1. METODE INTEGRASI

2. Integral dari Bentuk Fungsi
Goniometri

3. Pembuktian Rumus-Rumus
sin x + cos x = 1
2 2
Pitagoras = a +b = c
2 2 2
a
;
sin x =
c
b
;
cos x =
c
a2 b2 a2 + b2 c2
sin 2 x + cos 2 x = 2 + 2 = 2
= 2 =1
c c c c

4. Pembuktian Rumus-Rumus
1
sin x = (1 − cos 2 x )
2
2
Bukti :
cos 2 x = cos x − sin x → bukti cari diinternet
2 2
( )
cos 2 x = 1 − sin 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x
1
sin x = (1 − cos 2 x )
2
2

5. Latihan…….
• Buktikan bahwa
1
sin x cos x = [sin( x − y ) + sin( x + y )]
2
Jawab:
sin( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
sin( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y
+
sin( x − y ) + sin( x + y ) = 2 sin x cos y

6. ∫
m n
Integral dari Bentuk : sin x cos x dx
dimana m dan n bulat
a) m bulat positif dan ganjil → misal :
m = 2k + 1
sin m x cos n x = sin 2 k +1 x cos n x = sin 2 k x cos n x sin x
Jadi
sin m x cos n xdx = sin 2 k x cos n x sin xdx
[ ]
= 1 − cos x cos n x[− d (cos x )]
2 k
[ ]
= − 1 − cos x cos n x d (cos x )
2 k

7. Jika n bulat positif dan ganjil → misal :
n = 2k + 1
(2 k +1)
sin x cos x = sin x cos
m n m
x = sin x cos
m 2k
x cos x
( )
k
= sin x cos x cos x = sin x 1 − sin x cos x
m 2 m
[ 2
]
k
Jadi :
m n m
[
sin x cos x dx = sin x 1 − sin x cos x dx 2
]
k
m
[
= sin x 1 − sin x d (sin x )
2
]
k

8. Contoh soal
∫ sin x cos x dx = ...
2 3
Cos x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : n = 3 → jadi :
∫ ∫ ∫ ( )
sin 2 x cos 3 x dx = sin 2 x cos 2 x d (sin x ) = sin 2 x 1 − sin 2 x d (sin x )
∫ (sin ) 1 3 1
= 2
x − sin 4 x d (sin x ) = sin x − sin 5 x + c
3 5

9. Contoh soal
∫ cos 2 x sin 2 x dx = ...
4 3
Sin 2x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : m = 3 → jadi :
⎡1 ⎤
∫ cos 2 x sin 2 x dx = cos 2 x sin 2 x sin 2 x ⎢ d (2 x )⎥
4 3
∫
4 2
⎣2 ⎦
1
=− cos 4 2 x sin 2 2 x d (cos 2 x )
∫
2
cos 4 2 x (1 − cos 2 2 x )d (cos 2 x )
1
=−
2 ∫
∫[ ]
1
=− cos 4 2 x − cos 6 2 x d (cos 2 x )
2
1 1
= cos 2 x − cos 5 2 x + c
7
14 10

10. Coba selesaikan integrasi berikut ini:
∫ sin 3 x cos 3 x dx = ...
1. 3 5
∫ sin x dx = ....
2. 5
Jawabannya adalah:
1 1
1. = cos 8 3 x − cos 6 3 x + c
24 18
2 1
2. = − cos x + cos 3 x − cos 5 x + c
3 5

11. Jika m dan n bulat positif dan genap
m n
sin x cos x diubah memakai rumus :
1
sin x = (1 − cos 2 x )
2
2
1
cos x = (1 + cos 2 x )
2
2
1
sin x cos x = sin 2 x
2

12. Contoh soal
∫ cos 3 x sin 3 x dx = ∫ [cos 3 x sin 3 x]
2 4 2
sin 2 3 x dx
2
⎡1 ⎤ 1
= ⎢ sin 6 x ⎥ [1 − cos 6 x ]dx
∫
⎣2 ⎦ 2
∫[ ]
1
= sin 2 6 x − sin 2 6 x cos 6 x dx
8
1 ⎧1
= ⎨ (1 − cos 12 x ) − sin 2 6 x cos 6 x ⎫dx
∫ ⎬
8 ⎩2 ⎭
1⎡ 1 1 1 ⎤
∫
= ⎢ dx − cos 12 x d (12 x ) −
∫ sin 2 6 x d (sin 6 x )⎥
∫
8⎣ 2 24 6 ⎦
1 ⎡x 1 1 ⎤
= ⎢ − sin 12 x − sin 3 6 x ⎥ + c
8 ⎣ 2 24 18 ⎦

