1. Betti （ベッチ）および Maxwell（マックスウェル）の相反定理を説明できる 2. Castiglianoの定理を説明できる 3. Castiglianoの定理を用いて静定はりの問題が解ける 2018版

1. Castiglianoの定理
3. Castiglianoの定理を用いて
静定はりの問題が解ける
目標
1. Betti および Maxwellの相反定理を説明できる
ベッチ マックスウェル
2. Castiglianoの定理を説明できる
カスチリアノ
1/18

2. はりのたわみと弾性ひずみエネルギー
P1 δ11U１
2
1
＝
P2 δ22U2
2
1
＝
P1
δ11 δ21
(a)
δ12 δ22
P2
(b)
δ1 δ2
P1 P2
場所1 場所２
δ1 δ11 δ12＝ ＋
δ2 δ21 δ22＝ ＋
変位(重ね合わせ)
U１ U2U ＋＝
エネルギー
U
δij i：位置，j：荷重
2/18

3. A: P1 → P2 のエネルギー増分
O
O
δ21
( )UA2
2
1
＝ P2 δ2 δ21−
( )P1 δ11UA1
2
1
＝ P1 δ11＋ δ1−
P1
δ11 δ21
荷重 による場所2の
荷重方向変位
P1
(i)
δ11
P1
(i)
δ1
(ii)
P2
δ2
(ii)
P2によるエネルギー増分
P1によるエネルギー増分
3/18
P1 P2
δ1 δ2
(ii)
一定

4. A: P1 → P2 の全弾性ひずみエネルギー
( )P1 δ11UA1
2
1
＝ P1 δ11＋ δ1−
P1
δ11 δ21
(i)
( )UA2
2
1
＝ P2 δ2 δ21−
δ12＝ U1＋P1 δ1 δ11 δ12＝ ＋∵
δ2 δ21 δ22＝ ＋∵
2
1
＝ P2 δ22
＝ U2
UA ＝ U1＋U2 δ12＋P1
全弾性ひずみエネルギー
荷重 による場所2の
荷重方向変位
P1
4/18
P1 P2
δ1 δ2
(ii)
一定

5. B: P2 → P1のエネルギー増分
δ12 δ22
P2
( )P2 δ22UB2
2
1
＝ P2 δ2 δ22−＋
O
O
( )UB1
2
1
＝ P1 δ1 δ12−
荷重 による場所1の
荷重方向変位
P2
(i’)
δ22
P2
(i’)
δ2
(ii’)
δ12
P1
δ1
(ii’)
P1によるエネルギー増分
P2によるエネルギー増分
5/18
(ii’) P1 P2
δ1 δ2
一定

6. B: P2 → P1の全弾性ひずみエネルギー
δ12 δ22
P2
δ21＝ U2＋P2
( )UB1
2
1
＝ P1 δ1 δ12−
荷重 による場所1の
荷重方向変位
P2
(i’)
( )P2 δ22UB2
2
1
＝ P2 δ2 δ22−＋
UB ＝ U1＋U2 δ21＋P2
全弾性ひずみエネルギー
2
1
＝ P1 δ11
＝ U1 δ1 δ11 δ12＝ ＋∵
δ2 δ21 δ22＝ ＋∵
6/18
(ii’) P1 P2
δ1 δ2
一定

7. エネルギー状態は一つ
UA ＝ U1＋U2 δ12＋P1 UB ＝ U1＋U2 δ21＋P2
P1 → P2 P2 → P1
UA ＝UB
が同時に作用するときのP1, P2 エネルギー状態は一つ
全弾性ひずみエネルギー
δ12P1 δ21P2＝
荷重 による場所2の変位P1荷重 による場所1の変位P2
7/18

8. O
δ11
P1
(i)
δ1
(ii)
O
δ22
P2
δ2
(i’) (ii’)
A: P1 → P2 B: P2 → P1
O
δ21
P2
δ2
(ii)
O
δ12
P1
δ1
(ii’)
δ12
δ21
P1による
エネルギー増分
P2による
エネルギー増分
P2によるエネルギー増分
δ12P1 δ21P2＝
荷重 による場所1の
荷重方向変位
P2
荷重 による場所2の
荷重方向変位
P1 8/18

9. 相反定理
δ12P1 δ21P2＝
Bettiの相反定理 Maxwellの相反定理
P1 P2＝if
δ12 δ21＝
P1
δ1
P2
δ2
2つの集中荷重が作用する任意の弾性体
δ1 δ11 δ12＝ ＋ δ2 δ21 δ22＝ ＋
荷重 による場所2のP1荷重 による場所1のP2
P1 P2荷重 方向変位荷重 方向変位
9/18

