1. 10 INTEGRAL
10.1 ANTI TURUNAN (INTEGRAL TAK TENTU)
• Integral adalah anti derivatif atau anti turunan.
• Rumus Umum dari Integral Tak Tentu
1
∫ x dx = n + 1 x
n +1
n
+C , n ≠ −1
Contoh 10.1
Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x2
Penyelesaian:
1 2+1 x3
∫ x dx =
2
x = +C
2 +1 3
Contoh 10.2
Cari anti turunan yang umum dari f(x) = 20x4
Penyelesaian:
20 4+1
∫ 20x4 dx = x = 5x5 + C
4 +1
Contoh 10.3
Cari anti turunan yang umum dari fungsi y = x 2
3
1
∫ x 2 dx = ( 3 2 + 1) x 2 + C
3 ( 3 +1)
1
= x( 2 + 2 ) + C
3 2
( 3 2 + 2 2)
1 5
= x 2 +C
5
2
2 5
= x 2 +C
5
Lukmanulhakim Almamalik II- 1

2. RUMUS UMUM INTEGRAL
1. ∫ k dx = kx + C
2. ∫ k f ( x) dx = k ∫ f (x) dx
3. ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
1
∫x dx = ∫ dx = ln | x | +C
−1
4.
x
∫e dx = e x + C
x
5.
Contoh 10.3
∫ ( 2x − 7 ) dx
5
Cari anti turunan yang umum dari fungsi
Penyelesaian
∫ (2x − 7 ) dx = ∫ 2 x 5 dx − ∫ 7 dx
5
= 2∫ x5 dx − ∫ 7 dx
⎛ 1 5+1 ⎞
= 2⎜ x ⎟ − 7x + C
⎝ 5 +1 ⎠
1 6
= x − 7x + C
3
Contoh 10.4
1 1 6
∫ x dx = 5 + 1 x
5+1
1. 5
= x +C
6
2. ∫ x .dx = ∫ x½.dx = x = 2 x + C
3/ 2 3
3
2 3
1 1 x −2 1
3. ∫ .dx = ∫ x-3. dx = x −3+1 = =- +C
x3 − 3 +1 −2 2x2
2 2m 3
4. ∫ 2m2.dm = m 2+1 = +C
2 +1 3
5 12 +1 10 λ3
5. ∫ 5 λ .dλ = 5λ 2 = λ =
1
+C
2 +1
1
3
6. ∫ 1 .dθ = ∫ θ-½.dθ = θ
1/ 2
= 2 θ +C
θ 1/ 2
⎛ 1 2x 2 ⎞
3
7. ∫ ⎝ 3x 3 ⎟ dx
⎜ 2−
⎠
Lukmanulhakim Almamalik II- 2

3. ⎛ 1 2x 2 ⎞
3 3
1 2x 2
∫ ⎝ 3x 3 ⎠
⎜ 2− ⎟ dx = ∫ 2 dx − ∫
3x 3
dx
1 2 3
= ∫ x −2 dx − ∫ x 2 dx
3 3
1⎛ 1 ⎞ 2⎛ 1 ⎞
= ⎜ x −2 +1 ⎟ − ⎜ x ( 2 +1) ⎟ + C
3
3 ⎝ −2 + 1 ⎠ 3 ⎜ ( 3 2 + 1)
⎝
⎟
⎠
2⎛ 2 5 ⎞
= ( − x −1 ) − ⎜ x 2 ⎟ + C
1
3 3⎝ 5 ⎠
5
1 4x 2
=− − +C
3 x 15
⎛3 ⎞
∫ ⎜ x + 2e + 5 ⎟ dx
8. x
⎝ ⎠
⎛3 ⎞ 1
∫ ⎜ x + 2e + 5 ⎟ dx = 3∫ dx + 2 ∫ e x dx + 5∫ dx
x
⎝ ⎠ x
= 3ln | x | + 2 e x + 5 x + C
du
9. ∫ = ln u + c
u
10.
Latihan
1. ∫ (3x2 + 7x).dx
1 5 2
2. ∫( x + 2 + x + 4x3)dx
x 3
ATURAN PANGKAT YANG DIPERUMUM
[ f ( x )] n+1
∫ ⎡ f '( x) ⋅ ( f ( x)) ⎤ dx = +C
n
⎣ ⎦ n +1
Contoh 10.5
∫ 6 x( x + 1) 2 dx
2
Cari
Penyelesaian:
Misalkan f(x) = x2+1 maka f′ (x) = 2x
[ f ( x )] n+1
∫ ⎡ f '( x) ⋅ ( f ( x)) ⎤ dx = +C
n
Jadi menurut aturan ⎣ ⎦ n +1
Lukmanulhakim Almamalik II- 3

4. [ x 2 + 1] 2+1
= +C
2 +1
= 1 / 3.( x 2 + 1)3 + C
Contoh 10.6
∫x x 3 + 1 dx
2
Carilah
Penyelesaian:
Jika kita ambil f ( x ) = x + 1 , sehingga kita misalkan u = x3 + 1 .
3
du du
Kita diferensiasikan u menjadi = 3x 2 → du = 3 x 2 dx → = dx
dx 3x 2
du
Sekarang kita substitusikan x3 + 1 dengan u dan dx dengan , sehingga kita dapatkan
3x 2
persamaan berikut.
du
∫x x3 + 1 dx = ∫ x 2 u
2
3x 2
Selanjutnya integralkan
1
=∫ u du
3
1
∫ ( u ) du
1
= 2
3
1⎛ 2 3 ⎞
= ⎜ u 2 ⎟+C
3⎝ 3 ⎠
2 3
= u 2 +C
9
Sekarang kita harus substitusikan kembali u dengan x 3 + 1 untuk menemukan jawaban akhir.
∫ ( x + 1) 2 + C
2 3 3
x 2 x 3 + 1 dx =
9
Lukmanulhakim Almamalik II- 4

5. 2 . ∫ x x 2 + 1 ⋅ dx ;
misalkan u = x 2 + 1
du = 2 x ⋅ dx
1
∫x x 2 + 1 ⋅ dx = ∫ 2 x ( x + 1) ⋅ dx
2 1/ 2
2
1
= ∫ u 1 / 2 du
2
1 2 3/2
= ⋅ u +C
2 3
1
= ( x 2 + 1) 3 / 2 + C
3
Latihan
∫ (x + 6 x )5 (6 x 2 + 12)dx
3
1.
∫ (x + 4)10 x.dx
2
2.
x2
3. ∫ ( + 3) 2 x 2 .dx
2
Persamaan Diferensial
Rumus Umum
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Hal ini benar asalkan F′(x) = f (x). Jika F′(x) = f (x) maka ini setara dengan dF(x) = f(x) dx.
Dengan demikian maka kita bisa tuliskan persamaan tersebut dalam bentuk
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Integral Sinus dan Kosinus
∫ cos x.dx = sin x + C
∫ sin x.dx = - cos x + C
∫ tan x.dx = - ln (cos x) + C
Lukmanulhakim Almamalik II- 5