13. Coba selesaikan integrasi berikut ini:
∫ cos x dx = .......
4
Jawabannya:
2
∫ [1 + 2 cos 2 x + cos ]
⎡1 ⎤ 1
∫ cos x dx = ⎢ (1 + cos 2 x )⎥ dx =
4
∫
2
2 x dx
⎣2 ⎦ 4
1 ⎡3 1 ⎤
= ⎢ x + sin 2 x + sin 4 x ⎥ + c
4 ⎣2 8 ⎦

14. Jika m dan n bulat negatif, misal : m = -k, n = -h
dx
∫ sin x cos x dx = ∫ ∫
= cos ec x sec x dx
m n k h
k h
sin x cos x
= ∫ cos ec k
x sec h − 2 x sec 2 x dx
Ingat…
⎡ sin x ⎤ 1 ⎛ 1 ⎞
d (tgx ) = d ⎢ =
⎥ cos x d (sin x ) + sin x d ⎜ ⎟
⎣ cos x ⎦ ⎝ cos x ⎠
cos x ⎛ 1 ⎞
= dx + sin x⎜ − ⎟(− sin x )dx
⎝ cos x ⎠
2
cos x
⎡ sin 2 x ⎤ ⎡ 1 ⎤
= ⎢1 + ⎥ dx = ⎢ dx = sec 2 x dx
⎣ cos 2 x ⎦ ⎣ cos 2 x ⎥
⎦

15. ∫
= cos ec k x sec h − 2 x sec 2 x dx
= ∫ cos ec k
x sec h − 2 x d (tgx )
k k
⎡ 1 ⎤ ⎡ cos x⎤
( )k 2 2 2
cos ec x = cos ec x = ⎢ 2 ⎥ = ⎢1 +
k 2
2
⎥
k
⎣ sin x ⎦ k
⎣ sin 2 x⎦
⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 + tg 2 x ⎤ 2
= ⎢1 + 2 ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ tg x ⎦ ⎣ tg 2 x ⎦

16. (h − 2 ) (h − 2 )
sec h−2
x = sec x ( 2
) 2
(
= 1 + tg x 2
) 2
Jadi
k
⎡ 1 + tg x ⎤ (h − 2 )
(1 + tg x )
2 2
= ⎢ ∫ ⎥
2 2
d (tgx )
⎣ tg 2 x ⎦
(1 + tg x )
k h
2 + −1
∫ d (tgx )
2 2
= k
tg x
( k + h ) −1
(1 + tg x ) 2
d (tgx )
∫
2
= k
tg x

17. Contoh soal
dx
∫ sin 2 2 x cos 4 2 x ∫ ∫
= cos ec 2 2 x sec 4 2 x dx = cos ec 2 2 x sec 2 2 x sec 2 2 x dx
1
[ ][ ]
= ∫ 1 + cot g 2 2 x 1 + tg 2 2 x d (tg 2 x )
2
1 ⎡ 1 ⎤
[ ]
= ∫ ⎢1 + 2 ⎥ 1 + tg 2 2 x d (tg 2 x )
2 ⎣ tg 2 x ⎦
1 ⎡ 1 ⎤
= ∫ ⎢2 + 2 + tg 2 x ⎥ d (tg 2 x )
2
2 ⎣ tg 2 x ⎦
1 1 1 3
= (2tg 2 x − + tg 2 x) + c
2 tg 2 x 3

18. ∫
m n
Integral dalam bentuk tg x sec x dx
∫
m n
ctg x cos ec x dx
m dan n bulat, positif
manipulasi dengan rumus :
tg x = sec x − 1
2 : 2
ctg x = cos ec x − 1
2 2

19. Contoh soal
∫ ctg 3 2 x cos ec 2 x dx = .........
∫ ctg 3 2 x cos ec 2 x dx = ∫ ctg 2 2 x[ctg 2 x cos ec 2 x dx ]
Latihan soal
∫ tg 3 x sec5 x dx = ......
∫ tg 3 x sec 3 x dx =
3 4

