Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Bab 6 turunan fungsi

7,428 views

Published on

Published in: Education, Sports, Technology

Bab 6 turunan fungsi

  1. 1. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '(c) didefinisikan sebagai: f '(c) f ( x) f (c) c x c lim x bila limitnya ada. Dengan penggantian x c h , jika x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: f '(c) f (c h) f (c) lim h 0 h 0 dan x c h,
  2. 2. Hitunglah f '(2) jika f ( x) 2x J awab f ( x) 2x (i) f '(c) f ( x) f (c) c x c lim x f ( x) f (2) 2x 2(2) f '(2) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 f (c h) f (c) (ii) f '(c) lim h 0 h f '(2) lim x 2( x 2) 2 f (2 h) f (2) 2(2 h) 2(2) lim h 0 h 0 h h 2h lim lim 2 2 h 0 h h 0 lim x 2 2 4 2h 4 0 h lim h lim 2 x 2
  3. 3. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di c, ditulis f ' (c) didefinisikan sebagai: f (c h) f (c) f ( x) f (c) f ' (c) lim atau f ' (c) lim h 0 x c h x c bila limitnya ada Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f di c, ditulis f ' (c) didefinisikan sebagai: f (c h) f (c) f ( x) f (c) f ' (c) lim atau f ' (c) lim h 0 x c h x c bila limitnya ada Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya jika f ' (c) f ' (c)
  4. 4. S elidiki apakah f ( x) x x ;x 0 x ;x 0 mempunyai turunan di x J awab Turunan kiri fungsi f di x 0 f ( x) f (0) ' f (0) lim lim x 0 x 0 x 0 Turunan kanan fungsi f di x f ( x) f (0) f ' (0) lim lim x 0 x 0 x 0 f ' (0) f ' (0) adalah sebagai berikut: x 0 lim ( 1 ) 1 x 0 x 0 adalah sebagai berikut: x 0 lim (1 1 ) x 0 x f ( x) tidak mempunyai turunan di x 0 0!
  5. 5. • Jika f mempunyai turunan di c , maka f kontinu di c. • Jika f(x) tidak kontinu di c maka f tidak mempunyai turunan di c. • Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan. • Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
  6. 6. Tunjukkan bahwa f ( x) | x 1| x 1 x 1 , x 1x 1 , tetapi tidak diferensiabel di x = 1 J awab : 1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1 f(1) = 0 lim f ( x) lim ( x 1 0 ) x 1 x 1 lim f ( x) lim x 1 0 x 1 x 1 lim f ( x) x 1 J lim f(x) adi x 1 0 f(1) J f ( x) | x 1| kontinu di x = 1 adi kontinu di x = 1
  7. 7. 2. S elanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau f ' (1 f ' (1 ? ) ) f ' (1 ) f ' (1 ) lim x 1 f ( x) f (1 ) x 1 lim x 1 f ( x) f (1 ) x 1 lim x 1 | x 1| | 0 | x 1 lim x 1 | x 1| | 0 | x 1 lim x 1 (x 1 ) x 1 lim x 1 Karena f ' (1 f ' (1 maka f ( x) | x 1| ) ) tidak diferensiabel di x = 1 1 x 1 1. x 1
  8. 8. Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan a. b. c. f ( x) f ( x) f ( x) x2 , x 1 ;x= 1 2x 3 , x 1 x2 x ,x 0 sin x 1, x 0 ;x= 0 x2 ,jika x 0 x ,0 x 1 ; x 1 x2 ,jika x 1 0 dan x 1
  9. 9. Turunan y f ( x) terhadap x dinotasikan dengan y' atau f '( x) . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan y f ( x) terhadap x di antaranya dalah: dy d , f ( x), Dx y, Dxf ( x) . dx dx dy Notasi dikenal sebagai notasi Leibniz. dx
  10. 10. T urunan Fungsi Konstan Misalkan f ( x) f '( x) 0 f '( x) k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka lim h f ( x h) f ( x) 0 h k k 0 h lim h 0 0h lim h Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a. f ( x) 2 b. f ( x) 15 c. f ( x) J awab a. f ( x) b. c. 22 2 f '( x) 0 f ( x) 15 f '( x) 0 f ( x) 22 f '( x) 0 lim 0 h 0 0
