2. ““La geometria ha due grandiLa geometria ha due grandi
tesori: uno è il teorema ditesori: uno è il teorema di
Pitagora; l’altro è la sezionePitagora; l’altro è la sezione
Aurea di un segmento. IlAurea di un segmento. Il
primo lo possiamo paragonareprimo lo possiamo paragonare
ad un oggetto d’oro; il secondoad un oggetto d’oro; il secondo
lo possiamo definire unlo possiamo definire un
prezioso gioiello”prezioso gioiello”
JohannesJohannes
Kepler [1571-1630]Kepler [1571-1630]

3. Considerato, cioè, un segmento AB,
il segmento AC sarà sua
Sezione Aurea se AB AC
AC BC
=
Il primo incontro con la sezione aurea in genere avviene in
geometria. La sezione aurea di un segmento AB è quella parte di
tale segmento che sia media proporzionale tra tutto il segmento e la
parte restante.
Ciò avviene, quindi, quando
il rapporto tra l’intero
segmento e la parte più
lunga è uguale al rapporto
tra la parte più lunga e la
parte più corta.

4. Cerchiamo il valore di questo rapporto. Posto AB= l e AC= x potremo
riscrivere la precedente relazione come:
2 2
2 2 2 2 4 5 1 5
0
2 2 2
l x l l l l l
l lx x x lx l x l
x l x
− ± + − ± − ±
= ⇒ − = ⇒ + − = ⇒ = = =
−
Consideriamo il valore positivo:
Quindi risulterà:
5 1
2
x l
−
=
5 1
0,618033...
2
x
l
−
= =
A questo punto il rapporto cercato sarà:
( )2 5 12 5 1 5 1
1,618033...
5 1 25 1 5 1
l
x
++ +
= × = = =
−− +

5. Restando nell’ambito geometrico si può ricavare immediatamente che “ ogni
segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea.”
E ancora “ tolta la sezione aurea la parte rimanente di un segmento è sezione
aurea delle sezioni auree del segmento”
E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione e per addizione..
l x l
l x
+ 
= ÷
 
( )
x l x
l x x l x
 −
= ÷ ÷− − − 

6. A partire da un segmento si può costruire la sua sezione aurea; ad
esempio nel
seguente modo: sia L la lunghezza del segmento AB. Si consideri il
segmento OB perpendicolare ad AB tale che OB=L/2. Con centro in O
si descriva la circonferenza di raggio L/2.
Tracciata la retta OA siano D ed E le interdizioni di tale retta con
la circonferenza.
Infine con centro in A si descriva la circonferenza di raggio AD e sia
C la sua
interdizione con il segmento AB. AC è sezione aurea di AB. Infatti,
per il teorema
della tangente e della secante risulta: AE : AB = AB : AD da cui,
applicando la proprietà
dello scomporre
risulta: (AE-
AB):AB=(AB-AD):AD
ma poiché DE=AB risulta
AE- A B= AD=AC ed
inoltre
AB-AD=AB-AC=BC.
Quindi la

7. Il rettangolo aureo
Si definisce rettangolo aureo un
rettangolo i cui lati a e b siano in
proporzione aurea.a
b
ϕ=
Se da questo rettangolo si elimina il
quadrato di lato b, si ottiene un
rettangolo che è ancora rettangolo aureo.
Infatti b è sezione aurea di a cioè
ma anche cioè
a b
b a b
=
−
a
b
ϕ=
b
a b
ϕ=
−
Ripetendo questa costruzione si ottiene
una serie
di rettangoli aurei sempre
più piccoli e, tracciando un quarto di
cerchio in ogni quadrato scartato, si
ottiene una linea che si avvolge su se
stessa infinite volte che si chiama

8. Se si prendono tre rettangoli aurei uguali (giacenti su piani
due a due ortogonali con i centri coincidenti) e si incastrano,
unendo i vertici si otterrà un icosaedro (poliedro regolare
con 20 facce triangolari) mentre i centri delle facce di un
dodecaedro ( 12 facce pentagonali ) sono i vertici dei tre
rettangoli aurei incentrati.

9. Veri cultori della sezione aurea furono gli
antichi greci ai quali si deve la denominazione di
“aurea”.
Nel Partenone di Atene tutto è progettato
attorno al rettangolo aureo.

10. Ma un vero trionfo della sezione aurea si ebbe nel
RINASCIMENTO, quando rappresentò per tutti gli artisti un
canone di bellezza cui ispirare ogni composizione artistica
dall’’architettura, alla scultura e alla pittura, e guida per
riprodurre il corpo umano (proporzione ideale tra le parti del
corpo).
Contribuì a tale concezione l’opera del matematico
LUCA PACIOLI (1445-1514) dal titolo “DE DIVINA
PROPORTIONE” , incentrata sulla proporzione come
chiave universale per penetrare i segreti della bellezza,
ma anche della natura al cui centro è collocato l’uomo,
Luca Pacioli

11. sospeso tra un quadrato ed un cerchio
nell’“UOMO VITRUVIANO”,
celebre disegno di LEONARDO,
amico di PACIOLI e autore dei
disegni che illustrano il suo libro.
La sezione aurea continua ad
essere utilizzata.

