Makalah aturan trapesium

i
INTEGRASI NUMERIK
(ATURAN TRAPESIUM)
Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc
Disusun oleh:
1. Anggi Denok Pratiwi (14144100052)
2. Latifah Hanum (14144100066)
3. Desita Amalia A (14144100072)
Kelas 7A2
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2017

ii
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI........................................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN....................................................................................... 1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah........................................................................................ 1
C. Tujuan .......................................................................................................... 2
BAB II KAJIAN PUSTAKA.................................................................................. 3
A. Metode Numerik .......................................................................................... 3
B. Angka Signifikansi (Bena)........................................................................... 4
C. Deret Taylor ................................................................................................. 8
D. Deret Mc Laurin......................................................................................... 12
E. Error (Galat)............................................................................................... 14
F. Integrasi Numerik....................................................................................... 18
G. Metode Pias ............................................................................................ 19
BAB III PEMBAHASAN..................................................................................... 20
A. Aturan Trapesium....................................................................................... 20
B. Galat Aturan Trapesium............................................................................. 21
C. Algoritma Aturan Trapesium..................................................................... 23
D. Contoh dan Penyelesaian dengan Aturan Trapesium................................. 24
BAB IV STUDI KASUS ...................................................................................... 27
BAB V KESIMPULAN........................................................................................ 28
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 29

1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Metode integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung luasan
daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan. Jika suatu
fungsi memiliki luasan yang baku seperti luasan persegi panjang dengan
panjang x lebar, mungkin itu dapat dengan mudah dilakukan. Tetapi
umumnya suatu persamaan fungsi umumnya: fungsi linier dan fungsi kuadrat
(polynomial). Contohnya yaitu mencari luasan pada fungsi dengan integrasi
numeric.
Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan
(derivative). Pengintegralan numeric merupakan alat atau cara yang
digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi)
dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Perhtungan
integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam
banyak keperluan. Digunakan untuk menghitung luas daerah dibatasi oleh
fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral seperti menghitung luas dan
volume benda putar.
Dalam penjelasan perhitungan integral numeric ini akan dijelaskan metode
yaitu aturan trapesium.
B. Rumusan Masalah
Pada makalah ini penyusun mencoba merumuskan permasalahan yang akan
dibahas sebagai berikut:
1. Apakah pengertian metode numerik secara umum?
2. Apakah pengertian metode integrasi numerik secara umum?
3. Bagaimana langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan aturan
trapesium?

2
C. Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah:
1. Memahami secara umum apa yang dimaksud dengan metode numeric serta
pembahasan yang ada di dalamnya.
2. Memahami secara umum apa yang dimaksud dengan metode integrasi
numeric serta pembahasan yang ada di dalamnya.
3. Memahami langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan aturan
trapesium.

3
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Metode Numerik
Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-
permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi
hitungan (arithmetic). Metode numerik merupakan suatu teknik untuk
menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan
computer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan
perhitungan yang luas.
Tahap-tahap memecahkan masalah persoalan secara numerik yang
dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numeric,
yaitu:
1. Pendefinisian masalah (apa yang diketahui dan apa yang dimimta)
2. Pemodelan. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan
matematika
3. Penyederhanaan model
4. Formulasi numerik. Segtelah model matematika yang sederhana diperoleh,
tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numeric
5. Pemrograman
6. Operasional
7. Evaluasi
Manfaat Metode Numerik
1. Mampu menangani sistem persamaan besar, ketaklinieran dan geometri
yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan
secara analitis.
2. Mengetahui secara singkat dab jelas teori matematika yang mendasari
paket program.
3. Mampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang dihadapi
pada masalah rekayasa

4
4. Metode numeric cocok untuk menggambarkan ketangguhan dari
keterbatasan computer dalam menangani masalah rekayasa yang tudak
dapat ditangani secara analitis
B. Angka Signifikansi (Bena)
Dalam kehidupan sehari-hari angka signifikan (bena) dapat dijumpai
pada bidang teknik, bisnis, sains, komunikasi, ekonomi dan lainnya. Dalam
bidang ekonomi biasanya saat membeli suatu barang ditoko kemudian
mendapatkan diskon untuk menghitung harga yang harus dibayar biasanya
penjual akan membulatkan harga setelah di diskon, atau kalian sering lihat
banyak barang yang dijual ditoko dengan harga Rp299.900 ketika hendak
membayarnya harganya akan dibulatkan menjadi Rp300.000. Dalam bidang
teknik informatika biasanya untuk coding sistem, atau membuat program,
pada bidang ini biasanya menggunakan mathlab untuk mempermudah
perhitungan. Dalam bidang sains biasanya terdapat pada matematika untuk
diperlajari oleh siswa atau mahasiswa, pada fisika biasanya untuk satuan ukur
saat percobaan atau penelitian dan pada kimia atau farmasi untuk
menimbang/meracik dosis obat.
Konsep angka bena (significant figure) atau angka signifikan berarti
telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai
numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang
dapat digunakan dengan pasti. Angka signifikan yang digunakan sebagai batas
minimal tingkat keyakinan, terletak pada akhir angka signifikan.
1. Aturan Angka Bena
a) Setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan adalah angka bena.
Contoh:
Bilangan 43,9987 adalah bilangan yang terdiri dari 6 angka bena
Bilangan 222,89379 adalah bilangan yang terdiri dari 8 angka bena
b) Setiap angka nol yang terletak di antara angka-angka bukan nol adalah
angka bena.

