Dokumen tersebut membahas tentang materi pelajaran geometri SMA yang terdiri dari 4 KKD (Kegiatan Khusus Dasar), yaitu konsep dasar geometri dan segitiga, poligon dan lingkaran, bangun ruang I dan II, serta sistem penilaian dan referensi. Dokumen ini juga menjelaskan konsep-konsep dasar geometri seperti titik, garis, bidang, segmen garis, sudut, dan segitiga.

1. Oleh :
Sutopo, S.Pd., M.Pd.
Prodi P Mat-Jurusan PMIPA
FKIP UNS

2. Materi
KKD I
Konsep dasar geometri dan segitiga (termasuk
teorema dan aksioma terkait)
KKD II
Poligon dan Lingkaran (sifat dan luas)
KKD III
Bangun Ruang I (konsep dasar Lukisan, dan bidang
iris)
KKD IV
Bangun Ruang II (Luas dan Volume)

3. Pelaksanaan Ujian KKD
Jika Ujian I Nilai Kurang dari 60 maka Mhs dapat
mengikuti remidi maks 1 kali
Mhs yang remidi tetap mengikuti Perkuliahan pada
KKD berikutnya
Nilai Remidi Maksimal 60
Syarat mengikuti ujian, mhs wajib hadir minimal 75%,
tiap tatap muka KKD

4. SISTEM PERKULIAHAN
PENILAIAN
KKD I =25%
KKD II =25%
KKD III =25%
KKD IV =25%
Total = 100%
NA = (N KKD I + N KKD II + N KKD III + N KKD IV)/4
Nilai :
A : NA 80
B : 70 NA 79
C : 60 NA 69
D : 40 NA 59
E : NA < 40

5. REFERENSI
Haryono DW. 1993. Geometri. Surakarta : UNS
PRESS
H.S.M. Coxeter, F.R.S. 1963. Introduction to
Geometri New York : John Wiley & Sons.
H.S.M. Coxeter, F.R.S. 1967. Geometry Revisited. The
Mathematical Association of America

6. BAB I
DASAR-DASAR GEOMETRI
A. Pengertian Geometri
Geometri berasal dari bahasa latin “ Geometria”, Geo :
Tanah dan Metria : Ukuran. Geometri di Indonesia
diterjemahkan Ilmu Ukur.
Geometri : Cabang Matematika yang mempelajari titik,
garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat, ukuran
dan hubungannya dengan yang lain.
Objek Geometri : Benda pikir yang berasal dari benda
nyata yang diabstraksikan dan di Idialisasikan.
Diabstraksikan : tidak diperhatikan warna, bau, suhu dan
sifat-sifat yang lain.
Diidialisasikan : Dianggap sempurna.

7. B. Sistem Deduktif Aksiomatik
Pengertian Pangkal
Definisi Aksioma/Postulat
Dalil/Teorema
Dalil/Teorema
Definisi Aksioma/Postulat
Lemma
dst

8. Pengertian Pangkal (Unsur primitif) : Unsur-
unsur yang tidak perlu didefinisikan. Hal ini
diperlukan agar tidak terjadi perputaran dalam
definisi. Contoh : titik, garis, bidang dst.
Definisi : Ungkapan yang digunakan untuk
membatasi konsep. Ciri dalam definisi adalah
berlaku biimplikasi.
Contoh : Segiempat disebut jajar genjang jika dan
hanya jika sisi-sisi yang berhadapan sejajar.
Konsep : Ide abstrak yang digunakan untuk
mengklasifikasikan sesuatu.
Contoh : Jajar genjang, persegipanjang dll.

9. Aksioma : pernyataan yang secara langsung dapat
diterima kebenarannya.
Dalil/Teorema : Pernyataan yang harus
dibuktikan kebenarannya.

10. Beberapa Pengertian Pangkal
a. Titik
Titik disajikan dengan huruf kapital A, B, C, ...
Contoh : A : Titik A
Antara titik yang satu dgn yg lain memenuhi
relasi kongruensi
b. Garis
Garis disajikan dengan huruf kecil, misal a, b, g
dst.

