Rumus cepat-matematika-vektor

http://meetabied.wordpress.com
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel

Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam
kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut
bahwa mereka akan melakukan kesalahan (Elbert
Hubbad)

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
Vektor
================================================================================
Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa
menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu …
Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com

A. Definisi Vektor a a
maka : b
Vektor, adalah suatu besaran yang
mempunyai besar dan arah. Vektor a +b
b
dinotasikan sebagai ruas garis hasil penjumlahan vektor a dan b
®
(cara segitiga)
berarah. Misal : AB artinya
®
a +b
vektor AB, u ,u ,u adalah notasi
untuk vektor u, a artinya vektor a hasil penjumlahan vektor a dan b
dan lain-lain. Dengan demikian (cara jajar genjang)
penulisan vektor dengan huruf
kecil garis di atas atau garis di a -b b
bawah tidak menjadi soal. maka : a
-b
b
B. Menyajikan Vektor hasil pengurangan vektor a dan b
(i) Vektor di R2 a
Jika a adalah sebuah vektor 2a ( dua kali vektor a)
a
dan a = ( a1 , a2 ) berupa baris,
æa ö
sedang a = ç 1 ÷ berupa vektor (ii) Penjumlahan , Pengurangan
è a2 ø Dan Perkalian.
kolom. atau dalam vektor basis (versi Aljabar)
a = a1 i + a2 j
(ii) Vektor di R3 1 Penjumlahan dan
Jika a adalah sebuah vektor Pengurangan .
dan a = ( a1 , a2 , a3 ) berupa æa ö
Jika a = ç 1 ÷ dan
æ a1 ö è a2 ø
ç ÷ æb ö
baris, sedang a = ç a2 ÷ berupa b = ç 1 ÷ maka :
ça ÷ è b2 ø
è 3ø
vektor kolom. atau dalam
vektor basis æ a + b1 ö
a+b=ç 1 ÷
a = a1 i + a2 j + a3 k è a 2 + b2 ø
C. Operasi Vektor
æ a - b1 ö
a-b =ç 1 ÷
(i) Penjumlahan , Pengurangan è a 2 - b2 ø
Dan Perkalian.
(versi Geometri)

http://meetabied.wordpress.com 2

æ a1 ö æ b1 ö
ç ÷ ç ÷
Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ maka : D. Vektor Khusus
ça ÷ çb ÷
è 3ø è 3ø 1 Vektor Nol (0)
Adalah suatu vektor dimana titik
æ a 1 + b1 ö awal dan titik ujungnya berimpit.
a + b = ç a 2 + b2 ÷ Elemen-elemen vektor semuanya
ç ÷
è a 3 + b3 ø nol.
æ0 ö
ç ÷
æ a 1 - b1 ö o = ç0 ÷
ç0 ÷
a - b = ç a 2 - b2 ÷ è ø
ç ÷
è a 3 - b3 ø 1 Vektor Satuan
Adalah vektor yang panjangnya satu
satuan vektor.

1 Perkalian Skalar dengan vektor vektor satuan dari vektor a adalah :
æ a1 ö
ç ÷
Jika a = ç a2 ÷ dan k skalar, maka : e=
a
ça ÷ |a|
è 3ø
æ a1 ö æ ka1 ö 1 Vektor Posisi
ç ÷ ç ÷
ka = k ç a2 ÷ = ç ka2 ÷ Adalah vektor yang titik pangkalnya
ç a ÷ ç ka ÷
è 3ø è 3ø adalah O.
Penting untuk diingat, bahwa setiap
vektor dapat diganti dengan vektor
Berlaku pula untuk vektor di R2 posisi, dengan menggunakan prinsip
kesamaan dua vektor.
1 Perkalian Skalar dua vektor Jika A(a1,a2) suatu titik, maka titik A
æ a1 ö æ b1 ö tersebut juga bisa dituliskan sebagai
ç ÷ ç ÷
Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ , maka : ®
ça ÷ çb ÷ vektor posisi, sebagai OA = a
è 3ø è 3ø
Jika A = ( a1 , a2 , a3 ) dan
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
B = ( b1 ,b2 ,b3 ) maka vektor
posisi dari titik A dan B adalah :