5
Contoh:
Bilangan 88000,60045 adalah bilangan yang terdiri dari 10 angka
bena.
Bilangan 507,6003 adalah bilangan yang terdiri dari 7 angka bena.
c) Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir
dan di belakang tanda desimal adalah angka bena.
Contoh:
d) Berdasarkan aturan 2 dan 3, maka:
Bilangan 300,00990 adalah bilangan dengan 7 angka bena.
Bilangan 0,000920 adalah bilangan dengan 3 angka bena
e) Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol terakhir dan
tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena
Contoh:
Bilangan 95300000 adalah bilangan dengan 3 angka bena.
Bilangan 600000 adalah bilangan dengan 1 angka bena.
f) Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan
merupakan angka bena
Contoh:
g) Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang
terakhir, dan terletak di depan tanda desimal merupakan angka bena.
Contoh:

6
h) Untuk menunjukkan jumlah angka bena, kita dapat memberi tanda
pada angka yang merupakan batas angka bena dengan garis bawah,
garis atas, atau cetak tebal.
Contoh:
87649 adalah bilangan yang mempunyai 5 angka signifikan
2317746 587 adalah bilangan yang mempunyai 7 angka signifikan
67548 adalah bilangan yang mempunyai 4 angka signifikan
Perhatikanlah bahwa angka 0 bisa menjadi angka bena atau bukan.
Misal pada bilangan 0,0001030600; 4 buah angka nol pertama bukan
angka bena, sedangkan 0 yang terakhir adalah angka bena. Pengukuran
dilakukan sampai ketelitian 7 digit.
2. Penulisan Angka Bena
Jumlah angka bena akan terlihat dengan pasti bila bilangan ditulis
dalam notaasi ilmiah (scientific notation).
Bentuk umum notasi ilmiah adalah x × 10n
, dengan x adalah
bilangan riil yang memenuhi 1 ≤ |x| < 10 dan n adalah bilangan bulat.
Berdasarkan aturan penulisan notasi ilmiah, maka bilangan 0,7 × 103
;
12 × 107
; dan bilangan –23,4 × 107
tidak termasuk notasi ilmiah karena
nilai a tidak memenuhi 1 ≤ |x| < 10.
Contoh:
Bilangan 151000000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi 1,51×108
Bilangan 0,0000234 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi 2,34×10-5
Bilangan – 0,098 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi –9.8×10-2
3. Aturan Pembulatan
Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan
membuang bukan angka bena dengan mengikuti aturan-aturan berikut:
a) Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka tidak
signifikan.

7
Contoh:
Empat angka bena dari bilangan 16,7321 adalah 16,73 (angka 21
bukan angka bena)
b) Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka
digit terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang
bukan angka bena.
Contoh:
Jika bilangan 52,1872 dibulatkan menjadi empat angka signifikan,
maka ditulis menjadi 52,19
c) Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka
buang bukan angka bena.
Contoh:
Jika bilangan 52,18729 dibulatkan menjadi lima angka signifikan,
d) Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5,
maka:
i. Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit
terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka
tidak signifikan.
Contoh:
Jika bilangan 67,4512 dibulatkan menjadi tiga angka bena,
ii. Jika digit terakhir dari angka bena merupakan bilangan genap
genap, maka buang bukan angka bena.
Contoh:
Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka bena,
4. Aturan-aturan Operasi Aritmatika Angka Bena
a) Penjumlahan dan Pengurangan
Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh
mempunyai angka dibelakang koma sebanyak angka di belakang

