TURUNAN DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL
TURUNAN /
DIFERENSIAL

4.1 Devinisi Turunan (Derivatif)
Turunan fungsi f adalah f ’ yang nilainya pada
bilangan x dan didefinisikan oleh :
untuk semua x dengan limit tersebut ada.
h
xfhxf
xf
h
)()(
)(' lim0




 Contoh
Andaikan
cari f ‘ (4) ?
Penyelesaian :
h
h
h
fhf
f
hh
]6)4(13[]6)4(13[)4()4(
)4(' limlim 00





613)(  xxf
1313
13
limlim 00

 hh h
h

 Keterdiferensial Menunjukkan
Kekontinuan
Teorema A
Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c

Bukti
 Kita perlu menunjukkan )()(lim0
cfxf
h


),(
)()(
)()( cx
cx
cfxf
cfxf 



cx 

Karenanya









)(
)()(
)()( limlim cx
cx
cfxf
cfxf
chcx
)(
)()(
)( limlimlim cx
cx
cfxf
cf
cxcxcx





)(
0).(')(
cf
cfcf



Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan
x
)x(f-)x+x(f
mil=)x('f x 0
y
mil= x 0 x
Karena y = f(x) maka persamaan itu dapat
pula dinyatakan dalam bentuk:

mil=)x('f x 0
f
x
y
milx 0 x
milx 0
f
xBentuk-bentuk serta
Lazim dinotosikan dengan yangdf
dx
disebut dengan notasi leibniz

Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) =
y dapat digunakan notasi-notasi berikut:
df
dx
)x('f atau
df
dx
Notasi dapat juga ditafsirkan sebagai:
df
dx
dy
dx
)f(
xd
d
)y(
xd
d= dan =

dimana
xd
d
dy
dx
df
dx
menyatakan operasi turunan
terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y
terhadap x dan dibaca turunan f terhadap
x
Jadi apabila ada persamaan , maka
adalah 2X
1+2
x
dy
dx

4.2 Aturan Pencarian Turunan
Proses pencarian turunan suatu fungsi
langsung dari definisi turunan, yakni dengan
menyusun hasil bagi selisih dan menghitung
limitnya.
h
xfhxf )()( 

Teorema A
 (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk
sembarang x, f’(x)=0
0)( kD

 Bukti
00
)()(
)(' limlimlim 000





 hhh h
kk
h
xfhxf
xf

Teorema B
 (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1
1)( kD

 Bukti
1
)()(
)(' limlimlim 000





 h
h
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhh

Teorema C
 (Aturan Pangkat)
, dengan n bilangan bulat positif,
maka
n
xxfJika )(.
1
)(' 
 n
nxxf
1
)( 
 nn
nxxD

 Bukti
h
xhx
h
xfhxf
xf
nn
hh





)()()(
)(' limlim 00
h
xhnxhhx
nn
hnxx nnnnnn
h






1221
0
...
2
)1(
lim
h
hnxhhx
nn
hnxh nnnn
h










1221
0
...
2
)1(
lim

Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang
pertama mempunyai h sebagai faktor,sehingga
masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila
h mendekati nol, jadi
Ilustrasi Teorema C
1
)(' 
 n
nxxf
23
3)( xxD 

Teorema D
 (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi
yang terdefinisikan, maka )('.)()'( xfkxkf 
)(.)](.[ xDfkxfkD 

 Bukti
Andaikan makaxfkxF ),(.)( 
h
xfkhxfk
h
xFhxF
xF
hh
)(.)('.)()(
)( limlim 00





h
xfhxf
k
h
xfhxf
k
hh
)()(
.
)()(
limlim 00





)('. xfk

Teorema E
 (Aturan Jumlah)
Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,
maka )()()()'( xgxfxgf 
)()()]()([ xDgxDfxgxfD 