® ® æ b1 - a 1 ö
®
ç ÷
AB = OB - OA = ç b 2 - a 2 ÷
çb - a ÷
è 3 3 ø


1 Panjang Vektor
c) a –b
æa ö d) c –b
Jika a = ç 1 ÷ maka panjang dari e) a +b +c
è a2 ø f) 2a +3c
vektor a adalah : g) -3a +2b

| a |= a1 + a 2
2 2 æ 1ö æ5ö
2. Diketahui a = ç 2 ÷ dan b = ç 4 ÷
ç4÷ ç0 ÷
è ø è ø
Tentukan :
æ a1 ö a) a +b
Jika a = ç a2 ÷ maka panjang dari vektor b) 2a +3b
ç ÷
è a3 ø
3. Pada gambar di bawah, M adalah
a adalah :
titik tengah PQ. Nyatakan vektor-
vektor berikut ini dengan a ,b ,dan
| a |= a1 + a2 + a3
2 2 2
b R
S
a c

Jika a dan b dua buah vektor maka : P
M
.
Q
® ®
| a + b |2 = 2 | a |2 +2 | b |2 - | a - b |2 a) PR d) SM
® ®
b) QP e) RM
® ®
c) PM f) QS

4) Diketahui balok ABCD.EFGH
diperlihatkan pada gambar di
Gunakan Teori di atas untuk
bawah, dengan AB = 8 cm, AD = 6
menyelesaikan soal-soal berikut ini :
cm, dan AE = 4 cm. Ruas-ruas garis
® ® ®
1. Diberikan vektor-vektor sebagai berarah AB , AD , dan AE berturut
berikut : turut mewakili vektor p , q dan r
b c
a H G
F
E
Gambarkan : D
a) a +b r q C
b) a +c
A p B


Tentukan :
a) Panjang vektor-vektor p , Tentukan :
a) a . b
q dan r b) a . c
b) | p + q | c) b . c
d) (3a)( 2b)
c) | p+r | e) (-2a).(3c)
d) | q + r |
10. Carilah nilai a, b dan c jika :
e) | p+q+r |
æ 0 ö æ 2 ö æ - 1ö æ 1ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
aç 2 ÷ + bç 1 ÷ + cç 0 ÷ = ç 1÷
5. Diketahui vektor-vektor : ç 1 ÷ ç 0 ÷ ç 1 ÷ ç 1÷
a = 2i + 3 j - 4 k dan è ø è ø è ø è ø

b = i - 5 j - 2k . Tentukan 11. Diketahui titik A(5, 4, 6) dan B(-2,
a) a +b 5,1). Tentukan jarak antara titik A
b) a –b dan B !
c) 2a +5b
d) |a +b| 12. Diketahui segitiga ABC dengan A(3,
e) |3a -2b| -1, 5), B(4, 2, -5) dan C(-4,0,3). Jika
D merupakan titik tengah sisi BC,
6. Diketahui vektor-vektor : hitunglah panjang garis AD.
a = 2i + 3 j - 4 k dan
13. Diketahui | a | = 4 cm , | b | = 5 dan
b = i - 5 j - 2k .
| a –b| = Ö19 . Tentukan | a +b|
c = 3i - j + 2k Tentukan panjang
vektor d = 2a +b –c 14. Diketahui | a | = Ö7 cm , | b | = 3
dan
7. Diketahui titik A(0, 6) dan B(-2, 4) | a +b| = Ö23 . Tentukan | a -b|
Tentukan panjang ruas garis
(jarak) AB ! 15. Diketahui a = 3i - 2 j ,
b = -i + 4 j dan r = 7 i - 8 j . Jika
8. Tentukan x dan y dari :
r = k a + mb , tentukan nilai k +m !
æ xö æ 3ö æ 8 ö
2ç ÷ + 4ç ÷ = -3ç ÷
è4ø è yø è - 1ø

9. Diketahui vektor-vektor :
a = 2i + 3 j - 4 k dan
b = i - 5 j - 2k .
c = 3i - j + 2k


B
A. Perbandingan Bagian
n
b
(1) Titik P membagi Ruas garis
AB p m
a) Jika P di dalam garis AB O a
® ®
A
AP dan PB memunyai Rumus :
arah yang sama dan n dan m
mempunyai tanda yang sama. mb + na
p=
n m+n
m

A P B
Rumus : (3) Tiga titik Segaris (kolinier)

AP : PB = m : n Jika terdapat titik A, B dan C
AP : AB = m :(m +n) maka ketiga titik tersebut akan segaris,
jika :

a) Jika P di luar garis AB ® ®
® ® AB = k AC
AP dan PB memunyai
arah yang berlawanan dan n dan
Dengan k konstan (riel)
m mempunyai tanda yang
berlawanan.
m
(4) Dua vektor segaris (kolinier)

Jika a adalah vektor posisi titik
A B P A dan b vektor posisi titik B, maka a dan
b akan segaris jika memenuhi :
n
Rumus : a = kb

AP : PB = m :- n
AP : AB = m :(m -n) Dengan k konstan.