8
koma yang paling sedikit pada bilanganbilangan yang dilakukan
operasi penjumlahan atau penguranga.
Contoh:
1,557 + 0,04381 = 1,60081 (dibulatkan menjadi 1,601)
432,005 + 25,50 = 467,505 (dibulatkan menjadi 467,50)
314,5243 + 15,576 + 4,25 = 334,3503 (dibulatkan menjadi 334,35)
114,6 – 2,54 = 112,06 (dibulatkan menjadi 112,1)
3,1 – 1,135 = 1,965 (dibulatkan menjadi 2,0)
b) Perkalian dan Pembagian
Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai
angka bena sebanyak bilangan dengan angka bena paling sedikit.
Contoh:
1,2 × 2,11 = 2,532 (ditulis menjadi 2,5)
0,05 × 2,5 = 0,125 (ditulis menjadi 1,3×10-1
)
84,22 ÷ 2,1 = 40,1048 (ditulis menjadi 4,0 × 101
)
3,43 ÷ 7,0 = 0,49 (ditulis menjadi 4,9 × 10-1
)
c) Kombinasi Perkalian dan/atau pembagian dengan Penjumlahan
dan/atau Pengurangan
Jika terjadi kombinasi operasi aritmatika seperti:
Perkalian ± Perkalian
Perkalian ± Pembagian
Pembagian ± Perkalian
Pembagian ± Pembagian
Penjumlahan ± Penjumlahan
Penjumlahan ± Pengurangan
Pengurangan ± Penjumlahan
Pengurangan ± Pengurangan
C. Deret Taylor
1. Definisi Deret Taylor
Andaikan f dan semua turunannya, ', '', '''f f f ,…menerus di
dalam selang  ,a b . Misalkan  0 ,x a b , maka untuk nilai-nilai x di

9
sekitar 0x (Gambar B.1) dan  , , ( )x a b f x dapat diperluas (diekspansi)
ke dalam deret Taylor:
( )
0
0
(0)
( ) ( )
!
n
n
f
f x x x
n


 
2 3
' '0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) ....
1! 2! 3!
x x x x x x
f x f x f x f x f x
  
    
0
0
( )
( )
!
n
nx x
f x
n


Gambar B. 1
Contoh:
Hampiri fungsi ( ) sinf x x ke dalam deret Taylor di sekitar 0 1x  !
Penyelesaian:
( ) sin( ), '( ) cos( ), "( ) sin( )f x x f x x f x x   
(4)
'''( ) cos( ), ( ) sin( ),...f x x f x x  
2 3
( 1) ( 1) ( 1)
sin( ) sin(1) cos(1) ( sin(1)) ( cos(1))
1! 2! 3!
x x x
x
  
     
4
( 1)
sin(1) ....
4!
x 
 
Bila dimisalkan 1x h  , maka
2 3 4
sin( ) sin(1) cos(1) ( sin(1)) ( cos(1)) sin(1) ....
2 6 24
h h h
x h       
2 3 4
0,8415 0,5403 0,4208 0,0901 0,0351 ....h h h h     
2. Beberapa Deret Taylor Khusus
a. Deret Khusus 1
Diketahui suatu fungsi:
1
( )
1
f z
z


,

10
Setelah fungsi ( )f z diketahui, kita harus mencari turunannya, kemudian
diformulasikan pola dari semua turunan. Untuk fungsi ( )f z tersebut:
1 2
2
1
( ) (1 ) '( ) 1.(1 ) .( 1)
(1 )
f z z f z z
z
 
       

2 3
3
2
'( ) (1 ) "( ) 2.(1 ) .( 1)
(1 )
f z z f z z
z
 
       

3 4
4
6
''( ) 2.(1 ) '''( ) 3.2.(1 ) ,( 1)
1 )
f z z f z z
z
 
       

Dari penjabaran di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
( )
1
!
( )
(1 )
n
n
n
f z
z 


……………(i)
Maka
1
0
0
!
(1 )1
( ) .( )
1 !
n
n
n
n
z
f z z z
z n


 
 
   


…………………..(ii)
Oleh karena itu, apabila ingin ditentukan deret Taylor dari fumgsi
( )f z di atas pada titik 0z i , maka yang harus dilakukan adalah
melakukan substitusi 0z i ke dalam deret pangkat (persamaan ii),
sehingga:
1
0
1 ( )
1 (1 )
n
n
n
z i
z i





 

b. Deret Khusus 2
Diketahui ( ) z
f z e
( ) '( ) "( ) '''( )z z z z
f z e f z e f z e f z e      
Maka dapat disimpulkan
( )
( )n z
f z e
Sehingga deret Taylor:
0
0
0
.( )
!
z
z n
n
e
e z z
n


 

11
Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor
tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.
a. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
1( ) ( )i if x f x 
Artinya nilai f pada titik sama dengan nilai 1ix  pada ix . Perkiraan
tersebut benar jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak
konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret
Taylor
b. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)
0
1
( )
( ) ( ) '( ).
1!
i i i
x x
f x f x f x

 
c. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)
2
0 0
1
( ) ( )
( ) ( ) '( ). ''( ).
1! 2!
i i i i
x x x x
f x f x f x f x
 