 Bukti
Andaikan makaxgxfxF ),(/)()( 
h
xgxfhxghxf
xF
h
)]()([)()([
)( lim0








 



 h
xghxg
h
xfhxf
h
)()()()(
lim0
h
xghxg
h
xfhxf
hh
)()()()(
limlim 00





)(')(' xgxf 

Teorema F
 (Aturan Selisih)
maka )()()()'( xgxfxgf 
)()()]()([ xDgxDfxgxfD 

 Bukti
)]()1()([)]()([ xgxfDxgxfD 
)]()1[()( xgDxDf 
)()1()( xDgxDf 
)()( xDgxDf 

 Contoh
)6()7()5( 2
DxDxD 
)6()75()675( 22
DxxDxxD 
)6()(7)(5 2
DxDxD 
01.72.5  x
710  x

Teorema G
 (Aturan Perkalian)
maka )(')()()()()'*( xfxgxgxfxgf 
)()()()()]()([ xDfxgxDgxfxgxfD 

 Contoh
cari turunan dari )2)(53( 42
xxx 
)53()2()2()53()]2)(53[( 244242
 xDxxxxDxxxxD
)6)(2()18)(53( 432
xxxxx 
25325
612540324 xxxxx 
594036 235
 xxx

Teorema H
 (Aturan Hasilbagi)
Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan
dengan
Yaitu,
makaxg ,0)( 
)(
)(')()(')(
)( 2
'
xg
xgxfxfxg
x
g
f 






)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xDgxfxDfxg
xg
xf
D



 Contoh 1
Cari turunan dari
22
2
)7(
)2)(53()3)(7(



x
xxx
)7(
)53(
2


x
x
22
22
2
)7(
)7()53()53()7(
)7(
)53(










x
xDxxDx
x
x
D
22
2
)7(
21103



x
xx

 Contoh 2
Buktikan aturan Pangkat berlaku untuk
pngkat integral negatif; yaitu
Penyelesaian
1
)( 
 nn
nxxD
1
2
1
2
1
.10.1
)( 












 n
n
n
n
nn
n
n
nx
x
nx
x
nxx
x
DxD

4.3 Turunan Sinus dan Kosinus
 Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanya
dapat didiferensialkan.
xxD cos)(sin 
xxD sin)(cos 

 Contoh
Cari
Penyelesaian
)cos2sin3( xxD 
)(cos2)(sin3)cos2sin3( xDxDxxD 
xx sin2cos3 

 Pembuktian Dua Pernyataan Limit
1
sin
lim0

 t
t
t
0
cos1
lim0



 t
t
t

 Contoh
?.....
sin
cos1
lim0



 t
t
t
0
1
0
sin
cos1
sin
cos1
limlim 00






t
t
t
t
t
t
tt

4.4 Aturan Rantai
 (Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x)
menentukan fungsi komposit
. Jika g terdiferen-
sialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x),
maka terdiferensialkan di x dan
yakni,
gf 
))(())(( xgfxgfy 
)('))((')()'( xgxgfxgf 
uyDDyD xux 

 Contoh
Jika
Penyelesaian : kita pikirkan ini sebagai
dan
Jadi,
yDxcarixxy ,)142( 602

60
uy  142 2
 xxu
uDyDyD xux .
)44)(60( 59
 xu
)44()142(60 592
 xxx

4.5 Turunan Tingkat Tinggi
 Operasi pendiferensialan mengambil sebuah
fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi
baru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkan
menghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’
dan disebut turunan kedua dari f, dan
seterusnya.

 Contoh
0)(""
12)('''
812)(''
786)('
:
8742)(
2
23





xf
xf
xxf
xxxf
maka
xxxxf

4.6 Diferensial Terdefinisi
 Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x dan
andaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubah
bebas x, menyatakan pertambahan
sembarang dari x. Diferensil yang
bersesuaian dengan dy dari peubah tak
bebas y didefinisikan oleh :
dxxfdy )('

 Aturan Pangkat
Andaikan r bilangan rasional sembarang,
maka
1
)( 
 rr
x rxxD

 Contoh
Cari dy jika 133
 xxy
dxxdy )33( 2


Rumus turunan

RUMUS-RUMUS TURUNAN

TRIGONOMETRI

Soal ke-1
Jika f(x) = 3x2
+ 4 maka nilai f1
(x) yang
mungkin adalah ….
A. 3x C. 9x2
E. 12x2
B. 6x D. 10x2