(2) Pembagian dalam vektor
Jika p menyatakan vektor
posisi titik P yang membagi AB
dengan perbandingan m : n


B. Sudut antara dua vektor
C. Proyeksi Orthogonal vektor

b a

q b
c
a Vektor proyeksi dari vektor a pada
Maka berlaku :
vektor b adalah :
1. a .b =| a | . | b | cos q a.b
c= .b
a.b | b |2
2. cos q =
| a | .| b |
Panjang proyeksi dari vektor a pada
3. a( a + b ) =| a |2 + | a | . | b | cos q vektor b adalah :
4. a( a - b ) =| a |2 - | a | . | b | cos q
a.b
5. | a + b |2 =| a |2 + | b |2 +2 | a || b | cosq | c |=
|b|
6. | a - b |2 =| a |2 + | b |2 -2 | a || b | cosq

Perhatikan gambar diatas, jika:
(i) a dan b membentuk sudut
Gunakan Teori di atas untuk
900, artinya vektor a dan b
menyelesaikan soal-soal berikut ini :
tegak lurus , maka :

a .b = 0 1. Vektor posisi titik A dan B masing-
masing dinyatakan dengan a dan b
Nyatakan vektor posisi titik P
(ii) a dan b membentuk sudut
dengan a dan b Jika :
1800, artinya vektor a dan
a) titik P membagi AB di dalam
b berlawanan , maka :
dengan perbandingan 3 : 2
a .b = -|a|.|b| b) titik P membagi AB di luar
(iii) a dan b membentuk sudut
2. Diketahui titik A(2, 3, 4) dan B(9,-
00, artinya vektor a dan b
11,18). Tentukan koordinat titik P,
sejajar atau berimpit ,
jika titik P membagi AB di dalam
maka :
a .b = |a|.|b|


3. Diketahui titik A(2, 1, -1) dan 8. Diketahui segitiga ABC dengan
B(7,3,8). Tentukan koordinat titik A(2,-3,2), B(-1,0,2) dan C(0,1,4).
P, jika titik P membagi AB diluar Dengan menggunakan rumus sudut
dengan perbandingan 3 : 2 antara dua vektor, tentukan besar
setiap sudut dalam segitiga itu.
4. R adalah titik pada garis PQ.
Tentukan koordinat R jika : æ 2ö
a) P(1,0,2), Q(5,4,10) dan 9. Diketahui vektor a = ç ÷ dan
è 1ø
PR : RQ = 3 : -2
æ 3ö
b) P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan b = ç ÷ . Tentukan :
PR : RQ = 4 : -2 è4ø
a) Proyeksi vektor a pada b
æ 2 ö b) Proyeksi vektor b pada a
ç ÷
5. Diketahui vektor a = ç 1 ÷ dan c) Panjang Proyeksi vektor a pada
ç - 3÷ d) Panjang Proyeksi vektor b pada
è ø
æ - 1ö æ 2 ö
ç ÷
b = ç 3 ÷ . Tentukan besar sudut 10. Diketahui vektor a = ç - 6 ÷ dan
ç - 2÷ ç- 3÷
è ø è ø
yang dibentuk oleh kedua vektor æ 2 ö
tersebut. b = ç 1 ÷ . Tentukan :
ç - 2÷
è ø
æ 3 ö a) Proyeksi vektor a pada b
ç ÷ b) Proyeksi vektor b pada a
6. Diketahui vektor a = ç 3 ÷ dan
ç - 3÷ c) Panjang Proyeksi vektor a pada
è ø d) Panjang Proyeksi vektor b pada
æ 2ö
ç ÷
b = ç 1 ÷ . Tentukan sinus sudut 11. Diketahui segitiga ABC dengan
ç 3÷ A(1,-1,2), B(5,-6,2), dan C(1,3,-1)
è ø
Tentukan :
yang dibentuk oleh kedua vektor ®
tersebut. a) Panjang proyeksi vektor AB pada
®
æ 1 ö vaektor AC
ç ÷ ®
7. Diketahui vektor a = ç - 2 ÷ dan b) Panjang proyeksi vektor CA pada
ç 2 ÷
è ø ®
vaektor CB
æ- 4ö
ç ÷
b = ç - 2 ÷ . Tentukan kosinus sudut 12. Diketahui A(2,3,-1), B(5,4,0) dan
ç 4 ÷
è ø C(x,6,2). Tentukan x agar A, B dan
yang dibentuk oleh kedua vektor C segaris.
tersebut.