  
Contoh:
Diketahui suatu fungsi 3 2
( ) 2 12 20 8,5f x x x x     .
Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga,
perkirakan fungsi tersebut pada titik 1 0,5ix   berdasar nilai fungsi pada
titik 0ix 
Solusi:
a. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
3 2
1( ) (0,5) (0) 2(0) 12(0) 20(0) 8,5 8,5if x f f        
b. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)
0
1
( )
( ) (0,5) ( ) '( )
1!
i i i
x x
f x f f x f x

  
0,5 0
(0) '(0)
1!
f f

 
2
8,5 ( 6(0) 24(0) 20)(0,5)    
8,5 10 
1,5 

12
D. Deret Mc Laurin
Deret Mc Laurin adalah deret Taylor dengan pusat 0 0x  , sehingga
( )
0
(0)
( ) ( )
!
n
n
n
f
f x x
n


 
Beberapa Deret Mc Laurin Khusus
1. Deret khusus 1
Diketahui suatu fungsi:
1
( )
1
f z
z


,
Setelah fungsi ( )f z diketahui, kita harus mencari turunannya, kemudian
diformulasikan pola dari semua turunan. Untuk fungsi ( )f z tersebut:
1 2
2
1
( ) (1 ) '( ) 1.(1 ) .( 1)
(1 )
f z z f z z
z
 
       

2 3
3
2
'( ) (1 ) "( ) 2.(1 ) .( 1)
(1 )
f z z f z z
z
 
       

3 4
4
6
''( ) 2.(1 ) '''( ) 3.2.(1 ) ,( 1)
1 )
f z z f z z
z
 
       

Dari penjabaran di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
( )
1
!
( )
(1 )
n
n
n
f z
z 


……………(i)
Maka
1
0
0
!
(1 )1
( ) .( )
1 !
n
n
n
n
z
f z z z
z n


 
 
   


0
1
0
( )
(1 )
n
n
n
z z
z






 ……………………..(ii)
Dengan melakukan substitusi 0 0z  pada deret pangkat (persamaan ii),
sehingga menjadi:
1
0 0
1 ( 0)
( )
1 (1 0)
n
n
n
n n
z
f z z
z
 

 

  
 
 

13
2. Deret khusus 2
Diketahui ( ) z
f z e
( ) '( ) "( ) '''( )z z z z
f z e f z e f z e f z e      
Maka dapat disimpulkan
( )
( )n z
f z e
Sehingga deret Mc Laurin
0 !
n
z
n
z
e
n


 
3. Deret khusus 3
Diketahui ( ) sin( ) (0) 0f z z f  
Maka: '( ) ( ) '(0) 1f z cos z f  
"( ) sin( ) "(0) 0f z z f   
"'( ) cos( ) "'(0) 1f z z f    
(4) (4)
( ) sin( ) (0) 0f z z f  
(5) (5)
( ) cos( ) (0) 1f z z f  
Bila disusun secara manual maka deret Mc Laurin untuk ( ) sin( )f z z
(4)
1 2 3 4'(0) ''(0) '''(0) (0)
sin( ) (0) .
1! 2! 3! 4!
f f f f
z f z z z z     
(5)
5(0)
....
5!
f
z 
2 3 4 51 0 1 0 1
sin( ) 0 . . . . . .....
1 2 3! 4! 5!
z z z z z z

      
3 5 2 1
0
sin( ) ..... ( 1) .
3! 5! (2 1)!
n
n
n
z z z
z z
n


     


Contoh:
Tentukan deret Mc Laurin
1
( )
1
f z
z


Jawab:
Deret Mc Laurin berarti pusatnya, 0 0z 
Sebelumnya kita sudah mempunyai deret khusus 1, yaitu

14
0
1
( )
1
n
n
f z z
z


 


Dari bentuk inilah kita menentukan deret Mc Laurin dari
1
1 z
 
0 0 0
1 1
( ) ( 1).( ) ( 1)
1 1 ( )
nn n n
n n n
z z z
z z
  
  
      
  
  
Tampak bahwa dilakukan substitusi z dalam deret khusus 1 menjadi (-z)
sehingga diperoleh deret Mc Laurin seperti di atas. Selanjutnya tentukan
deret Mc Laurin dari
1
( )
2 4
f z
z


Kita harus menuliskan bentuk di atas ke dalam bentuk deret khusus.
Misalnya kita memilih bentuk berikut ini:
0
1 1 1 1
( 1) (2 )
2 4 2 1 2 2
n n
n
z
z z


    
 