12. Il pentagono stellato
Figura cara ai pitagorici che l’avevano assunta a
simbolo della loro scuola è il cosiddetto pentagono
stellato o pentagramma. Il pentagramma è la figura
formata dalle diagonali del pentagono regolare. Esse,
intersecandosi, determinano un nuovo pentagonoregolare, più piccolo, le cui
diagonali formano a loro volta
un nuovo pentagramma, e così
via all’infinito. In tale
successione il lato di ogni
pentagono regolare è uguale alla
sezione aurea della diagonale,
ossia del lato del pentagramma.

13. Il matematico pisano
Leonardo Fibonacci in un
suo libro intitolato “Liber
abaci” pone il seguente
problema: Supponiamo che
una coppia di conigli
impieghi un
Numeri di
Fibonacci
mese per diventare adulta ed un
secondo mese per procreare un’altra
coppia. Se all’inizio della
generazione abbiamo una sola
coppia, quante coppie avremo dopo

14. MESI NUMERO COPPIE NUMERO COPPIE CHE TOTALE
ADULTI NON PROCREANO COPPIE
GENNAIO 1 0 1
FEBBRAIO 1 1 2
MARZO 2 1 3
APRILE 3 2 5
MAGGIO 5 3 8
GIUGNO 8 5 13
LUGLIO 13 8 21
AGOSTO 21 13 34
SETTEMBRE 34 21 55
OTTOBRE 55 34 89
NOVEMBRE 89 55 144
DICEMBRE 144 89 233
Cerchiamo di risolvere il problema attraverso una
tabella.

15. 1 2 3, , ... ...nf f f f
1 1n n nf f f+ −= + con 0
1
1
1
f
f
=
=
prolungandole all’ infinito potremo
scrivere :
Fissiamo l’attenzione sulla successione di numeri
della prima colonna:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
detti anche numeri di Fibonacci. Osserviamo
subito che ogni termine, dal terzo in poi, si ottiene
sommando i due precedenti; cioè se indichiamo la
successione con:

16. I numeri di Fibonacci, la musica e la
natura
Anche la musica non sfugge al fascino del rapporto aureo.
Fortemente sperimentali o meno che siano è bene sottolineare che
i primi studi sull’’applicazione della sezione aurea alle strutture
formali della musica , risalgono alla metà del XX secolo e infatti
proprio del 1950 un articolo di J.H. Douglas Webster che,
citando un gran numero di partiture nelle quali possono essere
riscontrate proporzioni auree, apre ufficialmente la strada a
questo affascinante settore dell’analisi della musicologia. La
successione individuata da Fibonacci può essere rapportata a
qualsiasi unità di misura concernente la musica: durata
temporale, numero di note, numero di battute…

17. A ciò si sono ispirati compositori
come Bartòk e Debussy, ed anche
la musica rock, in special modo il
rock progressivo si è confrontato
con la relazione esistente tra la
musica e la matematica
soprattutto per ciò che riguarda
gli aspetti mistico esoterici della
sezione aurea.
Bartòk Debussy

18. Ma la sezione aurea ed i numeri di Fibonacci riservano altre
sorprese: essi si insinuano persino nei regni della natura!
Uno dei classici esempi è il nautilus, un mollusco dei mari
tropicali considerato un fossile vivente essendo la sua specie
antichissima; la sua conchiglia sezionata è un’aspirale aurea.
Se si guarda con
attenzione il capolino di
un girasole o di una
margherita, si nota che i
semi sono disoposti
secondo spirali
logaritmiche che partono
dal centro in due
direzioni opposte e se si
contano le spirali in
senso orario e quelle in
senso antiorario si

19. Ma la presenza di tali numeri si può ritrovare anche
nelle spirali di pigne, ananas, carciofi e moltissimi
altri vegetali.
Se si osserva la disposizione
delle foglie lungo un ramo,
a partire da quella più bassa, si
può tracciare una linea
elicoidale che passi per i punti
di intersezione
delle foglie; il numero delle
foglie ed il numero delle spire
appartengono ad una

20. Ma anche molte galassie hanno la forma di spirali logaritmiche.

21. Perché accade questo? A quali misteriose leggi obbedisce la
natura? Aldilà di ogni possibile interpretazione mistico
esoterica della sezione aurea, aldilà di ogni concezione
basata esclusivamente su tale rapporto, compito dello
scienziato è quello di porsi domande come queste e cercare di
dare loro una risposta.
Per tutto il resto ci sono i Dan Brown.

22. Lavoro svolto da:
Carnà Emanuele
Fava Andrea
Marotta Daniele
Petrantoni Martina
Barillà Carmelo