  11. 11. T urunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil Misalkan f ( x) kxn dimana k,n  maka f '( x) Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut: (nk) xn 1 2x3 a. f ( x) b. f ( x) 15x 3 c. J awab f ( x) 1 5x 4 a. f ( x) 2x3 b. f ( x) 15x c. f ( x) f '( x) 3 1 5x 4 f '( x) f '( x) (3)(2) x3 1 ( 3)(15) x 6x2 31 1 1 1 (5)x 4 4 45x 5 x 4 3 4 4
  12. 12. T urunan Kelipatan Fungsi Misalkan f ( x) k u( x) n dimana u( x) merupakan n1 fungsi dari x maka f '( x) (n)(k) u( x) u'( x) Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: 2(3x 4)3 a. f ( x) b. f ( x) 15(4 x 1 ) 3
  13. 13. f ( x) 2(3x 4)3 f '( x) a. (3)(2)(3x 4)3 1(3x 4)' 6(3x 4)2 (3) 18(3x 4)2 b. f ( x) 15(4 x 1 ) f '( x) 3 ( 3)(15)(4x 1 ) 31 ( 45)(4x 1 4 (4) ) 180(4x 1 ) 4 (4x 1 )'
  14. 14. Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut: (i) f ( x) sin x f '( x) cos x (ii) f ( x) sin(u( x)) f '( x) cos x u'( x) (iii) f ( x) cos x f '( x) sin x sin x u'( x) (iv) f ( x) cos(u( x)) f '( x) (v) f ( x) tan x f '( x) (vi) f ( x) tan(u( x)) sec2 x f '( x) sec2 (u( x)) u'( x)
  15. 15. Tentukan rumus fungsi berikut: a. f ( x) sin(5x) b. f ( x) c. f ( x) d. f ( x) sin( x2 2x) cos( 15 x) 3 2 cos(2x x e. f ( x) tan(2x) f. f ( x) 3 tan( x 2 3x ) 4x)
  16. 16. a. b. f ( x) sin(5x) f '( x) cos(5x) (5x)' f ( x) sin( x2 cos5x 5 2x) c. cos( x2 2x) ( x2 cos( x2 f '( x) 5cos(5x) 2x) (2x 2) 2x)' (2x 2)cos( x2 2x) f ( x) cos( 15 x) f '( x) sin( 15 x) ( 15 x)' sin( 15 x) ( 15) 1 sin( 1 x) 5 5
  17. 17. d. f ( x) cos(2x3 x2 4x) sin(2x3 x2 4x) (2x3 x2 sin(2x3 f '( x) x2 4x) (6x2 2x 4) f ( x) f '( x) e. (6x2 2x 4)sin(2x3 tan(2x) x2 sec2 (2x) (2x)' sec2 (2x) 2 2sec2 (2x) f. f ( x) tan( x3 3x2 ) f '( x) sec2 ( x3 3x2 ) ( x3 3x2 )' sec2 ( x3 3x2 ) (3x2 6x) (3x2 6x)sec2 ( x3 3x2 ) 4x)' 4x)
  18. 18. T urunan J umlah, Selisih, H asil Kali, dan H asil Bagi Dua Fungsi Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi f g,f g,fg, f g ( g( x) 0) terdiferensialkan pada selang I dengan aturan sebagai berikut: a. (u v)' u' v' a. (f g)'( x) f '( x) g'( x) b. (u v)' u' v' b. (f g)'( x) f '( x) g'( x) c. (uv)' u' v uv' c. (fg)'( x) f '( x)g( x) f ( x)g'( x) ' d. f ( x) g f '( x)g( x) f ( x)g '( x) ( g( x))2 d. u v ' u' v uv ' v2
  19. 19. Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut ini! a. b. f ( x) 2x3( x 5)5 f ( x) 5x4 (2x 1 3 ) f ( x) 2x3( x 5)5 J awab a. Misalkan u 2x3 dan v ( x 5)5 u' 6x2 dan v ' (uv)' u' v uv ' 5( x 5)4 (6x2 )( x 5)5 (2x3 )(5( x 5)4 ) 6x2 ( x 5)5 10x3( x 5)4 f '( x) 6x2 ( x 5)5 10x3( x 5)4
  20. 20. b. 5x4 (2x 1 3 ) f ( x) Misalkan u 5x4 dan v 20x3 dan v ' u' u v ' (2x 1 3 ) 6(2x 1 2 ) u' v uv ' v2 (20x3 )(2x 1 3 5x4 (6(2x 1 2 ) ) ) 3 2 (2x 1 ) 20x3(2x 1 3 30x4 (2x 1 2 ) ) (2x 1 6 ) f '( x) 20x3(2x 1 3 30x4 (2x 1 2 ) ) (2x 1 6 )
  21. 21. Misalkan y f (u) dan u g( x) . J fungsi g mempunyai turunan di x dan Ika fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y (f  g)( x) f g( x) ditentukan sebagai berikut: dy du du dx dy J y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : ika dx (f  g)'( x) f ' g( x) g'( x) atau dy dx dy du dv du dv dx Cont oh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai! a. y (3x b. y (2x4 5)5 3x3 c. 4 x2 13 ) d. y 2x2 y sin(2x4 4x 1 3x3 )