13. Diketahui vektor u = (4 ,x , 1) dan 3. PREDIKSI UAN 2006
vektor v = (2,x-1,y) . Tentukan nilai Diketahui Z adalah titik berat
x dan y agar kedua vektor segaris. segitiga ABC dimana A(2 ,3 ,-2), B(
4, 1, 2) dan C(8 ,5 ,-3), maka
14. Diketahui u = 2i - 3 j + 4 k dan panjang vektor posisi Z adalah...
A. Å7
v = -i + j + 2k . Tentukan tangens B. Å15
sudut yang dibentuk oleh kedua C. Å11
vektor tersebut. D. Å14
E. Å17
15. Diketahui |u| = 3 dan |v| = 5. Jika
sudut yang dibentuk oleh vektor u 4. PREDIKSI UAN 2006
p Diketahui A(2 ,-1, 4), dan B(3 ,-
dan v sebesar . Tentukan nilai :
3 ,0). Titik P terletak pada
a) u(u +v) perpanjangan AB sehingga :
b) u(u -v) AP = -2PB. Jika p vektor posisi titik
P, maka p
A. (1 ,3 ,5)
B. (3 ,5, 4)
C. (8 ,-5 ,4)
Pilihlah salah satu jawaban yang D. (4 ,-3 ,-4)
paling tepat. E. (8 ,5, -4)

1. PREDIKSI UAN 2006 5. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui a = 3i +2j +k ; b = 2i +j Jika P(1 ½ , 2 ½ ,1), Q(1, 0, 0) dan
dan c = 3a -4b , maka | c | = ..... R(2 ,5, a) terletak pada satu garis
A. Å7 lurus, maka a adalah....
B. Å5 A. 0
C. Å14 B. ½
D. Å10 C. 1
E. Å15 D. 2
E. 2 ½
2. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui a = 3i -2j ; b = -i +4j 6. PREDIKSI UAN 2006
dan r = 7i -8j, jika r = ka +mb, Diketahui | a | = 3, | b | = 5 dan |
maka k +m =.... + b | = 6, maka |a – b| = ....
A. 3 A. 3Å2
B. 2 B. 4Å2
C. 1 C. 2Å3
D. -1 D. 3Å2
E. -2 E. 4Å2


æ 3 ö æ 1ö 11. PREDIKSI UAN 2006
Jika a = ç ÷ , b = ç ÷ dan
è - 2ø è0 ø
Besar sudut antara vektor a = 2i
+3k dan
æ- 5ö
c = ç ÷ . Maka panjang vektor d b = i +3j -2k adalah...
è 4 ø
= a + b –c adalah.... 1
A. Å5 A. o
6
B. 2Å13 1 1
C. 17 B. o D. o
4 2
D. 3Å13
E. 2Å41 1 2
C. o E. o
3 3
Panjang vektor a , b dan (a +b) 12. PREDIKSI UAN 2006
berturut –turut adalah 12 , 8 dan Diketahui titik P(-3 ,-1 ,-5), Q(-1 ,2
4Å7. Besar sudut antara a dan b ,0) dan R(1 ,2 ,-2). Jika PQ = a dan
adalah....
A. 45o QR = b , maka a . b =..
B. 60o A. -6
C. 90o B. -8
D. 120o C. -10
E. 150o D. -12
E. -14
Jika a = (1 ,2 ,3) dan b = (3 ,2 ,1), 13. PREDIKSI UAN 2006
maka Vektor-vektor p = 2i +aj +k dan
(2a).(3b) = .... q = 4i -2j -2k saling tegak lurus
A. 30 untuk a sama dengan...
B. 40 A. 3
C. 50 B. 4
D. 60 C. 4,5
E. 70 D. 5
10. PREDIKSI UAN 2006 E. 6
Jika vektor a dan b membentuk 14. PREDIKSI UAN 2006
sudut 60o, | a | = 4 , | b | = 3, maka Vektor z = adalah proyeksi vektor
a (a – b) = .... = (-Å3, 3 ,1) pada vektor y = (Å3 ,
A. 2 2 , 3). Panjang vektor z adalah...
B. 4 A. 1/2
C. 6 B. 1
D. 8 C. 3/2
E. 10 D. 2
E. 5/2


