1. Dimensi Tiga
(Proyeksi & Sudut)
1

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
2

3. Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
3

4. Proyeksi titik pada garis
P Dari titik P
ditarik garis m garis k
m
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
k hasil proyeksi
Q
titik P pada k
4

5. Contoh
H G
E Diketahui
F
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
D T C
titik A pada garis
A B
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).
5

6. Pembahasan
H G
Proyeksi titik A pada
E F a. BC adalah titik B
(AB BC)
A’
D T C b. BD adalah titik T
A B (AC BD)
c. ET adalah titik A’
(AC ET)
6

7. Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik P
P di luar bidang H
ditarik garis g H.
g Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
P’ proyeksi titik P
di bidang H
7

8. Contoh
H G
E
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
D C pada bidang ABCD
A B adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….
8

9. Pembahasan
H G a. Proyeksi titik E
E F pada bidang ABCD
adalah A
P
(EA ABCD)
D C b. Proyeksi titik C
A B pada bidang BDG
adalah P
CE BDG
9

10. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis
A
B ke sebuah bidang
g dapat diperoleh
dengan memproyek-
sikan titik-titik yang
terletak pada garis itu
A’ g’ ke bidang.
B’
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
10

11. Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h maka
proyeksi garis h pada bidang
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang maka
g’ yaitu proyeksi garis g pada
dan sejajar garis g
11

12. Contoh 1
H G
E
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
D C pada bidang ABCD
A B adalah….
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….
12

13. Pembahasan
H Ga.
E
Proyeksi garis EF
F
pada bidang ABCD
berarti menentukan
D C proyeksi titik E dan F
A B pada bidang ABCD,
yaitu titik A dan B
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB
13

14. Pembahasan
b. Proyeksi garis CG
H G pada bidang BDG
E F berarti menentukan
P proyeksi titik C
D C dan titik G
A 6 cm B pada bidang BDG,
yaitu titik P dan G
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?
14

15. H G •Panjang proyeksi CG
E F pada BDG adalah
panjang garis PG.
P
D
R •PG = ⅔.GR
C
A B
6 cm
= ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm
15

16. Contoh 2
Diketahui limas
T beraturanT.ABCD
dengan panjang AB
= 16 cm, TA = 18 cm
D C Panjang proyeksi TA
A 16 cm B pada bidang ABCD
adalah….
16

17. Pembahasan
Proyeksi TA
T pada bidang ABCD
adalah AT’.
Panjang AT’= ½AC
D C = ½.16√2
T’
A 16 cm B = 8√2
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm
17

18. Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
18

19. Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan
m besar sudut antara
dua garis adalah
k
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
19

20. Contoh
Diketahui
H
kubus ABCD.EFGH
G
E F Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
D C
A
b. AH dengan AF
B
c. BE dengan DF
20

21. Pembahasan
Besar sudut antara
garis-garis:
H G a. AB dengan BG
E F
= 900
b. AH dengan AF
D C = 600 (∆ AFH smss)
A B c. BE dengan DF
= 900 (BE DF)
21

22. Sudut antara
Garis dan Bidang
P Sudut antara
garis a dan bidang
dilambangkan (a, )
Q adalah sudut antara
P’ garis a dan
proyeksinya pada .
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
= PQP’
22

23. Contoh 1
H G Diketahui
E F
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
D C
A 6 cm B Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
23

24. Pembahasan
H G Proyeksi garis BG
E F pada bidang ACGE
adalah garis KG
D C
(K = titik potong
K
A 6 cm B AC dan BD)
Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)
= BGK
24

25. Pembahasan
H G BG = 6√2 cm
E F BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
D C ∆BKG siku-siku di K
K
A 6 cm B
BK 3 21
sin BGK = BG 6 2 2
Jadi, besar BGK = 300
25

26. Contoh 2
H G Diketahui
E F
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
D C
A 8 cm B
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….
26

27. Pembahasan
H P G tan (CG,AFH)
E F = tan (PQ,AP)
= tan APQ
1
D AQ AC
C = 2
A Q B
PQ GC
8 cm
1
.8 2 4 2
= 2
8 8
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2
27

28. Contoh 3
T
a cm
Pada limas
segiempat beraturan
D C
a cm
T.ABCD yang semua
A B
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
28

29. Pembahasan
T • TA = TB = a cm
a cm • AC = a√2 (diagonal
persegi)
D C • ∆TAC = ∆ siku-siku
A a cm B samakaki
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450
29

30. Sudut antara
Bidang dan Bidang
Sudut antara
h
bidang dan bidang
( , ) adalah sudut antara
g garis g dan h, dimana
g ( , ) dan h ( , ).
( , ) garis potong bidang dan
30

31. Contoh 1
H G
E
Diketahui kubus
F
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
D C antara bidang BDG
A B dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
31

32. Pembahasan
a. (BDG,ABCD)
H G • garis potong BDG
E F dan ABCD BD
• garis pada ABCD
D
yang BD AC
C
A P B
• garis pada BDG
yang BD GP
Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)
= GPC
32

33. Pembahasan
b. sin (BDG,ABCD)
H G
E
= sin GPC
F GC
= GP
a 6 6
= x
1 1
D a 6 6 .6
C 2 2
A P B = ⅓√6
Jadi, sin (BDG,ABCD) = ⅓√6
33

34. Contoh 2
T
Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
A C panjang rusuk tegak
9 cm. Nilai sinus sudut
B antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
34

35. Pembahasan
T
•sin (TAB,ABC)
= sin (TP,PC)
= sin TPC
A C •TC = 9 cm, BP = 3 cm
P •PC = 6 2 3 2
B = 27 3 3 cm
•PT = 9 2 3 2
= 72 6 3 cm
35

36. • Lihat ∆ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
T Aturan cosinus
TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos TPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos TPC
36√6.cos TPC = 99 – 81
A C 2 1
P 36√6.cos TPC = 18
1 6
B cos TPC = 2 6 x
6
6
= 12
36

37. • Lihat ∆ TPC
6
cos P = 12
12
Maka diperoleh
144 - 6
138
Sin P = 138
12
P
√6
Jadi sinus (TAB,ABC)
138
= 12
37

38. Contoh 3
4 cm
Diketahui kubus
H G ABCD.EFGH, pan-
E F jang rusuk 4 cm
Titik P dan Q
D berturut-turut
Q C
A B
di tengah-tengah
P AB dan AD.
Sudut antara bidang FHQP dan bi-
dang AFH adalah . Nilai cos =…
38

39. Pembahasan
4 cm
• (FHQP,AFH)
H K G = (KL,KA)
E F = AKL =
• AK = ½a√6 = 2√6
D • AL = LM = ¼ AC
Q C
A L M B = ¼a√2 = √2
P • KL = KM 2 ML2
= 4 2 2 18
=3√2
39

40. Pembahasan
• AK = 2√6 , AL = √2
K KL = 3√2
Aturan Cosinus:
AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos
24√3.cos = 42 – 2
M 24√3.cos = 40
A L cos = 5
3
9
5
Jadi nilai cos = 3
9
40

41. SELAMAT BELAJAR
41