Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang beberapa konsep dasar matematika seperti proyeksi garis pada bidang, jarak antara titik dan garis/bidang, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang. Konsep-konsep tersebut dijelaskan beserta contoh soal dan penyelesaiannya.

1. SIAPA BILANG
MATEMATIKA
ITU SULIT ?
Siapa Takut !

2. IRISAN
IRISAN
4E6F G248 9HEHF )61A4
4E6F G248 9HEHF )61A4
PROYEKSI GARIS PADA BIDANG
PROYEKSI GARIS PADA BIDANG
JARAK
JARAK
SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
SUDUT ANTARA DUA BIDANG
SUDUT ANTARA DUA BIDANG
By: eM2LiB2007

3. IRISAN
IRISAN
SOAL : DENGAN MENGGUNAKAN SB AFINITAS
LUKISLAH BIDANG IRISAN YANG MELALUI TITIK P,Q DAN R DENGAN
KUBUS ABCD EFGH
Langkah-langkah
1. Hubungkan P dan Q sehingga
memotong AD di T dan CD di S V
2. Hubungkan S dan R sehingga
memotong HG di U dan DH di V G
3. Hubungkan T dan V sehingga H .U
memotong AE di X dan HE di W W.
4. Hubungkan XP , QR ,dan UW E F .R
sehingga terbentuk bidang
PQRUWX SUMBU
AFINITAS
X. D
. C S
. Q
A P B
T

4. IRISAN
IRISAN
DENGAN MENGGUNAKAN KESEJAJARAN
Langkah-langkah
1. Buatlah garis PQ dan QR
2. Buatlah garis // PQ pada bidang
EFGH yaitu garis UW
3. Buatlah garis // QR pada bidang H .U G
ACHE yaitu garis WX W.
4. Buatlah garis RU garis XP E F .R
5. Terbentuklah bidang irisan
PQRUWX X.
C D
.Q
A . B
P
2

5. GARIS TEGAK LURUS BIDANG
GARIS TEGAK LURUS BIDANG
Definisi : Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika
garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu
Dalil 1:
Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis yang saling
berpotongan dan terletak pada sebuah bidang, maka garis itu
akan tegak lurus pada setiap garis pada bidang itu
}
l⊥a
l⊥b
l ⊥ setiap garis pada α
a dan b berpotongan di titik T
l
dengan a dan b pada α
a b
α T

6. GARIS TEGAK LURUS BIDANG
GARIS TEGAK LURUS BIDANG
Definisi : Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika
garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu
Dalil 1:
Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis yang saling
berpotongan dan terletak pada sebuah bidang, maka garis itu
akan tegak lurus pada setiap garis pada bidang itu
}
l⊥a
l⊥b
l ⊥ setiap garis pada α
a dan b berpotongan di titik T
l
dengan a dan b pada α
a b
α T

7. Dalil 2:
Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis yang saling
berpotongan dan terletak pada sebuah bidang, maka garis itu
tegak lurus dengan bidang itu
}
l⊥a
l⊥b
l⊥
a dan b berpotongan di titik T α
dengan a dan b pada α
l
a b
α T

8. CONTOH :
Diketahui kubus ABCD EFGH. Buktikan bahwa garis BH tegak lurus bidang ACF
Bukti:
} }
AF⊥ BE AF⊥ BCHE
AF⊥ BH
AF ⊥ BC BH pada bidang BCHE
} BH pada bidang BDHF }
AC⊥ BD AC⊥ BDHF
AC⊥ BH H
AC ⊥ BF G
AF⊥ BH
AC⊥ BH
} BH⊥ bidang ACF
di N
E F
Terbukti ! D •N C
•
M
A B
3

9. PROYEKSI GARIS PADA BIDANG
PROYEKSI GARIS PADA BIDANG
1. Proyeksi titik pada bidang
Definisi: Jika dari titik T ditarik garis TT1 (T1 pada α) yang tegak
lurus pada bidang α, maka T1 disebut proyeksi titik T pada
bidang α •T
T = titik yang diproyeksikan
T1 = proyeksi
TT1 = proyektor
α = bidang proyeksi α T1
2. Proyeksi garis pada bidang
Definisi: Jika garis PQ memotong bidang α di titik Q, maka untuk
melukis proyeksinya cukup dilukis titik P1 pada α yang
merupakan proyeksi dari titik P. Garis P1Q adalah proyeksi
garis PQ pada bidang α
•P
P1 •Q
α
4

10. JARAK
JARAK
1. Jarak antara Titik dan Titik, Titik dan Garis, serta Titik dan Bidang
A. Jarak antara Titik dan Titik
Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB
A• •B
B. Jarak antara Titik dan Garis
Jarak antara titik A dan garis g (titik A di luar garis g) adalah
panjang ruas garis AA´, dengan A´merupakan proyeksi titik A
pada garis g
C. Jarak antara Titik dan Bidang
Jarak antara titik A dan bidang α adalah panjang ruas garis AA
´dengan A´ merupakan proyeksi titik A pada bidang α
•A
A•
g
A´ α A´