15. PREDIKSI UAN 2006 Bila ketiga titik (-5 ,4 ,4), (4 ,-2,1)
æ 3 ö æ2ö dan (x ,2 ,y) segaris, maka nilai (x
ç ÷ ç ÷ +y ) = ...
Diketahui a = ç - 2 ÷ dan b = ç y ÷ .
ç 1 ÷ ç2÷ A. -3
è ø è ø B. -2
Bila panjang proyeksi a pada b C. 1
1 D. 2
sama dengan panjang vektor b,
2 E. 3
maka nilai y adalah...
A. 2 -2Å3 atau 2 +2Å3
B. 1 -Å3 atau -1 +Å3 19. PREDIKSI UAN 2006
C. -2 -2Å3 atau -2 +2Å3 Diketahui P = (a ,0 ,3) , Q = (0 ,6
D. -4(1 -Å3) atau 4(1 -Å3) ,5) dan R = (2 ,7 ,c) . Agar vektor
E. 4Å3 atau -4 PQ tegak lurus pada QR , haruslah
nilai a –c = ....
16. PREDIKSI UAN 2006 A. -3
Vektor yang merupakan proyeksi B. -2
vektor (3 ,1 ,-1) pada vektor (2 ,5 C. 2
,1) adalah.... D. 3
1 E. 5
A. (2 ,5 ,1)
2
1 20. PREDIKSI UAN 2006
B. (2 ,5 ,1) Diketahui panjang proyeksi
3
1 æ 1 ö æ 3 ö
C. Å30(2 ,5 ,1) ç ÷ ç ÷
3 a = ç 2 ÷ pada b = ç p ÷ adalah
ç- 3 ÷ ç 3÷
1 è ø è ø
D. (2 ,5, 1)
30 1. Nilai p = ...
A. 4
1
E. (2 ,5 ,1) B. 2
4 1
C.
2
1
Diketahui | a | = 5 , | b | = 9 dan D. -
3 4
tgÉ(a ,b) = , maka a (a +b) = .... 1
4 E. -
A. 51 2
B. 52
C. 61
D. 108
E. 117
18. PREDIKSI UAN 2006 21. PREDIKSI UAN 2006


Jika a = 7i -6j -8k dan b = -2i +j æ 1 ö
+5k , maka proyeksi orthogonal a ç ÷
D. ç 4 ÷
pada b adalah... ç - 3÷
A. -14i +2j +10k è ø
4 2 10 æ 17 ö
B. - i + j + k ç- ÷
3 3 3 ç 8 ÷
E. ç - ÷
7
4 2 10 ç 8 ÷
C. i- j- k
3 3 3 ç 24 ÷
D. 4i -2j -10k ç ÷
è 8 ø
E. 6i -3j -15k
Diketahui titik-titik A(2 ,-1, 4), B(4,
Diketahui vektor a = 3i +j -5k dan
1 ,3) dan C(2 ,0 ,5). Kosinus sudut
b = -i +2j -2k, proyeksi vektor
orthogonal a dan b adalah c. antara AB dan AC adalah....
Vektor c adalah... 1
A.
A. -i -2j -2k 6
B. -i -2j +2k
1 1
C. -i +2j -2k B. Å2 D. Å2
D. i +2j -2k 6 3
E. i +2j +2k 1 1
C. E. Å2
3 2
Diketahu titik A(-4 ,1 ,3) dan B(1 ,-
4,3). Titik P(x,y ,z) pada AB
sehingga AP : PB = 3 : 5. Vektor
posisi titik P adalah....
æ -1 ö
ç ÷
A. ç - 10 ÷
ç 15 ÷
è ø
æ 17 ö
ç- ÷
ç 2 ÷
B. ç - ÷
7
ç 2 ÷
ç 23 ÷
ç ÷
è 2 ø
æ - 1ö
ç ÷
C. ç - 2 ÷
ç 3 ÷
è ø


Materi -1 : 2 kali pertemuan
(4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-1dituntaskan
dengan tugas individu)

Materi -2 : 2 kali pertemuan
(4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-2 dituntaskan
dengan tugas individu)

Aplikasi-3 : 1 kali pertemuan
(2 jam pelajaran, dituntaskan dengan tugas individu)

Evaluasi-1 : 1 kali pertemuan
(2 jam pelajaran, soal terdiri dari 15 pilihan ganda dan 3
soal essay. 2 versi dengan bobot sama)

-------------------------------------------------

Total : 1,5 minggu
(12 jam pelajaran)
------------------------------------------------


Rumus cepat-matematika-vektor

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Rumus cepat-matematika-vektor

Recently uploaded

Rumus cepat-matematika-vektor