Archimede: solidi e paradosso meccanico

1. Solidi e
paradosso
meccanico
PON In viaggio con Archimede
Prof. Mennea Giovanni

2. Introduzione
Archimede ha sempre guardato alla geometria
con attenzione con cura nei dettagli, utilizzando il
concetto di troncatura in maniera disinvolta,
suddividendo un grande problema in più
piccoli problemi infinitesimi.
Difatti, il fatto che tra le sue opere sia così
amplificato l'uso delle forme geometriche e dei
solidi ci fa comprendere la sua continua
attenzione alla scomposizione e al passaggio dal
quadrato al cerchio.

3. Argomenti di questa lezione
● La sfera, il cono e il cilindro
● Solidi e poliedri regolari e archimedei
● Realizzazione manuale di 2 poliedri
● Il paradosso meccanico

4. La sfera
Il fascino che la sfera ha sempre
esercitato nell'immaginario greco
è forse legato anche al valore
astronomico:
i pianeti sono sfere, e fino ad un
certo tempo, nel mondo greco,
sono stati considerati divinità.
Atlante - dio nella mitologia greca

5. La sfera e il cilindro
Il trattato Sulla sfera e sul cilindro, suddiviso in
due libri, forse in origine pensati come opere
distinte, fu commentato e studiato per secoli
dopo la morte di Archimede, fra gli altri da
Antemio di Tralles e da Isidoro di Mileto,
architetti del VI secolo d. C. entrambi impegnati
nei lavori di ricostruzione di Santa Sofia a
Costantinopoli.

6. La sfera e il cilindro
Certa è l'attribuzione ad Archimede del trattato
"Sulla sfera e sul cilindro", che affronta il
problema del rapporto tra i volumi e le aree delle
due figure geometriche:
uno dei risultati che diede ad Archimede
maggiore soddisfazione fu dimostrare che una
sfera ha un volume pari ai 2/3 di quello del
cilindro in cui è inscritta.

7. Il cono e il cilindro
Analogamente, Archimede dimostrò che un
cono ha un volume pari ai 1/3 di quello del
cilindro in cui è inscritto.

8. Le sezioni coniche
La procedura implicita di tagliare un determinato
cono con un determinato piano dà origine
all'esistenza di uno dei principali interessi
matematici di Archimede: le Sezioni Coniche.
Le sezioni di cono rappresentavano all'epoca
d'Archimede un campo di studio assai
frequentato: era un nuovo argomento, una nuova
frontiera della ricerca geometrica.

9. Le sezioni coniche
Attraverso l'intersezione tra un
cono ed un piano, si possono
ottenere tutta una serie di forme
geometriche chiamate sezioni
coniche o semplicemente coniche.
A seconda dell'angolo di sezione
del piano rispetto alla base, la
forma di una sezione conica sarà
un cerchio (0°), un'ellisse (tra 0°
e l'angolo del cono), una parabola
(tra l'angolo di apertura del cono e
un angolo retto) e un iperbole (un
angolo retto).

10. Le sezioni coniche
Basandosi sui suoi risultati, la trattazione delle
coniche maturò ulteriormente grazie ad Apollonio
di Perga (262 a. C. - 190 a. C.), con esiti che
rimasero sostanzialmente insuperati per diversi
secoli.
Gli studi archimedei su queste figure sono alla
base dello sviluppo di successive tecnologie,
come ad esempio le antenne ed il telescopio.

11. Solidi regolari
Platone, nel Timeo, descrive i solidi cosiddetti “regolari”,
poiché le loro facce sono formate da poligoni regolari
congruenti (cioè sovrapponibili esattamente) e che hanno
tutti gli spigoli e i vertici equivalenti. Ne consegue che
anche i loro angoloidi hanno la stessa ampiezza.
I solidi platonici sono, per tanto, cinque: il cubo (formato
da sei quadrati), il tetraedro (formato da quattro triangoli
equilateri), l’ottaedro (formato da otto triangoli equilateri),
il dodecaedro (formato da dodici pentagoni regolari) e
l’icosaedro (formato da venti triangoli equilateri).

