Dokumen ini membahas tentang pertemuan ke-7 mata kuliah aplikasi integral rangkap dua. Pertemuan ini bertujuan agar mahasiswa dapat mengaplikasikan integral rangkap dua untuk menghitung pusat massa lamina dan momen inersia lamina. Terdapat contoh soal dan latihan mengenai penghitungan pusat massa dan momen inersia menggunakan integral rangkap dua.

1. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
1
Pertemuan 7
aPlikasi integral rangkaP
dua
TIM MATEMATIKA
DEPARTEMEN MIPA
UBAYA
GEDUNG TG LANTAI 6

2. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
Tujuan
2
Mahasiswa mampu :
mengaplikasikan integral rangkap dua untuk
menghitung pusat massa lamina, dan momen
inersia lamina

3. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
3
Diketahui suatu plat tipis yang demikian tipisnya
sehingga dapat dipandang berdimensi dua berada di
bidang-XOY dengan luas A.
Andaikan kerapatan/densitasnya (massa per satuan
luas) dinyatakan oleh δ(x,y), elemen luas dxdy
memiliki massa sebesar dm = δ(x,y) dx dy.
Massa plat tipis
dydxyxm
A
∫∫= ),(δ
Menghitung Pusat Massa

4. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
4
Momen total (sering juga disebut momen
pertama) terhadap sumbu y
Momen total (momen pertama) terhadap
sumbu x
dydxyxxM
A
y ∫∫= ),(δ
dydxyxyM
A
x ∫∫= ),(δ
Menghitung Pusat Massa (titik berat)

5. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
Pusat massa (titik berat) plat
Momen Inersianya (sering juga disebut
momen kedua)
Terhadap sumbu x :
Terhadap sumbu y :
Terhadap sumbu z :
m
My
xp =
m
Mx
yp =
∫∫=
A
x dxdyyxyI ),(2
δ
∫∫=
A
y dxdyyxxI ),(2
δ
yx
A
z IIdxdyyxyxI +=+= ∫∫ ),()( 22
δ
Menghitung Momen Inersia

6. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
6
Contoh :
Sebuah lamina setengah lingkaran mempunyai kerapatan
berbanding lurus terhadap jarak setiap titik dari
diameter. Jika massa dihitung dalam kg dan jarak dalam
meter, tentukan :
1.Pusat massanya
2.momen inersia terhadap sumbu X, sumbu Y, dan sumbu
Z

7. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
Latihan
Hitung titik berat daerah di kuadran I yang dibatasi oleh
ellips
Hitung titik berat daerah yang dibatasi oleh y = 3x2
– 6x
dan y = 2x – x2
.
Hitung titik berat daerah yang dibatasi oleh r = 1 + cos ɵ
dengan kerapatan massa konstan.
7
12
2
2
2
=+
b
y
a
x

8. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
Latihan
Hitung momen inersia dari daerah yang dibatasi oleh y
= x dan y = x2
.
Hitung momen inersia dari daerah yang dibatasi oleh y
= x2
, y = 1, x = 2.
Hitung momen inersia dari daerah yang dibatasi oleh r =
2 (1 + cos ) terhadap sumbu tegak lurus daerahɵ
tersebut dan melalui titik pusat o
8

9. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
Latihan UTS
Tentukan bilangan arah dari persamaan garis lurus :
Gambarkan daerah yang dibatasi oleh bidang XOY,
XOZ, YOZ, y = 5, x = 3, dan z = 4. Tambahkan bidang
x = y pada gambar di atas.
Gambarkan daerah yang dibatasi oleh bidang XOY, x2
+
y2
= 4, dan bidang x + y = 2
9
01,
1
3
1
2
=−
−
+
=
−
y
zx

10. Latest Modified by Hazrul Iswadi – Januar y 31, 2011
Latihan
Gambarkan daerah yang dibatasi oleh bidang XOY, XOZ,
YOZ, x = 3, x + 2y = 4, dan z = 4. Hitung volumenya
Hitunglah volume benda di atas bidang XOY yang dibentuk
oleh tabung 4x2
+ y2
= 9 dan bidang z = 0 dan 3z = y
Dengan metode pengali Lagrange, tentukan nilai maksimum
dari f(x, y, z) = xyz dengan kendala 2x + y + z = 8
10