Dokumen tersebut membahas tentang hiperboloida, yaitu himpunan titik di R3 dimana selisih jaraknya terhadap dua titik tetap (fokus) adalah konstan. Hiperboloida dibedakan menjadi dua tipe yaitu satu lembar dan dua lembar, dengan sifat-sifat dan persamaan yang berbeda. Diberikan juga contoh soal dan penyelesaiannya untuk menentukan persamaan hiperboloida dan bidang yang memb

1. Nama : Robiatul Adauwiyah
NIM : 170102040718
Mata Kuliah : GAR
Dosen Pengampu : Azis Muslim, M.Pd
HIPERBOLOIDA (hyperboloid)
A hyperboloid is the set of points in R3 such that for each point the difference of its distances
from two fixed point (the foci) is a constant. Dari definisi tersebut, dapat dikatakan bahwa
hiperboloida merupakan himpunan titik-titik di R3 yang selisih jaraknya terhadap dua titik tetap
yang disebut titik fokus adalah sama.
Hiperbolodia terbagi menjadi hiperboloida satu lembar (satu daun) dan hiperboloida dua lembar
(dua daun).
1. Hiperboloida Satu Lembar (Satu Daun)
Misalkan pada bidang XOYdan YOZmasing-masing ditentukan elips dan hiperbola dengan
persamaan (Gambar 1)
(I)
Dan
(II)
Gambar 1 Dua puncak elips menyinggung hiperbola

2. Dengan memperhatikan ketentuan-ketentuan seperti yang dilakukan pada konstruksi
permukaan elipsoida, gerakkan elips secara sejajar sepanjang sumbu OZ. Misalkan letak
elips di bidang z = . Menurut ketentuan tersebut, maka sumbu-sumbu elips baru akan
sejajar sumbu-sumbu lama dan pada bidang YOZ, titik (0, y, ) akan terletak di hiperbola
(II) sehingga berlaku
Atau
√
Karena elips di bidang z =  harus sebangun dengan di bidang XOY yang setengah sumbu-
sumbunya adalah adan b, maka perbandingan setengah sumbu-sumbu elips di bidang z = 
juga harus sama, yaitu a: b. Oleh sebab itu setengah sumbu-sumbu yang lain di bidang z = 
ini adalah
√
Jadi di persamaan elips di bidang z =  adalah
(III)
Jika parameter  dari persamaan z =  disubstitusikan ke persamaan (III), maka didapat
persamaan permukaan hiperboloida daun satu
Atau
(IV)
Dalam hal khusus jika a = b, maka permukaan tersebut berupa hiperboloida putar berdaun
satu.
Untuk mencari persamaan bidang singgung yang terjadi di titik T(x1, y1, z1), prosedurnya
dapat kita lakukan seperti halnya pada kasus elipsoida. Hasil yang diperoleh menurut cara
tersebut adalah
(V)

3. Tulislah persamaan (V) sebagai bentuk
( )( )
maka didapat hubungan
dan (VI)
Dari penyajian (IV) dan (VI) dapat disimpulkan bahwa hiperboloida daun satu (IV) dapat
dibangun oleh garis-garis hasil interseksi bidang-bidang (VI). Dengan demikian dari bentuk
(VI) disimpulkan beberapa sifat berikut:
a. Garis-garis dalam satu sistem (VI) tidak memiliki titik persekutuan. Misalkan garis-garis
didefinisikan oleh parameter berbeda 1 dan 2 sehingga
dan
dan
maka diperoleh hubungan
dan .
Jadi keduanya saling berlawanan tidak memiliki titik persekutuan.
b. Melalui satu titik di permukaan, ada satu garislurus untuk masing-masing sistem
tersebut. Pandang persamaan garis (VI) melalui titik T(x1,y1,z1), maka
dan
Jika harga  disubstitusikan dari satu kepada yang lain, didapat titik memenuhi
persamaan hiperboloida. Jadi hanya satu garis yang melalui titik tersebut.
c. Setiap garis lurus yang dibangun dari (VI) memotong semua garis lurus yang lain. pilih
satu garis lurus
dan
dan yang lain
dan ,
maka satu dengan yang lain saling bergantung, sebab bentuk persamaan yang didapat
adalah

4. ( )
dan
( )
Sifat-sifat Hiperboloida Daun Satu :
a) Pusat (0,0,0)
b) Bidang-bidang simetri adalah bidang XOY, YOZ, dan XOZ
c) Sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z merupakan sumbu simetri. Sumbu X dan sumbu Y
disebut sumbu nyata sedangkan sumbu Z disebut sumbukhayal dari hiperboola daun satu
d) Panjang sumbu adalah 2a dan 2b
e) Irisan dengan bidang sejajar bidang XOY merupakan ellips. Irisan dengan bidang sejajar
XOZ atau YOZ merupakan hiperbola
f) Mempunyai 4 puncak
Contoh soal:
Diketahui sebuah persamaan . Tentukan:
a. Persamaan hiperboloida satu daunnya
b. Persamaan bidang yang membentuknya
Penyelesaian:
a.
Jadi persamaan hiperboloida satu daunnya adalah
b. Persamaan berbentuk elips pada bidang xy, dan
Persamaan berbentuk hiperbola pada bidang xz, dan
Persamaan berbentuk hiperbola pada bidang yz, dan
2. Hiperbola Dua Lembar (Dua Daun)
Misalkan pada bidang XOY dan YOZ masing-masing ditentukan elips dan hiperbola dengan
persamaan (Gambar 2)
(VII)

5. dan
. (VIII)
Gambar 2 : Hiperboloida daun dua
Jika elips digerakkan sejajar sepanjang sumbu OZ, maka dengan menggunakan prosedur
seperti pada hiperboloida daun satu, di bidang z =  diperoleh elips
. (IX)
Jika parameter dari persamaan z =  disubstitusikan ke persamaan (IX), maka didapat
persamaan permukaan hiperboloida daun dua
. (X)
Dalam hal a = b, maka permukaan yang didapat berupa permukaan hiperboloida putar daun
dua.
Adapun bidang singgung di titik T(x1,y1,z1) pada permukaan, persamaannya diberikan oleh
bentuk :
(XI)
Sifat-sifat Hiperboloida Daun Dua :
a) Pusat (0,0,0)
b) Bidang-bidang simetri adalah bidang XOY, YOZ, dan XOZ
c) Sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z merupakan sumbu simetri. Sumbu X disebut sumbu
nyata sedangkan sumbu Y dan Z disebut sumbu khayal dari hiperboola daun dua
d) Panjang sumbu adalah 2a

6. e) Irisan dengan bidang sejajar bidang YOZ , yaitu bidang x = k, k ≥ a atau k≤ -a
merupakan ellips.
f) Mempunyai 2 puncak
Contoh Soal:
Diketahui sebuah persamaan . Tentukan:
a. Persamaan hiperboloida dua daunnya
b. Persamaan bidang yang membentuknya
Penyelesaian:
a.
Jadi persamaan hiperboloida dua daunnya adalah
b. Persamaan berbentuk elips pada bidang xy, dan
Persamaan berbentuk hiperbola pada bidang xz, dan
Persamaan berbentuk hiperbola pada bidang yz, dan
Referensi:
1. Materi Hiperboloida dari Bapak Azis Muslim, M.Pd
2. Djoko Adi Susilo & Sri Hariyani, Geometri Analitika (Datar dan Ruang), Malang:
Kanjuruhan Press, 2019.
3. Kusno, Geometri Rancang Bangun Studi Tentang Desain dan Pemodelan Benda dengan
Kurva dan Permukaan Berbantu Komputer, Jember: 2009.