【目標】 1. 幾何学的条件を用いた解法手順を説明できる 2. 幾何学的条件を決定できる 3. 幾何学的条件を用いて不静定問題が解ける

1. 幾何学的条件を用いた
不静定はりの解法
2. 幾何学的条件を決定できる
3. 幾何学的条件を用いて不静定問題が解ける
1. 幾何学的条件を用いた解法手順を説明できる
目標
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2. 幾何学的条件を用いた解法手順
② 幾何学的条件を考慮して方程式を増やす
③ 未知数を決定する
未知反力・未知反モーメント
たわみ・たわみ角の積分定数
① たわみ・たわみ角を記述する
未知反力・未知反モーメントを既知量として扱う
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たわみ・たわみ角に関する条件

3. y
はり の不静定問題
P
a b
RCRA
MCMA
x
反力・反モーメントを求めよ．
RA RC MA MC
力・モーメントの釣合い方程式
RA ＋RC P− ＝ 0
aPMA ℓRC MC− − ＋ ＋ ＝ 0
ℓRC
aP
a b＋ℓ＝
不静定問題
未知数：4 方程式：2>
A B C
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曲げ剛性：EI

4. y
x
①-1 たわみ・たわみ角を記述
RA
MA F(x)
M(x)
F(x)x
RA = 0F(x) −
力の釣合い
RA=F(x)∴
モーメントの釣合い
M(x) MA− − ＝ 0F(x)x
∴ M(x) ＝MA F(x)＋ x
＝MA RA＋ x
0 < x < a
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5. ①-2 たわみ・たわみ角を記述
y
x
RA
MA F(x)
M(x)
F(x) x
a < x < ℓ
Pa
aP
RA= 0F(x)
力の釣合い
P−
RA=F(x)∴
＋
− P
モーメントの釣合い
M(x) MA− − ＝ 0F(x)xaP−
( )∴ M(x) ＝MA＋ RAx − Px− a
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6. ①-3 たわみ・たわみ角を記述
−
EI
1
MA RA＋ x( )
( )MA＋ RA x − P x− a−
EI
1 { } a < x < ℓ
0 < x < a
dx
dy
=
{ }
−
EI
1
MA
RA
＋( )x 2
x2
C1＋
−
EI
1
MA
RA
＋x 2
x2
C22−
P
( )x− a
2
＋
y =
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋x2
6
x3
C1＋ x C3＋
EI
1
6
MA
2 6
P
( )x− a{ }−
RA
＋x2 x3 C4
3
− C2 x＋ ＋
6個未知数：RA MA C1 C3C2 C4
合成関数の積分
dx2
d2
y
=
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7. ② 幾何学的条件の考慮
y x=a-0＝ y x=a+0
＝dx
dy
x=a-0 dx
dy
x=a+0
x＝ でたわみ角とたわみが連続a
は完全固定x＝x＝0, ℓ
ℓ
y x= ＝ 0ℓdx
dy
x=
＝ 0y x=0 ＝ 0dx
dy
x=0
＝ 0
方程式：6つ 解ける！
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8. ③-1 未知数の決定: 積分定数
dx
dy
x=0
＝ 0
dx
dy
= −
EI
1
MA
RA
＋( )x 2
x2
C1＋ 0 < x < a
C1∴ ＝ 0
y x=0 ＝ 0
C3∴ ＝ 0
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋x2
6
x3
C1＋ x C3＋y = 0 < x < a
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9. ③-2 未知数の決定: 積分定数
{ }dx
dy
=
−
EI
1
MA
RA
＋( )x 2
x2
−
EI
1
MA
RA
＋x 2
x2
C22−
P
( )x− a
2
＋
＝dx
dy
x=a-0 dx
dy
x=a+0
{ }−
EI
1
MA
RA
＋a 2
a2
C22−
P
( )a− a
2
＋
−
EI
1
MA
RA
＋( )a
2
a2
=
C2∴ ＝ 0
a < x < ℓ
0 < x < a
合成関数の積分をしておくと
計算が簡単になる（こともある）
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10. ③-3 未知数の決定: 積分定数
y =
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋x2
6
x3
EI
1
6
MA
2 6
P
( )x− a{ }−
RA
＋x2 x3 C4
3
− ＋ a < x < ℓ
0 < x < a
y x=a-0＝ y x=a+0
C4∴ ＝ 0
EI
1
6
MA
2 6
P
( )a− a{ }−
RA
＋a2 a3 C4
3
− ＋
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋a2
6
a3 =
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11. ③-4 未知数の決定:
反力・反モーメント
ℓ
dx
dy
x=
＝ 0未使用の条件
積分変数を決定したたわみとたわみ角の式
y =
EI
1
6
MA
2 6
P
( )x− a{ }−
RA
＋x2 x3 3
−
dx
dy
= { }−
EI
1
MA
RA
＋x 2
x2
2−
P
( )x− a
2
y ＝ 0x=ℓ
a < x < ℓ
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RC
MC
？
a < x < ℓ
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12. ③-5 未知数の決定:
反力・反モーメント
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RC
( )a 3b＋
ℓ 3
a2
P= MC −
ℓ 2
ba2
P=
力・モーメントの釣合い方程式
RA ＋RC P− ＝ 0 aPMA ℓRC MC− − ＋ ＋ ＝ 0
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13. ③-5 未知数の決定:
反力・反モーメント
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RC
( )a 3b＋
ℓ 3
a2
P= MC −
ℓ 2
ba2
P=
y
P
a b
RCRA
MCMA
x a b＋ℓ＝
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14. まとめ：幾何学的条件を用いた
不静定はりの解法
2. 幾何学的条件の決定
3. 幾何学的条件を用いて不静定問題を解く
1. 幾何学的条件を用いた解法手順
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① たわみ・たわみ角を記述する
② 幾何学的条件を考慮して方程式を増やす
③ 未知数を決定する
未知反力・未知反モーメント
たわみ・たわみ角の積分定数
未知反力・未知反モーメントを既知量として扱う
たわみ，たわみ角が固定，連続など