【材料力学】仮想仕事の原理 最小ポテンシャルエネルギーの原理 (II-07 2018)
- 1. 仮想仕事の原理 最小ポテンシャルエネルギーの原理 1. 仮想仕事の原理を説明できる 目標 2. 最小ポテンシャルエネルギーの原理を説明できる 3.材料力学の問題に応用できる 1/18 真直棒の伸び トラスの変形
- 2. 棒の弾性ひずみエネルギー P uℓ E：ヤング率 A：断面積 (a) P uU 2 1 ＝ Ku 2 1 ＝ 2 ＝ 2 1 uAE ℓ u K＝ ℓ AE 棒のばね定数 P＝AE ℓ u ε σ uでPを表現 U 2/18
- 3. 微小な仮想変位がする仕事 δu P(b) P uℓ E：ヤング率 A：断面積 (a) δW δu微小な仮想変位 Q. どのくらい微小か？ A.荷重条件が変化しない P ＝一定 ＝ Pδu δW 3/18
- 4. 微小な仮想変位による 弾性ひずみエネルギー増分 δu P(b) P uℓ E：ヤング率 A：断面積 (a) δU U Ku 2 1 ＝ 2 U’＝ K 2 1 2 ( )u δu＋ δU U’＝ − U K 2 1 ( )2u δu＋δu＝ ~− Kuδu u >> δu∵ ＝ P δu P＝Ku∵ 4/18
- 5. 仮想仕事の原理 δu P(b) P uℓ E：ヤング率 (a) A：断面積 仮想変位がする外部仕事 δW ＝ Pδu 仮想変位による内部エネルギー増分 δU＝ Pδu δU ＝ δW 仮想仕事の原理 5/18
- 6. 最小ポテンシャルエネルギーの原理 δU δW ＝0− δ ＝ 0( )W−U Π ポテンシャルエネルギー 仮想仕事の原理 が極値（最小値） 弾性体が釣合い状態 Π δΠ＝ 0 釣合い δ Π ＝ 0 u Π Π がuの関数の場合 6/18
- 7. 棒の伸びを求める（仮想仕事） A2 A1 ℓ2 ℓ1 E2E1 ABC Q. A, B点の伸びは？ ① エネルギーの計算 ＝ 2E1 σ1 2 U1 ＝ℓ1A1 2 ε1 2 E1 ℓ1A1 ε1 ＝( )uBuA − ℓ1 ＝ 2 ℓ1 A1E1 ( )uBuA − 2 ＝U2 2 ℓ2 A2E2 uB 2 P ℓ2 ℓ1 uB uA 7/18 ∵
- 8. 仮想仕事の原理で棒の伸びを求める ④ エネルギー増分の計算 δU ＝ ②A, B点に仮想変位δuA δuB ③ 荷重がする仕事の計算 2 ℓ2 A2E2 ＋ ( )uB＋δuB 2 uB 2 − 2 ℓ1 A1E1 uA − 2 δuA＋ ( )uB＋δuB ( )uBuA − 2 − A2 A1 ℓ2 ℓ1 E2 E1 ABC P ℓ2 ℓ1 uB uA ~− ℓ1 A1E1 ( )uBuA − ( )δuBδuA − ℓ2 A2E2 ＋ uB δuB ＝δW δuAP ＋ δuB0・ ＝ δuAP δuB δuA 8/18
- 9. 仮想仕事の原理で棒の伸びを求める ⑤仮想仕事の原理を適用 δU ＝δW δuAP ℓ1 A1E1 ( )uBuA− ( )δuBδuA − ℓ2 A2E2 ＋ uB δuB ＝ δuA δuB について整理 ℓ1 A1E1 ℓ1 A1E1 ℓ2 A2E2( )uBuA − − P δuA ＋ ( )uBuA −− ＋ uB δuB ＝ 0 0 0 uA＝ ℓ1 A1E1 P ℓ2 A2E2 P ＋ ℓ2 A2E2 PuB＝ δuB について成立任意のδuA 9/18
