【材料力学】相反定理 (II-05-1 2020)
- 1. 相反定理 目標 2. Betti およびMaxwellの相反定理を説明できる ベッチ マックスウェル 1/10 1. 複数荷重が作用する はり の 弾性ひずみエネルギーを計算できる
- 2. はり のたわみと弾性ひずみエネルギー P1 δ11U１ 2 1 ＝ P2δ22U2 2 1 ＝ P1 δ11 δ21 (a) δ12 δ22 P2 (b) δ1 δ2 P1 P2 場所1 場所２ δ1 δ11 δ12＝ ＋ δ2 δ21 δ22＝ ＋ たわみ(重ね合わせ) U１ U2U ＋＝ エネルギー U δij i：位置，j：荷重 2/10
- 3. 荷重過程 A: P1→ P2 のエネルギー増分 O O δ21 ( )UA2 2 1 ＝ P2 δ2 δ21− ( )P1 δ11UA1 2 1 ＝ P1 δ11＋ δ1− P1 δ11 δ21 (i) δ11 P1 (i) δ1 (ii) P2 δ2 (ii) P2によるエネルギー増分 P1によるエネルギー増分 3/10 P1 P2 δ1 δ2 (ii) 一定 場所1 場所２ 場所2の荷重 方向変位P2 荷重 によるP1
- 4. A: P1 →P2 の全弾性ひずみエネルギー ( )P1 δ11UA1 2 1 ＝ P1 δ11＋ δ1− P1 δ11 δ21 (i) ( )UA2 2 1 ＝ P2 δ2 δ21− δ12＝ U1＋P1 δ1 δ11 δ12＝ ＋∵ δ2 δ21 δ22＝ ＋∵ 2 1 ＝ P2 δ22 ＝ U2 UA ＝ U1＋U2 δ12＋P1 全弾性ひずみエネルギー 4/10 P1 P2 δ1 δ2 (ii) 一定 場所1 場所２
- 5. 荷重過程 B: P2→ P1のエネルギー増分 δ12 δ22 P2 ( )P2 δ22UB2 2 1 ＝ P2 δ2 δ22−＋ O O ( )UB1 2 1 ＝ P1 δ1 δ12− (i’) δ22 P2 (i’) δ2 (ii’) δ12 P1 δ1 (ii’) P1によるエネルギー増分 P2によるエネルギー増分 5/10 (ii’) P1 P2 δ1 δ2 一定 場所1 場所２ 場所1の荷重 方向変位P1 荷重 によるP2
- 6. B: P2 →P1の全弾性ひずみエネルギー δ12 δ22 P2 δ21＝ U2＋P2 ( )UB1 2 1 ＝ P1 δ1 δ12− (i’) ( )P2 δ22UB2 2 1 ＝ P2 δ2 δ22−＋ UB ＝ U1＋U2 δ21＋P2 全弾性ひずみエネルギー 2 1 ＝ P1 δ11 ＝ U1 δ1 δ11 δ12＝ ＋∵ δ2 δ21 δ22＝ ＋∵ 6/10 (ii’) P1 P2 δ1 δ2 一定 場所1 場所２
- 7. エネルギー状態 UA ＝ U1＋U2δ12＋P1 UB ＝ U1＋U2 δ21＋P2 A: P1 → P2 B: P2 → P1 UA ＝ UB が同時に作用するときのP1, P2 エネルギー状態は一つ 全弾性ひずみエネルギー δ12P1 δ21P2＝ 7/10
- 8. O δ11 P1 (i) δ1 (ii) O δ22 P2 δ2 (i’) (ii’) A: P1→ P2 B: P2 → P1 O δ21 P2 δ2 (ii) O δ12 P1 δ1 (ii’) δ12 δ21 P1による エネルギー増分 P2による エネルギー増分 P2によるエネルギー増分 δ12P1 δ21P2＝ 荷重 による場所1の 荷重方向変位 P2 荷重 による場所2の 荷重方向変位 P1 8/10
- 9. 相反定理 δ12P1 δ21P2＝ Bettiの相反定理 Maxwellの相反定理 P1P2＝if δ12 δ21＝ P1 P2 P1 δ1 P2 δ2 2つの集中荷重が作用する弾性体 δ1 δ11 δ12＝ ＋ δ2 δ21 δ22＝ ＋ 荷重 による場所2のP1荷重 による場所1のP2 荷重 方向変位荷重 方向変位 9/10
- 10. まとめ：相反定理 2. Betti およびMaxwellの相反定理 Maxwellの相反定理 δ12 δ21＝δ12P1 δ21P2＝ Bettiの相反定理 1. 複数荷重が作用する はり の 弾性ひずみエネルギーの計算 重ね合わせの原理が成立しない 10/10場所2の荷重 方向変位P2 荷重 によるP1 場所1の荷重 方向変位P1 荷重 によるP2 P1 P2＝