11. Perhatikan :
B
A
Garis AB atau atau
garis g
AB
Beberapa Aksioma :
Aksioma 1.1 : Setiap garis adalah himpunan titik-titik.
Aksioma 1.2 : Untuk sebarang dua titik yang
berbeda, terdapat tepat satu garis yang memuat dua
titik tersebut.
Aksioma 1.3 : Setiap garis memuat paling sedikit dua
titik yang berbeda.
Aksioma 1.4 : Untuk suatu garis tertentu, minimal
ada satu titik yang tidak terletak pada garis tersebut.
g

12. Definisi :
Sebarang himpunan yang memuat paling sedikit dua
titik yang merupakan himpunan bagian dari suatu
garis disebut himpunan kolinier.
Kolinier : Segaris.
3. Relasi Urutan
Antara (between) : Relasi teknik yg tidak
didefinisikn
Suatu titik B yang terletak diantara A dan C disajikan
dengan (A, B, C).
Aksioma 1.5 : (A, B, C) Jhj (C, B, A)
Aksioma 1.6 : Jika (A, B, C) maka A, B, dan C berbeda
dan kolinier.
Aksioma 1.7 : Jika A, B, C berbeda dan kolinier maka
dipenuhi tepat satu dari sifat berikut : (A, B, C) atau
(B, C, A) atau (C, A, B)

13. Teorema 1.1 :
Jika (A, B, C) dan (A, C, D) maka A, B, C, dan D berbeda dan kolinier
Bukti :
Menurut Aks 1.6 bahwa (A, B, C) berarti A, B, C berbeda dan
kolinier, demikian juga (A, C, D).
Jika D=B maka (A, C, D) menjadi (A, C, B) hal ini kontrakdisi
dengan aks 1.7. Akibatnya A, B, C dan D berbeda.
Perhatikan Aks 1.2. Terdapat satu grs yang melalui A dan C.
Karena B dan D terletak pada garis tersebut maka A, B, C dan D
kolinier.
Teorema berikut dapat digunakan sebagai latihan :
o Teorema 1.2 : Jika (A, B, C) dan (A, C, D) maka (A, B, C, D)
o Teorema 1.3 : Jika (A, B, C) dan (B, C, D) maka (A, B, C, D)
o Teorema 1.4 :
a. Jika (A, B, D) dan (A,C,D) dan B C maka (A, B,C) atau (A, C, D).
b. Jika (A,B,C) dan (A, B,D) dan C D maka (B, C, D) atau (B, D, C).
c. Jika (A, B,C) dan (A,B, D) dan C D maka (A, D, C) atau (A, C, D).

14. Definisi:
Misalkan O dan A dengan (O A) terletak pada garis g .
S 1 : Himp semua titik g yg memuat A dan X sedemikian
sehingga (O, X, A) atau (O, A, X) dan
S 2 : Himp semua titik X sedemikian sehingga (X, O, A).
S 1 dan S 2 disebut setengah garis (half line) dari garis g
terhadap O.
Definisi :
Jika S 1 dan S 2 saling asing, berlaku :
Untuk sebarang titik A pd S 1 dan B pada S 2 terdapat suatu titik
dalam S (S = S 1 S 2).
Untuk Sebarang dua elemen A dan B dalam himpunan yang
sama tidak terdapat dari S yang terletak diantaranya, maka
dikatakan S memisahkan S 1 sdan S 2.

15. 4. Segmen garis.
Definisi :
Ditentukan dua titik A dan B yang berbeda.
Himp semua titik X sedemikian sehingga (A, X, B)
disebut segmen.
Segmen garis AB disajikan
A x B
Segmen AB dengan A dan B sebagai Ujung
Perhatikan:
Segmen AB bersifat terbuka dan kontinu

16. Teorema
1.5 : A dan B bukan elemen
1.6 : =
1.7 : adalah subset dari
1.8 : Jika = maka A=C dan B=D atau C = B
dan A = D
1.9 : Ditentukan dan (A, P, B). adalah
subset dari
Buktikan teorema 1.11.
AB
AB BA
AB
ABAB
CDAB
PBdanAP
AB

17. Bukti :
Diketahui dan (A, P, B), berarti P terletak diantara
A dan B.
Adib segmen AP subset dari segmen AB.
Misalkan X adalah titik sebarang pada AP. Karena A, P,
B kolinier maka x terletak pada segmen AB.
Jadi karena setiap titik pada AP juga terletak pada
segmen AB maka segmen AP subset segmen AB.
Dengan Cara yang sama dpt ditunjukkan untuk segmen
PB.
AB

18. 5. Aksioma Pasch
Jika A, B, C adalah tiga titik yang berbeda dan tidak
kolinier, g adalah sebarang garis yang tidak melalui
A, B dan C, dan g memuat satu titik pada segmen
AC maka g juga memuat satu titik pada segmen BC
atau AB.
Perhatikan : A
B g
C
Teorema 1.10 :
Jika A, B, C titik yang berbeda dan tidak kolinier,
sebarang garis g yang memuat titik pada segmen AB
dan AC pastilah tidak memuat titik pada segemen
BC.

