【材料力学】はり のたわみとたわみ角の求め方 (I-10-2 2020)
- 1. はり のたわみとたわみ角の求め方 目標 1. たわみとたわみ角を求める手順を説明できる 2.集中荷重が作用する単純支持はり の たわみとたわみ角を求めることができる 1/16
- 2. たわみとたわみ角を求める手順 ① はりに生じる曲げモーメントを求める ② たわみの式からたわみとたわみ角を求める ②-2たわみの式を積分する ②-3 境界条件から積分定数を決定する ②-1 たわみの式をつくる 2/16
- 3.
- 4. ① 曲げモーメントを求める手順 ①-1 支点反力を求める ①-3せん断力を求める ①-4 曲げモーメントを求める 支点反力を図示する 力とモーメントの釣合いを考える ①-2 荷重条件で断面を場合分けする せん断力によるモーメントを忘れずに考える 仮想切断して力の釣合いを考える 仮想切断してモーメントの釣合いを考える 釣合い式が異なるため 4/16
- 5. ①-1 支点反力を求める ①-1-1 支点に作用する反力を図示する ①-1-2力の釣合いを考える ①-1-3 モーメントの釣合いを考える R1+R2 P− = 0 ：左端周りPa R2ℓ− = 0+ R2 = ℓ P a R1 = ℓ P b a,0 <x< ℓa <x< ①-2 断面を場合分け P R2 R2ℓ PaR1 a b ℓy x 5/16
- 6. ①-3 せん断力を求める （0 < x < a ) R1 R2 F(x) F(x) P a x ①-3-1 位置 x の断面を考える ①-3-2 断面のせん断力F(x)を考える ①-3-3 力の釣り合いを考える R1 = 0F(x) − F(x) = ℓ P b 6/16
- 7. ①-3 せん断力を求める （a < x < ℓ ) R1 R2 F(x) F(x) P x a ①-3-1 位置 x の断面を考える ①-3-2 断面のせん断力F(x)を考える ①-3-3 力の釣り合いを考える R1 = 0PF(x) + − R1= PF(x) − = R2− = ℓ P a − 7/16
- 8. ①-4 曲げモーメントを求める R1 F(x) x M(x) F(x)x ①-4-1 位置x で断面を考える ①-4-2 断面の曲げモーメントM(x)を考える ①-4-3 モーメントの釣合いを考える M(x) = 0x− F(x) M(x) = xℓ P b ：左端周り （ 0 < x < a ) 8/16
- 9. ①-4 曲げモーメントを求める R1 F(x) P x a M(x) F(x)xPa ④-1. 位置x で断面を考える ④-2. 断面の曲げモーメントM(x)を考える ④-3. モーメントの釣合いを考える ：左端周り M(x) = 0x− F(x) Pa− x ℓ aP 1M(x) = ( )− （ a < x < ℓ ) 9/16
- 10. ② たわみ角とたわみを求める手順 ②-2 たわみの式を積分する ②-3境界条件から積分定数を決定する dx d y2 2 ＝ − EI M ②-1 たわみの式をつくる θ ＝ dx dy ＝− EI M dx y ( )＝− EI M dx dx たわみ角 たわみ ＋ C1 ＋ C1 ＋ C2 C1, C2 : 積分定数 10/16
- 11. ②-1 たわみの式をつくる ( ) M(x)= xℓ P b ( )a0 <x< x ℓaP 1 − ( )ℓa <x< dx2 d y2 = − EI M(x) = − EIℓ bP x − EIℓ aP ( )a0 <x< ( )ℓa <x<( )xℓ − 11/16
- 12. ②-2 たわみの式を積分する dx dy = y = EIℓ bP ()C1− 2 1 x2＋ ( )a0 <x< EIℓ aP { }( )2xℓ− 2 1 C3＋ ( )ℓa <x< ( ) EIℓ bP − 6 1 x3＋C1 x ＋C2 ( )a0 <x< EIℓ aP { }− 6 1 ( )3xℓ − C3( )xℓ − C4＋ ( )ℓa <x<− 積分定数×4 たわみ角 たわみ 12/16
- 13. ②-3-1 境界条件を見つける a) 支持点 yx=0 ＝ 0 y x=ℓ ＝ 0 たわみは支持点で0 移動・回転支持点では自由に回転 たわみ角の境界条件にできない→ b) 荷重点 条件式：2 x＝aでたわみ角とたわみが連続 積分定数の数だけ境界条件が必要 条件式：2 積分定数：4 y x=a-0＝ y x=a+0＝dx dy x=a-0 dx dy x=a+0 13/16
- 14. ②-3-2 積分定数を決定する y x=0＝ 0 y x=ℓ ＝ 0 EIℓ bP ( )C1− 2 1 a2＋ EIℓ aP { }( )2aℓ − 2 1 C3＋＝ y x=a-0＝ y x=a+0 ＝dx dy x=a-0 dx dy x=a+0 ( ) EIℓ bP − 6 1 a3＋C1 a ＝ EIℓ aP { }− 6 1 ( )3aℓ − C3( )aℓ −− C1 ＝ 6 a( )ℓ＋b ( ) C3 ＝ 6 b ℓ＋a − C2 ＝ 0 ＝ 0C4 14/16
- 15. { } たわみ角とたわみ dx dy =θ = {} 6EIℓ bP −3x2 ＋ 6EIℓ aP ( )a0 <x< ( )ℓa <x<( )2xℓ −3 a( )ℓ＋b ( )b ℓ＋a− y = 6EIℓ bP 6EIℓ aP { }−x2＋ a( )ℓ＋b x { }( )2xℓ − ( )b ℓ＋a−− ( )xℓ − ( )a0 <x< ( )ℓa <x< 15/16
- 16. まとめ： はり のたわみとたわみ角の求め方 1. たわみとたわみ角を求める手順 2.集中荷重が作用する単純支持はり の たわみとたわみ角 ① はりに生じる曲げモーメントを求める ② たわみの式からたわみとたわみ角を求める ②-2 たわみの式を積分する ②-3 境界条件から積分定数を決定する ②-1 たわみの式をつくる 16/16