1. 静定/不静定問題を判断できる 2. 幾何学的条件を考慮して不静定問題が解ける 3. 重ね合わせの原理を用いて不静定問題が解ける 2018版

1. 不静定はり
2. 幾何学的条件を考慮して不静定問題が解ける
3. 重ね合わせの原理を用いて不静定問題が解ける
1. 静定/不静定問題を判断できる
目標
1/21

2. 静定問題と不静定問題
静定
不静定
釣合い方程式の数 ＝ 未知数
釣合い方程式の数 ＜ 未知数
2/21

3. y
静定 or 不静定
P
a b
RCRA
MCMA
x
反力・反モーメントを求めよ．
RA RC MA MC
力・モーメントの釣合い方程式
RA ＋RC P− ＝ 0
aPMA ℓRC MC− − ＋ ＋ ＝ 0
ℓRC
aP−
3/21
a b＋ℓ＝
不静定問題
未知数：4 方程式：2>
A B C

4. 不静定はりの解法
① 幾何学的条件を用いる方法
② 重ね合わせの原理を用いる方法
③ カスティリアーノの定理を用いる方法
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たわみ・たわみ角の条件を考慮して解く
静定問題に分解して解く

5. ① 幾何学的条件を用いる方法
①-1 たわみ・たわみ角を記述する
①-2 幾何学的条件を考慮して方程式を増やす
①-3 未知変数を決定する
5/21
未知反力・未知反モーメント
たわみ・たわみ角の式の積分定数
未知反力・未知反モーメントを既知として

6. y
x
①-1 たわみ・たわみ角を記述
0 < x < a
RA
MA F(x)
M(x)
F(x) x
RA = 0F(x) −
力の釣合い
RA=F(x)∴
モーメントの釣合い
M(x) MA− − ＝ 0F(x) x
∴ M(x) ＝MA F(x)＋ x
＝MA RA＋ x
6/21

7. ①-1 たわみ・たわみ角を記述
y
x
RA
MA F(x)
M(x)
F(x) x
a < x < ℓ
Pa
aP−
RA= 0F(x)
力の釣合い
P−
RA=F(x)∴
＋
− P
モーメントの釣合い
M(x) MA− − ＝ 0F(x) xaP−
( )∴ M(x) ＝MA＋ RA x − P x− a
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8. ①-1 たわみ・たわみ角を記述
−
EI
1
MA RA＋ x( )
( )MA＋ RA x − P x− a−
EI
1 { } a < x < ℓ
0 < x < a
8/21
dx
dy
=
{ }
−
EI
1
MA
RA
＋( )x 2
x2
C1＋
−
EI
1
MA
RA
＋x 2
x2
C22−
P
( )x− a
2
＋
y =
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋x2
6
x3
C1＋ x C3＋
EI
1
6
MA
2 6
P
( )x− a{ }−
RA
＋x2 x3 C4
3
− C2 x＋ ＋
6個未知数：RA MA C1 C3C2 C4
合成関数の積分
dx2
d2
y
=

9. ①-2 幾何学的条件の考慮
y x=a-0＝ y x=a+0
＝dx
dy
x=a-0 dx
dy
x=a+0
x＝ でたわみ角とたわみが連続a
は完全固定x＝x＝0, ℓ
ℓ
y x= ＝ 0ℓdx
dy
x=
＝ 0y x=0 ＝ 0dx
dy
x=0
＝ 0
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方程式：6つ 解ける！

10. ①-3 積分定数の決定
dx
dy
x=0
＝ 0
dx
dy
= −
EI
1
MA
RA
＋( )x 2
x2
C1＋ 0 < x < a
C1∴ ＝ 0
y x=0 ＝ 0
C3∴ ＝ 0
10/21
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋x2
6
x3
C1＋ x C3＋y = 0 < x < a

11. ①-3 積分定数の決定
{ }dx
dy
=
−
EI
1
MA
RA
＋( )x 2
x2
−
EI
1
MA
RA
＋x 2
x2
C22−
P
( )x− a
2
＋
＝dx
dy
x=a-0 dx
dy
x=a+0
{ }−
EI
1
MA
RA
＋a 2
a2
C22−
P
( )a− a
2
＋
−
EI
1
MA
RA
＋( )a
2
a2
=
C2∴ ＝ 0
a < x < ℓ
0 < x < a
合成関数の積分をしておくと
計算が簡単になる（こともある）
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12. ①-3 積分定数の決定
y =
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋x2
6
x3
EI
1
6
MA
2 6
P
( )x− a{ }−
RA
＋x2 x3 C4
3
− ＋ a < x < ℓ
0 < x < a
y x=a-0＝ y x=a+0
C4∴ ＝ 0
EI
1
6
MA
2 6
P
( )a− a{ }−
RA
＋a2 a3 C4
3
− ＋
MA
2
( )−
EI
1 RA
＋a2
6
a3 =
12/21