Pembahasan
f(x) = 3x
2
+ 4
f
1
(x) = 6x

Jawaban soal ke-1
Jika f(x) = 3x2
+ 4 maka nilai f1
(x) yang
mungkin adalah ….
A. 3x C. 9x2
E. 12x2
B. 6x D. 10x2

Soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
f(x) = 2(x)2
+ 12x2
– 8x + 4 adalah …
A. x2
– 8x + 5 D. 6x2
+ 24x + 8
B. 2x2
– 24x – 2 E. 6x2
+ 24x – 8
C. 2x2
+ 24x – 1

Pembahasan
f(x) = 2x
3
+ 12x
3
– 8x + 4
f1
(x) = 6x2
+ 24x – 8

Jawaban soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
f(x) = 2(x)2
+ 12x2
– 8x + 4 adalah …
A. x2
– 8x + 5 D. 6x2
+ 24x + 8
B. 2x2
– 24x – 2 E. 6x2
+ 24x – 8
C. 2x2
+ 24x – 1

Soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5 D. 12x – 5
B. 24x – 5 E. 12x – 10
C. 12x + 5

Pembahasan
f(x) = (3x-2)(4x+1)
f
1
(x) = 12x
2
+ 3x – 8x – 2
f(x) = 12x
2
– 5x – 2
f
1
(x) = 24x – 5

Jawaban soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5 D. 12x – 5
B. 24x – 5 E. 12x – 10
C. 12x + 5

Soal ke- 4
1-5
2-51-5
1-55
1-61
2x4xC.
2x4xE.2x2xB.
2x4xD.2x2xA.
adalah...2xx
3
2
f(x)dari(x)fNilai





Pembahasan
22x-4x(x)f
(-1).x2x
3
2
6.(x)f
2xx
3
2
f(x)
-51
1-1-1-61
1-6




Jawaban Soal ke- 4
1-5
2-51-5
1-55
1-61
2x4xC.
2x4xE.2x2xB.
2x4xD.2x2xA.
adalah...2xx
3
2
f(x)dari(x)fNilai





Soal ke- 5
33xD.3xB.
1x3E.2x3C.x3A.
...adalah3xydari1-keTurunan
22
6




Pembahasan
21
3
2
6
6
3xy
3xy
3xy
3xy





Jawaban Soal ke- 5
33xD.3xB.
1x3E.2x3C.x3A.
...adalah3xydari1-keTurunan
22
6




Soal ke- 6
Jika f(x) = (2x – 1)
3
maka nilai f
1
(x) adalah …
A. 12x
2
– 3x + 12 D. 24x
2
– 12x + 6
B. 12x
2
– 6x – 3 E. 24x
2
– 24x + 6
C. 12x
2
– 6x + 3

Pembahasan
f(x) = (2x – 1)
3
f
1
(x) = 3(2x – 1)
2
(2)
f
1
(x) = 6(2x – 1)
2
f
1
(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)
f
1
(x) = 6(4x
2
– 4x+1)
f
1
(x) = 24x
2
– 24x + 6

Jawaban Soal ke- 6
Jika f(x) = (2x – 1)
3
maka nilai f
1
(x) adalah …
A. 12x
2
– 3x + 12 D. 24x
2
– 12x + 6
B. 12x
2
– 6x – 3 E. 24x
2
– 24x + 6
C. 12x
2
– 6x + 3

Soal ke- 7
Turunan pertama dari f(x) = (5x
2
– 1)
2
adalah …
A. 20x
3
– 20x D. 5x
4
– 10x
2
+ 1
B. 100x
3
– 10x E. 25x
4
– 10x
2
+ 1
C. 100x
3
– 20x

Pembahasan
f(x) = (5x2
– 1)3
f1
(x) = 2(5x2
– 1) (10x)
f1
(x) = 20x (5x2
– 1)
f1
(x) = 100x3
– 20x