12. Valore filosofico dei solidi regolari
Il filosofo associava a queste figure un valore
particolarmente importante: nel Timeo, associò ad
ognuno di essi un elemento:
- al tetraedro il fuoco
- al cubo la terra
- all’ottaedro l’aria
- all’icosaedro l’acqua
- mentre nel Fedone ritenne
che il dodecaedro fosse la
forma dell’universo.

13. Solidi e troncature
Archimede fece progredire il sapere dei greci anche nel
campo della geometria con lo studio dei solidi geometrici
o stereometria.
Col suo rigoroso metodo scientifico, che pur vedendo nel
mondo una tessitura geometrica, rifuggiva misticisimi di
sapore pitagorico, studiò i poliedri quasi perfetti come
quelli platonici. In particolare il genio siracusano lavorò
sulle troncature possibili delle figure platoniche.

14. I solidi archimedei
Ne derivarono tredici diversi elementi geometrici, e sette
di loro si ottengono troncando gli angoli dei solidi
platonici: tetraedro troncato, cubottaedro,
icosidodecaedro, cubo troncato, ottaedro troncato,
dodecaedro troncato, icosaedro troncato,
rombicubottaedro, cubottaedro troncato,
rombicosidodecaedro, icosidodecaedro troncato, cubo
ottusangolo, dodecaedro ottusangolo.
Il solido più popolare di Archimede è senza dubbio il
classico pallone da calcio: una
superficie quasi sferica composta da
pentagoni, circondata da cinque esagoni
(icosaedro troncato).

15. Sull'equilibrio dei piani
Archimede fu il primo a descrivere, nell’opera
intitolata Sull’equilibrio dei piani, l’idea di
baricentro o centro di massa, e determinò il
baricentro di varie figure geometriche,
supponendo che avessero densità uniforme.
Il baricentro è il punto di un corpo in cui si
può immaginare concentrato tutto il suo peso

16. Il baricentro
Nei corpi che hanno un asse di simmetria, il
baricentro si trova su tale asse.
Il baricentro costituisce uno degli elementi
essenziali che determinano il movimento naturale
dei gravi: tale movimento dipende da quello del
loro baricentro, che scende verso il basso.
E dipende dai loro momenti di inerzia che
determinano le rotazioni di n grave.

17. Il paradosso meccanico
Archimede fu il primo a fondere la meccanica e la
matematica, applicandosi allo studio del baricentro
con una modernità incredibilmente superiore ai
“fisici” del suo tempo e dei decenni immediatamente
precedenti, come ad esempio Aristotele.
Le leggi della fisica sembrerebbero essere
contraddette dal famoso caso del così detto
“paradosso meccanico”, che si basa sulle
proprietà della figura costituita da due coni uniti alla
base.

18. Il funzionamento
Collocando una struttura a doppio cono su un supporto
costituito da due rette divergenti, che dal punto di
partenza salgono, si osserverà che, con una
leggerissima pressione, il doppio cono darà
l’impressione di salire, anziché restare fermo nel punto
che appare più basso.
In realtà è un’illusione: a determinare il moto dei corpi è
il baricentro, ed il baricentro del doppio cono scende,
perché il punto in cui il doppio cono si arresta è
collocato più in basso rispetto al punto nel quale aveva
avuto inizio il rotolamento sui binari divergenti, la cui
forma trae l’osservatore in inganno.

19. Il funzionamento
La figura si chiama “doppio cono saliente”
Rotolando, il doppio cono poggia sui binari in
punti sempre più vicini ai suoi due vertici. Di
conseguenza, la distanza del baricentro rispetto
al piano orizzontale diminuisce man mano che il
cono sale.
Il doppio cono è una trottola: dovremo aspettare
la fine del secolo XIX per poter descrivere il
movimento di questo oggetto semplice in
apparenza.