Jadi. 10
0 0
( 1) (2 )
( 1) .2 .
2
n n
n n nn
n n
z
z

 

 

 

 
E. Error (Galat)
Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang
menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat
solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin
teliti solusi numerik yang didapatkan. Untuk itu kita harus memahami dua
hal:
1. Bagaimana menghitung galat, dan
2. Bagaimana galat timbul. Galat dapat berasal dari :
a. Simplifikasi dan asumsi yang digunakan untuk merubah peristiwa
alam ke dalam formula matematik.
b. Kesalahan/Keteledoran atau kesalahan aritmatik dan programming.
c. Ketidakpastian dalam data
d. Kesalahan mesin
e. Kesalahan matematis dalam kesalahan pemotongan

15
Hampiran, pendekatan atau aproksimasi (approximation) didefinisikan
sebagai nilai yang mendekati solusi sejati (exact solution). Galat atau
kesalahan (error) sebenarnya ( ) didefinisikan sebagai selisih solusi sejati
(a) dengan solusi hampiran ( aˆ ). Misalkan aˆ adalah nilai hampiran terhadap
nilai sejati a, maka selisihnya:
aa ˆ ( Disebut galat )
Sebagai contoh, jika 5,10ˆ a adalah nilai hampran dari 45,10a ,
maka galatnya adalah 01,0 . Jika tanda galat (positif atau negatif) tidak
dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefinisikan sebagai :
aa ˆ
Sayangnya, ukuran galat e kurang bermakna sebab ia tidak
menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya.
Sebagai contoh, seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99 cm,
padahal panjang sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 100 - 99 = 1 cm. Anak
yang lain melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang
sebenarnya 10 cm, sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat pengukuran
sama-sama bernilai 1 cm, namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil
lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak
ada informasi mengenai panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap
kedua galat tersebut sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat ini,
maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini
melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.
Galat relatif didefinisikan sebagai:
a
R

 
Atau dalam presentase:
%100
a
R


Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif
tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran

16
panjang kawat mempunyai : galat relatif sejati 01,0
100
1
 , sedangkan
pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati 1,0
10
1

Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat e
seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya
dinamakan galat relatif hampiran:
a
RA
ˆ

 
Contoh:
Misalkan nilai sejati
3
10
dan nilai hampiranya 3,333. Hitunglah galat, galat
mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran.
Diketahui :
3
10
a
333,3ˆ a
Penyelesaian :
Galat = ...000333,0
3000
1
1000
3333
3
10
333,3
3
10

Galat mutlak = ...000333,00003333,0 
Galat relatif = 0001,0
1000
1
3
10
3000
1

Galat relatif hampiran =
9999
1
333,3
3000
1

Faktor-faktor yang menyebabkan kesalahan pada metode numerik
antara lain:
1. Galat Inheren (Inheren Error)
Galat inheren merupakan galat bawaan akibat penggunaan suatu
metode numerik. Akibat perhitungan numerik yang sebagian besar adalah
tidak eksak, dapat menyebabkan data yang diperoleh adalah data
aproksimasi. Selain itu, keterbatasan dari alat komputasi seperti tabel

17
matematika, kalkulator atau komputer digital juga membuat perhitungan
numerik tidak eksak. Karena keterbatasan tersebut, bilangan-bilangan
yang diperoleh adalah hasil pembulatan. Di dalam perhitungan, galat
inheren dapat diperkecil melalui penggunaan data yang besar,
pemeriksaan galat yang jelas dalam data, dan penggunaan alat komputasi
dengan ketelitan yang tinggi.
2. Galat Pemotongan (Truncation Error)
Galat ini disebabkan oleh adanya penghilangan sebarisan suku dari
suatu deret/ekspansi untuk tujuan peringkasan pekerjaan perhitungan.
Galat pemotongan adalah galat yang tak dapat dihindarkan
3. Galat Pembulatan (round-off error)
Kesalahan karena pembulatan (round-off error) terjadi karena tidak
kita memperhitungkan beberapa angka terakhir dari suatu bilangan;
artinya solusi hampiran digunakan untuk menggantikan solusi sejati
(eksak).
Contoh:
Tulis bilangan 8632574 dan 3,1415926 menjadi tiga angka bena.
Penyelesaian:
8632574 dapat dibulatkan menjadi 8630000
3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14
Dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik dan bisnis,
sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian eksak suatu masalah
aritmatika. Sehingga pendekatan dengan metode numerik sering digunakan
dalam perhitungan. Metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan
secara berulang-ulang dengan suatu pertimbangan agar memperoleh hasil
yang semakin mendekati nilai penyelesaian. Dengan menggunakan metode
pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan
mempunyai galat (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya,
karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan
nilai kesalahan yang besar, tentunya hal seperti ini tidak diharapkan dalam
perhitungan di bidang apapun. Sehingga dengan dengan mengetahui galat

