione rispetto a uno dei suoi
estremi
LA CURVA DI
ARCHITA
y2 = 2ax e x2 = ay. Se il punto di coordinate
(x,y) appartiene ad ambedue queste curve, si
avrà x4 = a2y2 =2a3x, da cui, trascurando la
soluzione x=0, si trova x3=2a3, e quindi . In
definitiva, intersecando le due parabole si ottiene
un punto la cui ascissa è il lato del cubo doppio.

18. IPPIA DI ELIDE
● Chi? Importante filosofo e matematico greco
● Quando? Nel V secolo a.C.
● Dove? A Elide, nel Peloponneso
● Perché viene ricordato? Utilizzò per la
prima volta la quadratrice

19. Ippia utilizzò la curva per risolvere il problema della
trisezione dell´angolo
Della curva si servì anche Dinostrato per ottenere la
quadratura del cerchio. Egli, infatti, dimostrò che il segmento è
medio proporzionale tra l´arco e il segmento : è così possibile
ottenere un segmento rettilineo, della lunghezza dell´arco ,
pari ad un quarto di circonferenza. Di qui è facile, con
semplici costruzioni geometriche, arrivare ad un quadrato della
stessa area di un cerchio di raggio .

20. Archimede
Matematico, geometra, astronomo, ingegnere, fisico
e inventore
Anno di nascita: 287 a.C.
Luogo di nascita: Siracusa
Data di morte: 212
Luogo di morte: Siracusa

21. Le opere di Archimede
Le opere di Archimede sono giunte fino a noi attraverso tre
codici: codice A, codice B, codice C. Essi hanno alcuni testi
archimedei in comune: tutti e tre contengono Sull’equilibrio dei
piani.
Il codice A è l’unica testimonianza di Conoidi e sferoidi e
dell’Arenario, mentre il codice C è l’unica testimonianza del
Metodo e dello Stomachion.
I codici A e B non esistono più. Il codice C si trova nel cosidetto
“Palinsesto”. Un palinsesto è una pagina manoscritta rotolo di
pergamena o libro, che è stata scritta, cancellata e scritta
nuovamente. Il termine deriva dal greco πάλιν + ψηστός
(pálin psestòs, lett. "raschiato di nuovo")

22. Alcune scoperte e
opere di Archimede
● la quadratura della parabola
● la misura del cerchio
● l’equilibrio dei piani
● l’opera ‘’Sulla sfera e sul cilindro’’
● l’opera ‘’Corpi galleggianti ’’

23. Equilibrio dei piani
Quest’opera è composta da due libri in cui troviamo la
famosa legge di equilibrio delle leve e il calcolo del
centro di gravità (baricentro) di varie figure
geometriche. Archimede in quest’opera, così come in
molte altre opere, utilizza l’approccio euclideo: enuncia
prima una serie di definizioni che chiede di accettare
come vere (postulati) e da queste deduce le
proposizioni (teoremi) presenti nel resto dell’opera.
I
Chiediamo (che si ammetta) che pesi uguali (sospesi) a
distanze uguali si facciano equilibrio; che pesi uguali
(sospesi) a distanze diseguali non si facciano equilibrio, ma
producano pendenza dalla parte del peso che di trova a
distanza maggiore.
II
Che se dati pesi che si facciano equilibrio essendo sospesi
a certe distanze, si aggiunge qualcosa ad uno dei pesi, non
si abbia più equilibrio, ma pendenza dalla parte del peso al
quale si è fatta l’aggiunta.

