1. 垂直ひずみと変位の関係を導出できる 2. せん断ひずみと変位の関係を導出できる 3. ひずみテンソルを説明できる https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/i-2020 https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/ii-2020

1. 3次元空間のひずみ
1. 垂直ひずみと変位の関係を導出できる
目標
2. せん断ひずみと変位の関係を導出できる
3. ひずみテンソルを説明できる
1/13

2. 面素の変形とA点変位
x
y
B
CD
dx
dy
A
v(x, y)
A (x, y)
u(x, y)
A’(x+u(x, y), y+v(x, y))
B’
A’
C’
D’
y’
x’
2/13

3. 点Bのx方向変位
x
y
B
CD
B’
A’
C’
D’
dx
dy
u (x+dx, y)
A
v(x, y)
A (x, y)
B (x+dx, y)
u(x, y)
A’(x+u(x, y), y+v(x, y))
B’’(x+dx+u(x+dx, y),
y+v(x, y))
y’
x’
3/13
B’’

4. 辺ABのx軸方向垂直ひずみ
BAB’’A’ −
BA
εx ＝
＝
B’’A’ ＝) −
BA ＝ dx
(x+dx+u(x+dx, y)) (x+u(x, y))
u(x+dx, y) − u(x, y)
εx ＝
dx
u(x+dx, y) − u(x, y)
＝ ∂
∂
x
u(x, y)
dx → 0
4/13
+ dx

5. 点Dのy方向変位
x
y
B
CD
dx
dy
A
v(x, y)
A (x, y)
u(x, y)
A’(x+u(x, y), y+v(x, y))
B’
A’
C’
D’
y’
x’
D (x, y+dy)
v (x, y+dy) D’’
D’’(x+u(x, y),
y+dy+v(x, y+dy))
5/13

6. y軸方向の垂直ひずみ
DAD’’A’ −
DA
εy ＝
＝
D’’A’ ＝ −
DA ＝ dy
(y+dy+v(x, y+dy)) (y+v(x, y))
εy ＝
dy
v(x, y+dy) − v(x, y)
＝ ∂
∂
y
v(x, y)
dy → 0
6/13
v(x, y+dy) − v(x, y) +dy

7. ABのx軸からの角度変化
x
y
B
A
CD
B’
A’
C’
D’
y’
x’
dx
dy v(x, y)
u(x, y)
B’(x+dx+u(x+dx, y),
y+v(x+dx, y))
θ1
u (x+dx, y)
B’’
v (x, y+dy) D’’
B’’(x+dx+u(x+dx, y),
y+v(x, y))
7/13
B’B’’
B’’A’
θ1 ~−

8. ADのy軸からの角度変化
x
y
B
A
CD
B’
A’
C’
D’
y’
x’
dx
dy v(x, y)
u(x, y)
θ1
θ2
u (x+dx, y)
B’’
v (x, y+dy) D’’
D’(x+u(x, y+dy),
y+dy+v(x, y+dy))
D’’(x+u(x, y),
y+dy+v(x, y+dy))
8/13
D’D’’
D’’A’
θ2 ~−

9. 角度変化
＝ −v(x+dx, y) v(x, y)
＝B’B’’ (y+v(x+dx, y))
(y+v(x, y))−
D’D’’ ＝ (x+u(x, y+dy))
(x+u(x, y))−
＝ −u(x, y+dy) u(x, y)
＝ ∂
∂
y
u(x, y)
dy → 0＝ ∂
∂
x
v(x, y)
dx → 0 9/13
B’B’’
B’’A’
θ1
D’D’’
D’’A’
θ2
B’’A’ ＝ u(x+dx, y) − u(x, y) + dx
−v(x+dx, y) v(x, y) dx( )
u(x+dx, y) − u(x, y) + 1( ) dx
＝
D’’A’ ＝ v(x, y+dy) − v(x, y) +dy
−u(x, y+dy) u(x, y) dy( )
v(x, y+dy) − v(x, y) +1( ) dy
＝
~− ~−
−v(x+dx, y) v(x, y)
θ1
u(x+dx, y) − u(x, y) + dx
~− θ2
−u(x, y+dy) u(x, y)
v(x, y+dy) − v(x, y) +dy
~−

10. せん断ひずみ
γxy ＝ θ1 + θ2
＝ ∂
∂
x
v(x, y)
∂
∂
y
u(x, y)
+
10/13
x軸およびy軸に並行な辺のなす角が減少した角度

11. ３次元空間の変位とひずみの関係
変位ベクトル：
u
v
w
垂直ひずみ
εx ＝ ∂
∂
x
u(x, y, z)
εy ＝ ∂
∂
y
v(x, y, z)
εz ＝ ∂
∂
z
w(x, y, z)
せん断ひずみ
γxy ＝ +
∂
∂
x
v(x, y, z)
∂
∂
y
u(x, y, z)
γzx ＝ +
∂
∂
x
w(x, y, z)
∂
∂
z
u(x, y, z)
γyz ＝ +
∂
∂
y
w(x, y, z)
∂
∂
z
v(x, y, z)
11/13

12. ひずみテンソル
εij i 軸に垂直な面の j 方向のひずみ
εij ＝ γij2
1
12/13
εxx εx＝
εyy εy＝
εzz εz＝
垂直ひずみ せん断ひずみ
２階のテンソル
εx
εy
εz
εyx εzx
εzy
Sym.
[ε] ＝
行列表示
せん断成分が対称

13. まとめ：3次元空間のひずみ
1. 垂直ひずみと変位の関係
13/13
εx
εy
εz
εyx εzx
εzy
Sym.
[ε] ＝
2. せん断ひずみと変位の関係
3. ひずみテンソル
εij i 軸に垂直な面の
j 方向のひずみ
εij ＝ γij2
1
せん断成分のみ