18
suatu perhitungan kita dapat mengetahui kesalahan dan faktor apa yang
mempegaruhi perhitungan.
F. Integrasi Numerik
Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi
oleh ( )f x dan sumbu x pada selang tertutup  ,a b . Jika ( )f x dihampiri
dengan polinomial ( )np x , maka integrasi numeric dalam berbentuk,
( )
b
a
l f x dx  ( )
b
n
a
p x dx 
Proses pencarian nilai hampiran l dilakukan jika:
a) Fungsi ( )f x , disebut integran mempunyai bentuk yang sulit untuk
dilakukan proses integrasi.
b) Nilai x dan ( )f x hanya dalam bentuk
c) tabel diskrit
Proses menentukan Proses menentukan nilai hampiran integrasi
numeric dilakukan dengan beberapa cara atau metode, yaitu metode
manual, pencocokan polinomial, aturan trapesium, aturan titik tengah,
aturan Simpson, integrasi Romberg, serta Kuadratur Gauss.
Gambar 2
Hampiran luas bidang yang
dibatasi ( )np x
Gambar 1
Luas bidang yang dibatasi ( )f x

19
G. Metode Pias
Pada umumnya, metode perhitungan integral secara numerik bekerja
dengan sejumlah titik diskrit. Karena data yang ditabulasikan sudah berbentuk
demikian, maka secara alami ia sesuai dengan kebanyakan metode integrasi
numerik. Untuk fungsi menerus, titik-titik diskrit itu diperoleh dengan
menggunakan persamaan fungsi yang diberikan untuk menghasilkan tabel
nilai.
Dihubungkan dengan tafsiran geometri inttegral Tentu, titik-titik pada
tabel sama dengan membagi selang integrasi  ,a b menjadi n buah pias (strip)
atau segmen (Gambar 3). Lebar tiap pias adalah
b a
h
n


Titik absis pias dinyatakan sebagai
, 0,1,2,...,rx a rh r n  
dan nilai fungsi pada titik absis pias adalah
( )r rf f x
Luas daerah integrasi  ,a b dihampiri sebagai luas n buah pias. Metode
integrasi numerik yang berbasis pias ini disebut metode pias. Ada juga buku
yang menyebutnya metode kuadratur, karena pias berbentuk segiempat.
Gambar 3

20
BAB III
PEMBAHASAN
A. Aturan Trapesium
Aturan trapesium merupakan aturan integrasi numerik yang didasarkan
pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium.
Perhatikan sebuah pias berbentuk trapesium dari 0x x sampai
1x x berikut.
Gambar 1
Luas satu trapesium adalah
1
0
0 1( ) [ ( ) ( )
2
x
x
h
f x dx f x f x 
Persamaan di atas dikenal dengan nama aturan trapesium.
Pada aturan ini, fungsi ( )f x pada  ,a b dibagi dalam beberapa
selang n buah pias. Perhatikan gambar berikut:
Gambar 2

21
Kita tahu bahwa integral dari suatu fungsi adalah luas daerah pada fungsi
tersebut yang dibatasi oleh selang pengintegralan. Gambar di atas
menunjukkan bahwa fungsi ( )f x di hampiri dengan beberapa luasan
trapesium, maka diperoleh aturan trapesium gabungan sebagai berikut:
       
1 2
0 1 1
...
n
n
xx xb
a x x x
f x dx f x dx f x f x dx

      
           0 1 1 2 1...
2 2 2
n n
h h h
f x f x f x f x f x f x                
         0 1 2 12 2 ... 2
2
n n
h
f x f x f x f x f x       
1
0
1
2
2
n
i n
i
h
f f f


 
   
 

Dengan  , 0,1,2,...,r rf f x r n 
B. Galat Aturan Trapesium
Gambar 3
Galat untuk satu buah pias (Gambar 3) adalah
   0 1
0
2
h
h
E f x dx f f  
Uraikan f(x) ke dalam deret Taylor di sekitar 0 0x 
  ' 2 '' 3 '''
0 0 0 0
1 1
...
2 6
f x f xf x f x f    
Uraikan    1 1f f x f h  ke dalam deret Taylor di sekitar 0 0x 

22
    ' 2 ''
1 1 0 0 0
1
...
2
f f x f h f hf h f     
Maka,
' 2 '' 3 ''' ' 2 ''
0 0 0 0 0 0 0 0
0
1 1 1
... ...
2 6 2 2 2
h
h h
E f xf x f x f dx f f hf h f
   
            
   