24. Proposizione 6:
Le grandezze commensurabili sono in equilibrio
se sospese a distanze inversamente proporzionali
ai pesi.
Proposizione 7:
E anche se le grandezze sono (tra loro)
incommensurabili, similmente manterranno
l’equilibrio se sono poste a distanze inversamente
proporzionali alle grandezze.
Modernamente diciamo che i due pesi sono in
equilibrio se i momento delle forze applicate,
rispetto al fulcro, sono uguali. Detti P1 e P2 i due
pesi, b1 e b2 i rispettivi bracci (braccio=distanza
del fulcro O dalla retta d’azione della forza peso),
il sistema è in equilibrio se M1=P1b1=P2b2=M2
Da queste Archimede giunge a dimostrare il
famoso principio sull’equilibrio della leva

25. L’opera Sulla sfera e il cilindro è composta da due libri: il primo, che
contiene i risultati fondamentali raggiunti da Archimede relativi alla
superficie e il volume della sfera, comprende ben 44 proposizioni,
invece il secondo, assai più breve, comprende soltanto 9 proposizioni,
inerenti a problemi relativi alla divisione della sfera in più parti.
Il principio più importante è:
«Qualsiasi sfera è uguale a quattro volte il cono che ha la base
uguale al cerchio massimo della sfera e l'altezza uguale al raggio
della sfera.»
Sulla sfera e sul cilindro

26. Corpi
galleggianti
L’opera si divide in due libri e contiene 19
proposizioni in tutto, relative alla
immersione, totale o parziale, di un corpo
solido in un liquido, distinguendo i vari casi.
In questo libro Archimede dimostra iL
PRINCIPIO CHE DICE CHE Un corpo
completamente o parziaLmente immerso
in un liquido riceve una spinta dal basso
verso l’alto pari al peso del volume di
liquido spostato
Scoprì inoltre che un oggetto sommerso sposta un
volume d’acqua pari al volume dell’oggetto stesso

27. • Euclide (in greco antico: Εὐκλείδης,
Eukléidēs; IV – III sec. a.C.) è stato un
matematico greco antico.
• È stato sicuramente il più importante
matematico della storia antica, e uno dei
più importanti e riconosciuti di ogni tempo
e luogo.
EUCLIDE

28. Gli elementi
• Gli Elementi (in greco antico: Στοιχεῖα, Stoichêia) è
un’opera che intendeva raccogliere tutti gli strumenti
concettuali indispensabili per lo studio della geometria. È
divisa in 13 libri.
• 1-4 libri---> planimetria elementare
• 5-6 libri ---> principali proprietà dei segmenti e dei
poligoni relativi alle proporzioni
• 7-10 libri---->aritmetica dei numeri razionali ed
irrazionali11-13 libri --->geometria solida

29. Nozioni comuni
• Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro
• Aggiungendo (quantità) uguali a (quantità) uguali le somme sono uguali
• Sottraendo (quantità) uguali da (quantità) uguali i resti sono uguali
• Cose che coincidono con un'altra sono uguali all'altra
• L'intero è maggiore della parte

30. Postulati
• Un segmento di linea retta può essere disegnato unendo due punti a
caso.
• Un segmento di linea retta può essere esteso indefinitamente in
una linea retta
• Dato un segmento di linea retta, un cerchio può essere disegnato
usando il segmento come raggio ed uno dei suoi estremi come centro
• Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro
• Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in
modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due
angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso
lato se sufficientemente prolungate.

31. Corollari
• Per un punto passano infinite rette
• Per due punti distinti passa una ed una sola retta
• Per una retta nello spazio passano infiniti piani
• Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano
• Per tre punti allineati passa una e una sola retta

32. Primo teorema di Euclide
• TEOREMA: In un triangolo rettangolo, il
quadrato costruito su uno dei due cateti è
equivalente al rettangolo che ha per
dimensioni la proiezione del cateto
sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
• a2 =d⋅co anche CB^2=AB⋅HB

33. Secondo teorema di Euclide
• TEOREMA: In un triangolo rettangolo, il
quadrato costruito sull’altezza relativa
all’ipotenusa è equivalente al rettangolo
che ha per dimensioni le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
• h^2= d⋅e anche CH^2=AH⋅

34. Arianna Vesi
GRAZIE PER L’ATTENZIONE
Sofia Battistoni
Dario Evangelisti
Caterina Buzzi
Giuliana Vigile
Elena Buda
Laura Consorti
Tommaso Tesei