19. 6. Himpunan Konveks
Definisi :
Himpunan S disebut himpunan konveks jika sebarang dua titik P
dan Q anggota S maka segmen PQ terletak dalam S.
Contoh : Setiap segmen garis adalah himpunan konveks
A P Q B
7. Sinar
Definisi :
Sinar adalah himpunan semua titik pada suatu garis yang terletak
sepihak dengan O. Atau garis yang ditarik dari sebuah titik kearah
titik lain.
Contoh :
O
A B
Sinar AB atau
Titik A disebut pangkal dan arah AB disebut arah sinar.
AB

20. 8. Sudut.
Definisi :
Ditentukan 2 sinar berbeda yang tidak kolinier, misalkan
dengan titik pangkal Y. Union dari dua sinar tersebut
bersama titik pangkalnyadisebut sudut.
Titik Y disebut titik Sudut dan sinar-sinar tersebut disebut
kaki sudut.
Penyajian sudut diatas dengan sudut [XYZ] atau sudut
[ZYX]
Sedang besar sudut dinyatakan dengan XYZ atau Y.

21. Dlm pemb sudut [XYZ] disajikan dgn XYZ
Sudut dalam (interior) PQR adlh daerah seperti pd gamb
berikut.
Himpunan S (himpunan titik-2) adalah sudut dalam PQR.
Sudut Luar adalah daerah seperti yang ditunjukkan gb berikut.

22. a. Putaran (rotasi)
Jika sebuah sinar diputar pada titik pangkalnya (dari posisi AB ke AC) maka
terbentuk sudut BAC.
Besarnya sudut yang terbentuk tergantung seberapa besar memutar sinar
Awalnya.
b. Ukuran Sudut.
Besar suatu sudut adalah besar jarak putar kedua sisinya. Untuk
menyatakan besar sudut digunakan derajat.
Satu putaran ada 360
*) Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90 ,
*) Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180 .
*) Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0 dan 90
*) Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90 dan 180 .
Latihan :1. Lukislah sudut 90 , sudut 30 dan 60 hanya dengan
jangka dan penggaris.
C
B
A

23. c. Sudut berkomplemen yaitu dua sudut yang jumlahnya
90
Dari contoh tersebut, Jika sudut a dan b saling
komplemen maka jika besar sudut a= 30 maka sudut b
adalah 60.

24. d. sudut bersuplemen (berpelurus)
AOB dan BOC diktkn saling bersuplemen (berpelurus)
e. Sudut bersisian
Sudut-sudut yang bersisian adalah dua sudut yang
mempunyai titik sudut yang sama dan sebuah sisi yang
berimpit yang terletak diantara dua sisi yang lain.
AOB dan BOC adalah saling bersisian.
B
AC O
B
A
C
O

25. 9. Bidang
Bidang tidak didefinisikan.
Bidang dibedakan menjadi dua, yaitu bidang datar dan
bidang lengkung.
Suatu bidang disajikan dengan huruf kecil u, v, w dan
seterusnyaatau dengan huruf , , , ...
Contoh:
Bidang Datar bidang Lengkung
v
w

26. Beberapa Aksioma
Aksioma 1.8 :
Melalui tiga titik yang berbeda sekurang-kurangnya
dapat dibuat satu bidang datar.
Aksioma 1.9 :
Jika ada 2 titik yang berbeda dan terletak pada bidang
datar maka garis yang melalui dua titik tersebut
terletak pada bidang
10. Kedudukan dua garis
a. Dua garis berpotongan
Definisi : Dua garis dikatakan berpotongan jika dan
hanya jika mempunyai tidak lebih dari satu titik
persekutuan.

27. Perhatikan gb berikut.
Perhatikan
Kedudukan sudut P1 dan sudut P3 serta sudut P2 dan sudut P4 saling
bertolak belakang.
Teorema:
Dua sudut yang bertolak belakang besarnya sama
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa P1 = P3.
Sudut P1 dan P2 saling berpelurus sehingga P1+ P2 = 180
Demikian jg sdt P2 dan P3 saling berpelurus shg P2 + P3 = 180
Akibatnya P1 + P2 = P2 + P3 shg P1 = P3.
Jadi terbukti
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan P2 = P4
Sudut potong adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh
kedua garis yang berpotongan.
l
g
3 1
P
2
4

28. SEGITIGA
Definisi:
Misalkan diberikan 3 titik A, B, C yang tidak
kolinier. Himpunan yang merupakan Union dari
himpunan yang memuat A, B dan C saja dan
bersama dengan segmen AB, AC, dan BC disebut
segitiga.