11. CONTOH :
1. Diketahui limas beraturan T.ABCD, dengan AB= BC= 5 2 cm
dan TA= 13 cm. Hitunglah jarak dari A ke garis TC.
Jawab: Jarak dari A ke garis AC = a 2 (diagonal alas) dengan a = 5 2
TC adalah AZ = ( 2 ) ( 2) = 10 cm
5
TT12 = TA 2 − AT1
2
2
T 1 
=13 2 −  × 10 
2 
Z =169 − 25 = 144 cm
D TT1 = 12 cm
C 1 1
5 2 Luas ∆ ATC ⇒ TC × AZ = AC ×TT1
T1 2 2
A 1 1
5 2 B ×13 × AZ = ×10 ×12
2 2
120
AZ = cm
13
120
Jadi jarak titik A ke garis TC adalah cm
13

12. 2. Diketahui kubus ABCD EFGH, dengan panjang rusuk a cm .
Tentukan jarak titik B ke bidang ACF.
Jawab: Jarak dari titik B ke ACF adalah BN
Luas ∆ BFM ⇒
BD = a 2
H 1 a 1 1
G BM = BD = 2 BM × BF = FM × NB
2 2 2 2
FM = FB + BM 2
2 1 a 1 a
E × 2×a = × 6 × NB
F 2 2 2 2 2
2 a 
= a + 2 a 2 a 2 6 2a 3 a
C 2  NB = = = = 3
D •N 6 6 6 3
2a 2
• = a +2
M 4
A B 6a
2
=
4
a
= 6
2
a 1
Jadi jarak dari titik B ke bidang ACF adalah 3 ( diagonal ruang)
3 3
5

13. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
Definisi: Jika garis g tidak tegak lurus pada bidang α, maka sudut antara
garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g
dan proyeksi garis g pada bidang α yaitu g' adalah ( ∠ θ )
Jadi ∠( g , α ) = ∠( g , g' ) = ∠ θ
g
•P
θ
g' •Q
α P1

14. CONTOH: Diketahui kubus ABCD EFGH, dengan panjang rusuk a cm. Tentukan
besar sudut antara:
a. garis EC dan bidang ABCD
b. garis FM dan bidang ABCD, dengan titik M adalah pertengahan bidang
ABCD.
Jawab : a. Sudut antara garis EC dan Bidang ABCD = ∠( EC , AC) = ∠ ACE = ∠ α
H AC = a 2
G
AE a 1
Tg α = = = 2
E F AC a 2 2
1
∠ α = arc tg 2
2
D α C Jadi besar sudut antara garis EC dan
β
M bidang ABCD adalah arc tg 1 2
A B 2
b. Sudut antara garis FM dan bidangABCD = ∠( FM , MB ) = ∠FMB = ∠ β
BF a
BD = AC = a 2 Tg ∠β = = = 2
BM 1
1 1 a 2
BM = BD = a 2 2
2 2 ∠β = arc tg 2
Jadi besar sudut antara garis FM dan bidang ABCD adalah arc tg 2
3

15. em2LiB
em2LiB
SUDUT ANTARA DUA BIDANG
SUDUT ANTARA DUA BIDANG
LANGKAH-LANGKAH
1. Tentukan garis / titik hasil perpotongan kedua bidang α dan β adalah garis g
2. Buatlah garis pada bidang α dan pada bidang β
yang masing-masing saling berpotongan
dan tegak lurus pada garis g
Jadi sudut antara bidang α dan bidang β adalah ∠ θ
β
θ
α
g

16. em2LiB
em2LiB
Contoh : Diketahui limas beraturan T. ABCD, AB= 12 cm dan TT1= 6 3
Hitunglah besar sudut antara :
a. Bidang ADT dan bidang ABCD
b. Bidang ADT dan bidang BCT
Jawab :
a. Sudut antara bidang ADT dan bidang ABCD T
adalah ∠ TET1 = ∠
α
1 1
ET 1 = AB = × 12 = 6 cm
2 2 D
C
TT1 E α
Tg ∠TET 1 = Tg ∠ α =
ET1 T1
6 3 A 12 B
=
6
= 3
∠ TET 1 = ∠ α = 60 °
Jadi besar sudut antara bidang ADT dan bidang ABCD adalah 60 °

17. EM 2Lib
EM 2Lib :
Jawab
b. Sudut antara bidang ADT dan bidang BCT
adalah ∠ FTE = ∠ β
T
ET= TT12 + ET12 β
= ( 6 3 ) 2 + 62
= 108 + 36 D
C
= 12 cm E
ET = FT = 12 cm T1 F
A B
12
Oleh karena ET = FT = EF = 12 cm, maka ∆ ETF adalah
segitiga sama sisi, sehingga ∠ FTE = 60°
THE END

18. H G
E F
D C
A B
3

19. GPower:
GPower:
T
D
C
A B
THE END