Jawaban Soal ke- 7
Turunan pertama dari f(x) = (5x
2
– 1)
2
adalah …
A. 20x
3
– 20x D. 5x
4
– 10x
2
+ 1
B. 100x
3
– 10x E. 25x
4
– 10x
2
+ 1
C. 100x
3
– 20x

Soal ke- 8
32
2
1-
2
22
2
3x)-(4x)
2
3-(4xC.
3x)-(4x)
2
3(4xE.3)(2x4x)-
3
2(B.
3x)(4x)
2
3-(4xD.8)(2x4)-x
3
2(A.
adalah...3x4xf(x)daripertamaTurunan




Pembahasan
2
1
3x)2)(4x
2
3
(4x(x)f
3)(8x2
1
3x)2(4x
2
1
(x)f
2
1
3x)(4xf(x)
3x4xf(x)
1
1
2
2








Jawaban Soal ke- 8
32
2
1
-2
22
2
3x)-(4x)
2
3
-(4xC.
3x)-(4x)
2
3
(4xE.3)(2x4x)-
3
2
(B.
3x)(4x)
2
3
-(4xD.8)(2x4)-x
3
2
(A.
adalah...3x4xf(x)daripertamaTurunan




Soal ke- 9
Turunan pertama dari
f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2)
adalah …
A. 3x2
– 12 D. 9x2
– 12
B. 6x2
– 12 E. 9x2
+ 12
C. 6x2
+ 12

Pembahasan
f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2)
Cara 1:
Misal : U = 3x2
– 6x
U1
= 6x – 6
V = x + 2
V1
= 1

Pembahasan
Sehingga:
f1
(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x2
+6x).1
f1
(x) = 6x2
+12x – 6x – 12+3x2
– 6x
f1
(x) = 9x2
– 12

Pembahasan
f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2)
Cara 2:
f1
(x) = 3x-3
+6x2
– 6x3
– 12x
f1
(x) = 9x2
+12x –12x – 12
f1
(x) = 9x2
– 12

Jawaban Soal ke- 9
Turunan pertama dari
f(x) = (3x2
– 6x) (x + 2)
adalah …
A. 3x2
– 12 D. 9x2
– 12
B. 6x2
– 12 E. 9x2
+ 12
C. 6x2
+ 12

Soal ke- 10
1-8x-24xC.
18x-16x
11-
E.18x16xB.
1-8x-24xD.18x-16xA.
...adalah
1-4x
2)(3x
f(x)daripertamaTurunan
2
2
2
22






Pembahasan
4V
1-4xV
3U
23xU
:Misal
1-4x
23x
f(x)
1
1







Pembahasan
2
1
2
11
1
1)(4x
2)4(3x1)3(4x
(x)f
V
UV-VU
(x)f
:Maka





Pembahasan
18x16x
11
(x)f
18x16x
812x312x
(x)f
2
1
2
1







Jawaban Soal ke- 10
1-8x-24xC.
18x-16x
11-
E.18x16xB.
1-8x-24xD.18x-16xA.
...adalah
1-4x
2)(3x
2
2
2
22






Soal ke- 11
3
2
D.
3
4
B.
3
1
E.1C.
3
5
A.
...adalahmungkinyangNilai4.(x)1fJika
64x-23xf(x)Diketahui



Pembahasan
f(x) = 3x2
– 4x + 6
f1
(x) = 6x – 4
 Jika f1
(x) = 4

Pembahasan
3
4
x
6
8
x
86x
6x8
6x44
46x4
:Maka







Jawaban Soal ke- 11
3
2
D.
3
4
B.
3
1
E.1C.
3
5
A.
...adalahmungkinyangNilai4.(x)1fJika
64x-23xf(x)Diketahui



Soal ke- 12
Diketahui f(x) = 5x
2
+3x+7. Nilai f
1
(-2)
Adalah ….
A. -29 D. -7
B. -27 E. 7
C. -17

Pembahasan
f(x) = 5x
2
– 3x + 7
f
1
(x) = 10x – 3
Maka untuk f
1
(-2) adalah…
f
1
(-2) = 10(-2)+3
f
1
(-2) = -20+3
f
1
(-2) = -17

