Proyeksi Sudut dalam Matematika

1. Dimensi Tiga
(Proyeksi & Sudut)

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
DIMENSI TIGA PROYEKSI DAN SUDUT

3. Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
DIMENSI TIGA PROYEKSI DAN SUDUT

4. Proyeksi titik pada garis
Dari titik P
ditarik garis m^ garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m

5. Contoh
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
titik A pada garis
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).
H
E F
D C
A B
G
T

6. Pembahasan
Proyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
(AB ^ BC)
b. BD adalah titik
(AC ^ BD)
c. ET adalah titik
H
E F
D C
A B
G
T
B
T
A’
A’
(AC ^ ET)

7. Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik P
di luar bidang H
ditarik garis g ^ H.
Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
proyeksi titik P
di bidang H
H
P
P’
g

8. Contoh
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….
H
E F
D C
A B
G

9. Pembahasan
a. Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
adalah
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah
CE ^ BDG
H
E F
P A
D C
A B
G
(EA ^ ABCD)
P

10. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis
ke sebuah bidang
dapat diperoleh
dengan memproyek-sikan
titik-titik yang
terletak pada garis itu
ke bidang.
H
A
A’
g
B
B’
g’
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’

11. Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h ^ b maka
proyeksi garis h pada bidang b
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang b maka
g’ yaitu proyeksi garis g padab
dan sejajar garis g

12. Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
pada bidang ABCD
H
E F
G
D C
A B adalah….
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….

13. Pembahasan
a. Proyeksi garis EF
pada bidang ABCD
berarti menentukan
proyeksi titik E dan F
pada bidang ABCD,
yaitu titik A dan B
H
E F
D C
A B
G
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB

14. Pembahasan
b. Proyeksi garis CG
pada bidang BDG
berarti menentukan
proyeksi titik C
dan titik G
pada bidang BDG,
yaitu titik P dan G
H
E F
P
D C
A B
G
6 cm
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?

15. H
E F
D C
A B
G •Panjang proyeksi CG
pada BDG adalah
panjang garis PG.
•PG = ⅔.GR
= ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
P
R
6 cm
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm

16. Contoh 2
Diketahui limas
beraturanT.ABCD
dengan panjang AB
= 16 cm, TA = 18 cm
Panjang proyeksi TA
pada bidang ABCD
adalah….
T
18 cm
A
D C
16 cm B

17. Pembahasan
Proyeksi TA
pada bidang ABCD
adalah AT’.
Panjang AT’= ½AC
= ½.16√2
= 8√2
T
18 cm
A
D T’
C
16 cm B
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm

18. Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang

19. Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
k
m

20. Contoh
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
b. AH dengan AF
c. BE dengan DF
H
E F
D C
A B
G

21. Pembahasan
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
= 600 (Δ AFH smss)
c. BE dengan DF
= 900 (BE ^ DF)
H
E F
D C
A B
G

22. P
Q
V
Sudut antara
Garis dan Bidang
Sudut antara
garis a dan bidang b
dilambangkan (a,b)
adalah sudut antara
garis a dan
proyeksinya pada b.
P’
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
= Ð PQP’

23. Contoh 1
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
H
E F
D C
A B
G
6 cm
Kemudian hitunglah besar sudutnya!

24. Pembahasan
Proyeksi garis BG
pada bidang ACGE
adalah garis KG
(K = titik potong
H
E F
G
D C
A B AC dan BD)
6 cm
Jadi Ð(BG,ACGE) = Ð(BG,KG)
= ÐBGK
K

25. Pembahasan
BG = 6√2 cm
BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
H
E F
G
D C
K
ΔBKG siku-siku di K A B
6 cm
sinÐBGK =
BK
=
3 2 =
1
BG
6 2
2
Jadi, besar ÐBGK = 300

26. Contoh 2
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
H
E F
D C
A B
G
8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah….

27. Pembahasan
tanÐ(CG,AFH)
= tan Ð(PQ,AP)
= tan ÐAPQ
=
=
H
P
E F
D C
A B
G
8 cm
Q
=
AQ
PQ
1
AC 2
GC
4 2
8
.8 2 2
8
1
=
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2

28. Contoh 3
Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
a cm
D C
a cm
rusuknya sama panjang,
T
A B
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….

29. Pembahasan
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
persegi)
• ΔTAC = Δ siku-siku
samakaki
T
a cm
D C
a cm
A B
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450

30. Sudut antara
Bidang dan Bidang
Sudut antara
bidang a dan bidang b
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g ^ (a,b) dan h ^ (a,b).
(a,b) garis potong bidang a dan b
a
b
(a,b)
g
h

31. Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
antara bidang BDG
dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
H
E F
D C
A B
G

32. Pembahasan
a. Ð(BDG,ABCD)
• garis potong BDG
dan ABCD ® BD
• garis pada ABCD
yang ^ BD ® AC
• garis pada BDG
yang ^ BD ® GP
H
E F
D C
A B
G
Jadi Ð(BDG,ABCD) = Ð(GP,PC)
=ÐGPC
P

33. Pembahasan
b. sinÐ(BDG,ABCD)
= sin ÐGPC
=
=
H
E F
G
D C
GC
GP
a
6
1 =
1 .6
a 6
2
A P
B = ⅓√6
x
Jadi, sinÐ(BDG,ABCD) = ⅓√6
6
6
2

34. Contoh 2
Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
panjang rusuk tegak
9 cm. Nilai sinus sudut
antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
A
B
9 cm
C
T
6 cm

35. Pembahasan
•sinÐ(TAB,ABC)
= sinÐ(TP,PC)
= sinÐTPC
•TC = 9 cm, BP = 3 cm
•PC =
=
•PT =
=
A
B
9 cm
C
T
6 cm
P 6 2 - 32
27 = 3 3 cm
92 - 32
72 = 6 3 cm
3

36. • Lihat Δ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
Aturan cosinus
TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosÐTPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosÐTPC
36√6.cosÐTPC = 99 – 81
36√6.cosÐTPC = 18
cosÐTPC =
=
A
6√2
B
T
9 cm
C
P
3√3 2 1
1
2 6
x 6
6
6
12

37. • Lihat Δ TPC
cosÐP =
6
12
Maka diperoleh
Sin ÐP =
138
Jadi sinus Ð(TAB,ABC)
=
12
√6
144 - 6
P
= 138
12
138
12

38. Contoh 3
Diketahui kubus
ABCD.EFGH, pan-jang
rusuk 4 cm
Titik P dan Q
berturut-turut
di tengah-tengah
AB dan AD.
H
4 cm
E F
D C
A B
G
P
Sudut antara bidang FHQP dan bi-dang
AFH adalah a. Nilai cosa =…
Q

39. Pembahasan
• Ð(FHQP,AFH)
= Ð(KL,KA)
= ÐAKL = a
• AK = ½a√6 = 2√6
• AL = LM = ¼ AC
= ¼a√2 = √2
• KL =
=
=3√2
H
G 4 cm
E F
D C
A B
P
Q
K
L
a
M
KM2 + ML2
42 + 2 = 18

40. Pembahasan
• AK = 2√6 , AL = √2
KL = 3√2
Aturan Cosinus:
AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcosa
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cosa
24√3.cosa = 42 – 2
24√3.cosa = 40
cosa =
K
L
a
A M
Jadi nilai cosa = 5
3
9
3
5
9

41. SELAMAT BELAJAR