10. 弾性ひずみエネルギーの
荷重による表現
P1
δ11 δ21
∝δ11 δ21， P1
δ11 ＝ C11 P1 δ21 ＝ C21 P1
P1 δ11U１
2
1
＝ C11
2
1
P1
2
＝
δ12 δ22
P2
∝δ12 δ22， P2
C11 C21 ：比例定数，
δ12 ＝ C12 P2 δ22 ＝ C22 P2
C12 C22 ：比例定数，
P2 δ22U2
2
1
＝ C22
2
1
P2
2
＝
10/18

11. 全弾性ひずみエネルギーの
荷重による表現
UA ＝ U1＋U2 δ12＋P1
U１＝ C11
2
1
P1
2
U2 ＝ C22
2
1
P2
2
δ12＝ C12 P2
＝ ＋ ＋C11
2
1
P1
2
C22
2
1
P2
2
C12 P1 P2
全弾性ひずみエネルギー
11/18

12. 全弾性ひずみエネルギーを
荷重で偏微分すると？
∂
∂U
＝
P1
C11P1 ＋C12P2
δ1＝
∂
∂U
＝
P2
C22P2 ＋C12P1
δ2＝
U C11
2
1
P1
2
C22
2
1
P2
2
＋ ＋ P1C12 P2＝
（Bettiの相反定理）
C22P2 ＋C21P1＝
δ11 δ12＝ ＋
δ22 δ21＝ ＋ ＝C21C12∵
全弾性ひずみエネルギーを荷重で偏微分
→ 荷重点における荷重方向のたわみ
δ12＝C12 P2
δ21＝C21 P1
δ12P1 δ21P2＝
＝C21C12 の確認cf.
12/18

13. Castigliano(カスチリアノ)の定理
∂
∂U
＝
Pk
δk
で偏微分Pk荷重
荷重点の荷重方向変位 δk
P1
δ1
PN
δN
δk
Pk
N 個の荷重が作用する弾性体
弾性ひずみエネルギー
U
∂
∂U
＝
Mk
θk
モーメント で偏微分Mk
モーメント方向回転角θk 13/18

14. [例] 右端のたわみ角を求めよ
ℓ
M0EI
たわみはどうする？
U
∂
∂U
＝
M0
θ0 ＝
＝
2EI
M0
2
ℓ
EI
M0ℓ
14/18

15. Castiglianoの定理を用いた
任意位置のたわみ・たわみ角の求め方
② Castiglianoの定理を適用する
③ 仮想荷重を とする0
∂
∂U
＝
Pv
δv ∂
∂U
＝
Mv
θv
Pv
① 求めたい位置で仮想荷重 or モーメント を作用させるPv Mv
Pv ＝ 0 Mv ＝ 0
Mv
15/18

16. ( )
[例] たわみを求めよ
U ＝
ℓ
0 2EI
M 2
dx
③ 仮想荷重 Pv＝ 0
＝
8EI
w
4
ℓ
w
ℓ
A
分布荷重wが作用する片持ちはり
Q. A点のたわみを求めよ．
EIPv
① 仮想荷重 を負荷Pv
② カスチリアノの定理を適用
＝
ℓ
0 EI
M
∂
∂M
Pv
dx
∂
∂U
Pv
δv ＝
∂
∂M
Pv
＝ − x
＝
2EI
wx
2
−
( )x− dx
ℓ
0
δv
M wx
2
1
＝−
2
− Pv x
＝
wx
2
1
−
2
− Pv x
EI
( )− x
ℓ
0
dx
弾性ひずみエネルギー
16/18
の方向Pv

17. [例] たわみ角を求めよ
分布荷重wが作用する片持ちはり
Q. A点のたわみ角を求めよ．
w
ℓ
A
① 仮想モーメント を負荷Mv
Mv
② カスチリアノの定理を適用
∂
∂U
Mv
θv ＝ ＝
ℓ
0 EI
M
∂
∂M
Mv
dx
弾性ひずみエネルギー
M wx
2
1
＝−
2
Mv＋
∂
∂M
Mv
＝1
U ＝
ℓ
0 2EI
M 2
dx
Mv ＝ 0③ 仮想モーメント
＝
2EI
wx
2
−
1 dx
ℓ
0
・θv
＝
( )wx
2
1
−
2
− Mv
EI
ℓ
0
dx・1
＝
6EI
w
3
ℓ
−
17/18
の方向Mv

18. まとめ
3. Castiglianoの定理を用いて静定はりの問題が解ける
2. Castiglianoの定理を説明できる
1. Betti および Maxwellの相反定理を説明できる
δ12P1 δ21P2＝
∂
∂U
＝
Pk
δk
で偏微分Pk荷重
荷重点の荷重方向変位 δk
∂
∂U
＝
Mk
θk
モーメント で偏微分Mk
モーメント方向回転角θk
② Castiglianoの定理を適用する
③仮想荷重を とする0
荷重 による場所1の荷重方向変位P2
荷重 による場所2の荷重方向変位P1
18/18
① 求めたい位置で仮想荷重 or モーメント を作用させるPv Mv