【目標】 1. たわみとたわみ角を求める手順を説明できる 2. 集中荷重が作用する単純支持はり のたわみとたわみ角を求めることができる

1. はり のたわみとたわみ角の求め方
目標
1. たわみとたわみ角を求める手順を説明できる
2. 集中荷重が作用する単純支持はり の
たわみとたわみ角を求めることができる
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2. たわみとたわみ角を求める手順
① はりに生じる曲げモーメントを求める
② たわみの式からたわみとたわみ角を求める
②-2 たわみの式を積分する
②-3 境界条件から積分定数を決定する
②-1 たわみの式をつくる
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3. 集中荷重が作用する単純支持はり の
たわみとたわみ角
P
a b
ℓ
xEI
y
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4. ① 曲げモーメントを求める手順
①-1 支点反力を求める
①-3 せん断力を求める
①-4 曲げモーメントを求める
支点反力を図示する
力とモーメントの釣合いを考える
①-2 荷重条件で断面を場合分けする
せん断力によるモーメントを忘れずに考える
仮想切断して力の釣合いを考える
仮想切断してモーメントの釣合いを考える
釣合い式が異なるため
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5. ①-1 支点反力を求める
①-1-1 支点に作用する反力を図示する
①-1-2 力の釣合いを考える
①-1-3 モーメントの釣合いを考える
R1+R2 P− = 0
：左端周りPa R2ℓ− = 0+
R2 = ℓ P
a
R1 = ℓ P
b
a,0 <x< ℓa <x<
①-2 断面を場合分け
P
R2
R2ℓ
PaR1
a b
ℓy
x
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6. ①-3 せん断力を求める （ 0 < x < a )
R1
R2
F(x)
F(x)
P
a
x
①-3-1 位置 x の断面を考える
①-3-2 断面のせん断力F(x)を考える
①-3-3 力の釣り合いを考える
R1 = 0F(x) − F(x) =
ℓ P
b
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7. ①-3 せん断力を求める （ a < x < ℓ )
R1
R2
F(x)
F(x)
P
x
a
①-3-1 位置 x の断面を考える
①-3-2 断面のせん断力F(x)を考える
①-3-3 力の釣り合いを考える
R1 = 0PF(x) + −
R1= PF(x) −
= R2− =
ℓ P
a
−
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8. ①-4 曲げモーメントを求める
R1
F(x)
x
M(x)
F(x)x
①-4-1 位置 x で断面を考える
①-4-2 断面の曲げモーメントM(x)を考える
①-4-3 モーメントの釣合いを考える
M(x) = 0x− F(x)
M(x) = xℓ P
b
：左端周り
（ 0 < x < a )
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9. ①-4 曲げモーメントを求める
R1
F(x)
P
x
a
M(x)
F(x)xPa
④-1. 位置 x で断面を考える
④-2. 断面の曲げモーメントM(x)を考える
④-3. モーメントの釣合いを考える ：左端周り
M(x) = 0x− F(x) Pa−
x
ℓ
aP 1M(x) = ( )−
（ a < x < ℓ )
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10. ② たわみ角とたわみを求める手順
②-2 たわみの式を積分する
②-3 境界条件から積分定数を決定する
dx
d y2
2 ＝ −
EI
M
②-1 たわみの式をつくる
θ ＝
dx
dy
＝−
EI
M
dx
y ( )＝−
EI
M
dx dx
たわみ角
たわみ
＋ C1
＋ C1 ＋ C2
C1, C2 : 積分定数
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11. ②-1 たわみの式をつくる
( )
M(x) =
xℓ P
b
( )a0 <x<
x
ℓaP 1 − ( )ℓa <x<
dx2
d y2
= −
EI
M(x)
=
−
EIℓ
bP
x
−
EIℓ
aP
( )a0 <x<
( )ℓa <x<( )xℓ −
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12. ②-2 たわみの式を積分する
dx
dy
=
y =
EIℓ
bP
( )C1−
2
1
x2＋ ( )a0 <x<
EIℓ
aP
{ }( )2xℓ−
2
1
C3＋ ( )ℓa <x<
( )
EIℓ
bP
−
6
1 x3＋C1 x ＋C2 ( )a0 <x<
EIℓ
aP
{ }−
6
1 ( )3xℓ − C3( )xℓ − C4＋ ( )ℓa <x<−
積分定数×4
たわみ角
たわみ
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13. ②-3-1 境界条件を見つける
a) 支持点
y x=0 ＝ 0 y x=ℓ ＝ 0
たわみは支持点で0
移動・回転支持点では自由に回転
たわみ角の境界条件にできない→
b) 荷重点
条件式：2
x＝aでたわみ角とたわみが連続
積分定数の数だけ境界条件が必要
条件式：2
積分定数：4
y x=a-0＝ y x=a+0＝dx
dy
x=a-0 dx
dy
x=a+0
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14. ②-3-2 積分定数を決定する
y x=0 ＝ 0 y x=ℓ ＝ 0
EIℓ
bP
( )C1−
2
1
a2＋
EIℓ
aP
{ }( )2aℓ −
2
1
C3＋＝
y x=a-0＝ y x=a+0
＝dx
dy
x=a-0 dx
dy
x=a+0
( )
EIℓ
bP
−
6
1 a3＋C1 a ＝
EIℓ
aP
{ }−
6
1 ( )3aℓ − C3( )aℓ −−
C1 ＝
6
a( )ℓ＋b ( )
C3 ＝
6
b ℓ＋a
−
C2 ＝ 0 ＝ 0C4
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15. { }
たわみ角とたわみ
dx
dy
=θ =
{ }
6EIℓ
bP
−3x2 ＋
6EIℓ
aP
( )a0 <x<
( )ℓa <x<( )2xℓ −3
a( )ℓ＋b
( )b ℓ＋a−
y =
6EIℓ
bP
6EIℓ
aP
{ }−x2＋ a( )ℓ＋b x
{ }( )2xℓ − ( )b ℓ＋a−− ( )xℓ −
( )a0 <x<
( )ℓa <x<
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16. まとめ：
はり のたわみとたわみ角の求め方
1. たわみとたわみ角を求める手順
2. 集中荷重が作用する単純支持はり の たわみとたわみ角
① はりに生じる曲げモーメントを求める
② たわみの式からたわみとたわみ角を求める
②-2 たわみの式を積分する
②-3 境界条件から積分定数を決定する
②-1 たわみの式をつくる
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