13. ①-3 反力・反モーメントの決定
ℓ
dx
dy
x=
＝ 0未使用の境界条件
積分的数を決定したたわみとたわみ角の式
y =
EI
1
6
MA
2 6
P
( )x− a{ }−
RA
＋x2 x3 3
−
dx
dy
= { }−
EI
1
MA
RA
＋x 2
x2
2−
P
( )x− a
2
y ＝ 0x=ℓ
a < x < ℓ
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RC
MC
？
13/21
a < x < ℓ

14. ①-3 反力・反モーメントの決定
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RC
( )a 3b＋
ℓ 3
a2
P= MC −
ℓ 2
ba2
P=
力・モーメントの釣合い方程式
RA ＋RC P− ＝ 0 aPMA ℓRC MC− − ＋ ＋ ＝ 0
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15. ①-3 反力・反モーメントの決定
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
RC
( )a 3b＋
ℓ 3
a2
P= MC −
ℓ 2
ba2
P=
y
P
a b
RCRA
MCMA
x a b＋ℓ＝
15/21

16. ② 重ね合わせの原理を用いる方法
②-1 静定問題に分解して解く
②-2 全体の変形条件を考慮する
②-3 反力・反モーメントを決定する
未知反力・未知反モーメントを既知として
16/21

17. ②-1 静定問題に分解して解く
y
P
a b
RCRA
MCMA
x a b＋ℓ＝
P
(i)
MC
(ii)
RC
(iii)
y1たわみ y2 y3
θ1たわみ角 θ2 θ3
未知数：4
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18. ②-1 静定問題に分解して解く
P
(i)
R1
M1
M2(ii)
R2
MC
(iii)
R3
y2 2EI=
θ2
=
EI
MC
− x
2
−
MC
x
y3 3EI=
θ3
= − x
3
− x
RC
RC
2EI
2
y1 3EI
Px3
=
θ1
=
2EI
Px2
3EI
Pa3
2EI
Pa2( - x)
, ＋
,
2EI
Pa2
ℓ
RC
M3
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19. ②-2 全体の変形条件の考慮
全体のたわみ角 ＝ ＋ ＋θ1 θ2 θ3θ
全体のたわみ ＝ y1 y2 y3＋ ＋y
は原問題では完全固定x＝右端 ℓ
θ x=ℓ ＝ 0
y x=ℓ ＝ 0
2EI
Pa2
EI
MC
− ℓ − ℓ
RC
2EI
2
＝ 0∴
3EI
Pa3
2EI
Pa2b
＋ 2EI
2
−
MC
ℓ
3EI
3
− ℓ
RC
＝ 0∴
未知数：
MC RC
2 方程式：2
解ける！ 19/21

20. ②-3 反力・反モーメントの決定
RC
( )a 3b＋
ℓ 3
a2
P= MC −
ℓ 2
ba2
P=
RA
( )
ℓ 3
b2
P
3a b＋
= MA
ℓ 2
b2a
P−=
原問題の力・モーメントの釣合い
RA ＋RC P− ＝ 0
aPMA ℓRC MC− − ＋ ＋ ＝ 0
他に条件式は？
残り反力・反モーメント： MA RA
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21. まとめ
2. 幾何学的条件を考慮して不静定問題が解ける
3. 重ね合わせの原理を用いて不静定問題が解ける
1. 問題の静定/不静定を判断できる
不静定釣合い方程式の数 ＜ 未知数 →
1. たわみ・たわみ角を記述する
2. 幾何学的条件を考慮して方程式を増やす
3. 未知変数（積分定数→未知反力，未知モーメント）を決定する
1. 静定問題に分解して解く
2. 全体の変形条件を考慮する
3. 反力・反モーメントを決定する
未知反力・未知モーメントを既知として
未知反力・未知モーメントを既知として
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