  22. 22. a. y (3x 5)5 dy 5 y u du dy dy du dx du dx 5u4 3 4 5u dan u 15u4 15(3x 5) 4 3x 5 du dx 3
  23. 23. b. y (2x4 y u dy dx u3 2x 4 3x3 4x2 1 3 ) dy 3u2 du 3 2 3x 4x dy du du dx 3u2 (8x3 9x2 1 du dx 8x3 9x2 8x 8x) (24 x3 27 x2 24 x)u2 (24 x3 27 x2 24 x)(2x4 3x3 4 x2 1 2 )
  24. 24. c. y 2x2 4x 1 dy 1 12 1 y u u 2 du 2 u du u 2x2 4 x 1 4x 4 dx dy dy du dx du dx 1 (4 x 4) 2 u 4( x 1 ) 1 u2 2 2x2 4x 1 2( x 1 ) 2x2 4x 1
  25. 25. d. 3x3 ) dy y sinu cosu dan u du dy dy du dx du dx sinu (8x3 27 x2 ) y sin(2x4 sin(2x4 3x3 )(8x3 2 x4 27 x2 ) 3x3 du dx 8x3 27 x2
  26. 26. Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi. J y f ( x) maka ika dy df f '( x) Turunan pertama : y' dx dx d2 y Turunan kedua : y'' dx2 d3y Turunan ketiga : y''' dx3 d4 y (4) Turunan keempat : y dx4 . . . . . . dny (n) Turunan ke-n : y dxn d2f f ''( x) 2 dx d3f f '''( x) dx3 d4f f (4) ( x) dx4 dnf dxn f (n) ( x)
  27. 27. Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini! a. y 2x6 5x3 b. y sin x J awab: a. y 2x6 5x3 y ' 12x5 15x2 y '' 60x4 y ''' 240x3 30 y(4) 720x2 30x b. y sin x y ' cos x y '' sin x y ''' cos x y(4) sin x
  28. 28. dy jika: dx 1. Tentukan a. 2x3 y b. y c. 4x 3 (2x2 y 4x2 2x 2 x 5 x 3x)( x4 1 3x3 x) 2x2 x 1 y x 1 1 sin x d. y cos x 2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama 2x 3 10 a. y b. y x2 c. y x 1 x 1 d. y e. y cos 4x2 x f. y sin2 3x2 2x 3x 1 2 sin3 x dy dari: dx
  29. 29. Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Turunan 1. Diketahui f ( x) 1 9 a. b. c. 1 , f '(3) .... x 1 6 e. Tidak ada jawab yang benar d. 1 9 1 6 2. Turunan pertama dari y a. y b. y c. y 2 x2 2 x2 2 x2 1 x3 2 x3 1 x3 2 x 1 adalah …. 2 x d. y e. y 2 x2 2 x2 2 x3 2 x3
  30. 30. 3. Misalkan y ( x2 2)( x3 1) . Turunan pertama dari y adalah …. a. y 5 x 4 6 x 2 2 x d. y 5 x 4 6 x 2 2 b. y 5 x 4 3x 2 1 e. y 5 x 4 6 x 2 5x4 2 x 2 x 1 dy 4. Nilai dari y adalah …. x 1 dx dy 2 a. dx ( x 1)2 dy 1 b. dx ( x 1)2 dy 2 x 2 c. dx ( x 1)2 c. y dy d. dx dy e. dx 2x ( x 1)2 2x 1 ( x 1)2
  31. 31. 5. Turunan kedua dari y (4 x 7)10 adalah …. a. y (160 x 280)8 b. y c. y 6. Jika y a. b. c. (x (x (x 1440(4 x 7)8 d. y e. y 360(4 x 7)8 1440(160 x 280)8 40(4 x 7)8 d3y , berapakah nilai dari …. 3 dy x 3 1 3) 4 2 3) 4 2 3) 4 1 d. e. 6 ( x 3) 4 6 ( x 3) 4
  32. 32. 7. Turunan ketiga dari y sin(3x) adalah …. a. y 27 cos(3x) b. y 9sin(3x) c. y 27sin(3x) 8. Misalkan x2 jika x 1 , nilai f ( x) 2 x 1 jika x 1 dari f (1) adalah …. a. 0 b. 3 c. 1 d. y e. y 9cos(3x) 27 cos(3x) d. 2 e. tidak ada
  33. 33. 9. Nilai a, b, dan c dari g( x) ax2 bx c bila g(1) = 5, g’(1) =3 dan g’’(1)=- 4 adalah …. a. a = -2 , b = 4, c = 0 b. a = -2 , b = 0, c = 2 c. a = -2 , b = - 7, c = 0 d. a = 2 , b = 7, c = 0 e. a = -2 , b = 7, c = 0 10. Diketahui f ( x) x2 x 3 ,x 1 pernyataan berikut yang benar adalah 1 2 x ,x 1 …. a. f ( x) differensiabel di x 1 dan f '(1) 1 b. f ( x) differensiabel di x 1 dan f '(1) 1 c. f ( x) tidak differensiabel di x 1 d. f ( x) tidak differensiabel di x 1 e. Tidak ada jawab yang benar

×