Jawaban Soal ke- 12
Diketahui f(x) = 5x
2
+3x+7. Nilai f
1
(-2)
Adalah ….
A. -29 D. -7
B. -27 E. 7
C. -17

Soal ke- 13
3D.3-B.
6E.0C.6-A.
...adalah
2
11
fNilai
165x
2
4x-
3
2xf(x)Diketahui








Pembahasan
...adalah
2
1
funtukMaka
12-12x(x)f
512x-6x(x)f
16-5x6x-2xf(x)
"
"
2"
23










Pembahasan
6-
2
1
f
12-6
2
1
f
12-
2
1
12
2
1
f
"
"
"
























Soal ke- 14
 
3
4x)-
2
(2x12)-(18x(x)
1
fE.
3
4x)-
2
(3x12)-(18x(x)
1
fD.
3
4x)-
2
(3x12)-(18x(x)
1
fC.
5
2)
2
(3x2)-(18x(x)
1
fB.
5
1)-
2
(3x12)-(18x(x)
1
fA.
62
adalah...4x3x
2
1







Pembahasan
52
52
162
62
4x)12)(3x(18x(x)1f
4)(6x4x)3(3x(x)1f
4)(6x4x)(3x
2
1
6.(x)1f
4x)(3x
2
1
f(x)






Jawaban Soal ke- 14
 
5
4x)-
2
12)(2x-(18x(x)
1
fE.
5
4x)-
2
12)(3x-(18x(x)
1
fD.
5
4x)-
2
12)(3x-(18x(x)
1
fC.
5
2)
2
2)(3x-(18x(x)
1
fB.
5
1)-
2
12)(3x-(18x(x)
1
fA.
62
adalah...4x3x
2
1







Soal ke- 15
3
4
D.
3
2
B.
3
5
E.1C.
3
1
A.
12
adalah...mungkinx yangnilaimaka
)
2
1
(funtuk13x6xf(x)Diketahui 

Pembahasan
x2
3-12x
2
1
:maka
2
1
(x)funtuk
3-12x(x)f
13x26xf(x)
1
1






Pembahasan
3
1
x
24
8
x
824x
24x8
24x62
624x2







Jawaban Soal ke- 15
3
4
D.
3
2
B.
3
5
E.1C.
3
1
A.
12
adalah...mungkinx yangnilaimaka
)
2
1
(funtuk13x6xf(x)Diketahui 

Soal ke- 16
 
4-8xD.28xB.
48xE.2-8xC.1xA.
adalah...1-2xf(x)
:daripertamaTurunan
4
4
8




Pembahasan
2
4
8
1)-(2xf(x)
1)-(2xf(x)
1)-(2xf(x) 4 8




Pembahasan
48x(x)f
1)4(2x(x)f
1)(2)2(2x(x)f
1
1
1




Jawaban Soal ke- 16
 
4-8xD.28xB.
48xE.2-8xC.1xA.
adalah...1-2xf(x)
:daripertamaTurunan
4
4
8




Soal ke- 17
 
1D.1-B.
25
31
E.0C.
25
31
-A.
adalah...
mungkinx yangnilaiMaka2.yuntuk
1-2xydaripertamaTurunan
1
3 6



Pembahasan
6)-10(5xy
(5)6)-2(5xy
6)-(5xy
6)-(5xy
6)(5xy
1
3
6
3 6
2






Pembahasan
25
31
x
50
62
x
6250x
50x602
60-50x2
:maka2,yUntuk 1







Jawaban Soal ke- 17
 
1D.1-B.
25
31
E.0C.
25
31
-A.
adalah...
mungkinx yangnilaiMaka2.yuntuk
1-2xydaripertamaTurunan
1
3 6



SELAMAT BELAJAR

LATIHAN TUGAS 3

TRIGONIMETRI

TURUNAN DIFERENSIAL

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (9)

Similar to TURUNAN DIFERENSIAL

Similar to TURUNAN DIFERENSIAL (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

TURUNAN DIFERENSIAL