2 ' 3 '' 2 ' 3 ''
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
... ...
02 6 2 2 2 4
h
xf x f x f hf hf h f h f

        

2 ' 3 '' 2 ' 3 '''
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1
... ...
2 6 2 4
hf h f h f hf h f h f
   
          
   
3 ''
0
1
...
12
h f  
 3 ''1
, 0
12
h f t t h   
 3
O h
Jadi,
     3
0 1
0
2
h
h
f x dx f f O h  
Persamaan      3
0 1
0
2
h
h
f x dx f f O h   ini menyatakan bahwa galat kaidah
trapesium sebanding dengan 3
h . Pernyataan ini dibuat dengan andaian bahwa
f(x) menerus dalam selang [0, h]. Jika tidak, maka galat tidak sebanding
dengan 3
h
Untuk n buah pias, galat keseluruhan (total) adalah
 
3
'' '' '' ''
0 1 2 1...
12
tot n
h
E f f f f      
yang dapat disederhanakan dengan teorema nilai antara untuk penjumlahan
menjadi
3 1
''
112
n
tot i
i
h
E f


  

23
 
3
''
,
12
h
n f t a t b   
Mengingat
b a
h
n


Maka
 
3
''
12
tot
h
E n f t 
 
2
''
12
b a h
n f t
n

 
   
2
''
12
h
b a f t  
 2
O h
Dengan demikian,
   
1
2
0
1
2
2
b n
i n
ia
h
f x f f f O h


 
    
 

Jadi, galat total integrasi dengan kaidah trapesium sebanding dengan
kuadrat lebar pias (h). Semakin kecil ukuran ukuran h, semakin kecil pula
galatnya, namun semakin banyak jumlah komputasinya.
C. Algoritma Aturan Trapesium
1. Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan
( )y f x
2. Menentukan batas bawah ( a ) dan batas atas (b ) integrasi
3. Menentukan jumlah segmen atau pias n
4. Menghitung lebar segmen yaitu
b a
h
n


5. Buatlah tabel aturan trapesium
6. Menentukan nilai integrasi menggunakan aturan trapesium
1
0
1
( ) 2 ( ) ( )
2
n
i n
i
h
L f x f x f x


 
   
 

7. Menentukan nilai integrasi sejatinya

24
8. Menentukan galat aturan trapesium
    btatfab
h
E  ,
12
''
2
9. Menentukan nilai sejati (terletak diantara batas galat minimum dan
maksimum)
Nilai integrasi menggunakan aturan trapesium – batas galat maksimum,
dan Nilai integrasi menggunakan aturan trapesium – batas galat minimum
10. Menentukan galat hasil integrasi  
b
a
dxxf
D. Contoh dan Penyelesaian dengan Aturan Trapesium
Hitung integral
3,4
1,8
x
e dx dengan kaidah trapesium. Ambil 0,2h  . Perkiraaan
juga batas-batas galatnya.
Penyelesaian:
1. Fungsi integralnya adalah ( ) x
f x e
2. Batas bawah (a) = 1.8
Batas atas (b) = 3.4
3. Jumlah pias adalah
3,4 1,8
8
0,2
b a
n
h
 
  
4. 0,2h 

25
5. Tabel Aturan Trapesium
r rx  rxf
0 1.8 6.050
1 2.0 7.389
2 2.2 9.025
3 2.4 11.023
4 2.6 13.464
5 2.8 16.445
6 3.0 20.086
7 3.2 24.533
8 3.4 29.964
6. Nilai integrasi menggunakan aturan trapesium
 
3,4
0 1 2 6 7 8
1,8
2 2 .... 2 2
2
x h
e dx f f f f f f      
 6,050 2 7,389 2(9,025) 2(11,023) 2(13,464)0,2
2 2(16,445) 2(20,086) 2(24,533) 29,964
    
  
    
 0,1 6,050 203,93 29,964  
23,994
7. Nilai integrasi sejatinya adalah
914.23050.6964.29
8.1
4.3 8.14.3
4.3
8.1
 eeedxe xx
8. Galat aturan trapesium
    btatfab
h
E  ,
12
''
2
Karena   x
exf  ,   x
exf '
, dan   x
exf ''
, maka
    4.38.1,8.14.3
12
2.0
2
 teE x

26
Karena fungsi   x
exf  menaik secara monoton di dalam selang
 4.3,8.1 , maka kita dapat menentukan batas-batas galatnya:
   
   
   





max1598.0max
min0323.0min
.8.14.3
12
2.0
4.3
8.12
e
e
E
Atau
1598.00323.0  E
9. Nilai sejati I harus terletak di antara
23.994 – 0.1598 = 23.834 dan
23.994 – 0.0323 = 23.962
(Nilai integrasi sejatinya adalah 23.914, yang memang terletak di antara
23.834 dan 23.962)
10. Galat hasil integrasi
3.4
1.8
23.914 23.994 0.080x
e dx    
Yang memang terletak di antara galat minimum dan galat maksimum.