- 10. 最小ポテンシャルの原理で トラスの変形を求める θ θ a b d ℓ ℓ λ P 10/18 Q.b点の鉛直方向変位 は？λ ① 棒の伸び ② 棒の軸力 ③ 荷重による仕事 ④ 弾性ひずみエネルギー ⑤ 最小ポテンシャルエネルギーの原理 c
- 11. λab ① 棒の伸び θ θ a b d ℓℓ λbd λab λbd＝ cosθ 鉛直方向変位 λ P 11/18 ℓ λbd ＝ λ b’ ab’ ad b’d＝ ＋ 2 2 2 ( )ℓ＋λab ＝ 2 cosθℓ ＋λbd( ) 2 ℓ sinθ( ) 2 ＋ ＝ λcosθ λbd 022 λab 0∵ ＋ c
- 12. ②-1 棒の軸力（力の釣合い） a b d P 12/18 Nab Nbc Nbd 力の釣合いだけで決まらない！ Nabcosθ Nbc cosθ Nbd P＋ ＝ 0− − − 鉛直方向 Nab sin θ＋Nbc sinθ ＝ 0− Nab＝ Nbc∴ 水平方向 c
- 13. ②-1棒の軸力（幾何学的条件） θ θ a b d ℓ ℓ λbd 13/18 λbdcosθ＝λab Nbd λab＝ Nab AE ℓ ∴ λbd ＝ Nbd AE ℓ cosθ ＝ Nbd AE ℓ cosθ cosθ Nab AE ℓ Nbd ＝ cos θ2 Nab λabℓ＋ c Nab
- 14. ②-3 棒の軸力 Nab cosθNbc cosθ Nbd P＋ ＝ 0− − − Nbd ＝ cos θ2 Nab Nab＝ Nbc 力の釣合い 幾何学的条件 Nbd ＝ cos θ3 2 − 1 P 1 軸力 Nbc ＝ cos θ3 2 − 1 cos θ2 PNab ＝ 14/18
- 15. ③ 荷重による仕事 a b d P 15/18 Nab Nbc Nbd λabλbc λbd W ＝ 2 1 Nab λab＋ 2 1 Nbc λbc＋ 2 1 Nbd λbd ＝ λP Nbd ＝ cos θ3 2 − 1 P 1 Nbc ＝ cos θ3 2 − 1 cos θ2 PNab ＝ λbd ＝ λ λbd cosθ＝λab c
- 16. ④ 弾性ひずみエネルギー θ θ a b cd ℓℓ λab λbc＝ ＝ λcosθ P Uab＝Ubc＝ 2 εab 2 E ℓA εbd 2 Ubd＝ 2 E ℓA bd Uab Ubd＋Ubc＋＝U 16/18 λbd＝ λ λabℓ＋ ＝ 2ℓ AE cos θ 2 λ2 εab＝ ℓλab∵ ＝ cosθ2ℓ AE λ2 εbd＝ ℓλbd cosθ∵ ＝ ℓ AE cos θ 2 cosθ2ℓ AE λ2 ＋
- 17. ⑤ 最小ポテンシャルエネルギーの原理 U W−＝Π Π ∂ ∂ λ ＝0 ＝ ℓ AE cos θ 2 cosθ2ℓ AE λ2 ＋ − λP( ) ℓ AE cos θ 2 cosθ2ℓ AE λ＋( )2 −P＝ 0 λ＝ 2cos θ31＋ cosθ P AE ℓ 17/18 θ θ a b cd ℓ ℓ λab λbc＝ ＝ λcosθ P λbd＝ λ λabℓ＋ ポテンシャルネルギー
- 18. まとめ 1. 仮想仕事の原理を説明できる 2. 最小ポテンシャルエネルギーの原理を説明できる 3.材料力学の問題に応用できる 18/18 内部エネルギー増分＝ 外部仕事 δU ＝δW U W−＝Π ポテンシャルエネルギー 釣合い状態 ポテンシャルエネルギー最小 δΠ＝ 0