20. Integral dalam bentuk ∫ sin mx cos nx dx
∫ sin mx sin nx dx
∫ cos mx cos nx dx
Gunakan rumus
1:
sin mx cos nx = [sin(m + n )x + sin(m − n )x ]
2
1
sin mx sin nx = [cos (m − n )x − cos (m + n )x ]
2
1
cos mx cos nx = [cos (m − n )x + cos (m + n )x ]
2

21. Contoh soal
∫ sin 9 x sin x dx = ...........
1
∫ sin 9 x sin x dx = 2 ∫ [cos 8 x − cos10 x]dx
1 1
= sin 8 x − sin 10 x + c
16 20
Latihan soal
1.∫ sin 3 x cos 5 x dx = ..........
2.∫ (1 + cos 5 x ) 2 dx = ......
3

22. INTEGRAL DENGAN
SUBSTITUSI

23. ∫ f ( x )dx = ... Susah diintegralkan
Ubah bentuk integrannya ke suatu bentuk dengan
jalan mengubah peubah x (diganti dengan peubah
baru misalnya u)
x = ϕ (u ) dx = ϕ' (u )du
∫ f (x )dx = ∫ f [ϕ (u )]ϕ ' u du = ∫ψ (u ) du
= F (u ) + c

24. SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR
• jika integran memuat pangkat pecahan
dari bentuk a + bx
(a + bx )
m
misal n
disubsitusi : u = a + bx
n
sehingga : (a + bx )
m
n ( )
= u n
m
n
=u m

25. Contoh soal
x2
∫ (2 + 3x )2
3
dx = .....
substitusi u = 2 + 3x
3
(
1 3
x = u −2
3
)
du( ) = d (2 + 3 x )
3
3u du = 3dx
2
dx = u du
2

26. Sehingga
2
⎡1 3 ⎤
⎢3 (
u −2 ⎥ ) (u −2 )
2
dx = ⎣ ⎦ u 2 du = 1
2 3
x
∫ (2 + 3 x ) 2
3
∫ [ ]
u
2
3 3 9 ∫ u2
u 2 du
∫ [u ]
1
= 6
− 4u + 4 du
3
9
1 ⎡1 7 ⎤
= ⎢ u − u 4 + 4u ⎥ + c
9 ⎣7 ⎦
1 ⎡1 1 ⎤
= ⎢ (2 + 3 x ) 3 − (2 + 3 x ) 3 + 4 (2 + 3 x ) 3 + c
7 4
9 ⎣7 ⎥
⎦
=
1
63
[
(2 + 3 x ) 3 (2 + 3 x )2 − 7 (2 + 3 x ) + 28 + c
1
]

27. SUBSTITUSI FUNGSI ALJABAR
• jika integran memuat pangkat pecahan
dari bentuk a + bx n
misal (a + bx )n
1
m
disubsitusi : u = a + bx
m n

28. Contoh soal
(x 2
−a 2
) 3
2
∫ x
dx = ...
Misal : u = x −a2 2 2
2u du = 2 x dx
x = u2 + a2
u du u du
dx = =
x u2 + a2
(x 2
−a 2
) 3
2
(u )
2
3
2
u du u 4 du
∫ x
dx = ∫ u +a
2 2
u2 + a2
= ∫
u +a
2 2
= ...

29. ( )
u 4 = u 2u 2 = u 2 u 2 + a 2 − a 2 = u 2 u 2 + a 2 − u 2 a 2 ( )
( ) ( ) (
= u2 u 2 + a2 − a2 u 2 + a2 − a2 = u2 u2 + a2 − a2 u 2 + a2 + a4 ) ( )
Jadi :
(x 2
−a 2
)
3
2
( ) (
u2 u2 + a2 − a2 u2 + a2 + a4 )
∫ x
dx =∫ u +a
2 2
du
⎡ 2 a4 ⎤ 1 3 du
∫
= ⎢u − a + 2 du = u − a u + a ∫
2 2 4
2 ⎥
⎣ u +a ⎦ 3 u2 + a2

30. SUBSTITUSI DENGAN
TRIGONOMETRI

31. Jika integran memuat bentuk :
a
a −b x
2 2 2
→ substitusi : x = sin u
b
a
a +b x
2 2 2 → substitusi : x = tg u
b
a
b x −a
2 2 2
→ substitusi : x = sec u
b