27
BAB IV
STUDI KASUS
Aplikasi yang dibuat adalah aplikasi untuk menghitung medan magnet
yang dihasilkan dari arus listrik pada lintasan-lintasan tertentu. Lintasan yang
digunakan adalah lintasan pada kawat lurus dan panjang, kawat lurus dan panjgan
setengah dari total panjang, dan kawat yang melingkar. Aplikasi akan dibuat
menggunakan bahasa pemrograman C#. Aplikasi C# akan mengimplementasikan
fungsi-fungsi atau metode-metode pada integrasi numerik. Fungsi-fungsi yang
diimplementasikan adalah salah satunya aturan trapezium
Hasil perhitungan numerik dari aplikasi C# dan hasil perhitungan analitik
akan dibandingkan untuk mengetahui kesamaan dan perbedaan, jika memang
ditemukan dalam makalah ini.
Kasus khusus yang ditangani oleh aplikasi C# adalah integral dengan batas
tak hingga (∞) pada medan magnet karena arus listirk pada kawat panjang. Pada
aplikasi, batas tak hingga akan digantikan dengan bilangan 1.000.000.
Pada persoalan kali ini, medan magnet akan dihitung dari sebuah arus
listrik sebesar 10 A yang mengalir pada kawat lurus dan panjang, dengan jarak
antara kawat dan titik medan magnet adalah R sebesar 10 cm. Panjang kawat
diasumsikan tak hingga (∞). Dari persoalan diketahui bahwa arus,i = 10 A, dan R
= 10 cm = 0,1 m. Besar medan magnet B akan dihitung secara numerik dengan
menggunakan “persamaan 6” dan dihitung secara analitik dengan menggunakan
“persamaan 7”.
Perhitungan secara numerik menggunakan jumlah pias n = 999.960 untuk
aturan trapesium, hasilnya 4
1,00241 10
 (B(T)). 999.960 merupakan bilangan
kelipatan 2, 3, dan 4 yang terdekat dengan 1.000.000.
Perhitungan secara numerik tidak sama sekali mendekati perhitungan
secara analitik. Hal ini dapat disebabkan karena jarak antara titik data, yaitu h,
masih lebih besar atau sama dengan 1. Untuk n = 999.960, nilai h adalah
(1.000.000 - 0)/999.960 = 1,00004 ≈ 1.

28
BAB V
KESIMPULAN
Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-
permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara operasi
hitungan (arithmetic). Metode numerik merupakan suatu teknik untuk
menyelesaikan masalah matematika yang efektif dan efisien. Dengan bantuan
computer ia sanggup menangani masalah yang rumit dan melibatkan perhitungan
yang luas.
Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi
oleh ( )f x dan sumbu x pada selang tertutup  ,a b . Jika ( )f x dihampiri dengan
polinomial ( )np x , maka integrasi numeric dalam berbentuk,
( )
b
a
l f x dx  ( )
b
n
a
p x dx 
Proses menentukan Proses menentukan nilai hampiran integrasi numeric
dilakukan dengan beberapa cara atau metode, yaitu metode manual, pencocokan
polinomial, aturan trapesium, aturan titik tengah, aturan Simpson, integrasi
Romberg, serta Kuadratur Gauss.
Aturan trapesium merupakan aturan integrasi numerik yang didasarkan pada
penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium. Aturan trapesium gabungan
1
0
1
( ) 2 ( ) ( )
2
n
i n
i
h
I f x f x f x


 
   
 


29
DAFTAR PUSTAKA
Halliday, David, Robert Resnick dan Jearl Walker. 2008. Fundamentals of
Physics (Extended) 8th Edition. Asia: John Wiley & Sons.
https://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Buku/Metode%20Numerik/BAb
%2006%20Integrasi%20Numerik.pdf (diakses 09 Desember 2017)
https://ishaq.staff.gunadarma.ac.id/Download/files/43838/Integrasi%2BNumerik.
pdf (diakses 09 Desember 2017)
https://www.scribd.com/document/365592254/contoh-kasus-integrasi-numerik-
docx#close_user_settings_menu (diakses 18 Desember 2017)
Munir, Rinaldi. 1997. Metode Numerik untuk Teknik Informatika. Bandung:
Institut Teknologi Bandung.

Makalah aturan trapesium

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Makalah aturan trapesium

Similar to Makalah aturan trapesium (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Makalah aturan trapesium